Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.5: Раціональні показники

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    58172

    • Anonymous
    • LibreTexts
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    • Пишіть вирази з раціональними показниками в радикальній формі.
    • Напишіть радикальні вирази з раціональними показниками.
    • Виконуйте операції та спрощуйте вирази з раціональними показниками.
    • Виконуйте операції над радикалами з різними показниками.

    Поки що експоненти були обмежені цілими числами. У цьому розділі ми визначимо, що означають раціональні (або дробові) показники і як з ними працювати. Застосовуються всі правила для експонентів, розроблених до цього моменту. Зокрема, нагадаємо правило добутку для експонентів. З огляду на будь-які раціональні числа\(m\) і\(n\), ми маємо

    \(x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }\)

    Наприклад, якщо у нас є показник\(1/2\), то правило добутку для експонентів передбачає наступне:

    \(5 ^ { 1 / 2 } \cdot 5 ^ { 1 / 2 } = 5 ^ { 1 / 2 + 1 / 2 } = 5 ^ { 1 } = 5\)

    \(5^{1/2}\)Ось один з двох рівних факторів\(5\); отже, це квадратний корінь\(5\), і ми можемо написати

    \(5 ^ { 1 / 2 } = \sqrt { 5 }\)

    Крім того, ми бачимо, що\(2^{1/3}\) це один з трьох рівних факторів\(2\).

    \(2 ^ { 1 / 3 } \cdot 2 ^ { 1 / 3 } \cdot 2 ^ { 1 / 3 } = 2 ^ { 1/3 + 1 / 3 + 1 / 3 } = 2 ^ { 3 / 3 } = 2 ^ { 1 } = 2\)

    Таким чином,\(2 ^ { 1 /3 }\) є куб корінь\(2\), і ми можемо написати

    \(2 ^ { 1 / 3 } = \sqrt [ 3 ] { 2 }\)

    Це вірно загалом, задано будь-яке ненульове дійсне число\(a\) і ціле число\(n \geq 2\),

    \(a ^ { 1 / n } = \sqrt [ n ] { a }\)

    Іншими словами, знаменник дробового показника визначає індекс будь-якого кореня.\(n\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\):

    Перепишіть як радикал.

    1. \(6 ^ { 1 / 2 }\)
    2. \(6 ^ { 1 / 3 }\)

    Рішення

    1. \(6 ^ { 1 / 2 } = \sqrt [ 2 ] { 6 } = \sqrt { 6 }\)
    2. \(6 ^ { 1 / 3 } = \sqrt [ 3 ] { 6 }\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\):

    Перепишіть як радикал, а потім спростіть.

    1. \(16^{1/2}\)
    2. \(16^{1/4}\)

    Рішення

    1. \(16 ^ { 1 / 2 } = \sqrt { 16 } = \sqrt { 4 ^ { 2 } } = 4\)
    2. \(16 ^ { 1 / 4 } = \sqrt [ 4 ] { 16 } = \sqrt [ 4 ] { 2 ^ { 4 } } = 2\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\):

    Перепишіть як радикал, а потім спростіть.

    1. \(\left( 64 x ^ { 3 } \right) ^ { 1 / 3 }\)
    2. \(\left( - 32 x ^ { 5 } y ^ { 10 } \right) ^ { 1 / 5 }\)

    Рішення

    1.

    \(\begin{aligned} \left( 64 x ^ { 3 } \right) ^ { 1 / 3 } & = \sqrt [ 3 ] { 64 x ^ { 3 } } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 4 ^ { 3 } x ^ { 3 } } \\ & = 4 x \end{aligned}\)

    2.

    \(\begin{aligned} \left( - 32 x ^ { 5 } y ^ { 10 } \right) ^ { 1 / 5 } & = \sqrt [ 5 ] { - 32 x ^ { 5 } y ^ { 10 } } \\ & = \sqrt [ 5 ] { ( - 2 ) ^ { 5 } x ^ { 5 } \left( y ^ { 2 } \right) ^ { 5 } } \\ & = - 2 x y ^ { 2 } \end{aligned}\)

    Далі розглянемо дробові показники, де чисельник є цілим числом, відмінним від\(1\). Для прикладу розглянемо наступне:

    \(5 ^ { 2 / 3 } \cdot 5 ^ { 2 / 3 } \cdot 5 ^ { 2 / 3 } = 5 ^ { 2 / 3 + 2 / 3 + 2 / 3 } = 5 ^ { 6 / 3 } = 5 ^ { 2 }\)

    Це показує, що\(5^{2/3}\) є одним з трьох рівних факторів\(5^{2}\). Іншими словами,\(5^{2/3}\) це куб корінь\(5^{2}\) і ми можемо написати:

    \(5 ^ { 2 / 3 } = \sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 2 } }\)

    Загалом, задано будь-яке ненульове дійсне число,\(a\) де\(m\) і\(n\) є додатними цілими числами\(( n \geq 2 )\),

    \(a ^ { m / n } = \sqrt [ n ] { a ^ { m } }\)

    Вираз з раціональним показником 20 еквівалентно радикалу, де знаменником є індекс, а чисельник - показник. Будь-який радикальний вираз можна записати з раціональним показником, який ми називаємо експоненціальною формою 21.

