3.3: Графік за допомогою перехоплення

Цілі навчання

• Визначте і знайдіть\(x\) - і\(y\) -перехоплення графа.
• Графік лінії з використанням\(x\) - і\(y\) -перехоплює

Визначення\(x\) - і\(y\) -перехоплення

\(x\)-intercept - це точка, де графік прямої перетинає\(x\) вісь -.

\(y\)-intercept - це точка, де графік прямої перетинає\(y\) вісь -.

Ці точки мають форму\((x,0)\) і\((0,y)\), відповідно.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Щоб знайти\(x\) - і\(y\) -перехоплення алгебраїчно, використовуйте той факт, що всі\(x\) -перехоплення мають\(y\) -значення нуля, а всі\(y\) -перехоплення мають\(x\) -значення нуля. Щоб знайти\(y\) -intercept, встановити\(x=0\) і визначити відповідне\(y\) -значення. Аналогічно знайти\(x\) -intercept, встановити\(y=0\) і визначити відповідне\(x\) -значення.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Знайдіть\(x\) - і\(y\) -перехоплює:

\(−3x+2y=12\).

Рішення:

Щоб знайти\(x\) -перехоплення, встановлюємо\(y = 0\).

Тому\(x\) -перехоплення є\((−4, 0)\). Щоб знайти\(y\) -перехоплення, встановлюємо\(x = 0\).

\(\begin{aligned} -3x+2y&=12 &\color{Cerulean}{To\:find\:the\:y-intercept,} \\ \color{Cerulean}{\downarrow}\qquad &&\color{Cerulean}{set\:x=0.} \\ -3(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)+2y}&=12 \\ 2y&=12\\y&=6 \end{aligned}\)

Звідси\(y\) -перехоплення є\((0, 6)\). Зверніть увагу, що це лінійне рівняння наведено на графіку вище.

Відповідь:

\(x\)-перехоплення:\((−4, 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, 6)\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайдіть\(x\) - і\(y\) -перехоплює:

\(y=−3x+9\)

Рішення:

Почніть з пошуку\(x\) -перехоплення.

\(\begin{aligned} y&=-3x+9 &\color{Cerulean}{Set\:y=0.} \\ \color{Cerulean}{\downarrow}&& \\ \color{OliveGreen}{0}&=-3x+9&\color{Cerulean}{Solve\:for\:x.} \\ 3x&=9 \\ x&=3 \end{aligned}\)

\(x\)-Перехоплення є\((3, 0)\). Далі визначте\(y\) -перехоплення.

\(\begin{aligned} y&=-3x+9 &\color{Cerulean}{Set\:x=0.}\end{aligned}\)

\( \color{Cerulean}{\downarrow}\qquad\qquad\:\:\:\)

\(\begin{aligned} y&=-3(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)+9} & \color{Cerulean}{Solve\:for\:y.} \\ y&=9 \end{aligned}\)

\(y\)-Перехоплення є\((0, 9)\).

Відповідь:

\(x\)-перехоплення:\((3, 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, 9)\)

Майте на увазі, що перехоплення - це впорядковані пари, а не цифри. Іншими словами,\(x\) -перехоплення - це\(x=2\) не скоріше\((2, 0)\). Крім того, не всі графіки обов'язково мають обидва перехоплення: наприклад,

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Горизонтальна лінія, зображена вище, має\(y\) -перехоплення\((0, −2)\) і не\(x\) -перехоплення.

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Вертикальна лінія, зображена вище, має\(x\) -перехоплення\((3, 0)\) і не\(y\) -перехоплення.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Знайдіть\(x\) - і\(y\) -перехоплює:

\(4x−y=2\).

Відповідь

\(x\)-перехоплення:\((\frac{1}{2}, 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, −2)\)

Графічні лінії за допомогою перехоплення

Оскільки дві точки визначають лінію, ми можемо використовувати\(x\) - і\(y\) -перехоплення для графіка лінійних рівнянь. Ми щойно окреслили простий метод пошуку перехоплень; тепер ми окреслимо кроки для графічних ліній за допомогою перехоплень.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Графік з використанням перехоплень:

\(2x−3y=12\).

