3.6: паралельні та перпендикулярні лінії

Цілі навчання

• Визначте ухили паралельних і перпендикулярних ліній.
• Знайти рівняння паралельних і перпендикулярних ліній

Визначення паралельних і перпендикулярних

Паралельні лінії - це лінії в одній площині, які ніколи не перетинаються. Дві невертикальні лінії в одній площині, з нахилами$m_{1}$ і$m_{2}$, паралельні, якщо їх нахили однакові,$m_{1}=m_{2}$. Розглянемо наступні два рядки:

Розглянемо відповідні їм графіки:

Малюнок$\PageIndex{1}$

Обидві лінії мають нахил$m=\frac{3}{4}$ і, таким чином, паралельні.

Перпендикулярні лінії - це лінії в одній площині, які перетинаються під прямим кутом ($90$градусами). Дві невертикальні лінії в одній площині, з ухилами$m_{1}$ і$m_{2}$, перпендикулярні, якщо добуток їх нахилів є$−1: m1⋅m2=−1$. Ми можемо вирішити за$m_{1}$ і отримати$m_{1}=\frac{−1}{m_{2}}$. У такому вигляді ми бачимо, що перпендикулярні лінії мають нахили, які є негативними зворотними, або протилежними зворотними. Наприклад, якщо дано ухил

$m=-\frac{5}{8}$

то нахил перпендикулярної лінії протилежний взаємний:

$m_{\perp}=\frac{8}{5}$

Математичне позначення$m_{⊥}$ читається «$m$перпендикулярно». Ми можемо переконатися, що два укоси виробляють перпендикулярні лінії, якщо їх продукт є$−1$.

$m\cdot m_{\perp}=-\frac{5}{8}\cdot\frac{8}{5}=-\frac{40}{40}=-1\quad\color{Cerulean}{\checkmark}$

Геометрично зауважимо, що якщо лінія має позитивний нахил, то будь-яка перпендикулярна лінія матиме негативний нахил. Крім того, підйом і пробіг між двома перпендикулярними лініями змінюються місцями.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Перпендикулярні лінії мають нахили, протилежні взаємно, тому не забудьте знайти зворотний і змінити знак. Іншими словами,

Якщо$m=\frac{a}{b}$, то$m_{\perp}=-\frac{b}{a}$

Визначення нахилу перпендикулярної лінії можна виконати подумки. Нижче наведено кілька прикладів

Таблиця$\PageIndex{1}$

Заданий ухил	Ухил перпендикулярної лінії
$m=\frac{1}{2}$	$m_{\perp}=-2$
$m=-\frac{3}{4}$	$m_{\perp}=\frac{4}{3}$
$m=3$	$m_{\perp}=-\frac{1}{3}$
$m=-4$	$m_{\perp}=\frac{1}{4}$

Приклад$\PageIndex{1}$

Визначте нахил прямої паралельної$y=−5x+3$.

Рішення:

Оскільки дана лінія знаходиться в ухилі-перехоплення формі, ми можемо побачити, що її нахил є$m=−5$. При цьому нахил будь-якої лінії, паралельної даній лінії, повинен бути однаковим,$m_{∥}=−5$. Математичне позначення$m_{∥}$ говорить «$m$паралельно».

Відповідь:

$m_{∥}=−5$

Приклад$\PageIndex{2}$

Визначте нахил лінії перпендикулярно до$3x−7y=21$.

Рішення:

По-перше, вирішити для$y$ і висловити лінію у формі нахилу перехоплення.

У такому вигляді ми можемо бачити, що нахил даної лінії є$m=\frac{3}{7}$, і таким чином$m_{⊥}=−\frac{7}{3}$.

Відповідь:

$m_{⊥}=−\frac{7}{3}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайдіть нахил лінії перпендикулярно$15x+5y=20$.

