Processing math: 100%
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.7: Введення в функції

  • Anonymous
  • LibreTexts

Цілі навчання

  • Визначте функцію.
  • Вкажіть домен і діапазон функції.
  • Використовуйте позначення функцій.

Відносини, функції, домен та діапазон

Відносини між множинами трапляються часто в повсякденному житті. Наприклад, для кожного місяця на мисі Канаверал ми можемо пов'язати середню кількість опадів. При цьому кількість опадів залежить від місяця року, а дані можуть бути записані в табличній формі або у вигляді набору впорядкованих пар.

Місяць Опади Впорядковані пари
Січень 2.4 в (Січень, 2.4)
Лютий 3.3 в (Лютий, 3.3)
Березень 3.1 в (Березень, 3.1)
Квітень 2,0 в (Квітень, 2.0)
Травень 3.8 в (Травень, 3.8)
Червень 6.8 в (Червень, 6.8)
Липень 8,1 у (Липень, 8.1)
серпня 7.6 у (Серпень, 7.6)
Вересень 7.3 в (Вересень, 7.3)
Жовтень 4.1 в (Жовтень, 4.1)
Листопад 3.3 в (Листопад, 3.3)
Грудень 2.4 в (Грудень, 2.4)
Таблиця3.7.1

Ми визначаємо відношення як будь-який набір впорядкованих пар. Зазвичай ми записуємо незалежну складову відношення в першому стовпці і залежну складову в другому стовпці. У вступному прикладі зверніть увагу, що має сенс співвідносити середню кількість опадів як залежне від місяця року. Множина всіх елементів у першому стовпці відношення називається доменом. Набір всіх елементів, що складають другий стовпець, називається діапазоном. У цьому прикладі домен складається з набору всіх місяців року, а діапазон складається зі значень, які представляють середню кількість опадів за кожен місяць.

У контексті алгебри цікаві відносини є множинами впорядкованих пар(x,y) в прямокутній координатній площині. У цьому випадкуx -values визначають домен, аy -значення визначають діапазон. Особливий інтерес представляють відносини, де кожнеx -значення відповідає рівно одномуy -значенню; ці відносини називаються функціями.

Приклад3.7.1

Визначте область та діапазон наступного відношення та вкажіть, чи є вона функцією чи ні:

{(1,4),(0,7),(2,3),(3,3),(4,2)}

Рішення:

Тут відокремлюємо домен і діапазон і зображуємо відповідність значень стрілками.

Знімок екрана (634) .png

Малюнок3.7.1

Відповідь:

Домен є{1,0,2,3,4}, а діапазон -{2,3,4,7}. Відношення є функцією, оскільки кожнеx -значення відповідає рівно одномуy -значенню.

Приклад3.7.2

Визначте область та діапазон наступного відношення та вкажіть, чи є вона функцією чи ні:

{(4,3),(2,6),(0,3),(3,5),(3,7)}.

Рішення:

Знімок екрана (635) .png

Малюнок3.7.2

Відповідь:

Домен є{4,2,0,3}, а діапазон -{3,3,5,6,7}. Це відношення не є функцією, оскількиx -value3 має два відповіднихy -значення.

У попередньому прикладі відношення не є функцією, оскільки містить впорядковані пари з однаковимx -значенням,(3,5) і(3,7). Ми можемо розпізнати функції як відносини, де неx -значення повторюються.

В алгебрі рівняння, такі якy=34x2 визначають відносини. Це лінійне рівняння може бути побудовано наступним чином:

Знімок екрана (636) .png

Малюнок3.7.3

Графік є співвідношенням, оскільки він представляє нескінченну множину впорядкованих парних розв'язків доy=34x2. Домен являє собою набір всіхx -значень, і в даному випадку складається з усіх дійсних чисел. Діапазон являє собою набір всіх можливихy -значень, і в цьому випадку також складається з усіх дійсних чисел. Крім того, граф є функцією, оскільки для кожногоx -value існує лише одне відповіднеy значення. По суті, будь-яка невертикальна або негоризонтальна лінія - це функція з доменом і діапазоном, що складається з усіх дійсних чисел.

Будь-який графік являє собою набір впорядкованих пар і таким чином визначає відношення. Розглянемо наступний графік кола:

Знімок екрана (637) .png

Малюнок3.7.4

Тут графік представляє відношення, де багатоx -значень в області відповідають двом значенням y. Якщо ми намалюємо вертикальну лінію, як показано, ми можемо побачити, що(3,2) і(3,2) дві впорядковані пари з однаковимx -значенням. Томуx -value3 відповідає двомy -значенням; отже, графік не представляє функцію. Ілюстрація говорить про те, що якщо будь-яка вертикальна лінія перетинає графік більше одного разу, то граф не представляє функцію. Це називається тестом вертикальної лінії.

