3.5: Пошук лінійних рівнянь

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58090

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Дано графік, визначають ухил і$y$ -перехоплення.
Знайдіть рівняння прямої за допомогою нахилу і$y$ -перехоплення.
Знайдіть рівняння прямої, використовуючи точку-нахил форми.

Пошук рівнянь за допомогою форми перехоплення нахилу

Враховуючи алгебраїчне рівняння прямої, ми можемо скласти графік його кількома способами. У цьому розділі нам буде дано геометричний опис прямої та запропоновано знайти алгебраїчне рівняння. Знаходження рівняння прямої може бути здійснено кількома способами, перший з яких використовує форму нахилу-перехоплення,$y=mx+b$. Якщо ми знаємо нахил$m$, і$y$ -перехоплення$(0, b)$, ми можемо побудувати рівняння.

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть рівняння прямої з нахилом$m=−\frac{5}{8}$ і$y$ -перехопленням$(0, 1)$.

Рішення:

Даний$y$ -перехоплення має на увазі, що$b=1$. Підставляємо нахил$m$ і$y$ -значення$y$ -перехоплення$b$ в рівняння$y=mx+b$.

$\begin{aligned} y=&\color{OliveGreen}{m}\:\:\color{black}{x+}\:\color{Cerulean}{b} \\ &\:\color{Cerulean}{\downarrow}\qquad\:\color{Cerulean}{\downarrow} \\ y=&\color{OliveGreen}{-\frac{5}{8}}\color{black}{x+}\color{Cerulean}{1} \end{aligned}$

Відповідь:

$y=-\frac{5}{8}x+1$

Знайти лінійне рівняння дуже просто, якщо задані нахил і$y$ -перехоплення. Це, звичайно, не завжди так; однак приклад демонструє, що алгебраїчне рівняння прямої залежить від цих двох частин інформації. Якщо графік заданий, то ми часто можемо прочитати його, щоб визначити$y$ -перехоплення і нахил.

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть рівняння прямої, заданої графіком:

$Знімок екрана (611) .png$

Малюнок$\PageIndex{1}$

Рішення:

Читаючи графік, ми можемо побачити, що$y$ -перехоплення є$(0, 4)$, і, таким чином

$b=4$

Крім того, з точок$(0, 4)$ до$(4, 2)$, ми можемо побачити, що підйом - це$−2$ одиниці, а біг -$4$ одиниці.

$m=\frac{rise}{run}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$

Тепер$b$ підставляємо$m$ і в ухил-перехоплення форму:

$\begin{aligned} y&=\color{Cerulean}{m}\color{black}{x+}\color{OliveGreen}{b} \\ y&=\color{Cerulean}{-\frac{1}{2}}\color{black}{x+}\color{OliveGreen}{4} \end{aligned}$

Відповідь:

$y=-\frac{1}{2}x+4$

Часто$y$ -перехоплення і нахил не будуть дані або не легко помітні з графіка. З цієї причини ми розробимо деякі алгебраїчні методи, які дозволяють обчислити ці величини.

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайти рівняння прямої з нахилом,$m=−\frac{2}{3}$ що проходить через$(−6, 3)$.

Рішення:

Почніть з підстановки заданого нахилу на форму ухил-перехоплення.

$\begin{aligned} y&=\color{OliveGreen}{m}\color{black}{x+b} \\ y&=\color{OliveGreen}{-\frac{2}{3}}\color{black}{x+b} \end{aligned}$

$(−6, 3)$Щоб впорядкована пара була розв'язком, вона повинна вирішити рівняння. Тому ми можемо використовувати його для пошуку$b$. Підставте відповідні$x$ - і$y$ -значення наступним чином:

$\begin{aligned} y&=-\frac{2}{3}x\:+\:b \\ &\:\color{Cerulean}{\downarrow}\:\:\:\qquad\:\color{Cerulean}{\downarrow} \\ (3)&=-\frac{2}{3}(-6)+b \end{aligned}$

Після підстановки відповідних значень вирішуйте для єдиної змінної, що залишилася,$b$.

