3.7: Введення в функції
Цілі навчання
- Визначте функцію.
- Вкажіть домен і діапазон функції.
- Використовуйте позначення функцій.
Відносини, функції, домен та діапазон
Відносини між множинами трапляються часто в повсякденному житті. Наприклад, для кожного місяця на мисі Канаверал ми можемо пов'язати середню кількість опадів. При цьому кількість опадів залежить від місяця року, а дані можуть бути записані в табличній формі або у вигляді набору впорядкованих пар.
Місяць | Опади | Впорядковані пари |
---|---|---|
Січень | 2.4 в | (Січень, 2.4) |
Лютий | 3.3 в | (Лютий, 3.3) |
Березень | 3.1 в | (Березень, 3.1) |
Квітень | 2,0 в | (Квітень, 2.0) |
Травень | 3.8 в | (Травень, 3.8) |
Червень | 6.8 в | (Червень, 6.8) |
Липень | 8,1 у | (Липень, 8.1) |
серпня | 7.6 у | (Серпень, 7.6) |
Вересень | 7.3 в | (Вересень, 7.3) |
Жовтень | 4.1 в | (Жовтень, 4.1) |
Листопад | 3.3 в | (Листопад, 3.3) |
Грудень | 2.4 в | (Грудень, 2.4) |
Ми визначаємо відношення як будь-який набір впорядкованих пар. Зазвичай ми записуємо незалежну складову відношення в першому стовпці і залежну складову в другому стовпці. У вступному прикладі зверніть увагу, що має сенс співвідносити середню кількість опадів як залежне від місяця року. Множина всіх елементів у першому стовпці відношення називається доменом. Набір всіх елементів, що складають другий стовпець, називається діапазоном. У цьому прикладі домен складається з набору всіх місяців року, а діапазон складається зі значень, які представляють середню кількість опадів за кожен місяць.
У контексті алгебри цікаві відносини є множинами впорядкованих пар(x,y) в прямокутній координатній площині. У цьому випадкуx -values визначають домен, аy -значення визначають діапазон. Особливий інтерес представляють відносини, де кожнеx -значення відповідає рівно одномуy -значенню; ці відносини називаються функціями.
Приклад3.7.1
Визначте область та діапазон наступного відношення та вкажіть, чи є вона функцією чи ні:
{(−1,4),(0,7),(2,3),(3,3),(4,−2)}
Рішення:
Тут відокремлюємо домен і діапазон і зображуємо відповідність значень стрілками.
Малюнок3.7.1
Відповідь:
Домен є{−1,0,2,3,4}, а діапазон -{−2,3,4,7}. Відношення є функцією, оскільки кожнеx -значення відповідає рівно одномуy -значенню.
Приклад3.7.2
Визначте область та діапазон наступного відношення та вкажіть, чи є вона функцією чи ні:
{(−4,−3),(−2,6),(0,3),(3,5),(3,7)}.
Рішення:
Малюнок3.7.2
Відповідь:
Домен є{−4,−2,0,3}, а діапазон -{−3,3,5,6,7}. Це відношення не є функцією, оскількиx -value3 має два відповіднихy -значення.
У попередньому прикладі відношення не є функцією, оскільки містить впорядковані пари з однаковимx -значенням,(3,5) і(3,7). Ми можемо розпізнати функції як відносини, де неx -значення повторюються.
В алгебрі рівняння, такі якy=34x−2 визначають відносини. Це лінійне рівняння може бути побудовано наступним чином:
Малюнок3.7.3
Графік є співвідношенням, оскільки він представляє нескінченну множину впорядкованих парних розв'язків доy=34x−2. Домен являє собою набір всіхx -значень, і в даному випадку складається з усіх дійсних чисел. Діапазон являє собою набір всіх можливихy -значень, і в цьому випадку також складається з усіх дійсних чисел. Крім того, граф є функцією, оскільки для кожногоx -value існує лише одне відповіднеy значення. По суті, будь-яка невертикальна або негоризонтальна лінія - це функція з доменом і діапазоном, що складається з усіх дійсних чисел.