    \(\color{Cerulean} { Radical\:form \quad Exponential\: form } \\ \sqrt [ 5 ] { x ^ { 2 } } \quad\quad\quad=\quad\quad x ^ { 2 / 5 }\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\):

    Перепишіть як радикал.

    1. \(6^{2/5}\)
    2. \(3^{3/4}\)

    Рішення

    1. \(6 ^ { 2 / 5 } = \sqrt [ 5 ] { 6 ^ { 2 } } = \sqrt [ 5 ] { 36 }\)
    2. \(3 ^ { 3 / 4 } = \sqrt [ 4 ] { 3 ^ { 3 } } = \sqrt [ 4 ] { 27 }\)

    Приклад\(\PageIndex{5}\):

    Перепишіть як радикал, а потім спростіть.

    1. \(27^{2/3}\)
    2. \(( 12 ) ^ { 5 / 3 }\)

    Рішення

    Ми часто можемо уникнути дуже великих цілих чисел, працюючи з їх простою факторизацією.

    1.

    \(\begin{aligned} 27 ^ { 2 / 3 } & = \sqrt [ 3 ] { 27 ^ { 2 } } \\ & = \sqrt [ 3 ] { \left( 3 ^ { 3 } \right) ^ { 2 } }\quad\color{Cerulean}{Replace \:27\:with\: 3^{3}} \\ & = \sqrt [ 3 ] { 3 ^ { 6 } }\quad\:\quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = 3 ^ { 2 } \\ & = 9 \end{aligned}\)

    2.

    \(\begin{aligned} ( 12 ) ^ { 5 / 3 } & = \sqrt [ 3 ] { ( 12 ) ^ { 5 } } \quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Replace\:12\:with\: 2^{2}\cdot3.} \\ & = \sqrt [ 3 ] { \left( 2 ^ { 2 } \cdot 3 \right) ^ { 5 } } \quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:rules\:for\:exponents.} \\ &= \sqrt[3]{2^{10}\cdot3^{5}} \quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 9 } \cdot 2 \cdot 3 ^ { 3 } \cdot 3 ^ { 2 } } \\ & = 2 ^ { 3 } \cdot 3 \cdot \sqrt [ 3 ] { 2 \cdot 3 ^ { 2 } } \\ & = 24 \sqrt [ 3 ] { 18 } \end{aligned}\)

    Враховуючи радикальний вираз, ми можемо знайти еквівалент в експоненціальній формі. Припустимо, що всі змінні є позитивними.

    Приклад\(\PageIndex{6}\):

    Перепишіть за допомогою раціональних показників:\(\sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } }\).

    Рішення

    Тут індекс є\(5\) і потужність є\(3\). Ми можемо написати

    \(\sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } } = x ^ { 3 / 5 }\)

    Відповідь:

    \(x ^ { 3 / 5 }\)

    Приклад\(\PageIndex{7}\):

    Перепишіть за допомогою раціональних показників:\(\sqrt [ 6 ] { y ^ { 3 } }\).

    Рішення

    Тут індекс є\(6\) і потужність є\(3\). Ми можемо написати

    \(\begin{aligned} \sqrt [ 6 ] { y ^ { 3 } } & = y ^ { 3 / 6 } \\ & = y ^ { 1 / 2 } \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(y^{1/2}\)

    Важливо відзначити, що наступні є рівнозначними.

    \(a ^ { n / n } = \sqrt [ n ] { a ^ { m } } = ( \sqrt [ n ] { a } ) ^ { m }\)

    Іншими словами, не має значення, застосовуємо ми спочатку владу або корінь спочатку. Наприклад, ми можемо застосувати владу\(n\) перед коренем:

    \(27 ^ { 2 / 3 } = \sqrt [ 3 ] { 27 ^ { 2 } } = \sqrt [ 3 ] { \left( 3 ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } = \sqrt [ 3 ] { 3 ^ { 6 } } = 3 ^ { 2 } = 9\)

    Або ми можемо застосувати корінь перед силою:\(n\)

    \(27 ^ { 2 / 3 } = ( \sqrt [ 3 ] { 27 } ) ^ { 2 } = \left( \sqrt [ 3 ] { 3 ^ { 3 } } \right) ^ { 2 } = ( 3 ) ^ { 2 } = 9\)

    Результати однакові.