$\begin{aligned} 3&=-\frac{2}{3}(-6)+b\\3&=-2(-2)+b\\3&=4+b\\-1&=b \end{aligned}$

Після того, як ми$b$ це зробимо, ми можемо завершити рівняння:

$\begin{aligned} y&=\color{OliveGreen}{m}\color{black}{x+}\color{Cerulean}{b} \\ y&=\color{OliveGreen}{-\frac{2}{3}}\color{black}{x}\color{Cerulean}{-1} \end{aligned}$

В якості перевірки переконайтеся, що$(−6, 3)$ вирішує це лінійне рівняння наступним чином:

Відповідь:

$y=-\frac{2}{3}x-1$

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть рівняння прямої, заданої графіком:

$Знімок екрана (612) .png$

Малюнок$\PageIndex{2}$

Рішення:

Використовуйте графік для визначення ухилу. З точок$(−5, 2)$ до$(−1, 0)$, ми бачимо, що підйом між точками є$−2$ одиницями, а біг -$4$ одиниці. Тому розраховуємо ухил наступним чином:

$m=\frac{rise}{run}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$

Підставляємо схил у форму ухил-перехоплення.

$\begin{aligned} y&=\color{OliveGreen}{m}\color{black}{x+b} \\ y&=\color{OliveGreen}{-\frac{1}{2}}\color{black}{x+b} \end{aligned}$

Тепер підставляємо координати однієї з заданих точок, щоб знайти b. Неважливо, яку з них ви виберете. Тут вибираємо$(−1, 0)$:

$\begin{aligned}\color{OliveGreen}{y}&=-\frac{1}{2}\color{Cerulean}{x}\color{black}{+b} \\ \color{OliveGreen}{0}&=-\frac{1}{2}(\color{Cerulean}{-1}\color{black}{)+b} \\ 0&=\frac{1}{2}+b\\-\frac{1}{2}&=b \end{aligned}$

Далі складіть все це воєдино.

$\begin{aligned} y&=\color{OliveGreen}{m}\color{black}{x+}\color{Cerulean}{b} \\ y&=\color{OliveGreen}{-\frac{1}{2}}\color{black}{x}\color{Cerulean}{-\frac{1}{2}} \end{aligned}$

Відповідь:

$y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

В якості вправи підставляємо координати точки,$(−5, 2)$ щоб побачити, що$b$ вийде однаковим значенням. Фактично, ви можете замінити будь-яке впорядковане парне рішення рядка, щоб знайти$b$. Далі окреслимо алгебраїчний метод знаходження рівняння невертикальної лінії, що проходить через дві задані точки.

Приклад$\PageIndex{5}$

Знайти рівняння прямої, що проходить через$(−4, −2)$ і$(1, 3)$.

Рішення:

При знаходженні лінійного рівняння за допомогою форми нахилу-перехоплення$y=mx+b$, мета полягає в тому, щоб знайти$m$ і потім$b$.

Крок 1: Знайдіть нахил$m$. В даному випадку, з огляду на два пункти, скористайтеся формулою нахилу.

$\begin{aligned} m&=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ &=\frac{3-(-2)}{1-(-4)} \\ &=\frac{3+2}{1+4} \\ &=\frac{5}{5} \\ &=1 \end{aligned}$

$m=1$Підставляємо в ухил-перехоплення форму.

$\begin{aligned} y&=\color{OliveGreen}{m}\color{black}{x+b} \\ y&=\color{OliveGreen}{1}\color{black}{x+b} \end{aligned}$

Крок 2: Знайдіть$b$. Для цього підставляємо координати будь-якого впорядкованого парного рішення. Використання$(1, 3)$:

$\begin{aligned} y&=1x+b \\ \color{OliveGreen}{3}&=1(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)+b} \\ 3&=1+b \\ 2&=b \end{aligned}$

Крок 3: Закінчіть будувати рівняння, підставивши значення для$b$. В даному випадку використовуємо$b=2$.

$\begin{aligned} y&=1x+\color{Cerulean}{b} \\ y&=1x+\color{Cerulean}{2}\end{aligned}$

Відповідь:

$y=x+2$

Ці три кроки окреслюють процес знаходження рівняння будь-якої невертикальної лінії у формі ухил-перехоплення. Це повністю алгебраїчний метод, але завжди майте на увазі геометрію, що стоїть за технікою.

$Знімок екрана (613) .png$

Малюнок$\PageIndex{3}$

Зверніть увагу, що лінія має$y$ -перехоплення в$(0,2)$, з нахилом$m=1$.

Приклад$\PageIndex{6}$

Знайти рівняння прямої, що проходить через$(−1, 3)$ і$(5, 1)$.

Рішення:

Спочатку знайдіть$m$, ухил. З огляду на два пункти, використовуйте формулу нахилу наступним чином:

$\begin{aligned} m&=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ &=\frac{1-(3)}{5-(-1)} \\&=\frac{1-3}{5+1} \\&=\frac{-2}{6}\\&=-\frac{1}{3} \end{aligned}$

$m=−\frac{1}{3}$Підставляємо в ухил-перехоплення форму.