Будь-який графік являє собою набір впорядкованих пар і таким чином визначає відношення. Розглянемо наступний графік кола:
Малюнок3.7.4
Тут графік представляє відношення, де багатоx -значень в області відповідають двом значенням y. Якщо ми намалюємо вертикальну лінію, як показано, ми можемо побачити, що(3,2) і(3,−2) дві впорядковані пари з однаковимx -значенням. Томуx -value3 відповідає двомy -значенням; отже, графік не представляє функцію. Ілюстрація говорить про те, що якщо будь-яка вертикальна лінія перетинає графік більше одного разу, то граф не представляє функцію. Це називається тестом вертикальної лінії.
Приклад3.7.3
Враховуючи наступний графік, визначте область та діапазон та стан, чи є це функцією.
Малюнок3.7.5
Рішення:
Задана форма називається параболою і поширюється на невизначений термін вліво і вправо, як зазначено стрілками. Це говорить про те, що якщо ми виберемо будь-якеx -значення, то ми зможемо знайти відповідну точку на графіку; отже, домен складається з усіх дійсних чисел. Крім того, графік показує, що−1 це мінімальнеy -значення, і будь-якеy -значення більше, ніж це представлено у відношенні. Звідси діапазон складається з усіхy -значень більше або дорівнює−1, або в інтервальних позначеннях,[−1,∞).
Малюнок3.7.6
Нарешті, будь-яка вертикальна лінія перетинає графік лише один раз; отже, це функція.
Відповідь:
Домен - це всі дійсні числаR=(−∞,∞), а діапазон -[−1,∞). Графік представляє функцію, оскільки він проходить тест вертикальної лінії.
Вправа3.7.1
Враховуючи графік, визначте область та діапазон та вкажіть, чи є це функція чи ні:
Малюнок3.7.7
- Відповідь
-
Домен:[−4,∞); діапазон:(−∞,∞); функція: немає
Позначення функцій та лінійні функції
З визначенням функції приходить спеціальне позначення. Якщо ми вважаємо коженx -value входом, який дає рівно один вихід, то ми можемо використовувати позначення
f(x)=y
Позначенняf(x) читається «fзx» і не слід плутати з множенням. Велика частина нашого вивчення алгебри передбачає функції, тому позначення стає дуже корисним при виконанні загальних завдань. Функції можуть бути названі різними літерами; деякі загальні імена функційg(x),h(x),C(x), іR(x). Спочатку розглянемо невертикальні лінії, які, як ми знаємо, можуть бути виражені за допомогою форми нахилу-перехоплення,y=mx+b. Для будь-яких дійсних чиселm іb рівняння визначає функцію, і ми можемоy замінити на нове позначенняf(x) наступним чином:
y=mx+b
f(x)=mx+b
Тому лінійна функція - це будь-яка функція, яку можна записати у виглядіf(x)=mx+b. Зокрема, ми можемо написати наступне:
Позначення також показує значення для оцінки в рівнянні. Якщо значення дляx задано як8, то ми знаємо, що ми можемо знайти відповіднеy -значення, підставивши8 в forx і спростивши. Використовуючи позначення функції, це позначаєтьсяf(8) і може бути інтерпретовано наступним чином:
Нарешті, спростіть:
У нас єf(8)=4. Це позначення говорить нам, що колиx=8 (вхід), функція призводить до4 (вихід).
Приклад3.7.4
Задано лінійну функціюf(x)=−5x+7, знайдітьf(−2).
Рішення:
У цьому випадкуf(−2) вказує на те, що ми повинні оцінити, колиx=−2.
f(x)=−5x+7f(−2)=−5(−2)+7Replacexwith−2.=10+7=17
Відповідь:
f(−2)=17
Приклад3.7.5
Задано лінійну функціюf(x)=−5x+7, знайдітьx колиf(x)=10.
Рішення:
При цьомуf(x)=10 вказує на те, що функція повинна бути встановлена рівною10.
f(x)=−5x+710=−5x+7Replacef(x)with10.10−7=−5x+7−7Solveforx.3=−5x3−5=−5x−5−35=x
Відповідь:
Осьx=−35, і ми можемо написатиf(−35)=10.
Приклад3.7.6
З огляду на графік лінійної функціїg(x),
- Знайтиg(2).
- Знайтиx колиg(x)=3.
Малюнок3.7.8
Рішення:
а Позначенняg(2) має на увазі, щоx=2. Використовуйте графік для визначення відповідногоy -значення.
