5.5: Раціональні показники

Цілі навчання

• Пишіть вирази з раціональними показниками в радикальній формі.
• Напишіть радикальні вирази з раціональними показниками.
• Виконуйте операції та спрощуйте вирази з раціональними показниками.
• Виконуйте операції над радикалами з різними показниками.

Поки що експоненти були обмежені цілими числами. У цьому розділі ми визначимо, що означають раціональні (або дробові) показники і як з ними працювати. Застосовуються всі правила для експонентів, розроблених до цього моменту. Зокрема, нагадаємо правило добутку для експонентів. З огляду на будь-які раціональні числа$m$ і$n$, ми маємо

$x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }$

Наприклад, якщо у нас є показник$1/2$, то правило добутку для експонентів передбачає наступне:

$5 ^ { 1 / 2 } \cdot 5 ^ { 1 / 2 } = 5 ^ { 1 / 2 + 1 / 2 } = 5 ^ { 1 } = 5$

$5^{1/2}$Ось один з двох рівних факторів$5$; отже, це квадратний корінь$5$, і ми можемо написати

$5 ^ { 1 / 2 } = \sqrt { 5 }$

Крім того, ми бачимо, що$2^{1/3}$ це один з трьох рівних факторів$2$.

$2 ^ { 1 / 3 } \cdot 2 ^ { 1 / 3 } \cdot 2 ^ { 1 / 3 } = 2 ^ { 1/3 + 1 / 3 + 1 / 3 } = 2 ^ { 3 / 3 } = 2 ^ { 1 } = 2$

Таким чином,$2 ^ { 1 /3 }$ є куб корінь$2$, і ми можемо написати

$2 ^ { 1 / 3 } = \sqrt [ 3 ] { 2 }$

Це вірно загалом, задано будь-яке ненульове дійсне число$a$ і ціле число$n \geq 2$,

$a ^ { 1 / n } = \sqrt [ n ] { a }$

Іншими словами, знаменник дробового показника визначає індекс будь-якого кореня.$n$

Приклад$\PageIndex{1}$:

Перепишіть як радикал.

1. $6 ^ { 1 / 2 }$
2. $6 ^ { 1 / 3 }$

Рішення

1. $6 ^ { 1 / 2 } = \sqrt [ 2 ] { 6 } = \sqrt { 6 }$
2. $6 ^ { 1 / 3 } = \sqrt [ 3 ] { 6 }$

Приклад$\PageIndex{2}$:

Перепишіть як радикал, а потім спростіть.

1. $16^{1/2}$
2. $16^{1/4}$

Рішення

1. $16 ^ { 1 / 2 } = \sqrt { 16 } = \sqrt { 4 ^ { 2 } } = 4$
2. $16 ^ { 1 / 4 } = \sqrt [ 4 ] { 16 } = \sqrt [ 4 ] { 2 ^ { 4 } } = 2$

Приклад$\PageIndex{3}$:

Перепишіть як радикал, а потім спростіть.

1. $\left( 64 x ^ { 3 } \right) ^ { 1 / 3 }$
2. $\left( - 32 x ^ { 5 } y ^ { 10 } \right) ^ { 1 / 5 }$

Рішення

1.

$\begin{aligned} \left( 64 x ^ { 3 } \right) ^ { 1 / 3 } & = \sqrt [ 3 ] { 64 x ^ { 3 } } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 4 ^ { 3 } x ^ { 3 } } \\ & = 4 x \end{aligned}$

2.

$\begin{aligned} \left( - 32 x ^ { 5 } y ^ { 10 } \right) ^ { 1 / 5 } & = \sqrt [ 5 ] { - 32 x ^ { 5 } y ^ { 10 } } \\ & = \sqrt [ 5 ] { ( - 2 ) ^ { 5 } x ^ { 5 } \left( y ^ { 2 } \right) ^ { 5 } } \\ & = - 2 x y ^ { 2 } \end{aligned}$

Далі розглянемо дробові показники, де чисельник є цілим числом, відмінним від$1$. Для прикладу розглянемо наступне:

$5 ^ { 2 / 3 } \cdot 5 ^ { 2 / 3 } \cdot 5 ^ { 2 / 3 } = 5 ^ { 2 / 3 + 2 / 3 + 2 / 3 } = 5 ^ { 6 / 3 } = 5 ^ { 2 }$