Приклад3.7.3

Враховуючи наступний графік, визначте область та діапазон та стан, чи є це функцією.

Знімок екрана (638) .png

Малюнок3.7.5

Рішення:

Задана форма називається параболою і поширюється на невизначений термін вліво і вправо, як зазначено стрілками. Це говорить про те, що якщо ми виберемо будь-якеx -значення, то ми зможемо знайти відповідну точку на графіку; отже, домен складається з усіх дійсних чисел. Крім того, графік показує, що1 це мінімальнеy -значення, і будь-якеy -значення більше, ніж це представлено у відношенні. Звідси діапазон складається з усіхy -значень більше або дорівнює1, або в інтервальних позначеннях,[1,).

Знімок екрана (639) .png

Малюнок3.7.6

Нарешті, будь-яка вертикальна лінія перетинає графік лише один раз; отже, це функція.

Відповідь:

Домен - це всі дійсні числаR=(,), а діапазон -[1,). Графік представляє функцію, оскільки він проходить тест вертикальної лінії.

Вправа3.7.1

Враховуючи графік, визначте область та діапазон та вкажіть, чи є це функція чи ні:

Скріншот (640) .png

Малюнок3.7.7

Відповідь

Домен:[4,); діапазон:(,); функція: немає

Позначення функцій та лінійні функції

З визначенням функції приходить спеціальне позначення. Якщо ми вважаємо коженx -value входом, який дає рівно один вихід, то ми можемо використовувати позначення

f(x)=y

Позначенняf(x) читається «fзx» і не слід плутати з множенням. Велика частина нашого вивчення алгебри передбачає функції, тому позначення стає дуже корисним при виконанні загальних завдань. Функції можуть бути названі різними літерами; деякі загальні імена функційg(x),h(x),C(x), іR(x). Спочатку розглянемо невертикальні лінії, які, як ми знаємо, можуть бути виражені за допомогою форми нахилу-перехоплення,y=mx+b. Для будь-яких дійсних чиселm іb рівняння визначає функцію, і ми можемоy замінити на нове позначенняf(x) наступним чином:

y=mx+b

f(x)=mx+b

Тому лінійна функція - це будь-яка функція, яку можна записати у виглядіf(x)=mx+b. Зокрема, ми можемо написати наступне:

Позначення також показує значення для оцінки в рівнянні. Якщо значення дляx задано як8, то ми знаємо, що ми можемо знайти відповіднеy -значення, підставивши8 в forx і спростивши. Використовуючи позначення функції, це позначаєтьсяf(8) і може бути інтерпретовано наступним чином:

Нарешті, спростіть:

У нас єf(8)=4. Це позначення говорить нам, що колиx=8 (вхід), функція призводить до4 (вихід).

Приклад3.7.4

Задано лінійну функціюf(x)=5x+7, знайдітьf(2).

Рішення:

У цьому випадкуf(2) вказує на те, що ми повинні оцінити, колиx=2.

f(x)=5x+7f(2)=5(2)+7Replacexwith2.=10+7=17

Відповідь:

f(2)=17

Приклад3.7.5

Задано лінійну функціюf(x)=5x+7, знайдітьx колиf(x)=10.

Рішення:

При цьомуf(x)=10 вказує на те, що функція повинна бути встановлена рівною10.

f(x)=5x+710=5x+7Replacef(x)with10.107=5x+77Solveforx.3=5x35=5x535=x

Відповідь:

Осьx=35, і ми можемо написатиf(35)=10.

Приклад3.7.6

З огляду на графік лінійної функціїg(x),

  1. Знайтиg(2).
  2. Знайтиx колиg(x)=3.

Знімок екрана (641) .png

Малюнок3.7.8

Рішення:

а Позначенняg(2) має на увазі, щоx=2. Використовуйте графік для визначення відповідногоy -значення.

Знімок екрана (642) .png

Малюнок3.7.9

б. позначенняg(x)=3 має на увазі, щоy значення -задається як3. Використовуйте графік для визначення відповідногоx -значення.