Малюнок3.7.9
б. позначенняg(x)=3 має на увазі, щоy значення -задається як3. Використовуйте графік для визначення відповідногоx -значення.
Малюнок3.7.10
Відповідь:
- g(2)=1
- x=4
Приклад3.7.7
Графік лінійної функціїf(x)=−53x+6 та стан області та діапазону.
Рішення:
З функції ми бачимо, щоb=6 і, таким чином,y -перехоплення є(0,6). Також ми можемо бачити, що схил єm=−53=−53=riserun. Починаючи зy -перехоплення, відзначте другу точку вниз5 одиниць і праві3 одиниці.
Малюнок3.7.11
З огляду на будь-яку координату наx -осі, ми можемо знайти відповідну точку на графіку; область складається з усіх дійсних чисел. Крім того, для будь-якої координати наy -осі ми можемо знайти точку на графіку; діапазон складається з усіх дійсних чисел.
Відповідь:
І домен, і діапазон складаються з усіх дійсних чиселR.
Вправа3.7.2
З огляду на лінійну функціюg(x)=−x+5,
- Знайтиg(−12).
- Знайтиx колиg(x)=18.
- Відповідь
-
а.g(−12)=112
б.x=−13
Ключові винос
- Відношення - це будь-яка сукупність впорядкованих пар. Однак у контексті цього курсу ми будемо працювати з наборами впорядкованих пар(x,y) у прямокутній системі координат. Набірx -values визначає домен, а набірy -values визначає діапазон.
- Спеціальні відносини, де кожнеx -значення (вхід) відповідає рівно одномуy -value (output), називаються функціями.
- Ми можемо легко визначити, чи є рівняння функцією, виконавши тест вертикальної лінії на її графіку. Якщо будь-яка вертикальна лінія перетинає графік більше одного разу, то графік не представляє функцію. В цьому випадку буде більше однієї точки з однаковимx -значенням.
- Будь-яка невертикальна або негоризонтальна лінія є функцією і може бути записана за допомогою позначення функціїf(x)=mx+b. І домен, і діапазон складаються з усіх дійсних чисел.
- Якщо його попросять знайтиf(a), миa підставляємо змінну, а потім спростити.
- Якщо його попросять знайтиf(x)=a,x коли, ми встановлюємо функцію рівну,a а потім вирішуємо дляx.
Вправа3.7.3 Functions
Для кожної проблеми, наведеної нижче, чи відповідає відповідність функції?
- Алгебра студентів до своїх балів на першому іспиті.
- Члени сім'ї до віку.
- Лабораторні комп'ютери своїм користувачам.
- Учні до шкіл, які вони відвідували.
- Люди до своїх громадянств.
- Місцеві підприємства до їх кількості працівників.
- Відповідь
-
1. Так
3. Ні
5. Ні
Вправа3.7.4 Functions
Визначте домен та діапазон та вкажіть, чи є відношення функцією чи ні.
- {(3,2),(5,3),(7,4)}
- {(−5,−3),(0,0),(5,0)}
- {(−10,2),(−8,1),(−8,0)}
- {(9,12),(6,6),(6,3)}
5.
Малюнок3.7.12
6.
Малюнок3.7.13
7.
Рисунок3.7.1 4
8.
Малюнок3.7.15
9.
Малюнок3.7.16
10.
Малюнок3.7.17
11.
Малюнок3.7.18
12.
Малюнок3.7.19
13.
Малюнок3.7.20
14.
Малюнок3.7.21
15.
Малюнок3.7.22
16.
Малюнок3.7.23
17.
Малюнок3.7.24
18.
Малюнок3.7.25
19.
Малюнок3.7.26
20.
Малюнок3.7.27
- Відповідь
-
1. Домен:{3,5,7}; діапазон:{2,3,4}; функція: yes
3. Домен:{−10,−8}; діапазон:{0,1,2}; функція: немає
5. Домен:{−4,−1,2}; діапазон:{1,2,3}; функція: yes
7. Домен:{−2,2}; діапазон:{2,3,5}; функція: немає
9. Домен:(−∞,∞); діапазон:{2}; функція: yes
11. Домен:(−∞,∞); діапазон:(−∞,∞); функція: yes
13. Домен:[−2,∞); діапазон:(−∞,∞); функція: немає
15. Домен:[−4,∞); діапазон:[0,∞); функція: yes
17. Домен:(−∞,∞); діапазон:[0,∞); функція: yes
19. Домен:(−∞,∞); діапазон:[2,∞); функція: yes
Вправа3.7.5 Function Notation
З огляду на наступні функції, знайдіть значення функції.