    Приклад\(\PageIndex{8}\):

    Перепишіть як радикал, а потім спростіть:\(( - 8 ) ^ { 2 / 3 }\).

    Рішення

    Тут індекс є\(3\) і потужність є\(2\). Ми можемо написати

    \(( - 8 ) ^ { 2 / 3 } = ( \sqrt [ 3 ] { - 8 } ) ^ { 2 } = ( - 2 ) ^ { 2 } = 4\)

    Відповідь:

    \(4\)

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Перепишіть як радикал, а потім спростіть:\(100 ^ { 3 / 2 }\).

    Відповідь

    \(1,000\)

    www.youtube.com/В/39 IMSSBFD5O

    Деякі калькулятори мають кнопку каретки\(^\), яка використовується для введення показників. Якщо так, ми можемо обчислити наближення для радикалів, використовуючи його та раціональні показники. Наприклад, для обчислення\(\sqrt { 2 } = 2 ^ { 1 / 2 } = 2 {\wedge} ( 1 / 2 ) \approx 1.414\) ми використовуємо кнопки з дужками та введіть

    Скріншот (142) .png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Щоб обчислити\(\sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } } = 2 ^ { 2 / 3 } = 2 \wedge ( 2 / 3 ) \approx 1.587\), ми б набрали

    Скріншот (143) .png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Операції з використанням правил показників

    У цьому розділі ми розглядаємо всі правила показників, які поширюються на включення раціональних показників. Якщо дано будь-які раціональні числа\(m\) і\(n\), то ми маємо

    Правило продукту для експонентів: \(x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }\)
    Коефіцієнтне правило для експонентів: \(\frac { x ^ { m } } { x ^ { n } } = x ^ { m - n } , x \neq 0\)
    Правило потужності для експонентів: \(\left( x ^ { m } \right) ^ { n } = x ^ { m \cdot n }\)
    Правило харчування для виробу: \(( x y ) ^ { n } = x ^ { n } y ^ { n }\)
    Правило харчування для частки: \(\left( \frac { x } { y } \right) ^ { n } = \frac { x ^ { n } } { y ^ { n } } , y \neq 0\)
    Негативні показники: \(x ^ { - n } = \frac { 1 } { x ^ { n } }\)
    Нульовий показник: \(x ^ { 0 } = 1 , x \neq 0\)
    Таблиця\(\PageIndex{1}\)

    Ці правила дозволяють виконувати операції з раціональними показниками.

    Приклад\(\PageIndex{9}\):

    Спростити:\(7 ^ { 1 / 3 } \cdot 7 ^ { 4 / 9 }\).

    Рішення

    \(\begin{aligned} 7 ^ { 1 / 3 } \cdot 7 ^ { 49 } & = 7 ^ { 1 / 3 + 49 } \quad\color{Cerulean}{Apply \:the\:product\:rule\:x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}.}\\ & = 7 ^ { 3/9 + 4/9 } \\ & = 7 ^ { 7 / 9 } \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(7^{7/9}\)

    Приклад\(\PageIndex{10}\):

    Спростити:\(\frac { x ^ { 3 / 2 } } { x ^ { 2 / 3 } }\).

    Рішення

    \(\begin{aligned} \frac { x ^ { 3 / 2 } } { x ^ { 2 / 3 } } & = x ^ { 3 / 2 - 2 / 3 } \quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\: \frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}.}\\ & = x ^ { 9 / 6 - 4 / 6 } \\ & = x ^ { 5 / 6 } \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{11}\):

    Спростити:\(\left( y ^ { 3 / 4 } \right) ^ { 2 / 3 }\).

    Рішення

    \(\begin{aligned} \left( y ^ { 3 / 4 } \right) ^ { 2 / 3 } & = y ^ { ( 3 / 4 ) ( 2 / 3 ) }\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:(x^{m})^{n} = x^{m\cdot n}.} \\ & = y ^ { 6 / 12 }\quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Multiply\:the\:exponents\:and\:reduce.} \\ & = y ^ { 1 / 2 } \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(y ^ { 1 / 2 }\)

    Приклад\(\PageIndex{12}\):

    Спростити:\(\left( 81 a ^ { 8 } b ^ { 12 } \right) ^ { 3 / 4 }\).