Знімок екрана (643) .png

Малюнок3.7.10

Відповідь:

  1. g(2)=1
  2. x=4

Приклад3.7.7

Графік лінійної функціїf(x)=53x+6 та стан області та діапазону.

Рішення:

З функції ми бачимо, щоb=6 і, таким чином,y -перехоплення є(0,6). Також ми можемо бачити, що схил єm=53=53=riserun. Починаючи зy -перехоплення, відзначте другу точку вниз5 одиниць і праві3 одиниці.

Знімок екрана (644) .png

Малюнок3.7.11

З огляду на будь-яку координату наx -осі, ми можемо знайти відповідну точку на графіку; область складається з усіх дійсних чисел. Крім того, для будь-якої координати наy -осі ми можемо знайти точку на графіку; діапазон складається з усіх дійсних чисел.

Відповідь:

І домен, і діапазон складаються з усіх дійсних чиселR.

Вправа3.7.2

З огляду на лінійну функціюg(x)=x+5,

  1. Знайтиg(12).
  2. Знайтиx колиg(x)=18.
Відповідь

а.g(12)=112

б.x=13

Ключові винос

  • Відношення - це будь-яка сукупність впорядкованих пар. Однак у контексті цього курсу ми будемо працювати з наборами впорядкованих пар(x,y) у прямокутній системі координат. Набірx -values визначає домен, а набірy -values визначає діапазон.
  • Спеціальні відносини, де кожнеx -значення (вхід) відповідає рівно одномуy -value (output), називаються функціями.
  • Ми можемо легко визначити, чи є рівняння функцією, виконавши тест вертикальної лінії на її графіку. Якщо будь-яка вертикальна лінія перетинає графік більше одного разу, то графік не представляє функцію. В цьому випадку буде більше однієї точки з однаковимx -значенням.
  • Будь-яка невертикальна або негоризонтальна лінія є функцією і може бути записана за допомогою позначення функціїf(x)=mx+b. І домен, і діапазон складаються з усіх дійсних чисел.
    • Якщо його попросять знайтиf(a), миa підставляємо змінну, а потім спростити.
    • Якщо його попросять знайтиf(x)=a,x коли, ми встановлюємо функцію рівну,a а потім вирішуємо дляx.

Вправа3.7.3 Functions

Для кожної проблеми, наведеної нижче, чи відповідає відповідність функції?

  1. Алгебра студентів до своїх балів на першому іспиті.
  2. Члени сім'ї до віку.
  3. Лабораторні комп'ютери своїм користувачам.
  4. Учні до шкіл, які вони відвідували.
  5. Люди до своїх громадянств.
  6. Місцеві підприємства до їх кількості працівників.
Відповідь

1. Так

3. Ні

5. Ні

Вправа3.7.4 Functions

Визначте домен та діапазон та вкажіть, чи є відношення функцією чи ні.

  1. {(3,2),(5,3),(7,4)}
  2. {(5,3),(0,0),(5,0)}
  3. {(10,2),(8,1),(8,0)}
  4. {(9,12),(6,6),(6,3)}

5.

Знімок екрана (645) .png

Малюнок3.7.12

6.

Знімок екрана (646) .png

Малюнок3.7.13

7.

Знімок екрана (647) .png

Рисунок3.7.1 4

8.

Знімок екрана (648) .png

Малюнок3.7.15

9.

Знімок екрана (649) .png

Малюнок3.7.16

10.

Знімок екрана (650) .png

Малюнок3.7.17

11.

Знімок екрана (651) .png

Малюнок3.7.18

12.

Знімок екрана (652) .png

Малюнок3.7.19

13.

Знімок екрана (653) .png

Малюнок3.7.20

14.

Знімок екрана (654) .png

Малюнок3.7.21

15.

Знімок екрана (655) .png

Малюнок3.7.22

16.

Знімок екрана (656) .png

Малюнок3.7.23

17.

Знімок екрана (657) .png

Малюнок3.7.24

18.

Знімок екрана (658) .png

Малюнок3.7.25

19.

Знімок екрана (659) .png

Малюнок3.7.26

20.

Скріншот (660) .png

Малюнок3.7.27

Відповідь

1. Домен:{3,5,7}; діапазон:{2,3,4}; функція: yes

3. Домен:{10,8}; діапазон:{0,1,2}; функція: немає

5. Домен:{4,1,2}; діапазон:{1,2,3}; функція: yes

7. Домен:{2,2}; діапазон:{2,3,5}; функція: немає

9. Домен:(,); діапазон:{2}; функція: yes

11. Домен:(,); діапазон:(,); функція: yes

13. Домен:[2,); діапазон:(,); функція: немає

15. Домен:[4,); діапазон:[0,); функція: yes

17. Домен:(,); діапазон:[0,); функція: yes

19. Домен:(,); діапазон:[2,); функція: yes

Вправа3.7.5 Function Notation

З огляду на наступні функції, знайдіть значення функції.