Відповідь

$m_{\perp}=\frac{1}{3}$

Пошук рівнянь паралельних і перпендикулярних ліній

Ми бачили, що графік прямої повністю визначається двома точками або однією точкою та її нахилом. Часто вас попросять знайти рівняння прямої з певним геометричним співвідношенням, наприклад, чи є лінія паралельною або перпендикулярною іншій лінії.

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайти рівняння прямої, що проходить$(6, −1)$ і паралельно$y=\frac{1}{2}x+2$

Рішення

Тут дана лінія має нахил$m=\frac{1}{2}$, а нахил прямої паралельної дорівнює$m_{∥}=\frac{1}{2}$. Оскільки вам дано точку та нахил, використовуйте точку-нахил форми прямої для визначення рівняння.

$\begin{array}{cc}{\color{Cerulean}{Point}}&{\color{Cerulean}{Slope}}\\{(6,-1)}&{m_{\parallel}=\frac{1}{2}} \end{array}$

Відповідь:

$y=\frac{1}{2}x-4$

Важливо мати геометричне розуміння цього питання. Нас попросили знайти рівняння прямої, паралельної іншій лінії, що проходить через певну точку.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Через точку$(6, −1)$ ми знайшли паралельну лінію$y=\frac{1}{2}x−4$, показану пунктирною. Зверніть увагу, що нахил такий же, як і дана лінія, але$y$ -перехоплення відрізняється. Якщо мати на увазі геометричну інтерпретацію, то легше буде запам'ятати процес, необхідний для вирішення проблеми.

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайти рівняння прямої, що проходить через$(−1, −5)$ і перпендикулярно до$y=−\frac{1}{4}x+2$.

Рішення:

Дана лінія має нахил$m=−\frac{1}{4}$, і таким чином$m_{⊥}=+\frac{4}{1}=4$. Заставте цей нахил і задану точку в точку-нахил форми.

$\begin{array}{cc} {\color{Cerulean}{Point}}&{\color{Cerulean}{Slope}}\\{(-1,-5)}&{m_{\perp}=4}\end{array}$

Відповідь:

$y=4x-1$

Геометрично ми бачимо, що лінія$y=4x−1$, показана пунктирним нижче, проходить наскрізь$(−1, −5)$ і перпендикулярна заданій лінії.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Не завжди так, що дана лінія знаходиться в ухилі-перехоплення формі. Часто доводиться виконувати додаткові кроки для визначення ухилу. Загальні кроки знаходження рівняння прямої викладені в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{5}$

Знайти рівняння прямої, що проходить через$(8, −2)$ і перпендикулярно до$6x+3y=1$.

Рішення:

Крок 1: Знайдіть нахил$m$. Спочатку знайдіть нахил заданої лінії. Для цього вирішуйте$y$ для зміни стандартної форми на ухил-перехоплення форми,$y=mx+b$.

$\begin{aligned} 6x+3y&=1 \\ 6x+3y\color{Cerulean}{-6x}&=1\color{Cerulean}{-6x} \\ 3y&=-6x+1 \\ \frac{3y}{\color{Cerulean}{3}}&=\frac{-6x+1}{\color{Cerulean}{3}} \\ y&=\frac{-6x}{3}+\frac{1}{3}\\y&=-2x+\frac{1}{3} \end{aligned}$

У такому вигляді можна побачити, що нахил є$m=−2=−\frac{2}{1}$, і таким чином$m_{⊥}=\frac{−1}{−2}=+\frac{1}{2}$.

Крок 2: Замініть знайдений нахил та задану точку у форму рівняння точки-нахилу для прямої. При цьому нахил є$m_{⊥}=\frac{1}{2}$ і задана точка є$(8, −2)$.

$\begin{aligned} y-y_{1}&=m(x-x_{1}) \\ y-(-2)&=\frac{1}{2}(x-8) \end{aligned}$

Крок 3: Вирішіть для$y$.

Відповідь:

$y=\frac{1}{2}x−6$

Приклад$\PageIndex{6}$

Знайти рівняння прямої, що проходить через$(\frac{7}{2}, 1)$ і паралельно$2x+14y=7$.

