7.2: Кола
Коло - одна з найбільш часто зустрічаються геометричних фігур. Колеса, кільця, записи фонографа, годинник, монети - це лише кілька прикладів поширених предметів з круглою формою. Коло має безліч застосувань у будівництві машин та в архітектурному та декоративному дизайні.
Для малювання кола використовуємо інструмент, який називається циркулем (рис.\PageIndex{1}). Компас складається з двох рук, одна закінчується гострою металевою точкою, а інша прикріплена до олівця. Малюємо коло, обертаючи олівець, поки металева точка тримається так, щоб вона не рухалася, Положення металевої точки називається центром кола. Відстань між центром і кінчиком олівця називається радіусом кола, радіус залишається таким же, як і коло малюється.
Метод побудови кола передбачає наступне визначення:
Коло - це фігура, що складається з усіх точок, які є заданою відстанню від фіксованої точки, яка називається центром. Наприклад, коло на малюнку 2 складається з усіх точок, які знаходяться на відстані 3 від центру 0. Радіус - це відстань будь-якої точки на колі від центру.
Коло на малюнку\PageIndex{2} має радіус 2. Термін радіус також використовується для позначення будь-якого з відрізків лінії від точки на колі до центру. На\PageIndex{2} малюнку кожна з відрізківOA, OB лінії іOC є радіусом. З визначення кола випливає, що всі радіуси кола рівні. Так\PageIndex{2} на малюнку три радіусиOA, OB, іOC всі рівні 3.
Коло зазвичай називають по його центру. Коло на малюнку\PageIndex{2} називається коломO.
Хорда - це відрізок лінії, що з'єднує дві точки на колі. На малюнку\PageIndex{2},DE це акорд. Діаметр - це хорда, яка проходить через центр. \ (BC - діаметр. Діаметр завжди вдвічі перевищує довжину радіуса, оскільки він складається з двох радіусів. Будь-який діаметр кола 0 дорівнює 6. Всі діаметри кола рівні.
Знайти радіус і діаметр і діаметр.
Рішення
Всі радіуси рівні так
\ [\ begin {вирівняний}
О А &=О Б\\
\ гідророзриву {x} {2} +9 &=3 х-2\\
(2)\ ліворуч (\ розриву {x} {2} +9\ праворуч) &= (3 x-2) (2)\\
х+18 &=6 х-4\\
22 &=5 х\\
x &=\ гідророзриву {22} {5} =4.4
\ end {вирівняний}\]
Перевірка:
OA = OB
\ [\ begin {масив} {r|l}
\ гідророзриву {x} {2} +9 & 3 х-2\\
\ гідророзриву {4.4} {2} +9 & 3 (4.4) -2\\
2,2+9 & 13,2-2\\
11.2 & 11.2
\ end {масив}\]
Тому радіусOA = OB = 11,2, а діаметр = 2 (11,2) =22,4.
Відповідь: радіус =11,2, діаметр =22,4.
Наступні три теореми показують, що діаметр кола і перпендикулярна бісектриса хорди в колі насправді одне і те ж.
Діаметр, перпендикулярний хорді, бісекції хорди.
На малюнку\PageIndex{3}, якщоAB \perp CD тодіAE = EB.
- Доказ
-
МалюємоOA іOB (Малюнок\PageIndex{4}). OA = OBтому що всі радіуси кола рівні. OE = OEчерез ідентичність. Тому\triangle ACE \cong \triangle BOE гіп-нога = гіп-нога. ЗвідсиAE = BE тому, що вони є відповідними сторонами конгруентних трикутників.
ЗнайтиAB:
Рішення
МалюватиOA (малюнок\PageIndex{5}). OA = \text{radius} = OD = 18 + 7 = 25. \triangle AOEце прямокутний трикутник, і тому ми можемо використовувати теорему Піфагора, щоб знайтиAE:
\begin{array} {rcl} {\text{AE}^2+\text{CE}^2} & = & {\text{CA}^2} \\ {\text{AE}^2 + 7^2} & = & {25^2} \\ {\text{AE}^2 + 49} & = & {625} \\ {\text{AE}^2} & = & {576} \\ {\text{AE}} & = & {24} \end{array}
За теоремою\PageIndex{1},EB = AE = 24 такAB = AE + EB = 24 + 24 = 48.
Відповідь:AB = 48.
Діаметр, який перетинає хорду, яка не є діаметром, перпендикулярна їй.
На малюнку\PageIndex{6}, якщоAE = EB тодіAB \perp CD.
- Доказ
-
МалюємоOA іOB (Малюнок\PageIndex{7}). OA = OBтому що всі радіуси рівні,OE = OE (ідентичність) іAE = EB (дано). Тому\triangle AOE \cong \triangle BOE поSSS = SSS. Тому\triangle AEO = \triangle BEO. Оскільки\angle AEO і\angle BEO є додатковими, ми також повинні мати\angle AEO = \angle BEO = 90^{\circ}, що ми повинні були довести.
Знайтиx:
Рішення
МалюватиOA (малюнокPageIndex{8}). OA = \text{radius} = OD = 25. Згідно з теоремою\PageIndex{2},AB \perp CD. Тому\triangle AOE прямокутний трикутник, і ми можемо використовувати теорему Піфагора, щоб знайтиx:
\begin{array} {rcl} {\text{OE}^2 + \text{AE}^2} & = & {\text{OA}^2} \\ {x^2 + 24^2} & = & {25^2} \\ {x^2 + 576} & = & {625} \\ {x^2} & = & {49} \\ {x} & = & {7} \end{array}
Відповідь:x = 7.
Перпендикулярна бісектриса хорди повинна проходити через центр кола (тобто це діаметр).
На малюнку\PageIndex{9}, якщоCD \perp AB іAE = EB тоO треба лежати даліCD.
- Доказ
-
Намалюйте діаметрFG черезO перпендикулярноAB вH (рис.\PageIndex{10}). Тоді відповідно до Теореми\PageIndex{1}H необхідно розділити бісекціюAB. ЗвідсиH іE знаходяться одна і та ж точкаFG і іCD одна і та ж лінія. ТакO лежить даліCD. На цьому доказ завершено.
Знайдіть радіус кола:
Рішення
Згідно теоремі\PageIndex{3},O повинен лежати даліCD. МалюватиOA (малюнок\PageIndex{11}). rДозволяти радіус. ПотімOA = OD = r іOE = r - 1. Щоб знайти,r застосуємо теорему Піфагора до прямокутного трикутникаAOE:
\begin{array} {rcl} {\text{AE}^2 + \text{OE}^2} & = & {\text{OA}^2} \\ {3^2 + (r - 1)^2} & = & {r^2} \\ {9 + r^2 - 2r + 1} & = & {r^2} \\ {10} & = & {2r} \\ {5} & = & {r} \end{array}
Відповідь:r = 5.
Знайдіть, яка хордаCD,AB або, більше, якщо радіус кола дорівнює 25:
Рішення
МалюємоOA, OB, OC іOD (Малюнок\PageIndex{12}). Кожен є радіусом і дорівнює 25. Використовуємо теорему Піфагора, застосовану до прямокутного трикутникаAOE, щоб знайтиAE:
\begin{array} {rcl} {\text{AE}^2 + \text{OE}^2} & = & {\text{OA}^2} \\ {\text{AE}^2 + 7^2} & = & {25^2} \\ {\text{AE}^2 + 49} & = & {625} \\ {\text{AE}^2} & = & {576} \\ {\text{AE}} & = & {24} \end{array}
Так якOE перпендикулярні бісектиAB (теорема\PageIndex{1})BE = AE = 24 і такAB = AE + BE = 24 + 24 = 48.
Аналогічно, щоб знайтиCF, застосуємо теорему Піфагора до прямокутного трикутникаCOF:
\begin{array} {rcl} {\text{CF}^2 + \text{OF}^2} & = & {\text{OC}^2} \\ {\text{CF}^2 + 15^2} & = & {25^2} \\ {\text{CF}^2 + 225} & = & {625} \\ {\text{CF}^2} & = & {400} \\ {\text{CF}} & = & {20} \end{array}
Знову ж таки, з\PageIndex{1} теореми ми знаємоOF бісектиCD, отжеDF = CF = 20 іCD = 40.
Відповідь:AB = 48CD = 40,AB, більше ніжCD.
Приклад\PageIndex{5} пропонує наступну теорему (яку ми стверджуємо без доказів):
Довжина хорди визначається її відстанню від центру кола; чим ближче до центру, тим більше хорда.
Визначення кола і по суті всіх теорем цього і наступних двох розділів можна знайти в Книзі III Стихій Евкліда.
Проблеми
1 - 2. Знайдіть радіус і діаметр:
1.
2.
3 - 4. ЗнайтиAB:
3.
4.
5 - 6. Знайтиx:
5.
6.
7 - 10. Знайдіть радіус і діаметр:
7.
8.
9.
10.
11 - 12. Знайдіть довжиниAB іCD:
11.
12.