$\begin{aligned} y&=\color{Cerulean}{m}\color{black}{x+b} \\ y&=\color{Cerulean}{-\frac{1}{3}}\color{black}{x+b} \end{aligned}$

Далі знайдіть$b$. Підставляємо координати точки$(−1, 3)$.

$\begin{aligned} y&=-\frac{1}{3}x+b \\ \color{OliveGreen}{3}&=-\frac{1}{3}(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)+b} \\ 3&=\frac{1}{3}+b \\3-\frac{1}{3}&=b \\ \color{black}{\frac{3\color{Cerulean}{\cdot 3}}{1\color{Cerulean}{\cdot 3}}-\frac{1}{3}}&=b \\ \frac{8}{3}&=b \end{aligned}$

Нарешті,$b=\frac{8}{3}$ підставляємо в рівняння.

$\begin{aligned} y&=-\frac{1}{3}x+\color{Cerulean}{b} \\ y&=-\frac{1}{3}x+\color{Cerulean}{\frac{8}{3}} \end{aligned}$

Відповідь:

$y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайти рівняння прямої, що проходить через$(−3, 4)$ і$(6, −2)$.

Відповідь: $y=-\frac{2}{3}x+2$

Пошук рівнянь за допомогою точки та нахилу

Враховуючи будь-яку точку на прямій і її нахил, ми можемо знайти рівняння цієї лінії. Почніть з застосування формули нахилу із заданою точкою$(x_{1}, y_{1})$ та змінною точкою$(x, y)$.

$\begin{aligned} m&=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}} \\ \frac{m}{1}&=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}} &\color{Cerulean}{Cross\:multiply.} \\ m(x-x_{1})&=y-y_{1} &\color{Cerulean}{Apply\:the\:symmetric\:property.} \\ y-y_{1}&=m(x-x_{1}) \end{aligned}$

Рівняння$y−y_{1}= m(x−x_{1})$ називається точково-нахилом форми прямої. Будь-яке невертикальне лінійне рівняння може бути записано в такому вигляді. Це корисно для знаходження рівняння прямої з заданим нахилом і будь-якого впорядкованого парного розв'язку.

Приклад$\PageIndex{7}$

Знайти рівняння прямої з нахилом,$m=\frac{1}{2}$ що проходить через$(4, −1)$.

Рішення:

Використовують точково-похилу форму, де$m=\frac{1}{2}$ і$(x_{1}, y_{1})=(4,−1)$.

На цьому етапі ми повинні вибрати, щоб представити рівняння нашої лінії або у стандартній формі, або формі перехоплення нахилу.

$\begin{array}{c|c} {\underline{Standard\:form}}&{\underline{Slope-intercept\:form}}\\{y+1=\frac{1}{2}x-2}&{y+1=\frac{1}{2}x=2}\\{y+1\color{Cerulean}{-1}\color{black}{=\frac{1}{2}x-2}\color{Cerulean}{-1}}&{y+1\color{Cerulean}{-1}\color{black}{=\frac{1}{2}x-2}\color{Cerulean}{-1}}\\{y\color{Cerulean}{-\frac{1}{2}x}\color{black}{=\frac{1}{2}x-3}\color{Cerulean}{-\frac{1}{2}x}}&{y=\frac{1}{2}x-3}\\{-\frac{1}{2}x+y=-3}&{} \end{array}$

У цьому підручнику ми представимо наші рядки в ухилі-перехоплення формі. Це полегшує майбутню графіку.

Відповідь:

$y=\frac{1}{2}x−3$

Приклад$\PageIndex{8}$

Знайдіть рівняння прямої, що проходить$(−5, 3)$ з нахилом$m=−\frac{2}{5}$.

Рішення:

$m=−\frac{2}{5}$Підставляємо$(−5, 3)$ і в точково-схильну форму.

$\begin{aligned} y-y_{1}&=\color{Cerulean}{m}\color{black}{(x-x_{1})} \\ y-(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)}&=\color{Cerulean}{-\frac{2}{5}}\color{black}{(x-(}\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{))}&\color{Cerulean}{Solve\:for\:y.}\\y-3&=-\frac{2}{5}(x+5)&\color{Cerulean}{Distribute\:-\frac{2}{5}.}\\y-3&=-\frac{2}{5}x-2\\y-3\color{Cerulean}{+3}&=-\frac{2}{5}x-2\color{Cerulean}{+3}\\y&=-\frac{2}{5}x+1 \end{aligned}$

Відповідь:

$y=-\frac{2}{5}x+1$

Завжди важливо розуміти, що відбувається геометрично. Порівняйте відповідь для останнього прикладу з відповідним графіком нижче.