Рішення:

Знайдіть нахил,$m$ вирішивши для$y$.

$\begin{aligned} 2x+14y&=7 \\ 2x+14y\color{Cerulean}{-2x}&=7\color{Cerulean}{-2x} \\ 14y&=-2x+7 \\ \frac{14y}{\color{Cerulean}{14}}&=\frac{-2x+7}{\color{Cerulean}{14}} \\ y&=\frac{-2x}{14}+\frac{7}{14} \\ y&=-\frac{1}{7}x+\frac{1}{2} \end{aligned}$

Дана лінія має нахил$m=−\frac{1}{7}$, і т$m_{∥}=−\frac{1}{7}$. Використовуємо це і точку$(\frac{7}{2}, 1)$ в точково-нахиленій формі.

$\begin{aligned} y-y_{1}&=m(x-x_{1}) \\ y-1&=-\frac{1}{7}\left(x-\frac{7}{2} \right) \\ y-1&=-\frac{1}{7}x+\frac{1}{2} \\ y-1\color{Cerulean}{+1}&=-\frac{1}{7}x+\frac{1}{2}\color{Cerulean}{+1} \\ y&=-\frac{1}{7}x+\frac{1}{2}+\color{Cerulean}{\frac{2}{2}} \\ y&=-\frac{1}{7}x+\frac{3}{2} \end{aligned}$

Відповідь:

$y=-\frac{1}{7}x+\frac{3}{2}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Знайдіть рівняння прямої перпендикулярної$x−3y=9$ і проходить через неї$(−\frac{1}{2}, 2)$.

Відповідь

$y=-3x+\frac{1}{2}$

При знаходженні рівняння прямої, перпендикулярної горизонтальній або вертикальній лінії, найкраще розглянути геометричну інтерпретацію.

Приклад$\PageIndex{7}$

Знайти рівняння прямої, що проходить через$(−3, −2)$ і перпендикулярно до$y=4$.

Рішення:

Ми визнаємо, що$y=4$ це горизонтальна лінія, і ми хочемо знайти перпендикулярну лінію, що проходить через$(−3, −2)$.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Якщо провести лінію перпендикулярно заданій горизонтальній лінії, то в результаті вийде вертикальна лінія.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Рівняння вертикальних ліній виглядають так$x=k$. Оскільки він повинен пройти$(−3, −2)$, робимо висновок, що$x=−3$ це рівняння. Усі впорядковані парні рішення вертикальної лінії повинні мати однакову$x$ -координату.

Відповідь:

$x=−3$

Ми можемо переписати рівняння будь-якої горизонтальної лінії$y=k$, у вигляді нахилу-перехоплення наступним чином:

$y=0x+k$

Написано в такому вигляді, ми бачимо, що нахил є$m=0=\frac{0}{1}$. Якщо ми спробуємо знайти нахил перпендикулярної лінії, знайшовши протилежну взаємну, ми зіткнемося з проблемою:$m_{⊥}=−\frac{1}{0}$, яка не визначена. Ось чому ми подбали про обмеження визначення двома невертикальними лініями. Пам'ятайте, що горизонтальні лінії розташовуються перпендикулярно вертикальним лініям.

Ключові винос

• Паралельні лінії мають однаковий нахил.
• Перпендикулярні лінії мають нахили, протилежні взаємно. Іншими словами, якщо$m=\frac{a}{b}$, то$m_{⊥}=−\frac{b}{a}$.
• Щоб знайти рівняння прямої, спочатку використовуйте задану інформацію для визначення нахилу. Потім використовуйте нахил і точку на лінії, щоб знайти рівняння, використовуючи форму точка-нахил.
• Горизонтальні і вертикальні лінії розташовуються перпендикулярно один одному.

Вправа$\PageIndex{3}$ Parallel and Perpendicular Lines

Визначте нахил паралельних ліній і перпендикулярних ліній.