  1. f(x)=3x, знайтиf(2).
  2. f(x)=5x+1, знайтиf(1).
  3. f(x)=35x4, знайтиf(15).
  4. f(x)=25x15, знайтиf(3).
  5. f(x)=52x13, знайтиf(13).
  6. f(x)=6, знайтиf(7).
  7. g(x)=5, знайтиg(4).
  8. g(x)=5x, знайтиg(3).
  9. g(x)=18x+58, знайтиg(58).
  10. g(x)=53x5, знайтиg(3).
  11. f(x)=5x9, знайтиx колиf(x)=1.
  12. f(x)=7x+2, знайтиx колиf(x)=0.
  13. f(x)=75x2, знайтиx колиf(x)=9.
  14. f(x)=x4, знайтиx колиf(x)=12.
  15. g(x)=x, знайтиx колиg(x)=12.
  16. g(x)=x+1, знайтиx колиg(x)=23.
  17. g(x)=5x+13, знайтиx колиg(x)=12.
  18. g(x)=58x+3, знайтиx колиg(x)=3.
Відповідь

1. f(2)=6

3. f(15)=5

5. f(13)=76

7. g(4)=5

9. g(58)=3564

11. x=2

13. x=5

15. x=12

17. x=16

Вправа3.7.6 Function Notation

Наведеноf(x)=23x1 іg(x)=3x+2 обчислити наступне.

  1. f(6)
  2. f(12)
  3. f(0)
  4. f(1)
  5. g(23)
  6. g(0)
  7. g(1)
  8. g(12)
  9. Знайтиx колиf(x)=0.
  10. Знайтиx колиf(x)=3.
  11. Знайтиx колиg(x)=1.
  12. Знайтиx колиg(x)=0.
Відповідь

1. f(6)=3

3. f(0)=1

5. g(23)=0

7. g(1)=5

9. x=32

11. x=1

Вправа3.7.7 Function Notation

За заданим графіком знайдіть значення функції.

1. Дано графікf(x), знайдітьf(4),f(1),f(0), іf(2).

Знімок екрана (661) .png

Малюнок3.7.28

2. Дано графікg(x), знайдітьg(3),g(1),g(0), іg(1).

Знімок екрана (662) .png

Малюнок3.7.29

3. Дано графікf(x), знайдітьf(4),f(1),f(0), іf(2).

Знімок екрана (663) .png

Малюнок3.7.30

4. Дано графікg(x), знайтиg(4),g(1),g(0), іg(2).

Знімок екрана (664) .png

Малюнок3.7.31

5. Дано графікf(x), знайтиf(1),f(0),f(1), іf(3).

Знімок екрана (665) .png

Малюнок3.7.32

6. Дано графікg(x), знайтиg(2),g(0),g(2), іg(6).

Знімок екрана (666) .png

Малюнок3.7.33

7. Дано графікg(x), знайтиg(4),g(3),g(0), іg(4).

Знімок екрана (667) .png

Малюнок3.7.34

8. Дано графікf(x), знайдітьf(4),f(0),f(1), іf(3).

Знімок екрана (668) .png

Малюнок3.7.35

Відповідь

1. f(4)=3,f(1)=0,f(0)=1,іf(2)=3

3. f(4)=4,f(1)=4,f(0)=4,іf(2)=4

5. f(1)=1,f(0)=2,f(1)=3,іf(3)=1

7. g(4)=0,g(3)=1,g(0)=2,іg(4)=3

Вправа3.7.8 Function Notation

За заданим графіком знайдітьx -значення.

1. З огляду на графікf(x), знайдіть,x колиf(x)=3,f(x)=1, іf(x)=3.

Знімок екрана (669) .png

Малюнок3.7.36

2. З огляду на графікg(x), знайдіть,x колиg(x)=1,g(x)=0, іg(x)=1.

Знімок екрана (670) .png

Малюнок3.7.37

3. З огляду на графікf(x), знайдітьx колиf(x)=3.

Знімок екрана (671) .png

Малюнок3.7.38

4. З огляду на графікg(x), знайтиx колиg(x)=2,g(x)=0, іg(x)=4.