$Знімок екрана (614) .png$

Малюнок$\PageIndex{4}$

Геометричне розуміння важливо, тому що вам часто будуть дані графіки, з яких вам потрібно буде визначити точку на лінії і нахил.

Приклад$\PageIndex{9}$

Знайдіть рівняння заданого графіка:

$Знімок екрана (615) .png$

Малюнок$\PageIndex{5}$

Рішення:

Між точками$(1, 1)$ до$(3, 0)$, ми можемо бачити, що підйом є$−1$ одиницею, а біг -$2$ одиниці. Ухил лінії дорівнює$m=\frac{rise}{run}=\frac{−1}{2}=−\frac{1}{2}$. Скористайтеся цим і точкою$(3, 0)$, щоб знайти рівняння наступним чином:

$\begin{aligned} y-y_{1}&=\color{Cerulean}{m}\color{black}{(x-x_{1})} \\ y-\color{OliveGreen}{0}&=\color{Cerulean}{-\frac{1}{2}}\color{black}{(x-}\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)} \\ y&=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \end{aligned}$

Відповідь:

$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$

Приклад$\PageIndex{10}$

Знайти рівняння прямої, що проходить через$(−1, 1)$ і$(7, −1)$.

Рішення:

Почніть з розрахунку ухилу за формулою ухилу.

$\begin{aligned} m&=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ &=\frac{-1-1}{7-(-1)} \\ &=\frac{-2}{7+1} \\ &=\frac{-2}{8} \\ &=-\frac{1}{4} \end{aligned}$

Далі підставляємо в точку-нахил форми, використовуючи одну з заданих точок; неважливо, яка точка використовується. Використовувати$m=−\frac{1}{4}$ і крапку$(−1, 1)$.

$\begin{aligned} y-y_{1}&=\color{Cerulean}{m}\color{black}{(x-x_{1})} \\ y\color{OliveGreen}{-1}&=\color{Cerulean}{-\frac{1}{4}}\color{black}{(x-(}\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{))} \\ y-1&=-\frac{1}{4}(x+1) \\ y-1&=-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4} \\ y&=-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}+1 \\ y&=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4} \end{aligned}$

Відповідь:

$y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Знайти рівняння прямої, що проходить через$(4, −5)$ і$(−4, 1)$.

Відповідь: $y=-\frac{3}{4}x-2$

Ключові винос

З огляду на графік прямої, визначити рівняння можна двома способами, використовуючи форму ухил-перехоплення$y=mx+b$, або точка-нахил форми,$y−y_{1}= m(x−x_{1})$.
Нахил і одна точка на лінії - це все, що потрібно для написання рівняння прямої.
Всі невертикальні лінії повністю визначаються їх$y$ -перехопленням і нахилом.
Якщо нахил і$y$ -перехоплення можна визначити, то для написання рівняння найкраще використовувати форму ухил-перехоплення.
Якщо нахил і точку на лінії можна визначити, то для написання рівняння найкраще використовувати точково-ухил форму.

Вправа$\PageIndex{3}$ Slope-Intercept Form

Визначте ухил і$y$ -перехоплення.

$5x−3y=18$
$−6x+2y=12$
$x−y=5$
$−x+y=0$
$4x−5y=15$
$−7x+2y=3$
$y=3$
$y=−\frac{3}{4}$
$\frac{1}{5}x−\frac{1}{3}y=−1$
$\frac{5}{16}x+\frac{3}{8}y=9$
$−\frac{2}{3}x+\frac{5}{2}y=\frac{5}{4}$
$\frac{1}{2}x−\frac{3}{4}y=−\frac{1}{2}$

Відповідь

1. $m = \frac{5}{3}$;$(0, −6)$

3. $m = 1$;$(0, −5)$

5. $m = \frac{4}{5}$;$(0, −3)$

7. $m = 0$;$(0, 3)$

9. $m = \frac{3}{5}$;$(0, 3)$

11. $m = \frac{4}{15}$;$(0, \frac{1}{2})$

Вправа$\PageIndex{4}$ Finding Equations in Slope-Intercept Form

З огляду на нахил і$y$ -перехоплення, визначають рівняння прямої.