Це показує, що$5^{2/3}$ є одним з трьох рівних факторів$5^{2}$. Іншими словами,$5^{2/3}$ це куб корінь$5^{2}$ і ми можемо написати:

$5 ^ { 2 / 3 } = \sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 2 } }$

Загалом, задано будь-яке ненульове дійсне число,$a$ де$m$ і$n$ є додатними цілими числами$( n \geq 2 )$,

$a ^ { m / n } = \sqrt [ n ] { a ^ { m } }$

Вираз з раціональним показником ²⁰ еквівалентно радикалу, де знаменником є індекс, а чисельник - показник. Будь-який радикальний вираз можна записати з раціональним показником, який ми називаємо експоненціальною формою ²¹.

$\color{Cerulean} { Radical\:form \quad Exponential\: form } \\ \sqrt [ 5 ] { x ^ { 2 } } \quad\quad\quad=\quad\quad x ^ { 2 / 5 }$

Приклад$\PageIndex{4}$:

Перепишіть як радикал.

1. $6^{2/5}$
2. $3^{3/4}$

Рішення

1. $6 ^ { 2 / 5 } = \sqrt [ 5 ] { 6 ^ { 2 } } = \sqrt [ 5 ] { 36 }$
2. $3 ^ { 3 / 4 } = \sqrt [ 4 ] { 3 ^ { 3 } } = \sqrt [ 4 ] { 27 }$

Приклад$\PageIndex{5}$:

Перепишіть як радикал, а потім спростіть.

1. $27^{2/3}$
2. $( 12 ) ^ { 5 / 3 }$

Рішення

Ми часто можемо уникнути дуже великих цілих чисел, працюючи з їх простою факторизацією.

1.

$\begin{aligned} 27 ^ { 2 / 3 } & = \sqrt [ 3 ] { 27 ^ { 2 } } \\ & = \sqrt [ 3 ] { \left( 3 ^ { 3 } \right) ^ { 2 } }\quad\color{Cerulean}{Replace \:27\:with\: 3^{3}} \\ & = \sqrt [ 3 ] { 3 ^ { 6 } }\quad\:\quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = 3 ^ { 2 } \\ & = 9 \end{aligned}$

2.

$\begin{aligned} ( 12 ) ^ { 5 / 3 } & = \sqrt [ 3 ] { ( 12 ) ^ { 5 } } \quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Replace\:12\:with\: 2^{2}\cdot3.} \\ & = \sqrt [ 3 ] { \left( 2 ^ { 2 } \cdot 3 \right) ^ { 5 } } \quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:rules\:for\:exponents.} \\ &= \sqrt[3]{2^{10}\cdot3^{5}} \quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 9 } \cdot 2 \cdot 3 ^ { 3 } \cdot 3 ^ { 2 } } \\ & = 2 ^ { 3 } \cdot 3 \cdot \sqrt [ 3 ] { 2 \cdot 3 ^ { 2 } } \\ & = 24 \sqrt [ 3 ] { 18 } \end{aligned}$

Враховуючи радикальний вираз, ми можемо знайти еквівалент в експоненціальній формі. Припустимо, що всі змінні є позитивними.

Приклад$\PageIndex{6}$:

Перепишіть за допомогою раціональних показників:$\sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } }$.

Рішення

Тут індекс є$5$ і потужність є$3$. Ми можемо написати

$\sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } } = x ^ { 3 / 5 }$

Відповідь:

$x ^ { 3 / 5 }$

Приклад$\PageIndex{7}$:

Перепишіть за допомогою раціональних показників:$\sqrt [ 6 ] { y ^ { 3 } }$.

Рішення

Тут індекс є$6$ і потужність є$3$. Ми можемо написати

$\begin{aligned} \sqrt [ 6 ] { y ^ { 3 } } & = y ^ { 3 / 6 } \\ & = y ^ { 1 / 2 } \end{aligned}$

Відповідь:

$y^{1/2}$

Важливо відзначити, що наступні є рівнозначними.