Рішення:

Крок 1: Знайдіть\(x\) - і\(y\) -перехоплює.

\(\begin{array}{c|c}{\underline{\color{Cerulean}{To\:find\:the\:x-intercept,\:set\:y=0.}}}&{\underline{\color{Cerulean}{To\:find\:the\:y-intercept,\:set\:x=0.}}}\\{2x-3y=12}&{2x-3y=12}\\{2x-3(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)=12}}&{2(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)-3y=12}}\\{2x=12}&{-3y=12}\\{x=6}&{y=-4}\\{x-intercept:\:(6,0)}&{y-intercept:\:(0,-4)} \end{array}\)

Крок 2: Побудуйте перехоплення і проведіть через них лінію. Використовуйте straightedge, щоб створити красиву пряму лінію. Додайте стрілку на будь-якому кінці, щоб вказати, що лінія триває нескінченно довго в будь-якому напрямку.

Відповідь:

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Графік з використанням перехоплень:

\(y=−\frac{1}{5}x+3\).

Рішення:

Почніть з визначення\(x\) - і\ (y\ -перехоплення.

\(\begin{array}{c|c}{\underline{\color{Cerulean}{x-intercept}}}&{\underline{\color{Cerulean}{y-intercept}}}\\{y=-\frac{1}{5}x+3}&{y=-\frac{1}{5}x+3}\\{\color{OliveGreen}{0}\color{black}{=-\frac{1}{5}x+3}}&{y=-\frac{1}{5}(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)+3}}\\{\frac{1}{5}x=3}&{y=3}\\{\color{Cerulean}{5\cdot}\color{black}{\frac{1}{5}x=}\color{Cerulean}{5\cdot}\color{black}{3}}&{y-intercept:\:(0,3)}\\{x=15}&{}\\{x-intercept:\:(15,0)}&{} \end{array}\)

Далі намалюйте дві точки і проведіть через них лінію з прямим краєм.

Відповідь:

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Графік з використанням перехоплень:

\(y=−2x\).

Рішення:

\(\begin{array}{c|c}{\underline{\color{Cerulean}{x-intercept}}}&{\underline{\color{Cerulean}{y-intercept}}}\\{y=-2x}&{y=-2x}\\{\color{OliveGreen}{0}\color{black}{=-2x}}&{y=-2(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)}}\\{\frac{0}{\color{Cerulean}{-2}}=\frac{-2x}{\color{Cerulean}{-2}}}&{y=0}\\{0=x}&{y-intercept:\:(0,0)}\\{x-intercept:\:(0,0)}&{}\end{array}\)

Тут\(x\) - і\(y\) -перехоплення насправді одна і та ж точка, походження. Нам знадобиться ще хоча б одна точка, щоб ми могли навести графік лінії. Виберіть будь-яке значення для\(x\) і визначте відповідне значення для\(y\).

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Скористайтеся впорядкованими\((0, 0), (−1, 2)\) парними\((1, −2)\) розв'язками і графуйте лінію.

Відповідь:

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Підводячи підсумок, будь-яке лінійне рівняння може бути побудовано на графіку, знайшовши дві точки і з'єднавши їх лінією, проведеною прямолінійним краєм. Два важливих і корисних моменти\(x\) - і\(y\) -перехоплення; знайти ці точки шляхом підстановки\(y = 0\) і\(x = 0\), відповідно. Цей метод знаходження перехоплень буде використовуватися протягом усього нашого вивчення алгебри.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Графік з використанням перехоплень:

\(3x−5y=15\).

Відповідь

\(x\)-перехоплення:\((5, 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, −3)\)

Пошук перехоплень з урахуванням графіка

The\(x\) - і\(y\) -перехоплення є важливими пунктами на будь-якому графіку. У цій главі мова піде про графіки лінійних рівнянь. Однак на даний момент ми можемо використовувати ці ідеї для визначення перехоплень нелінійних графів. Пам'ятайте, що перехоплення - це впорядковані пари, які вказують, де графік перетинає осі.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Знайти\(x\) - і\(y\) -перехоплення задано на наступному графіку:

Малюнок\(\PageIndex{8}\)

Рішення:

Бачимо, що графік перетинає\(x\) -вісь у двох місцях. Цей графік має два\(x\) -перехоплення, а саме,\((−4, 0)\) і\((2, 0)\). Крім того, графік перетинає\(y\) вісь -в одному місці. Єдине\(y\) -перехоплення є\((0, −3)\).

