3.3: Графік за допомогою перехоплення
Цілі навчання
- Визначте і знайдітьx - іy -перехоплення графа.
- Графік лінії з використаннямx - іy -перехоплює
Визначенняx - іy -перехоплення
x-intercept - це точка, де графік прямої перетинаєx вісь -.
y-intercept - це точка, де графік прямої перетинаєy вісь -.
Ці точки мають форму(x,0) і(0,y), відповідно.
Малюнок3.3.1
Щоб знайтиx - іy -перехоплення алгебраїчно, використовуйте той факт, що всіx -перехоплення маютьy -значення нуля, а всіy -перехоплення маютьx -значення нуля. Щоб знайтиy -intercept, встановитиx=0 і визначити відповіднеy -значення. Аналогічно знайтиx -intercept, встановитиy=0 і визначити відповіднеx -значення.
Приклад3.3.1
Знайдітьx - іy -перехоплює:
−3x+2y=12.
Рішення:
Щоб знайтиx -перехоплення, встановлюємоy=0.
Томуx -перехоплення є(−4,0). Щоб знайтиy -перехоплення, встановлюємоx=0.
−3x+2y=12Tofindthey−intercept,↓setx=0.−3(0)+2y=122y=12y=6
Звідсиy -перехоплення є(0,6). Зверніть увагу, що це лінійне рівняння наведено на графіку вище.
Відповідь:
x-перехоплення:(−4,0);y -перехоплення:(0,6)
Приклад3.3.2
Знайдітьx - іy -перехоплює:
y=−3x+9
Рішення:
Почніть з пошукуx -перехоплення.
y=−3x+9Sety=0.↓0=−3x+9Solveforx.3x=9x=3
x-Перехоплення є(3,0). Далі визначтеy -перехоплення.
y=−3x+9Setx=0.
↓
y=−3(0)+9Solvefory.y=9
y-Перехоплення є(0,9).
Відповідь:
x-перехоплення:(3,0);y -перехоплення:(0,9)
Майте на увазі, що перехоплення - це впорядковані пари, а не цифри. Іншими словами,x -перехоплення - цеx=2 не скоріше(2,0). Крім того, не всі графіки обов'язково мають обидва перехоплення: наприклад,
Малюнок3.3.2
Горизонтальна лінія, зображена вище, маєy -перехоплення(0,−2) і неx -перехоплення.
Малюнок3.3.3
Вертикальна лінія, зображена вище, маєx -перехоплення(3,0) і неy -перехоплення.
Вправа3.3.1
Знайдітьx - іy -перехоплює:
4x−y=2.
- Відповідь
-
x-перехоплення:(12,0);y -перехоплення:(0,−2)
Графічні лінії за допомогою перехоплення
Оскільки дві точки визначають лінію, ми можемо використовуватиx - іy -перехоплення для графіка лінійних рівнянь. Ми щойно окреслили простий метод пошуку перехоплень; тепер ми окреслимо кроки для графічних ліній за допомогою перехоплень.
Приклад3.3.3
Графік з використанням перехоплень:
2x−3y=12.
Рішення:
Крок 1: Знайдітьx - іy -перехоплює.
Tofindthex−intercept,sety=0._Tofindthey−intercept,setx=0._2x−3y=122x−3y=122x−3(0)=122(0)−3y=122x=12−3y=12x=6y=−4x−intercept:(6,0)y−intercept:(0,−4)
Крок 2: Побудуйте перехоплення і проведіть через них лінію. Використовуйте straightedge, щоб створити красиву пряму лінію. Додайте стрілку на будь-якому кінці, щоб вказати, що лінія триває нескінченно довго в будь-якому напрямку.
Відповідь:
Малюнок3.3.4
Приклад3.3.4
Графік з використанням перехоплень:
y=−15x+3.
Рішення:
Почніть з визначенняx - і\ (y\ -перехоплення.
x−intercept_y−intercept_y=−15x+3y=−15x+30=−15x+3y=−15(0)+315x=3y=35⋅15x=5⋅3y−intercept:(0,3)x=15x−intercept:(15,0)
Далі намалюйте дві точки і проведіть через них лінію з прямим краєм.
