Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.2: Кола

Коло - одна з найбільш часто зустрічаються геометричних фігур. Колеса, кільця, записи фонографа, годинник, монети - це лише кілька прикладів поширених предметів з круглою формою. Коло має безліч застосувань у будівництві машин та в архітектурному та декоративному дизайні.

Для малювання кола використовуємо інструмент, який називається циркулем (рис.\PageIndex{1}). Компас складається з двох рук, одна закінчується гострою металевою точкою, а інша прикріплена до олівця. Малюємо коло, обертаючи олівець, поки металева точка тримається так, щоб вона не рухалася, Положення металевої точки називається центром кола. Відстань між центром і кінчиком олівця називається радіусом кола, радіус залишається таким же, як і коло малюється.

clipboard_ea3812ca54b85e4e463a5ea54483a879c.png
Малюнок\PageIndex{1}: За допомогою циркуля намалюйте коло.

Метод побудови кола передбачає наступне визначення:

Визначення: Коло

Коло - це фігура, що складається з усіх точок, які є заданою відстанню від фіксованої точки, яка називається центром. Наприклад, коло на малюнку 2 складається з усіх точок, які знаходяться на відстані 3 від центру 0. Радіус - це відстань будь-якої точки на колі від центру.

Коло на малюнку\PageIndex{2} має радіус 2. Термін радіус також використовується для позначення будь-якого з відрізків лінії від точки на колі до центру. На\PageIndex{2} малюнку кожна з відрізківOA, OB лінії іOC є радіусом. З визначення кола випливає, що всі радіуси кола рівні. Так\PageIndex{2} на малюнку три радіусиOA, OB, іOC всі рівні 3.

clipboard_e22181effaa1f0db2060bdc479720977f.png
Малюнок\PageIndex{2}: Коло з радіусом 3. (Авторське право; автор через джерело)

Коло зазвичай називають по його центру. Коло на малюнку\PageIndex{2} називається коломO.

Хорда - це відрізок лінії, що з'єднує дві точки на колі. На малюнку\PageIndex{2},DE це акорд. Діаметр - це хорда, яка проходить через центр. \ (BC - діаметр. Діаметр завжди вдвічі перевищує довжину радіуса, оскільки він складається з двох радіусів. Будь-який діаметр кола 0 дорівнює 6. Всі діаметри кола рівні.

Приклад\PageIndex{1}

Знайти радіус і діаметр і діаметр.

clipboard_ee49411164bb3f6b3388513d5e0f8bc19.png

Рішення

Всі радіуси рівні так

\ [\ begin {вирівняний}

О А &=О Б\\

\ гідророзриву {x} {2} +9 &=3 х-2\\

(2)\ ліворуч (\ розриву {x} {2} +9\ праворуч) &= (3 x-2) (2)\\

х+18 &=6 х-4\\

22 &=5 х\\

x &=\ гідророзриву {22} {5} =4.4

\ end {вирівняний}\]

Перевірка:

OA = OB

\ [\ begin {масив} {r|l}

\ гідророзриву {x} {2} +9 & 3 х-2\\

\ гідророзриву {4.4} {2} +9 & 3 (4.4) -2\\

2,2+9 & 13,2-2\\

11.2 & 11.2

\ end {масив}\]

Тому радіусOA = OB = 11,2, а діаметр = 2 (11,2) =22,4.

Відповідь: радіус =11,2, діаметр =22,4.

Наступні три теореми показують, що діаметр кола і перпендикулярна бісектриса хорди в колі насправді одне і те ж.

Теорема\PageIndex{1}

Діаметр, перпендикулярний хорді, бісекції хорди.

На малюнку\PageIndex{3}, якщоAB \perp CD тодіAE = EB.

Знімок екрана 2020-12-28 в 1.21.06 PM.png
Малюнок\PageIndex{3}: ДіаметрCD перпендикулярний хордіAB.
Доказ
Знімок екрана 2020-12-28 в 1.22.19 PM.png
Малюнок\PageIndex{4}: МалюємоOA іOB.

