3.8: Лінійні нерівності (дві змінні)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58105

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Визначте та перевіряйте розв'язки лінійних нерівностей за допомогою двох змінних.
Графік розв'язку множин лінійних нерівностей з двома змінними.

Розв'язки лінійних нерівностей

Ми знаємо, що лінійне рівняння з двома змінними має нескінченно багато впорядкованих парних рішень, які утворюють лінію при графіку. Лінійна нерівність з двома змінними, з іншого боку, має набір розв'язків, що складається з області, яка визначає половину площини.

Таблиця$\PageIndex{1}$
Лінійне рівняння	Лінійна нерівність
$y=\frac{3}{2}x+3$	$y\leq \frac{3}{2}x+3$
$Знімок екрана (681) .png$ *Малюнок$\PageIndex{1}$*	$Знімок екрана (682) .png$ *Малюнок$\PageIndex{2}$*

Для нерівності лінія визначає одну межу області, яка затінюється. Це вказує на те, що будь-яка впорядкована пара, яка знаходиться в затіненій області, включаючи лінію кордону, задовольнить нерівність. Щоб побачити, що це так, виберіть кілька контрольних точок і підставляйте їх на нерівність.

Таблиця$\PageIndex{2}$
$\color{Cerulean}{Test\:point}$	$y\leq\frac{3}{2}x+3$
$(0,0)$	$\begin{aligned} 0&\leq \frac{3}{2}(0)+3 \\ 0&\leq 3 \quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}$
$(2,1)$	$\begin{aligned} 1&\leq \frac{3}{2}(2)+3 \\ 1&\leq 3+3 \\ 1&\leq 6\quad\color{Cerulean}{\checkmark}\end{aligned}$
$(-2,-1)$	$\begin{aligned} -1&\leq\frac{3}{2}(-2)+3 \\ -1&\leq -3+3 \\ -1&\leq 0\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}$

Крім того, ми бачимо, що впорядковані пари за межами затіненої області не вирішують лінійну нерівність.

$\begin{array} {c|c} {\underline{\color{Cerulean}{Test\:point}}}&{\underline{y\leq\frac{3}{2}x+3}}\\{(-2,3)} &{3\leq\frac{3}{2}(-2)+3}\\{}&{3\leq -3+3}\\{}&{3\leq 0\quad\color{red}{x}} \end{array}$

Графік розв'язку, встановленого на лінійну нерівність, завжди є областю. Однак межа не завжди може бути включена в цей набір. У попередньому прикладі рядок був частиною набору розв'язків через «або дорівнює» частини інклюзивної нерівності$≤$. Якщо у нас є сувора нерівність$<$, ми б потім використали пунктирну лінію, щоб вказати, що ці точки не включені в набір рішень.

Таблиця$\PageIndex{3}$
Межа без включення	Інклюзивна межа
$y<\frac{3}{2}x+3$	$y\leq \frac{3}{2}x+3$
$Знімок екрана (683) .png$ *Малюнок$\PageIndex{3}$*	$Знімок екрана (684) .png$ *Малюнок$\PageIndex{4}$*

Розглянемо точку$(0, 3)$ на межі; ця впорядкована пара задовольняє лінійному рівнянню. Саме «або дорівнює» частина інклюзивної нерівності, яка робить її частиною набору рішень.

$\begin{array}{c|c}{\underline{y<\frac{3}{2}x+3}}&{\underline{y\leq \frac{3}{2}x+3}}\\{3<\frac{3}{2}(0)+3}&{3\leq\frac{3}{2}(0)+3}\\{3<0+3}&{3\leq 0+3}\\{3<3\quad\color{red}{x}}&{3\leq 3\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}$

Поки що ми бачили приклади нерівностей, які були «менше, ніж». Тепер розглянемо наступні графіки з однаковою межею:

Таблиця$\PageIndex{4}$
Більше ніж (вище)	Менше ніж (нижче)
$y\geq \frac{3}{2}x+3$	$y\leq \frac{3}{2}x+3$
$Знімок екрана (685) .png$ *Малюнок$\PageIndex{5}$*	$Знімок екрана (686) .png$ *Малюнок$\PageIndex{6}$*

Враховуючи наведені вище графіки, що ми можемо очікувати, якщо використовувати походження$(0, 0)$ як контрольну точку?

$\begin{array}{c|c}{\underline{y\geq\frac{3}{2}x+3}}&{\underline{y\leq\frac{3}{2}x+3}}\\{0\geq\frac{3}{2}(0)+3}&{0\leq\frac{3}{2}(0)+3}\\{0\geq 0+3}&{0\leq0+3}\\{0\geq 3\quad\color{red}{x}}&{0\leq 3\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Які з впорядкованих пар$(−2, −1), (0, 0), (−2, 8), (2, 1),$ і$(4, 2)$ вирішують нерівність$y>−\frac{1}{2}x+2$?

Відповідь: $(−2, 8)$і$(4, 2)$

Графічні розв'язки лінійних нерівностей

Розв'язки лінійних нерівностей - це затінена напівплощина, обмежена суцільною лінією або пунктирною лінією. Ця межа або включається в розв'язок, або ні, залежно від заданої нерівності. Якщо нам дано сувору нерівність, ми використовуємо пунктирну лінію, щоб вказати, що межа не включена. Якщо нам дано інклюзивну нерівність, ми використовуємо суцільну лінію, щоб вказати, що вона включена. Етапи побудови графіків розв'язку, встановленого для нерівності з двома змінними, описані в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{1}$

Графік набору розв'язків:

$y>−3x+1$.

Рішення:

Крок 1: Графік лінії кордону. У цьому випадку графуйте пунктирну лінію$y=−3x+1$ через сувору нерівність. Оглядом ми бачимо, що нахил є$m=−3=−\frac{3}{1}=\frac{rise}{run}$ і$y$ -перехоплення є$(0, 1)$.

$Знімок екрана (687) .png$

Малюнок$\PageIndex{7}$

Крок 2: Перевірте точку не на кордоні. Загальною тестовою точкою є походження$(0, 0)$. Тестова точка допомагає нам визначити, яку половину площини затінювати.

$\begin{array}{c|c} {\underline{\color{Cerulean}{Test\:point}}}&{\underline{y>-3x+1}}\\{(0,0)}&{0>-3(0)+1}\\{}&{0>1\quad\color{red}{x}} \end{array}$

Крок 3: Затіньте область, що містить розчини. Оскільки тестова точка не$(0, 0)$ була рішенням, вона не лежить в регіоні, що містить всі впорядковані парні рішення. Тому затінюйте половину площини, яка не містить цієї тестової точки. В цьому випадку затінюють над лінією кордону.

Відповідь:

$Знімок екрана (688) .png$

Малюнок$\PageIndex{8}$

Розглянемо задачу затінення над або нижче лінії кордону, коли нерівність знаходиться у формі ухил-перехоплення. Якщо$y>mx+b$, то затінюйте над лінією. Якщо$y<mx+b$, то затінюйте нижче лінії. Використовуйте це з обережністю; іноді межа дається в стандартній формі, в такому випадку ці правила не застосовуються.

Приклад$\PageIndex{2}$

Графік набору розв'язків:

$2x−5y≥−10$.

Рішення:

Тут межа визначається лінією$2x−5y=−10$. Оскільки нерівність є інклюзивною, графуємо межу за допомогою суцільної лінії. У цьому випадку графуйте лінію кордону за допомогою перехоплень.

$Знімок екрана (689) .png$

Малюнок$\PageIndex{9}$

Далі протестуйте точку; це допомагає вирішити, яку область затінювати.

$\begin{array} {c|c} {\underline{\color{Cerulean}{Test\:point}}}&{\underline{2x-5y\geq -10}}\\{(0,0)}&{2(0)-5(0)\geq -10} \\ {}&{0\geq -10\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}$

Оскільки контрольна точка знаходиться в наборі розчину, затіньте половину площини, яка її містить.