- f(x)=3x, знайтиf(−2).
- f(x)=−5x+1, знайтиf(−1).
- f(x)=35x−4, знайтиf(15).
- f(x)=25x−15, знайтиf(3).
- f(x)=52x−13, знайтиf(−13).
- f(x)=−6, знайтиf(7).
- g(x)=5, знайтиg(−4).
- g(x)=−5x, знайтиg(−3).
- g(x)=−18x+58, знайтиg(58).
- g(x)=53x−5, знайтиg(3).
- f(x)=5x−9, знайтиx колиf(x)=1.
- f(x)=−7x+2, знайтиx колиf(x)=0.
- f(x)=−75x−2, знайтиx колиf(x)=−9.
- f(x)=−x−4, знайтиx колиf(x)=12.
- g(x)=x, знайтиx колиg(x)=12.
- g(x)=−x+1, знайтиx колиg(x)=23.
- g(x)=−5x+13, знайтиx колиg(x)=−12.
- g(x)=−58x+3, знайтиx колиg(x)=3.
- Відповідь
-
1. f(−2)=−6
3. f(15)=5
5. f(−13)=−76
7. g(−4)=5
9. g(58)=3564
11. x=2
13. x=5
15. x=12
17. x=16
Вправа3.7.6 Function Notation
Наведеноf(x)=23x−1 іg(x)=−3x+2 обчислити наступне.
- f(6)
- f(−12)
- f(0)
- f(1)
- g(23)
- g(0)
- g(−1)
- g(−12)
- Знайтиx колиf(x)=0.
- Знайтиx колиf(x)=−3.
- Знайтиx колиg(x)=−1.
- Знайтиx колиg(x)=0.
- Відповідь
-
1. f(6)=3
3. f(0)=−1
5. g(23)=0
7. g(−1)=5
9. x=32
11. x=1
Вправа3.7.7 Function Notation
За заданим графіком знайдіть значення функції.
1. Дано графікf(x), знайдітьf(−4),f(−1),f(0), іf(2).
Малюнок3.7.28
2. Дано графікg(x), знайдітьg(−3),g(−1),g(0), іg(1).
Малюнок3.7.29
3. Дано графікf(x), знайдітьf(−4),f(−1),f(0), іf(2).
Малюнок3.7.30
4. Дано графікg(x), знайтиg(−4),g(−1),g(0), іg(2).
Малюнок3.7.31
5. Дано графікf(x), знайтиf(−1),f(0),f(1), іf(3).
Малюнок3.7.32
6. Дано графікg(x), знайтиg(−2),g(0),g(2), іg(6).
Малюнок3.7.33
7. Дано графікg(x), знайтиg(−4),g(−3),g(0), іg(4).
Малюнок3.7.34
8. Дано графікf(x), знайдітьf(−4),f(0),f(1), іf(3).
Малюнок3.7.35
- Відповідь
-
1. f(−4)=−3,f(−1)=0,f(0)=1,іf(2)=3
3. f(−4)=−4,f(−1)=−4,f(0)=−4,іf(2)=−4
5. f(−1)=1,f(0)=−2,f(1)=−3,іf(3)=1
7. g(−4)=0,g(−3)=1,g(0)=2,іg(4)=3
Вправа3.7.8 Function Notation
За заданим графіком знайдітьx -значення.
1. З огляду на графікf(x), знайдіть,x колиf(x)=3,f(x)=1, іf(x)=−3.
Малюнок3.7.36
2. З огляду на графікg(x), знайдіть,x колиg(x)=−1,g(x)=0, іg(x)=1.
Малюнок3.7.37
3. З огляду на графікf(x), знайдітьx колиf(x)=3.
Малюнок3.7.38
4. З огляду на графікg(x), знайтиx колиg(x)=−2,g(x)=0, іg(x)=4.