МалюємоOA іOB (Малюнок\PageIndex{4}). OA = OBтому що всі радіуси кола рівні. OE = OEчерез ідентичність. Тому\triangle ACE \cong \triangle BOE гіп-нога = гіп-нога. ЗвідсиAE = BE тому, що вони є відповідними сторонами конгруентних трикутників.

Приклад\PageIndex{2}

ЗнайтиAB:

Знімок екрана 2020-12-28 в 1.27.33 PM.png

Рішення

Знімок екрана 2020-12-28 у 1.28.14 PM.png
Малюнок\PageIndex{5}: МалюватиOA.

МалюватиOA (малюнок\PageIndex{5}). OA = \text{radius} = OD = 18 + 7 = 25. \triangle AOEце прямокутний трикутник, і тому ми можемо використовувати теорему Піфагора, щоб знайтиAE:

\begin{array} {rcl} {\text{AE}^2+\text{CE}^2} & = & {\text{CA}^2} \\ {\text{AE}^2 + 7^2} & = & {25^2} \\ {\text{AE}^2 + 49} & = & {625} \\ {\text{AE}^2} & = & {576} \\ {\text{AE}} & = & {24} \end{array}

За теоремою\PageIndex{1},EB = AE = 24 такAB = AE + EB = 24 + 24 = 48.

Відповідь:AB = 48.

Теорема\PageIndex{2}

Діаметр, який перетинає хорду, яка не є діаметром, перпендикулярна їй.

На малюнку\PageIndex{6}, якщоAE = EB тодіAB \perp CD.

Знімок екрана 2020-12-28 в 1.36.11 PM.png
Малюнок\PageIndex{6}: ДіаметрCD бісекційної хордиAB.
Доказ
Знімок екрана 2020-12-28 у 1.37.11 PM.png
Малюнок\PageIndex{7}: МалюємоOA іOB.

МалюємоOA іOB (Малюнок\PageIndex{7}). OA = OBтому що всі радіуси рівні,OE = OE (ідентичність) іAE = EB (дано). Тому\triangle AOE \cong \triangle BOE поSSS = SSS. Тому\triangle AEO = \triangle BEO. Оскільки\angle AEO і\angle BEO є додатковими, ми також повинні мати\angle AEO = \angle BEO = 90^{\circ}, що ми повинні були довести.

Приклад\PageIndex{3}

Знайтиx:

Знімок екрана 2020-12-28 в 1.40.07 PM.png

Рішення

Знімок екрана 2020-12-28 в 1.40.29 PM.png
Малюнок\PageIndex{8}: МалюватиOA.

МалюватиOA (малюнокPageIndex{8}). OA = \text{radius} = OD = 25. Згідно з теоремою\PageIndex{2},AB \perp CD. Тому\triangle AOE прямокутний трикутник, і ми можемо використовувати теорему Піфагора, щоб знайтиx:

\begin{array} {rcl} {\text{OE}^2 + \text{AE}^2} & = & {\text{OA}^2} \\ {x^2 + 24^2} & = & {25^2} \\ {x^2 + 576} & = & {625} \\ {x^2} & = & {49} \\ {x} & = & {7} \end{array}

Відповідь:x = 7.

Теорема\PageIndex{3}

Перпендикулярна бісектриса хорди повинна проходити через центр кола (тобто це діаметр).

На малюнку\PageIndex{9}, якщоCD \perp AB іAE = EB тоO треба лежати даліCD.

Знімок екрана 2020-12-28 в 1.46.40 PM.png
Малюнок\PageIndex{9}: ЯкщоCD це перпендикулярна бісектриса,AB тоCD повинна проходити крізьO.
Доказ
Знімок екрана 2020-12-28 в 1.48.57 PM.png
Малюнок\PageIndex{10}: ПровестиFG черезO перпендикулярно доAB.

Намалюйте діаметрFG черезO перпендикулярноAB вH (рис.\PageIndex{10}). Тоді відповідно до Теореми\PageIndex{1}H необхідно розділити бісекціюAB. ЗвідсиH іE знаходяться одна і та ж точкаFG і іCD одна і та ж лінія. ТакO лежить даліCD. На цьому доказ завершено.

Приклад\PageIndex{4}

Знайдіть радіус кола:

Знімок екрана 2020-12-28 у 1.51.55 PM.png

Рішення

Знімок екрана 2020-12-28 о 2.05.11 PM.png
Малюнок\PageIndex{11}: НамалюйтеOA і нехайr буде радіус.