Відповідь:

$Знімок екрана (690) .png$

Малюнок$\PageIndex{10}$

У цьому прикладі зверніть увагу, що набір розв'язків складається з усіх впорядкованих пар нижче лінії кордону. Це може бути контрінтуїтивно через оригінал$≥$ у нерівності. Це ілюструє, що це найкраща практика, щоб насправді перевірити точку. Вирішіть для,$y$ і ви побачите, що затінення правильне.

У формі нахилу-перехоплення можна побачити, що область нижче лінії кордону повинна бути затінена. Альтернативний підхід полягає в тому, щоб спочатку висловити межу у формі перехоплення нахилу, навести графік її, а потім затінювати відповідну область.

Приклад$\PageIndex{3}$

Графік набору розв'язків:

$y<2$.

Рішення:

Спочатку графуйте лінію кордону$y=2$ пунктирною лінією через сувору нерівність.

$Знімок екрана (691) .png$

Малюнок$\PageIndex{11}$

Тепер протестуйте точку.

$\begin{array}{c|c}{\underline{\color{Cerulean}{Test\:point}}}&{\underline{y<2}}\\{(0,0)}&{0<2\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}$

В цьому випадку затіньте область, яка містить контрольну точку.

Відповідь:

$Знімок екрана (692) .png$

Малюнок$\PageIndex{12}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Графік набору розв'язків:

$5x−y≤10$.

Відповідь

$Знімок екрана (693) .png$

Малюнок$\PageIndex{13}$

Ключові винос

Лінійні нерівності з двома змінними мають нескінченно багато впорядкованих парних розв'язків, які можуть бути побудовані шляхом затінення у відповідній половині прямокутної координатної площини.
Для графіку множини розв'язків лінійної нерівності з двома змінними спочатку графують межу пунктирною або суцільною лінією залежно від нерівності. Якщо задано сувору нерівність, використовуйте пунктирну лінію для кордону. Якщо задано інклюзивну нерівність, використовуйте суцільну лінію. Далі вибираємо контрольну точку не на кордоні. Якщо контрольна точка вирішує нерівність, то затіньте область, яка її містить; інакше затіньте протилежну сторону.
При побудові графіків наборів рішень лінійних нерівностей доцільно перевіряти значення в розв'язку і поза ним як перевірку.

Вправа$\PageIndex{3}$ Solutions to Linear Inequalities (Two Variables)

Чи є впорядкована пара розв'язком заданої нерівності?

$y<5x+1$;$(0,0)$
$y>−\frac{1}{2}x−4$;$(0, −2)$
$y≤\frac{2}{3}x+1$;$(6, 5)$
$y≥−\frac{1}{3}x−5$;$(−3, −8)$
$y<\frac{1}{5}x-\frac{1}{3}$;$(-\frac{1}{2},-1)$
$4x-3y\leq 2$;$(-2,-1)$
$-x+4y>7$;$(0, 0)$
$7x−3y<21$;$(5,-3)$
$y>−5$;$(−3, −1)$
$x≤0$;$(0, 7)$

Відповідь

1. Так

3. Так

5. Так

7. Ні

9. Так

Вправа$\PageIndex{4}$ Graphing Solutions to Linear Inequalities

Графік набору розв'язків.

$y<−3x+3$
$y<−\frac{2}{3}x+4$
$y≥−\frac{1}{2}x$
$y≥\frac{4}{5}x−8$
$y≤8x−7$
$y>−5x+3$
$y>−x+4$
$y>x−2$
$y≥−1$
$y<−3$
$x<2$
$x≥2$
$y≤\frac{3}{4}x−\frac{1}{2}$
$y>−\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$
$−2x+3y>6$
$7x−2y>14$
$5x−y<10$
$x-y<0$
$3x−2y≥0$
$x−5y≤0$
$−x+2y≤−4$
$−x+2y≤3$
$2x−3y≥−1$
$5x−4y<−3$
$\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y<1$
$\frac{1}{2}x-\frac{1}{10}y\geq\frac{1}{2}$
$x≥−2y$
$x<2y+3$
$3x−y+2>0$
$3−y−2x<0$
$−4x≤12−3y$
$5x≤−4y−12$
Напишіть нерівність, яка описує всі точки у верхній півплощині над$x$ -віссю.
Напишіть нерівність, яка описує всі точки в нижній півплощині нижче$x$ -осі.
Напишіть нерівність, яка описує всі точки на півплощині зліва від$y$ -осі.
Напишіть нерівність, яка описує всі точки на півплощині праворуч від$y$ -осі.
Напишіть нерівність, яка описує всі впорядковані пари, чиї$y$ -координати є принаймні$2$.
Напишіть нерівність, яка описує всі впорядковані пари,$x$ -координата яких є не більше$5$.

Відповідь

$Знімок екрана (694) .png$

Малюнок$\PageIndex{14}$

$Знімок екрана (695) .png$

Малюнок$\PageIndex{15}$

$Знімок екрана (696) .png$

Малюнок$\PageIndex{16}$

$Знімок екрана (697) .png$

Малюнок$\PageIndex{17}$

$Знімок екрана (698) .png$

Малюнок$\PageIndex{18}$

11.

$Знімок екрана (699) .png$

Малюнок$\PageIndex{19}$

13.

$Знімок екрана (700) .png$

Малюнок$\PageIndex{20}$

15.

$Знімок екрана (701) .png$

Малюнок$\PageIndex{21}$

17.

$Знімок екрана (702) .png$

Малюнок$\PageIndex{22}$

19.

$Знімок екрана (703) .png$

Малюнок$\PageIndex{23}$

21.

$Знімок екрана (704) .png$

Малюнок$\PageIndex{24}$

23.

$Скріншот (705) .png$

Малюнок$\PageIndex{25}$

25.

$Знімок екрана (706) .png$

Малюнок$\PageIndex{26}$

27.

$Знімок екрана (707) .png$

Малюнок$\PageIndex{27}$

29.

$Знімок екрана (708) .png$

Малюнок$\PageIndex{28}$

31.

$Знімок екрана (709) .png$

Малюнок$\PageIndex{29}$

33. $y>0$

35. $x<0$

37. $y≥2$

Лінійне рівняння	Лінійна нерівність
\(y=\frac{3}{2}x+3\)	\(y\leq \frac{3}{2}x+3\)
$Знімок екрана (681) .png$ *Малюнок\(\PageIndex{1}\)*	$Знімок екрана (682) .png$ *Малюнок\(\PageIndex{2}\)*

\(\color{Cerulean}{Test\:point}\)	\(y\leq\frac{3}{2}x+3\)
\((0,0)\)	\(\begin{aligned} 0&\leq \frac{3}{2}(0)+3 \\ 0&\leq 3 \quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)
\((2,1)\)	\(\begin{aligned} 1&\leq \frac{3}{2}(2)+3 \\ 1&\leq 3+3 \\ 1&\leq 6\quad\color{Cerulean}{\checkmark}\end{aligned}\)
\((-2,-1)\)	\(\begin{aligned} -1&\leq\frac{3}{2}(-2)+3 \\ -1&\leq -3+3 \\ -1&\leq 0\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Межа без включення	Інклюзивна межа
\(y<\frac{3}{2}x+3\)	\(y\leq \frac{3}{2}x+3\)
$Знімок екрана (683) .png$ *Малюнок\(\PageIndex{3}\)*	$Знімок екрана (684) .png$ *Малюнок\(\PageIndex{4}\)*

Більше ніж (вище)	Менше ніж (нижче)
\(y\geq \frac{3}{2}x+3\)	\(y\leq \frac{3}{2}x+3\)
$Знімок екрана (685) .png$ *Малюнок\(\PageIndex{5}\)*	$Знімок екрана (686) .png$ *Малюнок\(\PageIndex{6}\)*