Відповідь:

\(x\)-перехоплює:\((−4, 0), (2, 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, −3)\)

У нашому вивченні алгебри ми побачимо, що деякі графіки мають багато перехоплень. Також ми побачимо, що деякі графіки не мають жодних.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

З огляду на наступний графік, знайдіть\(x\) - і\(y\) -перехоплення:

Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Рішення:

Це графік кола; ми бачимо, що він не перетинається жодної осі. Тому цей графік не має ніяких перехоплень.

Відповідь:

Жоден

Ключові винос

• Оскільки дві точки визначають будь-яку лінію, ми можемо графувати лінії, використовуючи\(x\) - і\(y\) -перехоплення.
• Знайти\(x\) -перехоплення, встановити\(y = 0\) і вирішити для\(x\).
• Знайти\(y\) -перехоплення, встановити\(x = 0\) і вирішити для\(y\).
• Цей метод знаходження\(x\) - і\(y\) -перехоплення буде використовуватися протягом усього нашого вивчення алгебри, оскільки він працює для будь-якого рівняння.
• Щоб намалювати лінію, знайдіть перехоплення, якщо вони існують, і проведіть пряму лінію через них. Використовуйте straightedge, щоб створити лінію і включити стрілки на обох кінцях, щоб вказати, що лінія простягається нескінченно в будь-якому напрямку.
• Горизонтальні і вертикальні лінії не завжди мають обидва\(x\) - і\(y\) -перехоплення.

Вправа\(\PageIndex{3}\) Intercepts

З огляду на графік, знайдіть\(x\) - і\(y\) -перехоплення.

1.

Малюнок\(\PageIndex{10}\)

2.

Малюнок\(\PageIndex{11}\)

3.

Малюнок\(\PageIndex{12}\)

4.

Малюнок\(\PageIndex{13}\)

5.

Малюнок\(\PageIndex{14}\)

6.

Малюнок\(\PageIndex{15}\)

Відповідь

1. \(y\)-перехоплення:\((0, −3)\);\(x\) -перехоплення:\((4, 0)\)

3. \(y\)-перехоплення:\((0, −3)\);\(x\) -перехоплення: немає

5. \(y\)-перехоплення:\((0, 0)\);\(x\) -перехоплення:\((0, 0)\)

Вправа\(\PageIndex{4}\) Intercepts

Знайдіть\(x\) - і\(y\) -перехоплює.

1. \(5x−4y=20 \)
2. \(−2x+7y=−28 \)
3. \(x−y=3 \)
4. \(−x+y=0 \)
5. \(3x−4y=1 \)
6. \(−2x+5y=3 \)
7. \(\frac{1}{4}x−\frac{1}{3}y=1\)
8. \(−\frac{2}{5}x+\frac{3}{4}y=2\)
9. \(y=6\)
10. \(y=−3\)
11. \(x=2\)
12. \(x=−1\)
13. \(y=mx+b \)
14. \(ax+by=c\)

Відповідь

1. \(x\)-перехоплення:\((4, 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, −5) \)

3. \(x\)-перехоплення:\((3, 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, −3) \)

5. \(x\)-перехоплення:\((\frac{1}{3}, 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, −\frac{1}{4})\)

7. \(x\)-перехоплення:\((4, 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, −3) \)

9. \(x\)-перехоплення: немає;\(y\) -перехоплення:\((0, 6) \)

11. \(x\)-перехоплення:\((2, 0)\);\(y\) -перехоплення: немає

13. \(x\)-перехоплення:\((−\frac{b}{m}, 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, b)\)

Вправа\(\PageIndex{5}\) Graph Using Intercepts

Знайдіть перехоплення і графуйте їх.