Малюнок3.7.39
5. З огляду на графікf(x), знайтиx колиf(x)=−16,f(x)=−12, іf(x)=0.
Малюнок3.7.40
6. З огляду на графікg(x), знайтиx колиg(x)=−3,g(x)=0, іg(x)=1.
Малюнок3.7.41
7. З огляду на графікf(x), знайтиx колиf(x)=−4,f(x)=0, іf(x)=−2.
Малюнок3.7.42
8. З огляду на графікg(x), знайтиx колиg(x)=5,g(x)=3, іg(x)=2.
Малюнок3.7.43
9. Вартість в доларах виробництва ручок з логотипом компанії задається функцієюC(x)=1.65x+120, деx знаходиться кількість вироблених ручок. Скористайтеся функцією розрахунку вартості виготовлення200 ручок.
10. Дохід в доларах від продажу футболок дається функцієюR(x)=29.95x, деx знаходиться кількість проданих сорочок. Використовуйте функцію для визначення доходу, якщо20 продаються толстовки.
11. Вартість нового автомобіля в доларах задається функцієюV(t)=−2,500t+18,000, деt позначає вік автомобіля в роках. Використовуйте функцію для визначення вартості автомобіля, коли йому виповниться 5 років. Якою була вартість автомобіля при новому?
12. Щомісячний дохід в доларах введеного в експлуатацію продавця автомобілів дається функцієюI(n)=550n+1,250, деn представляє кількість проданих автомобілів за місяць. Використовуйте функцію для визначення щомісячного доходу продавця, якщо він продає3 автомобілі в цьому місяці. Який у нього дохід, якщо він не продає жодних машин за місяць?
13. Периметр рівнобедреного трикутника з підставою, що вимірює10 сантиметриP(x)=2x+10, задається функцією, деx представляє довжину кожної з рівних сторін. Знайдіть довжину кожної сторони, якщо периметр дорівнює40 сантиметрам.
14. Периметр квадрата залежить від довжини кожної сторониs і моделюється функцієюP(s)=4s. Якщо периметр квадрата вимірює140 метри, то скористайтеся функцією розрахунку довжини кожної сторони.
15. Певний план стільникового телефону стягує $18 на місяць і $0.10 за хвилину використання. Вартість плану моделюється функцієюC(x)=0.10x+18, деx відображається кількість хвилин використання на місяць. Визначте хвилини використання, якщо вартість за місяць склала $36.
16. Щомісячний дохід, отриманий від продажу підписок на навчальний веб-сайт, надається функцієюR(x)=29x,x де відображається кількість продажів передплати на місяць. Скільки підписок було продано, якщо виручка за місяць склала $1,508?
- Відповідь
-
1. f(−1)=3,f(0)=1,іf(2)=−3
3. f(1)=3(відповіді можуть відрізнятися)
5. f(−4)=−16;f(−6)=−12 іf(−2)=−12;f(−8)=0 іf(0)=0
7. f(−4)=−4іf(4)=−4f(0)=0;f(−2)=−2 іf(2)=−2
9. $450
11. Новий: $18,000; 5 років: $5,500
13. 15сантиметри
15. 180хвилин
Вправа3.7.9 Function Notation
Графік лінійної функції та стан області та діапазону.
- f(x)=−52x+10
- f(x)=35x−10
- g(x)=6x+2
- g(x)=−4x+6
- h(t)=12t−3
- h(t)=−34t+3
- C(x)=100+50x
- C(x)=50+100x
- Відповідь
-
1. Домен і діапазон:R
Малюнок3.7.44
3. Домен і діапазон:R
Малюнок3.7.45
5. Домен і діапазон:R
Малюнок3.7.46
7. Домен і діапазон:R
Малюнок3.7.47
Вправа3.7.10 Discussion Board Topics
- Чи є вертикальна лінія функцією? Що таке домен і діапазон вертикальної лінії?
- Чи є горизонтальна лінія функцією? Що таке домен і діапазон горизонтальної лінії?
- Придумайте власну відповідність між реальними наборами. Поясніть, чому він робить або не представляє функцію.
- Чи може функція мати більше одногоy -перехоплення? Поясніть.
- Відповідь
-
1. Відповіді можуть відрізнятися
3. Відповіді можуть відрізнятися