$m = \frac{1}{2}$;$(0, 5)$
$m = 4$;$(0, −1)$
$m = −\frac{2}{3}$;$(0, −4)$
$m = −3$;$(0, 9)$
$m = 0$;$(0, −1)$
$m = 5$;$(0, 0)$

Відповідь

1. $y=\frac{1}{2}x+5$

3. $y=−\frac{2}{3}x−4$

5. $y=−1$

Вправа$\PageIndex{5}$ Finding Equations in Slope-Intercept Form

За заданим графіком знайдіть рівняння у вигляді ухил-перехоплення.

$Знімок екрана (616) .png$

Малюнок$\PageIndex{6}$

$Знімок екрана (617) .png$

Малюнок$\PageIndex{7}$

$Знімок екрана (618) .png$

Малюнок$\PageIndex{8}$

$Знімок екрана (619) .png$

Малюнок$\PageIndex{9}$

$Скріншот (620) .png$

Малюнок$\PageIndex{10}$

$Знімок екрана (621) .png$

Малюнок$\PageIndex{11}$

Відповідь

1. $y=−x+3$

3. $y=−1$

5. $y=\frac{1}{2}x$

Вправа$\PageIndex{6}$ Finding Equations in Slope-Intercept Form

Знайдіть рівняння, враховуючи нахил і точку.

$m = \frac{2}{3}$;$(−9, 2)$
$m = −\frac{1}{5}$;$(5, −5)$
$m = 0$;$(−4, 3)$
$m = 3$;$(−2, 1)$
$m = −5$;$(−2, 8)$
$m = −4$;$(\frac{1}{2}, −\frac{3}{2})$
$m = −\frac{1}{2}$;$(3, 2)$
$m = \frac{3}{4}$;$(\frac{1}{3}, \frac{5}{4})$
$m = 0$;$(3, 0)$
$m$невизначені;$(3, 0)$

Відповідь

1. $y=\frac{2}{3}x+8$

3. $y=3$

5. $y=−5x−2$

7. $y=−\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$

9. $y=0$

Вправа$\PageIndex{7}$ Finding Equations in Slope-Intercept Form

З огляду на дві точки, знайдіть рівняння прямої.

$(−6, 6), (2, 2)$
$(−10, −3), (5, 0)$
$(0, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, −1)$
$(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}), (\frac{2}{3}, 1)$
$(3, −4), (−6, −7)$
$(−5, 2), (3, 2)$
$(−6, 4), (−6, −3)$
$(−4, −4), (−1, −1)$
$(3, −3), (−5, 5)$
$(0, 8), (−4, 0)$

Відповідь

1. $y=−\frac{1}{2}x+3$

3. $y=−3x+\frac{1}{2}$

5. $y=\frac{1}{3}x−5$

7. $x=−6$

9. $y=−x$

Вправа$\PageIndex{8}$ Equations Using Point-Slope Form

Знайдіть рівняння, враховуючи нахил і точку.

$m = \frac{1}{2}$;$(4, 3)$
$m = −\frac{1}{3}$;$(9, −2)$
$m = 6$;$(1, −5)$
$m = −10$;$(1, −20)$
$m = −3$;$(2, 3)$
$m = \frac{2}{3}$;$(−3, −5)$
$m = −\frac{3}{4}$;$(−8, 3)$
$m = 5$;$(\frac{1}{5}, −3)$
$m = −3$;$(−\frac{1}{9}, 2)$
$m = 0$;$(4, −6)$
$m = 0$;$(−5, 10)$
$m = \frac{5}{8}$;$(4, 3)$
$m = −\frac{3}{5}$;$(−2, −1)$
$m = \frac{1}{4}$;$(12, −2)$
$m = 1$;$(0, 0)$
$m = −\frac{3}{4}$;$(0, 0)$

Відповідь

1. $y=\frac{1}{2}x+1$

3. $y=6x−11$

5. $y=−3x+9$

7. $y=−\frac{3}{4}x−3$

9. $y=−3x+\frac{5}{3}$

11. $y=10$

13. $y=−\frac{3}{5}x−\frac{1}{15}$

15. $y=x$

Вправа$\PageIndex{9}$ Equations Using Point-Slope Form

З огляду на графік, скористайтеся формулою точка-нахил, щоб знайти рівняння.