1. \(3x+4y=12\)
2. \(−2x+3y=6\)
3. \(5x−2y=10\)
4. \(−4x−8y=16\)
5. \(−\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1\)
6. \(\frac{3}{4}x−\frac{1}{2}y=−3\)
7. \(2x−\frac{5}{2}y=10\)
8. \(2x−\frac{7}{3}y=−14\)
9. \(4x−y=−8\)
10. \(6x−y=6\)
11. \(–x+2y=1\)
12. \(3x+4y=6\)
13. \(2x+y=−1\)
14. \(−2x+6y=3\)
15. \(15x+4y=−60\)
16. \(−25x+3y=75\)
17. \(4x+2y=0\)
18. \(3x−y=0\)
19. \(−12x+6y=−4\)
20. \(3x+12y=−4\)
21. \(y=2x+4\)
22. \(y=−x+3\)
23. \(y=\frac{1}{2}x+1\)
24. \(y=\frac{2}{3}x−3\)
25. \(y=−\frac{2}{5}x+1\)
26. \(y=−\frac{5}{8}x−\frac{5}{4}\)
27. \(y=−\frac{7}{8}x−\frac{7}{2}\)
28. \(y=−x+\frac{3}{2}\)
29. \(y=3\)
30. \(y=\frac{3}{2}\)
31. \(x=5\)
32. \(x=−2\)
33. \(y=5x\)
34. \(y=−x\)

Відповідь

1.

Малюнок\(\PageIndex{16}\)

3.

Малюнок\(\PageIndex{17}\)

5.

Малюнок\(\PageIndex{18}\)

7.

Малюнок\(\PageIndex{19}\)

9.

Малюнок\(\PageIndex{20}\)

11.

Малюнок\(\PageIndex{21}\)

13.

Малюнок\(\PageIndex{22}\)

15.

Малюнок\(\PageIndex{23}\)

17.

Малюнок\(\PageIndex{24}\)

19.

Малюнок\(\PageIndex{25}\)

21.

Малюнок\(\PageIndex{26}\)

23.

Малюнок\(\PageIndex{27}\)

25.

Малюнок\(\PageIndex{28}\)

27.

Малюнок\(\PageIndex{29}\)

29.

Малюнок\(\PageIndex{30}\)

31.

Малюнок\(\PageIndex{31}\)

33.

Малюнок\(\PageIndex{32}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) Intercepts of Nonlinear Graphs

За заданим графіком знаходимо\(x\) - і\(y\) -перехоплення.

1.

Малюнок\(\PageIndex{33}\)

2.

Малюнок\(\PageIndex{34}\)

3.

Малюнок\(\PageIndex{35}\)

4.

Малюнок\(\PageIndex{36}\)

5.

Малюнок\(\PageIndex{37}\)

6.

Малюнок\(\PageIndex{38}\)

7.

Малюнок\(\PageIndex{39}\)

8.

Малюнок\(\PageIndex{40}\)

9.

Малюнок\(\PageIndex{41}\)

10.

Малюнок\(\PageIndex{42}\)

Відповідь

1. \(x\)-перехоплює:\((−3, 0), (3, 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, −3)\)

3. \(x\)-перехоплює:\((−4, 0), (0, 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, 0) \)

5. \(x\)-перехоплює:\((−2, 0), (2, 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, −1) \)

7. \(x\)-перехоплює:\((−3, 0), (0, 0), (2, 0)\);\(y\) -перехоплення:\((0, 0) \)

9. \(x\)-перехоплює:\((−4, 0), (4, 0)\);\(y\) -перехоплює:\((0, −4), (0, 4)\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) Discussion Board Topics

1. Що таке\(x\) -перехоплення лінії\(y = 0\)?
2. Що таке\(y\) -перехоплення лінії\(x = 0\)?
3. Чи всі лінії мають перехоплення?
4. Скільки перехоплень може мати коло? Намалюйте кола, показуючи всі можливі номери перехоплень.
5. Досліджуйте та розміщуйте визначення сегмента лінії, променя та лінії. Чому стрілки важливі?

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися

5. Відповіді можуть відрізнятися