Згідно теоремі\PageIndex{3},O повинен лежати даліCD. МалюватиOA (малюнок\PageIndex{11}). rДозволяти радіус. ПотімOA = OD = r іOE = r - 1. Щоб знайти,r застосуємо теорему Піфагора до прямокутного трикутникаAOE:

\begin{array} {rcl} {\text{AE}^2 + \text{OE}^2} & = & {\text{OA}^2} \\ {3^2 + (r - 1)^2} & = & {r^2} \\ {9 + r^2 - 2r + 1} & = & {r^2} \\ {10} & = & {2r} \\ {5} & = & {r} \end{array}

Відповідь:r = 5.

Приклад\PageIndex{5}

Знайдіть, яка хордаCD,AB або, більше, якщо радіус кола дорівнює 25:

Знімок екрана 2020-12-28 о 2.09.13 PM.png

Рішення

Знімок екрана 2020-12-28 у 2.10.38 PM.png
Малюнок\PageIndex{12}: МалюємоOA, OB, OC іOD.

МалюємоOA, OB, OC іOD (Малюнок\PageIndex{12}). Кожен є радіусом і дорівнює 25. Використовуємо теорему Піфагора, застосовану до прямокутного трикутникаAOE, щоб знайтиAE:

\begin{array} {rcl} {\text{AE}^2 + \text{OE}^2} & = & {\text{OA}^2} \\ {\text{AE}^2 + 7^2} & = & {25^2} \\ {\text{AE}^2 + 49} & = & {625} \\ {\text{AE}^2} & = & {576} \\ {\text{AE}} & = & {24} \end{array}

Так якOE перпендикулярні бісектиAB (теорема\PageIndex{1})BE = AE = 24 і такAB = AE + BE = 24 + 24 = 48.

Аналогічно, щоб знайтиCF, застосуємо теорему Піфагора до прямокутного трикутникаCOF:

\begin{array} {rcl} {\text{CF}^2 + \text{OF}^2} & = & {\text{OC}^2} \\ {\text{CF}^2 + 15^2} & = & {25^2} \\ {\text{CF}^2 + 225} & = & {625} \\ {\text{CF}^2} & = & {400} \\ {\text{CF}} & = & {20} \end{array}

Знову ж таки, з\PageIndex{1} теореми ми знаємоOF бісектиCD, отжеDF = CF = 20 іCD = 40.

Відповідь:AB = 48CD = 40,AB, більше ніжCD.

Приклад\PageIndex{5} пропонує наступну теорему (яку ми стверджуємо без доказів):

Теорема\PageIndex{4}

Довжина хорди визначається її відстанню від центру кола; чим ближче до центру, тим більше хорда.

Історична записка

Визначення кола і по суті всіх теорем цього і наступних двох розділів можна знайти в Книзі III Стихій Евкліда.

Проблеми

1 - 2. Знайдіть радіус і діаметр:

1.

Знімок екрана 2020-12-28 у 2.19.27 PM.png

2.

Знімок екрана 2020-12-28 у 2.20.36 PM.png

3 - 4. ЗнайтиAB:

3.

Знімок екрана 2020-12-28 о 2.21.00 PM.png

4.

Знімок екрана 2020-12-28 у 2.21.20 PM.png

5 - 6. Знайтиx:

5.

Знімок екрана 2020-12-28 у 2.21.55 PM.png

6.

Знімок екрана 2020-12-28 о 2.22.20 PM.png

7 - 10. Знайдіть радіус і діаметр:

7.

Знімок екрана 2020-12-28 у 2.22.41 PM.png

8.

Знімок екрана 2020-12-28 о 2.22.57 PM.png

9.

Знімок екрана 2020-12-28 у 2.23.18 PM.png

10.

Знімок екрана 2020-12-28 у 2.23.38 PM.png

11 - 12. Знайдіть довжиниAB іCD:

11.

Знімок екрана 2020-12-28 у 2.24.04 PM.png

12.

Знімок екрана 2020-12-28 у 2.24.24 PM.png

  • Was this article helpful?