$Знімок екрана (622) .png$

Малюнок$\PageIndex{12}$

$Знімок екрана (623) .png$

Малюнок$\PageIndex{13}$

$Знімок екрана (624) .png$

Малюнок$\PageIndex{14}$

$Знімок екрана (625) .png$

Малюнок$\PageIndex{15}$

$Знімок екрана (626) .png$

Малюнок$\PageIndex{16}$

$Знімок екрана (627) .png$

Малюнок$\PageIndex{17}$

Відповідь

1. $y=−2x+5$

3. $y=\frac{2}{3}x+\frac{17}{3}$

5. $y=−\frac{3}{5}x−\frac{2}{5}$

Вправа$\PageIndex{10}$ Equations Using Point-Slope Form

Використовуйте формулу точка-нахил, щоб знайти рівняння прямої, що проходить через дві точки.

$(−4, 0), (0, 5)$
$(−1, 2), (0, 3)$
$(−3, −2), (3, 2)$
$(3, −1), (2, −3)$
$(−2, 4), (2, −4)$
$(−5, −2), (5, 2)$
$(−3, −1), (3, 3)$
$(1, 5), (0, 5)$
$(1, 2), (2, 4)$
$(6, 3), (2, −3)$
$(10, −3), (5, −4)$
$(−3, 3), (−1, 12)$
$(\frac{4}{5}, −\frac{1}{3}), (−\frac{1}{5}, \frac{2}{3})$
$(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}), (−\frac{10}{3}, −\frac{5}{3})$
$(3, −\frac{1}{4}), (4, −\frac{1}{2})$
$(0, 0), (−5, 1)$
$(2, −4), (0, 0)$
$(3, 5), (3, −2)$
$(−4, 7), (−1, 7)$
$(−8, 0), (6, 0)$

Відповідь

1. $y=\frac{5}{4}x+5$

3. $y=\frac{2}{3}x$

5. $y=−2x$

7. $y=\frac{2}{3}x+1$

9. $y=2x$

11. $y=\frac{1}{5}x−5$

13. $y=−x+\frac{7}{15}$

15. $y=−\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$

17. $y=−2x$

19. $y=7$

Вправа$\PageIndex{11}$ Applications

Джо відстежує свої рахунки за стільниковий телефон протягом останніх двох місяців. Рахунок за перший місяць становив $$38.00$ за$100$ хвилини використання. Рахунок за другий місяць становив $$45.50$ за$150$ хвилини використання. Знайдіть лінійне рівняння, яке дає загальний щомісячний рахунок на основі протоколів використання.
Компанія в перший рік свого бізнесу випустила$150$ навчальні посібники загальною вартістю $$2,350$. У наступному році компанія випустила$50$ більше посібників вартістю $$1,450$. Використовуйте цю інформацію, щоб знайти лінійне рівняння, яке дає загальну вартість виготовлення навчальних посібників з кількості випущених посібників.
Фермер кукурудзи в Каліфорнії зміг виробляти$154$ бушелі кукурудзи на акр через 2 роки після початку своєї експлуатації. В даний час, після 7 років експлуатації, він збільшив свою врожайність до$164$ бушелів на акр. Використовуйте цю інформацію, щоб написати лінійне рівняння, яке дає загальну врожайність на акр на основі кількості років експлуатації, і використовувати його для прогнозування врожайності на наступний рік.
Вебмайстер помітив, що кількість зареєстрованих користувачів неухильно зростає з початку рекламної кампанії. Перш ніж почати рекламувати, у нього були$1,200$ зареєстровані користувачі, а через 3 місяці реклами у нього тепер$1,590$ зареєстровані користувачі. Використовуйте ці дані для написання лінійного рівняння, яке дає загальну кількість зареєстрованих користувачів, враховуючи кількість місяців після початку реклами. Використовуйте рівняння для прогнозування кількості користувачів 7 місяців в рекламній кампанії.
Автомобіль придбав нову вартість $$22,000$ і був проданий через 10 років за $$7,000$. Напишіть лінійне рівняння, яке дає значення автомобіля з точки зору його віку в роках.
Антикварний годинник був придбаний в 1985 році за $$1,500$ і проданий на аукціоні в 1997 році за $$5,700$. Визначте лінійне рівняння, яке моделює значення годинника в розрізі років з 1985 року.

Відповідь

1. вартість$=0.15x+23$

3. врожайність$=2x+150$;$166$ бушелі

5. значення$=−1,500x+22,000$

Вправа$\PageIndex{12}$ Discussion Board Topics

Обговоріть достоїнства і недоліки точково-похилої форми і$y$ -перехоплення форми.
Досліджуйте та обговоріть лінійну амортизацію. У лінійній моделі амортизації що представляють ухил і$y$ -перехоплення?

Відповідь: 1. Відповіді можуть відрізнятися