Відповідь:
Малюнок3.3.5
Приклад3.3.5
Графік з використанням перехоплень:
y=−2x.
Рішення:
x−intercept_y−intercept_y=−2xy=−2x0=−2xy=−2(0)0−2=−2x−2y=00=xy−intercept:(0,0)x−intercept:(0,0)
Тутx - іy -перехоплення насправді одна і та ж точка, походження. Нам знадобиться ще хоча б одна точка, щоб ми могли навести графік лінії. Виберіть будь-яке значення дляx і визначте відповідне значення дляy.
Малюнок3.3.6
Скористайтеся впорядкованими(0,0),(−1,2) парними(1,−2) розв'язками і графуйте лінію.
Відповідь:
Малюнок3.3.7
Підводячи підсумок, будь-яке лінійне рівняння може бути побудовано на графіку, знайшовши дві точки і з'єднавши їх лінією, проведеною прямолінійним краєм. Два важливих і корисних моментиx - іy -перехоплення; знайти ці точки шляхом підстановкиy=0 іx=0, відповідно. Цей метод знаходження перехоплень буде використовуватися протягом усього нашого вивчення алгебри.
Вправа3.3.2
Графік з використанням перехоплень:
3x−5y=15.
- Відповідь
-
x-перехоплення:(5,0);y -перехоплення:(0,−3)
Пошук перехоплень з урахуванням графіка
Thex - іy -перехоплення є важливими пунктами на будь-якому графіку. У цій главі мова піде про графіки лінійних рівнянь. Однак на даний момент ми можемо використовувати ці ідеї для визначення перехоплень нелінійних графів. Пам'ятайте, що перехоплення - це впорядковані пари, які вказують, де графік перетинає осі.
Приклад3.3.6
Знайтиx - іy -перехоплення задано на наступному графіку:
Малюнок3.3.8
Рішення:
Бачимо, що графік перетинаєx -вісь у двох місцях. Цей графік має дваx -перехоплення, а саме,(−4,0) і(2,0). Крім того, графік перетинаєy вісь -в одному місці. Єдинеy -перехоплення є(0,−3).
Відповідь:
x-перехоплює:(−4,0),(2,0);y -перехоплення:(0,−3)
У нашому вивченні алгебри ми побачимо, що деякі графіки мають багато перехоплень. Також ми побачимо, що деякі графіки не мають жодних.
Приклад3.3.7
З огляду на наступний графік, знайдітьx - іy -перехоплення:
Малюнок3.3.9
Рішення:
Це графік кола; ми бачимо, що він не перетинається жодної осі. Тому цей графік не має ніяких перехоплень.
Відповідь:
Жоден
Ключові винос
- Оскільки дві точки визначають будь-яку лінію, ми можемо графувати лінії, використовуючиx - іy -перехоплення.
- Знайтиx -перехоплення, встановитиy=0 і вирішити дляx.
- Знайтиy -перехоплення, встановитиx=0 і вирішити дляy.
- Цей метод знаходженняx - іy -перехоплення буде використовуватися протягом усього нашого вивчення алгебри, оскільки він працює для будь-якого рівняння.
- Щоб намалювати лінію, знайдіть перехоплення, якщо вони існують, і проведіть пряму лінію через них. Використовуйте straightedge, щоб створити лінію і включити стрілки на обох кінцях, щоб вказати, що лінія простягається нескінченно в будь-якому напрямку.
- Горизонтальні і вертикальні лінії не завжди мають обидваx - іy -перехоплення.
Вправа3.3.3 Intercepts
З огляду на графік, знайдітьx - іy -перехоплення.
1.
Малюнок3.3.10
2.
Малюнок3.3.11
3.
Малюнок3.3.12
4.
Малюнок3.3.13
5.
Малюнок3.3.14
6.