Знімок екрана (672) .png

Малюнок3.7.39

5. З огляду на графікf(x), знайтиx колиf(x)=16,f(x)=12, іf(x)=0.

Знімок екрана (673) .png

Малюнок3.7.40

6. З огляду на графікg(x), знайтиx колиg(x)=3,g(x)=0, іg(x)=1.

Знімок екрана (674) .png

Малюнок3.7.41

7. З огляду на графікf(x), знайтиx колиf(x)=4,f(x)=0, іf(x)=2.

Знімок екрана (675) .png

Малюнок3.7.42

8. З огляду на графікg(x), знайтиx колиg(x)=5,g(x)=3, іg(x)=2.

Знімок екрана (676) .png

Малюнок3.7.43

9. Вартість в доларах виробництва ручок з логотипом компанії задається функцієюC(x)=1.65x+120, деx знаходиться кількість вироблених ручок. Скористайтеся функцією розрахунку вартості виготовлення200 ручок.

10. Дохід в доларах від продажу футболок дається функцієюR(x)=29.95x, деx знаходиться кількість проданих сорочок. Використовуйте функцію для визначення доходу, якщо20 продаються толстовки.

11. Вартість нового автомобіля в доларах задається функцієюV(t)=2,500t+18,000, деt позначає вік автомобіля в роках. Використовуйте функцію для визначення вартості автомобіля, коли йому виповниться 5 років. Якою була вартість автомобіля при новому?

12. Щомісячний дохід в доларах введеного в експлуатацію продавця автомобілів дається функцієюI(n)=550n+1,250, деn представляє кількість проданих автомобілів за місяць. Використовуйте функцію для визначення щомісячного доходу продавця, якщо він продає3 автомобілі в цьому місяці. Який у нього дохід, якщо він не продає жодних машин за місяць?

13. Периметр рівнобедреного трикутника з підставою, що вимірює10 сантиметриP(x)=2x+10, задається функцією, деx представляє довжину кожної з рівних сторін. Знайдіть довжину кожної сторони, якщо периметр дорівнює40 сантиметрам.

14. Периметр квадрата залежить від довжини кожної сторониs і моделюється функцієюP(s)=4s. Якщо периметр квадрата вимірює140 метри, то скористайтеся функцією розрахунку довжини кожної сторони.

15. Певний план стільникового телефону стягує $18 на місяць і $0.10 за хвилину використання. Вартість плану моделюється функцієюC(x)=0.10x+18, деx відображається кількість хвилин використання на місяць. Визначте хвилини використання, якщо вартість за місяць склала $36.

16. Щомісячний дохід, отриманий від продажу підписок на навчальний веб-сайт, надається функцієюR(x)=29x,x де відображається кількість продажів передплати на місяць. Скільки підписок було продано, якщо виручка за місяць склала $1,508?

Відповідь

1. f(1)=3,f(0)=1,іf(2)=3

3. f(1)=3(відповіді можуть відрізнятися)

5. f(4)=16;f(6)=12 іf(2)=12;f(8)=0 іf(0)=0

7. f(4)=4іf(4)=4f(0)=0;f(2)=2 іf(2)=2

9. $450

11. Новий: $18,000; 5 років: $5,500

13. 15сантиметри

15. 180хвилин

Вправа3.7.9 Function Notation

Графік лінійної функції та стан області та діапазону.

  1. f(x)=52x+10
  2. f(x)=35x10
  3. g(x)=6x+2
  4. g(x)=4x+6
  5. h(t)=12t3
  6. h(t)=34t+3
  7. C(x)=100+50x
  8. C(x)=50+100x
Відповідь

1. Домен і діапазон:R

Знімок екрана (677) .png

Малюнок3.7.44

3. Домен і діапазон:R

Знімок екрана (678) .png

Малюнок3.7.45

5. Домен і діапазон:R

Знімок екрана (679) .png

Малюнок3.7.46

7. Домен і діапазон:R

Знімок екрана (680) .png

Малюнок3.7.47

Вправа3.7.10 Discussion Board Topics

  1. Чи є вертикальна лінія функцією? Що таке домен і діапазон вертикальної лінії?
  2. Чи є горизонтальна лінія функцією? Що таке домен і діапазон горизонтальної лінії?
  3. Придумайте власну відповідність між реальними наборами. Поясніть, чому він робить або не представляє функцію.
  4. Чи може функція мати більше одногоy -перехоплення? Поясніть.
Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися