3.4: Графік з використанням Y-перехоплення та нахилу
Цілі навчання
- Визначте і знайдіть нахил лінії.
- Графік лінії, використовуючи нахил іy -перехоплення.
Ухил
Крутизну будь-якого ухилу можна виміряти як відношення зміни вертикалі до зміни горизонталі. Наприклад, ухил5% можна записати як5100, що означає, що для кожної100 ноги вперед висота5 ноги збільшується.
Малюнок3.4.1
У математиці ми називаємо нахил лінії нахилом і використовуємо буквуm для його позначення. Зміна вертикалі називається підйомом, а зміна горизонталі називається пробігом.
Slopem=vertical changehorizontal change=riserun
Підйом і біг можуть бути позитивними або негативними. Позитивний підйом відповідає вертикальній зміні вгору, а негативний підйом відповідає вертикальній зміні вниз. Позитивний пробіг позначає зміну горизонталі вправо, а негативний пробіг відповідає горизонтальному зміні вліво. З огляду на графік, ми можемо обчислити нахил, визначивши вертикальні і горизонтальні зміни між будь-якими двома точками.
Приклад3.4.1
Знайдіть нахил заданої лінії:
Малюнок3.4.2
Рішення:
З заданих точок на графіку відраховуйте3 одиниці вниз і4 одиниці вправо.
m=riserun=−3units4units=−34
Відповідь:
m=−34
Тут ми маємо негативний нахил, що означає, що для кожної4 одиниці руху вправо зміна вертикалі -3 одиниці вниз. Існує чотири геометричні випадки для значення ухилу.
Малюнок3.4.3
Читаючи графік зліва направо, ми бачимо, що лінії з нахилом вгору мають позитивні нахили, а лінії з ухилом вниз мають негативні нахили.
Малюнок3.4.4
Якщо лінія горизонтальна, то підйом дорівнює0:
m=riserun=0run=0
Ухил горизонтальної лінії - це0. Якщо лінія вертикальна, то прогін такий0:
m=riserun=rise0Undefined
Нахил вертикальної лінії невизначений.
Вправа3.4.1
Знайдіть нахил заданої лінії:
Малюнок3.4.5
- Відповідь
-
m=23
Обчислення нахилу може бути складним, якщо на графіку немає точок з цілочисельними координатами. Тому далі розробляємо формулу, яка дозволяє обчислити ухил алгебраїчно. З огляду на будь-які дві точки(x1,y1) і(x2,y2), ми можемо отримати підйом і пробіг, віднімаючи відповідні координати.
Малюнок3.4.6
Це призводить нас до формули нахилу. З огляду на будь-які дві точки(x1,y1) і(x2,y2), нахил задається
m=riserun=y2−y1x2−x1
Приклад3.4.2
Знайти нахил лінії, що проходить через(−3,−5) і(2,1).
Рішення:
Задано(−3,−5) і(2,1), обчислити різницюy -значень, розділених на різницюx -значень. Оскільки віднімання не є комутативним, подбайте про те, щоб бути послідовним при відніманні координат.
(x1,y1)(x2,y2)(−3,−5)(2,1)
m=y2−y1x2−x1=1−(−5)2−(−3)=1+52+3=65
Відповідь:
m=65
Ми можемо скласти графік лінії, описану в попередньому прикладі, і перевірити, чи є нахил65.
Малюнок3.4.7
Звичайно, графік є необов'язковим; краса формули нахилу полягає в тому, що ми можемо отримати нахил, враховуючи дві точки, використовуючи лише алгебру.
Приклад3.4.3
Знайти нахил лінії, що проходить через(−4,3) і(−1,−7).
Рішення:
(x1,y1)(x2,y2)(−4,3)(−1,−7)
m=y2−y1x2−x1=−7−(3)−1−(−4)=−7−3−1+4=−103
Відповідь:
m=−103
Використовуючи формулу нахилу, подбайте про те, щоб бути послідовним, оскільки порядок має значення. Ви повинні відняти координати першої точки з координат другої точки як для чисельника, так і для знаменника в однаковому порядку.
Приклад3.4.4
Знайти нахил лінії, що проходить через(7,−2) і(−5,−2).
Рішення:
(x1,y1)(x2,y2)(7,−2)(−5,−2)
m=y2−y1x2−x1=−2−(−2)−5−(7)=−2+2−5−7=0−12=0
Відповідь:
m=0. В якості вправи намітьте задані дві точки і переконайтеся, що вони лежать на горизонтальній лінії.
Приклад3.4.5
Знайти нахил лінії, що проходить через(−4,−3) і(−4,5).
Рішення:
(x1,y1)(x2,y2)(−4,−3)(−4,5)
m=y2−y1x2−x1=5−(−3)−4−(−4)=5+3−4+4=80Undefined
Відповідь:
mУхил невизначений. В якості вправи намітьте задані дві точки і переконайтеся, що вони лежать на вертикальній лінії.
Вправа3.4.2
Обчисліть ухил лінії, що проходить через(−2,3) і(5,−5).
- Відповідь
-
m=−87
При розгляді ухилу як швидкості зміни важливо включити правильні одиниці.
Приклад3.4.6
Corvette Coupe був придбаний новий в 1970 році приблизно за $5,200 і знецінився в ціні з часом, поки він не був проданий в 1985 році за $1,300. У цей момент автомобіль почав вважатися класикою і почав збільшуватися в ціні. У 2000 році, коли автомобілю виповнилося 30 років, його продали на аукціоні за $10,450. Наступний лінійний графік зображує вартість автомобіля з плином часу.
Малюнок3.4.8
- Визначте норму, за якою автомобіль амортизувався в вартості з 1970 по 1985 рік.
- Визначте швидкість, з якою автомобіль цінувався в вартості з 1985 по 2000 рік.
Рішення:
Зверніть увагу, що значення залежить від віку автомобіля і що нахил вимірює ставку в доларах на рік.
а. нахил відрізка лінії, що зображує значення за перші 15 років, дорівнює
m=y2−y1x2−x1=$1,300−$5,20015 years−0 years=−$3,90015 years=−$260 per year
б. нахил відрізка лінії, що зображає значення на наступні 15 років, дорівнює
m=y2−y1x2−x1=$10,450−$1,30030 years−15 years=$9,15015 years=$610 per year
Відповідь:
- Вартість автомобіля амортизувалася $260 в рік з 1970 по 1985 рік.
- Вартість автомобіля оцінювалася $610 в рік з 1985 по 2000 рік.
Форма перехоплення нахилу лінії
До цього моменту ми навчилися графувати лінії, будуючи точки та використовуючиx - іy -перехоплення. Крім того, ми бачили, що нам потрібні лише дві точки для графіка лінії. У цьому розділі ми окреслимо процес легкого визначення двох точок за допомогоюy -перехоплення та нахилу. Рівняння будь-якої невертикальної прямої можна записати у вигляді ухил-перехопленняy=mx+b. У такому вигляді ми можемо визначити нахилm, іy -перехоплення,(0,b).
Приклад3.4.7
Визначаємо ухил іy -перехоплення:
y=−45x+7.
Рішення:
У такому вигляді коефіцієнтx - це ухил, а константаy - значенняy -перехоплення. Тому шляхом огляду ми маємо
Малюнок3.4.9
Відповідь:
y-Перехоплення є(0,7), а нахил єm=−45.
Не завжди буває так, що лінійне рівняння дається у формі нахилу-перехоплення. Коли він дається в стандартній формі, ви повинні спочатку вирішити,y щоб отримати схил-перехоплення форми.
Приклад3.4.8
3x+5y=30Висловіть у формі нахилу-перехоплення, а потім визначте нахил іy -перехоплення.
Рішення:
Почніть з вирішення дляy. Для цього застосуйте властивості рівності, щоб спочатку ізолювати,5y а потім розділити обидві сторони на5.
3x+5y=303x+5y−3x=30−3x5y=−3x+305y5=−3x+305y=−3x5+305y=−35x+6
Відповідь:
Ухил-перехоплення форма:y=−35x+6;y -перехоплення:(0,6); нахил:m=−35
Після того, як рівняння знаходиться у формі перехоплення нахилу, ми відразу маємо одну точку для побудови,y -перехоплення. Від перехоплення можна розмітити ухил, щоб намітити ще одну точку на лінії. З попереднього прикладу ми маємо
y=−35x+6
y-перехоплення:(0,6)
нахил:m=−35=−35=riserun
Починаючи з точки(0,6), використовуйте нахил, щоб відзначити іншу точку3 одиниць вниз і5 одиниць вправо.
Малюнок3.4.10
Не потрібно перевіряти, що друга точка, (5, 3), вирішує вихідне лінійне рівняння. Однак ми робимо це тут заради повноти.
3x+5y=303(5)+5(3)=3015+15=3030=30✓
Розмітка схилу таким чином виробляє стільки упорядкованих парних рішень, скільки ми хочемо. Зверніть увагу, що якщо ми відзначимо від схилу знову, від точки(5,3), то отримаємоx -перехоплення,(10,0).
Приклад3.4.9
Графік:
−x+2y=4.
Рішення:
У цьому прикладі ми окреслимо загальні кроки для побудови графіка лінії за допомогою форми нахилу перехоплення.
Крок 1: Вирішітьy для отримання форми перехоплення нахилу.
−x+2y=4−x+2y+x=4+x2y=x+42y2=x+42y=1x2+42y=12x+2
Крок 2: Визначтеy -перехоплення та нахил.
y-перехоплення:(0,2)
нахил:m=12=riserun
Крок 3: Побудуйтеy -перехоплення і використовуйте нахил, щоб знайти інше впорядковане рішення пари. Починаючи зy -перехоплення, відзначте ухил і позначте другу точку. У цьому випадку позначте точку після підйому1 одиниці і пробігу2 одиниць.
Малюнок3.4.11
Крок 4: Проведіть лінію через дві точки прямолінійним краєм.
Відповідь:
Малюнок3.4.12
У цьому прикладі ми помічаємо, що ми могли б отриматиx -intercept, відзначивши схил іншим, але еквівалентним чином. Розглянемо нахил як відношення двох негативних чисел наступним чином:
m=12=−1−2=riserun
Ми могли б отримати ще одну точку на лінії, відзначивши еквівалентний нахил вниз1 одиниці і ліві2 одиниці. Робимо це двічі, щоб отриматиx -перехоплення,(−4,0).
Малюнок3.4.13
Позначення схилу кілька разів не обов'язково завжди дасть намx -перехоплення, але коли це відбувається, ми отримуємо цінну точку з невеликими зусиллями. Насправді, гарною практикою є позначення нахилу кілька разів; це дозволяє отримати більше точок на лінії та створити більш точний графік.
Приклад3.4.10
Графік і знайдітьx -перехоплення:
y=34x−2.
Рішення:
Рівняння наведено у вигляді ухил-перехоплення. Тому при огляді ми маємоy -перехоплення і нахил.
y-перехоплення:(0,−2)
нахил:m=34=riserun
Малюнок3.4.14
Ми бачимо, щоx -значенняx -intercept є змішаним числом між2 і3. Щоб алгебраїчно знайтиx -перехоплення, нагадаємо, що треба ставитиy=0 і вирішувати дляx.
Відповідь:
x-Перехоплення є(223,0).
Приклад3.4.11
Графік:
x−y=0.
Рішення:
Почніть з вирішення дляy.
x−y=0x−y−x=0−x−y=−x−1⋅(−y)=−1⋅(−x)y=x
Рівнянняy=x можна записатиy=1x+0, і ми маємо
y-перехоплення:(0,0)
нахил:m=1=11=riserun
Відповідь:
Малюнок3.4.15
Вправа3.4.3
Графік−2x+5y=20 і позначкаx -перехоплення.
- Відповідь
-
Малюнок3.4.16
Ключові винос
- Схил вимірює крутизну лінії як підйом над прогоном. Позитивний підйом позначає зміну вертикалі вгору, а негативний підйом позначає зміну вертикалі вниз. Позитивний пробіг позначає зміну горизонталі вправо, а негативний - горизонтальну зміну вліво.
- Горизонтальні лінії мають ухил в нуль, а вертикальні мають невизначені ухили.
- З огляду на будь-які дві точки на прямій, ми можемо алгебраїчно обчислити нахил, використовуючи формулу нахилу,m=riserun=y2−y1x2−x1.
- Будь-яка невертикальна лінія може бути записана у вигляді ухил-перехопленняy=mx+b, по якій ми можемо визначити шляхом огляду нахилm іy -перехоплення(0,b).
- Якщо ми знаємоy -перехоплення і нахил лінії, то ми можемо легко графікувати його. Спочатку сплануйтеy -перехоплення, і з цієї точки використовуйте нахил як підйом над пробігом, щоб відзначити іншу точку на лінії. Нарешті, проведіть лінію через ці дві точки з прямолінійним краєм і додайте стрілку на будь-якому кінці, щоб вказати, що вона триває на невизначений час.
- Ми можемо отримати стільки точок на лінії, скільки хочемо, позначивши схил кілька разів.
Вправа3.4.4 Slope
Визначте ухил іy -перехоплення заданого графіка.
1.
Малюнок3.4.17
2.
Малюнок3.4.18
3.
Малюнок3.4.19
4.
Малюнок3.4.20
5.
Малюнок3.4.21
6.
Малюнок3.4.22
- Відповідь
-
1. y-перехоплення:(0,3); нахил:m=−34
3. y-перехоплення:(0,2); нахил:m=0
5. y-перехоплення:(0,0); нахил:m=2
Вправа3.4.5 Slope
Визначте ухил, враховуючи дві точки.
- (3,2)і(5,1)
- (7,8)і(−3,5)
- (2,−3)і(−3,2)
- (−3,5)і(7,−5)
- (−1,−6)і(3,2)
- (5,3)і(4,12)
- (−9,3)і(−6,−5)
- (−22,4)і(−8,−12)
- (12,−13)і(−12,23)
- (−34,32)і(14,−12)
- (−13,58)і(12,−34)
- (−35,−32)і(110,45)
- (3,−5)і(5,−5)
- (−3,1)і(−14,1)
- (−2,3)і(−2,−4)
- (−4,−4)і(5,5)
- Дах опускає4 ноги на кожну12 ногу вперед. Визначаємо ухил покрівлі.
- Дорога опускає300 ноги на кожну5,280 ногу вперед. Визначаємо ухил дороги.
- Наступний графік дає чисельність населення США осіб віком 65 років і старше. Якими темпами ця чисельність населення збільшувалася з 2000 по 2008 рік?
Малюнок3.4.23: Джерело: Бюро перепису населення США.
20. Наступний графік дає загальний споживчий кредит, непогашений у Сполучених Штатах. Якими темпами зростав споживчий кредит з 2002 по 2008 рік?
Малюнок3.4.24: Джерело: Бюро перепису населення США.
21. Комерційний фургон був придбаний новий за $20,000 і, як очікується, буде коштувати $4,000 через 8 років. Визначте швидкість, за якою фургон знецінюється в вартості.
22. Копіювальна машина комерційного класу була придбана нова за $4,800 і буде вважатися нікчемною через 6 років. Визначте швидкість, з якою копіювальний апарат знецінюється в вартості.
23. Знайти,y якщо нахил лінії, що проходить через(−2,3) і(4,y) є12.