$a ^ { n / n } = \sqrt [ n ] { a ^ { m } } = ( \sqrt [ n ] { a } ) ^ { m }$

Іншими словами, не має значення, застосовуємо ми спочатку владу або корінь спочатку. Наприклад, ми можемо застосувати владу$n$ перед коренем:

$27 ^ { 2 / 3 } = \sqrt [ 3 ] { 27 ^ { 2 } } = \sqrt [ 3 ] { \left( 3 ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } = \sqrt [ 3 ] { 3 ^ { 6 } } = 3 ^ { 2 } = 9$

Або ми можемо застосувати корінь перед силою:$n$

$27 ^ { 2 / 3 } = ( \sqrt [ 3 ] { 27 } ) ^ { 2 } = \left( \sqrt [ 3 ] { 3 ^ { 3 } } \right) ^ { 2 } = ( 3 ) ^ { 2 } = 9$

Результати однакові.

Приклад$\PageIndex{8}$:

Перепишіть як радикал, а потім спростіть:$( - 8 ) ^ { 2 / 3 }$.

Рішення

Тут індекс є$3$ і потужність є$2$. Ми можемо написати

$( - 8 ) ^ { 2 / 3 } = ( \sqrt [ 3 ] { - 8 } ) ^ { 2 } = ( - 2 ) ^ { 2 } = 4$

Відповідь:

$4$

Вправа$\PageIndex{1}$

Перепишіть як радикал, а потім спростіть:$100 ^ { 3 / 2 }$.

Відповідь

$1,000$

www.youtube.com/В/39 IMSSBFD5O

Деякі калькулятори мають кнопку каретки$^$, яка використовується для введення показників. Якщо так, ми можемо обчислити наближення для радикалів, використовуючи його та раціональні показники. Наприклад, для обчислення$\sqrt { 2 } = 2 ^ { 1 / 2 } = 2 {\wedge} ( 1 / 2 ) \approx 1.414$ ми використовуємо кнопки з дужками та введіть

Малюнок$\PageIndex{1}$

Щоб обчислити$\sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } } = 2 ^ { 2 / 3 } = 2 \wedge ( 2 / 3 ) \approx 1.587$, ми б набрали

Малюнок$\PageIndex{2}$

Операції з використанням правил показників

У цьому розділі ми розглядаємо всі правила показників, які поширюються на включення раціональних показників. Якщо дано будь-які раціональні числа$m$ і$n$, то ми маємо

Таблиця$\PageIndex{1}$

Правило продукту для експонентів:	$x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }$
Коефіцієнтне правило для експонентів:	$\frac { x ^ { m } } { x ^ { n } } = x ^ { m - n } , x \neq 0$
Правило потужності для експонентів:	$\left( x ^ { m } \right) ^ { n } = x ^ { m \cdot n }$
Правило харчування для виробу:	$( x y ) ^ { n } = x ^ { n } y ^ { n }$
Правило харчування для частки:	$\left( \frac { x } { y } \right) ^ { n } = \frac { x ^ { n } } { y ^ { n } } , y \neq 0$
Негативні показники:	$x ^ { - n } = \frac { 1 } { x ^ { n } }$
Нульовий показник:	$x ^ { 0 } = 1 , x \neq 0$

Ці правила дозволяють виконувати операції з раціональними показниками.

Приклад$\PageIndex{9}$:

Спростити:$7 ^ { 1 / 3 } \cdot 7 ^ { 4 / 9 }$.

Рішення

$\begin{aligned} 7 ^ { 1 / 3 } \cdot 7 ^ { 49 } & = 7 ^ { 1 / 3 + 49 } \quad\color{Cerulean}{Apply \:the\:product\:rule\:x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}.}\\ & = 7 ^ { 3/9 + 4/9 } \\ & = 7 ^ { 7 / 9 } \end{aligned}$

Відповідь:

$7^{7/9}$

Приклад$\PageIndex{10}$:

Спростити:$\frac { x ^ { 3 / 2 } } { x ^ { 2 / 3 } }$.

Рішення

$\begin{aligned} \frac { x ^ { 3 / 2 } } { x ^ { 2 / 3 } } & = x ^ { 3 / 2 - 2 / 3 } \quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\: \frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}.}\\ & = x ^ { 9 / 6 - 4 / 6 } \\ & = x ^ { 5 / 6 } \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{11}$:

Спростити:$\left( y ^ { 3 / 4 } \right) ^ { 2 / 3 }$.

Рішення

$\begin{aligned} \left( y ^ { 3 / 4 } \right) ^ { 2 / 3 } & = y ^ { ( 3 / 4 ) ( 2 / 3 ) }\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:(x^{m})^{n} = x^{m\cdot n}.} \\ & = y ^ { 6 / 12 }\quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Multiply\:the\:exponents\:and\:reduce.} \\ & = y ^ { 1 / 2 } \end{aligned}$

Відповідь:

$y ^ { 1 / 2 }$

Приклад$\PageIndex{12}$:

Спростити:$\left( 81 a ^ { 8 } b ^ { 12 } \right) ^ { 3 / 4 }$.

Рішення

$\begin{aligned} \left( 81 a ^ { 8 } b ^ { 12 } \right) ^ { 3 / 4 } & = \left( 3 ^ { 4 } a ^ { 8 } b ^ { 12 } \right) ^ { 3 / 4 }\quad\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Rewrite\:81\:as\:3^{4}.} \\ & = \left( 3 ^ { 4 } \right) ^ { 3 / 4 } \left( a ^ { 8 } \right) ^ { 3 / 4 } \left( b ^ { 12 } \right) ^ { 3 / 4 } \:\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:a\:product.} \\ & = 3 ^ { 4 ( 3 / 4 ) } a ^ { 8 ( 3 / 4 ) } b ^ { 12 ( 3 / 4 ) } \quad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:to\:each\:factor.}\\ & = 3 ^ { 3 } a ^ { 6 } b ^ { 9 } \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = 27 a ^ { 6 } b ^ { 9 } \end{aligned}$

Відповідь:

$27 a ^ { 6 } b ^ { 9 }$

Приклад$\PageIndex{13}$:

Спростити:$\left( 9 x ^ { 4 } \right) ^ { - 3 / 2 }$.

Рішення

$\begin{aligned} \left( 9 x ^ { 4 } \right) ^ { - 3 / 2 } & = \frac { 1 } { \left( 9 x ^ { 4 } \right) ^ { 3 / 2 } } \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:definition\:of\:negative\:exponents\:x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}.} \\ & = \frac { 1 } { \left( 3 ^ { 2 } x ^ { 4 } \right) ^ { 3 / 2 } } \quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Write\:9\:as\:3^{2}\:and\:apply\:the\:rules\:of\:exponents.} \\ & = \frac { 1 } { 3 ^ { 2 ( 3 / 2 ) } x ^ { 4 ( 3 / 2 ) } } \\ & = \frac { 1 } { 3^{3}\cdot x ^ { 6 } } \\ & = \frac { 1 } { 27 x ^ { 6 } } \end{aligned}$

Відповідь:

$\frac { 1 } { 27 x ^ { 6 } }$

Вправа$\PageIndex{2}$

Спростити:$\frac { \left( 125 a ^ { 1 / 4 } b ^ { 6 } \right) ^ { 2 / 3 } } { a ^ { 1 / 6 } }$.

Відповідь

$25 b ^ { 4 }$

www.youtube.com/В/ЛеккФВйомуц

Радикальні вирази з різними індексами

Щоб застосувати продукт або часткове правило для радикалів, показники радикалів, що беруть участь, повинні бути однаковими. Якщо індекси різні, то спочатку перепишіть радикали в експоненціальну форму, а потім застосовуйте правила для показників.

Приклад$\PageIndex{14}$:

Помножити:$\sqrt { 2 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 2 }$.

Рішення

У цьому прикладі індекс кожного радикального фактора різний. Звідси правило продукту для радикалів не застосовується. Почніть з перетворення радикалів в еквівалентну форму за допомогою раціональних показників. Потім застосуйте правило продукту для експонентів.

$\begin{aligned} \sqrt { 2 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 2 } & = 2 ^ { 1 / 2 } \cdot 2 ^ { 1 / 3 }\quad\color{Cerulean}{Equivalents\:using\:rational\:exponents.} \\ & = 2 ^ { 1 / 2 + 1 / 3 } \quad\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:rule\:for\:exponents.} \\ & = 2 ^ { 5 / 6 } \\ & = \sqrt [ 6 ] { 2 ^ { 5 } } \end{aligned}$

Відповідь:

$\sqrt [ 6 ] { 2 ^ { 5 } }$

Приклад$\PageIndex{15}$:

Розділити:$\frac { \sqrt [3]{ 4 } } { \sqrt [5]{ 2 } }$.

Рішення

В даному прикладі індекс радикала в чисельнику відрізняється від показника радикала в знаменнику. Звідси часткове правило для радикалів не застосовується. Почніть з перетворення радикалів у еквівалентну форму за допомогою раціональних показників, а потім застосуйте правило частки для експонентів.

$\begin{aligned} \frac { \sqrt [ 3 ] { 4 } } { \sqrt [ 5 ] { 2 } } & = \frac { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } } } { \sqrt [ 5 ] { 2 } } \\ & = \frac { 2 ^ { 2 / 3 } } { 2 ^ { 1 / 5 } } \quad\quad\color{Cerulean}{Equivalents\:using\:rational\:exponents.}\\ & = 2 ^ { 2 / 3 - 1 / 5 } \:\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:exponents.}\\ & = 2 ^ { 7 / 15 } \\ & = \sqrt [ 15 ] { 2 ^ { 7 } } \end{aligned}$

Відповідь:

$\sqrt [ 15 ] { 2 ^ { 7 } }$

Приклад$\PageIndex{16}$:

Спростити:$\sqrt { \sqrt [ 3 ] { 4 } }$.

Рішення

Тут радиканд квадратного кореня - кубічний корінь. Після перезапису цього виразу з використанням раціональних показників ми побачимо, що застосовується правило потужності для експонентів.

$\begin{aligned} \sqrt { \sqrt [ 3 ] { 4 } } & = \sqrt { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } } } \\ & = \left( 2 ^ { 2 / 3 } \right) ^ { 1 / 2 } \quad\color{Cerulean}{Equivalents\:using\:rational\:exponents.} \\ & = 2 ^ { ( 2 / 3 ) ( 1 / 2 ) } \quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:exponents.}\\ & = 2 ^ { 1 / 3 } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 2 } \end{aligned}$

Відповідь:

$\sqrt [ 3 ] { 2 }$

Ключові винос

• Будь-який радикальний вираз можна записати в експоненціальній формі:$\sqrt [ n ] { a ^ { m } } = a ^ { m / n }$.
• Дробні показники вказують на радикали. Використовуйте чисельник як ступінь, а знаменник - як індекс радикала.
• Всі правила показників застосовуються до виразів з раціональними показниками.
• Якщо операції повинні бути застосовані до радикалів з різними індексами, спочатку перепишіть радикали в експоненціальну форму, а потім застосуйте правила для експонентів.

Вправа$\PageIndex{3}$

Експрес з використанням раціональних показників.

1. $\sqrt{10}$
2. $\sqrt{6}$
3. $\sqrt [ 3 ] { 3 }$
4. $\sqrt [ 4 ] { 5 }$
5. $\sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 2 } }$
6. $\sqrt [ 4 ] { 2 ^ { 3 } }$
7. $\sqrt [ 3 ] { 49 }$
8. $\sqrt [ 3 ] { 9 }$
9. $\sqrt [ 5 ] { x }$
10. $\sqrt [ 6 ] { x }$
11. $\sqrt [ 6 ] { x ^ { 7 } }$
12. $\sqrt [ 5 ] { x ^ { 4 } }$
13. $\frac { 1 } { \sqrt { x } }$
14. $\frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } }$

Відповідь

1. $10 ^ { 1 / 2 }$

3. $3 ^ { 1 / 3 }$

5. $5 ^ { 2 / 3 }$

7. $7 ^ { 2 / 3 }$

9. $x ^ { 1 / 5 }$

11. $x ^ { 7 / 6 }$

13. $x ^ { - 1 / 2 }$

Вправа$\PageIndex{4}$

Експрес в радикальній формі.

1. $10 ^ { 1 / 2 }$
2. $11 ^ { 1 / 3 }$
3. $7 ^ { 2 / 3 }$
4. $2 ^ { 3 / 5 }$
5. $x ^ { 3 / 4 }$
6. $x ^ { 5 / 6 }$
7. $x ^ { - 1 / 2 }$
8. $x ^ { - 3 / 4 }$
9. $\left( \frac { 1 } { x } \right) ^ { - 1 / 3 }$
10. $\left( \frac { 1 } { x } \right) ^ { - 3 / 5 }$
11. $( 2 x + 1 ) ^ { 2 / 3 }$
12. $( 5 x - 1 ) ^ { 1 / 2 }$

Відповідь

1. $\sqrt { 10 }$

3. $\sqrt [ 3 ] { 49 }$

5. $\sqrt [ 4 ] { x ^ { 3 } }$

7. $\frac { 1 } { \sqrt { x } }$

9. $\sqrt [ 3 ] { x }$

11. $\sqrt [ 3 ] { ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } }$

Вправа$\PageIndex{5}$

Пишіть як радикал, а потім спрощуйте.

1. $64 ^ { 1 / 2 }$
2. $49 ^ { 1 / 2 }$
3. $\left( \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { 1 / 2 }$
4. $\left( \frac { 4 } { 9 } \right) ^ { 1 / 2 }$
5. $4 ^ { - 1 / 2 }$
6. $9 ^ { - 1 / 2 }$
7. $\left( \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { - 1 / 2 }$
8. $\left( \frac { 1 } { 16 } \right) ^ { - 1 / 2 }$
9. $8 ^ { 1 / 3 }$
10. $125 ^ { 1 / 3 }$
11. $\left( \frac { 1 } { 27 } \right) ^ { 1 / 3 }$
12. $\left( \frac { 8 } { 125 } \right) ^ { 1 / 3 }$
13. $( - 27 ) ^ { 1 / 3 }$
14. $( - 64 ) ^ { 1 / 3 }$
15. $16 ^ { 1 / 4 }$
16. $625 ^ { 1 / 4 }$
17. $81 ^ { - 1 / 4 }$
18. $16 ^ { - 1 / 4 }$
19. $100,000 ^ { 1 / 5 }$
20. $( - 32 ) ^ { 1 / 5 }$
21. $\left( \frac { 1 } { 32 } \right) ^ { 1 / 5 }$
22. $\left( \frac { 1 } { 243 } \right) ^ { 1 / 5 }$
23. $9 ^ { 3 / 2 }$
24. $4 ^ { 3 / 2 }$
25. $8 ^ { 5 / 3 }$
26. $27 ^ { 2 / 3 }$
27. $16 ^ { 3 / 2 }$
28. $32 ^ { 2 / 5 }$
29. $\left( \frac { 1 } { 16 } \right) ^ { 3 / 4 }$
30. $\left( \frac { 1 } { 81 } \right) ^ { 3 / 4 }$
31. $( - 27 ) ^ { 2 / 3 }$
32. $( - 27 ) ^ { 4 / 3 }$
33. $( - 32 ) ^ { 3 / 5 }$
34. $( - 32 ) ^ { 4 / 5 }$

Відповідь

1. $8$

3. $\frac{1}{2}$

5. $\frac{1}{2}$

7. $2$

9. $2$

11. $frac{1}{3}$

13. $-3$

15. $2$

17. $\frac{1}{3}$

19. $10$

21. $\frac{1}{2}$

23. $27$

25. $32$

27. $64$

29. $\frac{1}{8}$

31. $9$

33. $-8$

Вправа$\PageIndex{6}$

Використовуйте калькулятор, щоб приблизити відповідь, округлену до найближчих сотих.

1. $2 ^ { 1 / 2 }$
2. $2 ^ { 1 / 3 }$
3. $2 ^ { 3 / 4 }$
4. $3 ^ { 2 / 3 }$
5. $5 ^ { 1 / 5 }$
6. $7 ^ { 1 / 7 }$
7. $( - 9 ) ^ { 3 / 2 }$
8. $- 9 ^ { 3 / 2 }$
9. Поясніть, чому$( - 4 ) ^ { \wedge } ( 3 / 2 )$ видає помилку на калькуляторі і$- 4 ^ { \wedge } ( 3 / 2 )$ дає відповідь$−8$.
10. Марсі отримала текстове повідомлення від Марка з проханням її віку. У відповідь Марсі написала назад «$125 ^ { \wedge } ( 2 / 3 )$років». Допоможіть Марку визначити вік Марсі.

Відповідь

1. $1.41$

3. $1.68$

5. $1.38$

7. Чи не дійсне число

9. Відповідь може відрізнятися

Вправа$\PageIndex{7}$

Виконайте операції і спростіть. Залиште відповіді в експоненціальній формі.

1. $5 ^ { 3 / 2 } \cdot 5 ^ { 1 / 2 }$
2. $3 ^ { 2 / 3 } \cdot 3 ^ { 7 / 3 }$
3. $5 ^ { 1 / 2 } \cdot 5 ^ { 1 / 3 }$
4. $2 ^ { 1 / 6 } \cdot 2 ^ { 3 / 4 }$
5. $y ^ { 1 / 4 } \cdot y ^ { 2 / 5 }$
6. $x ^ { 1 / 2 } \cdot x ^ { 1 / 4 }$
7. $\frac { 5 ^ { 11 / 3 } } { 5 ^ { 2 / 3 } }$
8. $\frac { 2 ^ { 9 / 2 } } { 2 ^ { 1 / 2 } }$
9. $\frac { 2 a ^ { 2 / 3 } } { a ^ { 1 / 6 } }$
10. $\frac { 3 b ^ { 1 / 2 } } { b ^ { 1 / 3 } }$
11. $\left( 8 ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 2 / 3 }$
12. $\left( 3 ^ { 6 } \right) ^ { 2 / 3 }$
13. $\left( x ^ { 2 / 3 } \right) ^ { 1 / 2 }$
14. $\left( y ^ { 3 / 4 } \right) ^ { 4 / 5 }$
15. $\left( y ^ { 8 } \right) ^ { - 1 / 2 }$
16. $\left( y ^ { 6 } \right) ^ { - 2 / 3 }$
17. $\left( 4 x ^ { 2 } y ^ { 4 } \right) ^ { 1 / 2 }$
18. $\left( 9 x ^ { 6 } y ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 }$
19. $\left( 2 x ^ { 1 / 3 } y ^ { 2 / 3 } \right) ^ { 3 }$
20. $\left( 8 x ^ { 3 / 2 } y ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 2 }$
21. $\left( 36 x ^ { 4 } y ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 }$
22. $\left( 8 x ^ { 3 } y ^ { 6 } z ^ { - 3 } \right) ^ { - 1 / 3 }$
23. $\left( \frac { a ^ { 3 / 4 } } { a ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { 4 / 3 }$
24. $\left( \frac { b ^ { 4 / 5 } } { b ^ { 1 / 10 } } \right) ^ { 10 / 3 }$
25. $\left( \frac { 4 x ^ { 2 / 3 } } { y ^ { 4 } } \right) ^ { 1 / 2 }$
26. $\left( \frac { 27 x ^ { 3 / 4 } } { y ^ { 9 } } \right) ^ { 1 / 3 }$
27. $\frac { y ^ { 1 / 2 } y ^ { 2 / 3 } } { y ^ { 1 / 6 } }$
28. $\frac { x ^ { 2 / 5 } x ^ { 1 / 2 } } { x ^ { 1 / 10 } }$
29. $\frac { x y } { x ^ { 1 / 2 } y ^ { 1 / 3 } }$
30. $\frac { x ^ { 5 / 4 } y } { x y ^ { 2 / 5 } }$
31. $\frac { 49 a ^ {5/7 } b ^ { 3 / 2 } } { 7 a ^ { 3 /7 } b ^ { 1 / 4 } }$
32. $\frac { 16 a ^ { 5 / 6 } b ^ { 5 / 4 } } { 8 a ^ { 1 / 2 } b ^ { 2 / 3 } }$
33. $\frac { \left( 9 x ^ { 2 / 3 } y ^ { 6 } \right) ^ { 3 / 2 } } { x ^ { 1 / 2 } y }$
34. $\frac { \left( 125 x ^ { 3 } y ^ { 3 / 5 } \right) ^ { 2 / 3 } } { x y ^ { 1 / 3 } }$
35. $\frac { \left( 27 a ^ { 1 / 4 } b ^ { 3 / 2 } \right) ^ { 2 / 3 } } { a ^ { 1 / 6 } b ^ { 1 / 2 } }$
36. $\frac { \left( 25 a ^ { 2 / 3 } b ^ { 4 / 3 } \right) ^ { 3 / 2 } } { a ^ { 1 / 6 } b ^ { 1 / 3 } }$
37. $\left( 16 x ^ { 2 } y ^ { - 1 / 3 } z ^ { 2 / 3 } \right) ^ { - 3 / 2 }$
38. $\left( 81 x ^ { 8 } y ^ { - 4 / 3 } z ^ { - 4 } \right) ^ { - 3 / 4 }$
39. $\left( 100 a ^ { - 2 / 3 } b ^ { 4 } c ^ { - 3 / 2 } \right) ^ { - 1 / 2 }$
40. $\left( 125 a ^ { 9 } b ^ { - 3 / 4 } c ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 / 3 }$

Відповідь

1. $25$

3. $5 ^ { 5 / 6 }$

5. $y ^ { 13 / 20 }$

7. $125$

9. $2 a ^ { 1 / 2 }$

11. $2$

13. $x ^ { 1 / 3 }$

15. $\frac { 1 } { y ^ { 4 } }$

17. $2 x y ^ { 2 }$

19. $8 x y ^ { 2 }$

21. $\frac { 1 } { 6 x ^ { 2 } y }$

23. $a ^ { 1 / 3 }$

25. $\frac { 2 x ^ { 1 / 3 } } { y ^ { 2 } }$

27. $y$

29. $x ^ { 1 / 2 } y ^ { 2 / 3 }$

31. $7 a ^ { 2/7 } b ^ { 5 / 4 }$

33. $27 x ^ { 1 / 2 } y ^ { 8 }$

35. $9 b ^ { 1 / 2 }$

37. $\frac { y ^ { 1 / 2 } } { 64 x ^ { 3 } z }$

39. $\frac { a ^ { 1 / 3 } b ^ { 3 / 4 } } { 10 b ^ { 2 } }$

Вправа$\PageIndex{8}$

Виконайте операції.

1. $\sqrt [ 3 ] { 9 } \cdot \sqrt [ 5 ] { 3 }$
2. $\sqrt { 5 } \cdot \sqrt [ 5 ] { 25 }$
3. $\sqrt { x } \cdot \sqrt [ 3 ] { x }$
4. $\sqrt { y } \cdot \sqrt [ 4 ] { y }$
5. $\sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } \cdot \sqrt [ 4 ] { x }$
6. $\sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } } \cdot \sqrt [ 3 ] { x }$
7. $\frac { \sqrt [ 3 ] { 100 } } { \sqrt { 10 } }$
8. $\frac { \sqrt [ 5 ] { 16 } } { \sqrt [ 3 ] { 4 } }$
9. $\frac { \sqrt [ 3 ] { a ^ { 2 } } } { \sqrt { a } }$
10. $\frac { \sqrt [ 5 ] { b ^ { 4 } } } { \sqrt [ 3 ] { b } }$
11. $\frac { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } { \sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } } }$
12. $\frac { \sqrt [ 4 ] { x ^ { 3 } } } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } }$
13. $\sqrt { \sqrt [ 5 ] { 16 } }$
14. $\sqrt { \sqrt [ 3 ] { 9 } }$
15. $\sqrt [ 3 ] { \sqrt [ 5 ] { 2 } }$
16. $\sqrt [ 3 ] { \sqrt [ 5 ] { 5 } }$
17. $\sqrt [ 3 ] { \sqrt { 7 } }$
18. $\sqrt [ 3 ] { \sqrt { 3 } }$

Відповідь

1. $\sqrt [ 15 ] { 3 ^ { 13 } }$

3. $\sqrt [ 6 ] { x ^ { 5 } }$

5. $\sqrt [ 12 ] { x ^ { 11 } }$

7. $\sqrt [ 6 ] { 10 }$

9. $\sqrt [ 6 ] { a }$

11. $\sqrt [ 15 ] { x }$

13. $\sqrt [ 5 ] { 4 }$

15. $\sqrt [ 15 ] { 2 }$

17. $\sqrt [ 6 ] { 7 }$

Вправа$\PageIndex{9}$

1. Хто зараховується за розробку позначення, що дозволяє раціональні показники? Які інші його досягнення?
2. При використанні тексту найкраще передавати коріння$n$ за допомогою раціональних показників. Наведемо приклад.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

²⁰ Дробовий показник$m/n$, який вказує на радикал з індексом$n$ та показником$m$:$a ^ {m / n } = \sqrt [ n ] { a ^ { m } }$.

²¹ Еквівалентний вираз, написаний з використанням раціонального показника.