1. $y=−\frac{3}{4}x+8$
2. $y=\frac{1}{2}x−3$
3. $y=4x+4$
4. $y=−3x+7$
5. $y=−\frac{5}{8}x−12$
6. $y=\frac{7}{3}x+\frac{3}{2}$
7. $y=9x−25$
8. $y=−10x+15$
9. $y=5$
10. $x=−12$
11. $x−y=0$
12. $x+y=0$
13. $4x+3y=0$
14. $3x−5y=10$
15. $−2x+7y=14$
16. $−x−y=\frac{1}{5}$
17. $\frac{1}{2}x−\frac{1}{3}y=−1$
18. $−\frac{2}{3}x+\frac{4}{5}y=8$
19. $2x−\frac{1}{5}y=\frac{1}{10}$
20. $−\frac{4}{5}x−2y=7$

Відповідь

1. $m_{∥}=−\frac{3}{4}$і$m_{⊥}=\frac{4}{3}$

3. $m_{∥}=4$і$m_{⊥}=−\frac{1}{4}$

5. $m_{∥}=−\frac{5}{8}$і$m_{⊥}=\frac{8}{5}$

7. $m_{∥}=9$і$m_{⊥}=−\frac{1}{9}$

9. $m_{∥}=0$і$m_{⊥}$ невизначено

11. $m_{∥}=1$і$m_{⊥}=−1$

13. $m_{∥}=−\frac{4}{3}$і$m_{⊥}=\frac{3}{4}$

15. $m_{∥}=\frac{2}{7}$і$m_{⊥}=−\frac{7}{2}$

17. $m_{∥}=\frac{3}{2}$і$m_{⊥}=−\frac{2}{3}$

19. $m_{∥}=10$і$m_{⊥}=−\frac{1}{10}$

Вправа$\PageIndex{4}$ Parallel and Perpendicular Lines

Визначте, чи є лінії паралельними, перпендикулярними чи ні.

1. $\left\{\begin{aligned}y&=\frac{2}{3}x+3\\y&=\frac{2}{3}x−3\end{aligned}\right.$
2. $\left\{\begin{aligned}y&=\frac{3}{4}x−1\\y&=\frac{4}{3}x+3\end{aligned}\right.$
3. $\left\{\begin{aligned}y&=−2x+1\\ y&=\frac{1}{2}x+8\end{aligned}\right.$
4. $\left\{\begin{aligned}y&=3x−\frac{1}{2}\\ y&=3x+2\end{aligned}\right.$
5. $\left\{\begin{aligned}y&=5\\x&=−2\end{aligned}\right.$
6. $\left\{\begin{aligned}y&=7\\y&=−\frac{1}{7}\end{aligned}\right.$
7. $\left\{\begin{aligned}3x−5y&=15\\ 5x+3y&=9\end{aligned}\right.$
8. $\left\{\begin{aligned}x−y&=7\\3x+3y&=2\end{aligned}\right.$
9. $\left\{\begin{aligned}2x−6y&=4\\−x+3y&=−2 \end{aligned}\right.$
10. $\left\{\begin{aligned}−4x+2y&=3\\6x−3y&=−3 \end{aligned}\right.$
11. $\left\{\begin{aligned}x+3y&=9\\2x+3y&=6 \end{aligned}\right.$
12. $\left\{\begin{aligned}y−10&=0\\x−10&=0 \end{aligned}\right.$
13. $\left\{\begin{aligned}y+2&=0\\2y−10&=0 \end{aligned}\right.$
14. $\left\{\begin{aligned}3x+2y&=6\\2x+3y&=6 \end{aligned}\right.$
15. $\left\{\begin{aligned}−5x+4y&=20\\10x−8y&=16 \end{aligned}\right.$
16. $\left\{\begin{aligned}\frac{1}{2}x−\frac{1}{3}y&=1\\\frac{1}{6}x+\frac{1}{4}y&=−2\end{aligned}\right.$