24. Знайти,y якщо нахил лінії, що проходить через(5,y) і(6,−1) є10.
25. Знайти,y якщо нахил лінії, що проходить через(5,y) і(−4,2) є0.
26. Знайти,x якщо нахил лінії, що проходить через(−3,2) і(x,5) не визначено.
- Відповідь
-
1. −12
3. −1
5. 2
7. −83
9. −1
11. −3320
13. 0
15. Невизначений
17. −13
19. 12млн на рік
21. $2,000 в рік
23. 75
25. 2
Вправа3.4.6 Slope-Intercept Form
Висловіть задане лінійне рівняння у формі ухил-перехоплення та ідентифікуйте нахил іy -перехоплення.
- 6x−5y=30
- −2x+7y=28
- 9x−y=17
- x−3y=18
- 2x−3y=0
- −6x+3y=0
- 23x−54y=10
- −43x+15y=−5
- Відповідь
-
1. y=65x−6; нахил:65;y -перехоплення:(0,−6)
3. y=9x−17; нахил:9;y -перехоплення:(0,−17)
5. y=23x; нахил:23;y -перехоплення:(0,0)
7. y=815x−8; нахил:815;y -перехоплення:(0,−8)
Вправа3.4.7 Slope-Intercept Form
Графік лінії з урахуванням нахилу іy -перехоплення.
- m=13і(0,−2)
- m=−23і(0,4)
- m=3і(0,1)
- m=−2і(0,−1)
- m=0і(0,5)
- mневизначені і(0,0)
- m=1і(0,0)
- m=−1і(0,0)
- m=−153і(0,20)
- m=−10і(0,−5)
- Відповідь
-
1.
Малюнок3.4.25
3.
Малюнок3.4.26
5.
Малюнок3.4.27
7.
Малюнок3.4.28
9.
Малюнок3.4.29
Вправа3.4.8 Slope-Intercept Form
Графік з використанням нахилу іy -перехоплення.
- y=23x−2
- y=−13x+1
- y=−3x+6
- y=3x+1
- y=35x
- y=−37x
- y=−8
- y=7
- y=−x+2
- y=x+1
- y=12x+32
- y=−34x+52
- 4x+y=7
- 3x−y=5
- 5x−2y=10
- −2x+3y=18
- x−y=0
- x+y=0
- 12x−13y=1
- −23x+12y=2
- 3x+2y=1
- 5x+3y=1
- На одному і тому ж наборі осей намалюйте три лінії, деy=32x+b іb={−2,0,2}.
- На одному і тому ж наборі осей намалюйте три лінії, деy=mx+1 іm={−12,0,12}.
- Відповідь
-
1.
Малюнок3.4.30
3.
Малюнок3.4.31
5.
Малюнок3.4.32
7.
Малюнок3.4.33
9.
Малюнок3.4.34
11.
Малюнок3.4.35
13.
Малюнок3.4.36
15.
Малюнок3.4.37
17.
Малюнок3.4.38
19.
Малюнок3.4.39
21.
Малюнок3.4.40
23.
Малюнок3.4.41
Вправа3.4.9 Discussion Board Topics
- Назвіть три методи графічних ліній. Обговоріть плюси і мінуси кожного методу.
- Виберіть лінійне рівняння і намалюйте його трьома різними способами. Відскануйте роботу та поділіться нею на дошці обговорень.
- Чому ми використовуємо букву m для нахилу?
- Чим корисні еквівалентні фракції при роботі з укосами?
- Чи можемо ми графувати лінію, знаючи лише її нахил?
- Дослідіть та обговоріть альтернативні позначення для нахилу:m=ΔyΔx.
- Які стратегії графічних ліній слід довести до іспиту? Поясніть
- Відповідь
-
1. Відповіді можуть відрізнятися
3. Відповіді можуть відрізнятися
5. Відповіді можуть відрізнятися
7. Відповіді можуть відрізнятися