Малюнок3.3.15
- Відповідь
-
1. y-перехоплення:(0,−3);x -перехоплення:(4,0)
3. y-перехоплення:(0,−3);x -перехоплення: немає
5. y-перехоплення:(0,0);x -перехоплення:(0,0)
Вправа3.3.4 Intercepts
Знайдітьx - іy -перехоплює.
- 5x−4y=20
- −2x+7y=−28
- x−y=3
- −x+y=0
- 3x−4y=1
- −2x+5y=3
- 14x−13y=1
- −25x+34y=2
- y=6
- y=−3
- x=2
- x=−1
- y=mx+b
- ax+by=c
- Відповідь
-
1. x-перехоплення:(4,0);y -перехоплення:(0,−5)
3. x-перехоплення:(3,0);y -перехоплення:(0,−3)
5. x-перехоплення:(13,0);y -перехоплення:(0,−14)
7. x-перехоплення:(4,0);y -перехоплення:(0,−3)
9. x-перехоплення: немає;y -перехоплення:(0,6)
11. x-перехоплення:(2,0);y -перехоплення: немає
13. x-перехоплення:(−bm,0);y -перехоплення:(0,b)
Вправа3.3.5 Graph Using Intercepts
Знайдіть перехоплення і графуйте їх.
- 3x+4y=12
- −2x+3y=6
- 5x−2y=10
- −4x−8y=16
- −12x+13y=1
- 34x−12y=−3
- 2x−52y=10
- 2x−73y=−14
- 4x−y=−8
- 6x−y=6
- –x+2y=1
- 3x+4y=6
- 2x+y=−1
- −2x+6y=3
- 15x+4y=−60
- −25x+3y=75
- 4x+2y=0
- 3x−y=0
- −12x+6y=−4
- 3x+12y=−4
- y=2x+4
- y=−x+3
- y=12x+1
- y=23x−3
- y=−25x+1
- y=−58x−54
- y=−78x−72
- y=−x+32
- y=3
- y=32
- x=5
- x=−2
- y=5x
- y=−x
- Відповідь
-
1.
Малюнок3.3.16
3.
Малюнок3.3.17
5.
Малюнок3.3.18
7.
Малюнок3.3.19
9.
Малюнок3.3.20
11.
Малюнок3.3.21
13.
Малюнок3.3.22
15.
Малюнок3.3.23
17.
Малюнок3.3.24
19.
Малюнок3.3.25
21.
Малюнок3.3.26
23.
Малюнок3.3.27
25.
Малюнок3.3.28
27.
Малюнок3.3.29
29.
Малюнок3.3.30
31.
Малюнок3.3.31
33.
Малюнок3.3.32
Вправа3.3.6 Intercepts of Nonlinear Graphs
За заданим графіком знаходимоx - іy -перехоплення.
1.
Малюнок3.3.33
2.
Малюнок3.3.34
3.
Малюнок3.3.35
4.
Малюнок3.3.36
5.
Малюнок3.3.37
6.
Малюнок3.3.38
7.
Малюнок3.3.39
8.
Малюнок3.3.40
9.
Малюнок3.3.41
10.
Малюнок3.3.42
- Відповідь
-
1. x-перехоплює:(−3,0),(3,0);y -перехоплення:(0,−3)
3. x-перехоплює:(−4,0),(0,0);y -перехоплення:(0,0)
5. x-перехоплює:(−2,0),(2,0);y -перехоплення:(0,−1)
7. x-перехоплює:(−3,0),(0,0),(2,0);y -перехоплення:(0,0)
9. x-перехоплює:(−4,0),(4,0);y -перехоплює:(0,−4),(0,4)
Вправа3.3.7 Discussion Board Topics
- Що такеx -перехоплення лініїy=0?
- Що такеy -перехоплення лініїx=0?
- Чи всі лінії мають перехоплення?
- Скільки перехоплень може мати коло? Намалюйте кола, показуючи всі можливі номери перехоплень.
- Досліджуйте та розміщуйте визначення сегмента лінії, променя та лінії. Чому стрілки важливі?
- Відповідь
-
1. Відповіді можуть відрізнятися
3. Відповіді можуть відрізнятися
5. Відповіді можуть відрізнятися