Відповідь

1. Паралельний

3. Перпендикуляр

5. Перпендикуляр

7. Перпендикуляр

9. Паралельний

11. Ні

13. Паралельний

15. Паралельний

Вправа$\PageIndex{5}$ Equations in Point-Slope Form

Знайти рівняння прямої

1. Паралельно$y=\frac{1}{2}x+2$ і проходячи наскрізь$(6, −1)$.
2. Паралельно$y=−\frac{3}{4}x−3$ і проходячи наскрізь$(−8, 2)$.
3. Перпендикулярно$y=3x−1$ і проходить наскрізь$(−3, 2)$.
4. Перпендикулярно$y=−\frac{1}{3}x+2$ і проходить наскрізь$(4, −3)$.
5. Перпендикулярно$y=−2$ і проходить наскрізь$(−1, 5)$.
6. Перпендикулярно$x=\frac{1}{5}$ і проходить наскрізь$(5, −3)$.
7. Паралельно$y=3$ і проходячи наскрізь$(2, 4)$.
8. Паралельно$x=2$ і проходить через (7, −3)\).
9. Перпендикулярно$y=x$ і проходить наскрізь$(7, −13)$.
10. Перпендикулярно$y=2x+9$ і проходить наскрізь$(3, −1)$.
11. Паралельно$y=\frac{1}{4}x−5$ і проходячи наскрізь$(−2, 1)$.
12. Паралельно$y=−\frac{3}{4}x+1$ і проходячи наскрізь$(4, \frac{1}{4})$.
13. Паралельно$2x−3y=6$ і проходячи наскрізь$(6, −2)$.
14. Паралельно$−x+y=4$ і проходячи наскрізь$(9, 7)$.
15. Перпендикулярно$5x−3y=18$ і проходить наскрізь$(−9, 10)$.
16. Перпендикулярно$x−y=11$ і проходить наскрізь$(6, −8)$.
17. Паралельно$\frac{1}{5}x−\frac{1}{3}y=2$ і проходячи наскрізь$(−15, 6)$.
18. Паралельно$−10x−\frac{5}{7}y=12$ і проходячи наскрізь$(−1, \frac{1}{2})$.
19. Перпендикулярно$\frac{1}{2}x−\frac{1}{3}y=1$ і проходить наскрізь$(−10, 3)$.
20. Перпендикулярно$−5x+y=−1$ і проходить наскрізь$(−4, 0)$.
21. Паралельно$x+4y=8$ і проходячи наскрізь$(−1, −2)$.
22. Паралельно$7x−5y=35$ і проходячи наскрізь$(2, −3)$.
23. Перпендикулярно$6x+3y=1$ і проходить наскрізь$(8, −2)$.
24. Перпендикулярно$−4x−5y=1$ і проходить наскрізь$(−1, −1)$.
25. Паралельно$−5x−2y=4$ і проходячи наскрізь$(\frac{1}{5}, −\frac{1}{4})$.
26. Паралельно$6x−\frac{3}{2}y=9$ і проходячи наскрізь$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$.
27. Перпендикулярно$y−3=0$ і проходить наскрізь$(−6, 12)$.
28. Перпендикулярно$x+7=0$ і проходить наскрізь$(5, −10)$.

Відповідь

1. $y=\frac{1}{2}x−4$

3. $y=−\frac{1}{3}x+1$

5. $x=−1$

7. $y=4$

9. $y=−x−6$

11. $y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$

13. $y=\frac{2}{3}x−6$

15. $y=−\frac{3}{5}x+\frac{23}{5}$

17. $y=\frac{3}{5}x+15$

19. $y=−\frac{2}{3}x−\frac{11}{3}$

21. $y=−\frac{1}{4}x−\frac{9}{4}$

23. $y=\frac{1}{2}x−6$

25. $y=−\frac{5}{2}x+\frac{1}{4}$

27. $x=−6$