    Рішення

    \(\begin{aligned} \left( 81 a ^ { 8 } b ^ { 12 } \right) ^ { 3 / 4 } & = \left( 3 ^ { 4 } a ^ { 8 } b ^ { 12 } \right) ^ { 3 / 4 }\quad\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Rewrite\:81\:as\:3^{4}.} \\ & = \left( 3 ^ { 4 } \right) ^ { 3 / 4 } \left( a ^ { 8 } \right) ^ { 3 / 4 } \left( b ^ { 12 } \right) ^ { 3 / 4 } \:\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:a\:product.} \\ & = 3 ^ { 4 ( 3 / 4 ) } a ^ { 8 ( 3 / 4 ) } b ^ { 12 ( 3 / 4 ) } \quad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:to\:each\:factor.}\\ & = 3 ^ { 3 } a ^ { 6 } b ^ { 9 } \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = 27 a ^ { 6 } b ^ { 9 } \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(27 a ^ { 6 } b ^ { 9 }\)

    Приклад\(\PageIndex{13}\):

    Спростити:\(\left( 9 x ^ { 4 } \right) ^ { - 3 / 2 }\).

    Рішення

    \(\begin{aligned} \left( 9 x ^ { 4 } \right) ^ { - 3 / 2 } & = \frac { 1 } { \left( 9 x ^ { 4 } \right) ^ { 3 / 2 } } \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:definition\:of\:negative\:exponents\:x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}.} \\ & = \frac { 1 } { \left( 3 ^ { 2 } x ^ { 4 } \right) ^ { 3 / 2 } } \quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Write\:9\:as\:3^{2}\:and\:apply\:the\:rules\:of\:exponents.} \\ & = \frac { 1 } { 3 ^ { 2 ( 3 / 2 ) } x ^ { 4 ( 3 / 2 ) } } \\ & = \frac { 1 } { 3^{3}\cdot x ^ { 6 } } \\ & = \frac { 1 } { 27 x ^ { 6 } } \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(\frac { 1 } { 27 x ^ { 6 } }\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Спростити:\(\frac { \left( 125 a ^ { 1 / 4 } b ^ { 6 } \right) ^ { 2 / 3 } } { a ^ { 1 / 6 } }\).

    Відповідь

    \(25 b ^ { 4 }\)

    www.youtube.com/В/ЛеккФВйомуц

    Радикальні вирази з різними індексами

    Щоб застосувати продукт або часткове правило для радикалів, показники радикалів, що беруть участь, повинні бути однаковими. Якщо індекси різні, то спочатку перепишіть радикали в експоненціальну форму, а потім застосовуйте правила для показників.

    Приклад\(\PageIndex{14}\):

    Помножити:\(\sqrt { 2 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 2 }\).

    Рішення

    У цьому прикладі індекс кожного радикального фактора різний. Звідси правило продукту для радикалів не застосовується. Почніть з перетворення радикалів в еквівалентну форму за допомогою раціональних показників. Потім застосуйте правило продукту для експонентів.

    \(\begin{aligned} \sqrt { 2 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 2 } & = 2 ^ { 1 / 2 } \cdot 2 ^ { 1 / 3 }\quad\color{Cerulean}{Equivalents\:using\:rational\:exponents.} \\ & = 2 ^ { 1 / 2 + 1 / 3 } \quad\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:rule\:for\:exponents.} \\ & = 2 ^ { 5 / 6 } \\ & = \sqrt [ 6 ] { 2 ^ { 5 } } \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(\sqrt [ 6 ] { 2 ^ { 5 } }\)

    Приклад\(\PageIndex{15}\):

    Розділити:\(\frac { \sqrt [3]{ 4 } } { \sqrt [5]{ 2 } }\).

    Рішення

    В даному прикладі індекс радикала в чисельнику відрізняється від показника радикала в знаменнику. Звідси часткове правило для радикалів не застосовується. Почніть з перетворення радикалів у еквівалентну форму за допомогою раціональних показників, а потім застосуйте правило частки для експонентів.

    \(\begin{aligned} \frac { \sqrt [ 3 ] { 4 } } { \sqrt [ 5 ] { 2 } } & = \frac { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } } } { \sqrt [ 5 ] { 2 } } \\ & = \frac { 2 ^ { 2 / 3 } } { 2 ^ { 1 / 5 } } \quad\quad\color{Cerulean}{Equivalents\:using\:rational\:exponents.}\\ & = 2 ^ { 2 / 3 - 1 / 5 } \:\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:exponents.}\\ & = 2 ^ { 7 / 15 } \\ & = \sqrt [ 15 ] { 2 ^ { 7 } } \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(\sqrt [ 15 ] { 2 ^ { 7 } }\)

    Приклад\(\PageIndex{16}\):

    Спростити:\(\sqrt { \sqrt [ 3 ] { 4 } }\).

    Рішення

    Тут радиканд квадратного кореня - кубічний корінь. Після перезапису цього виразу з використанням раціональних показників ми побачимо, що застосовується правило потужності для експонентів.

    \(\begin{aligned} \sqrt { \sqrt [ 3 ] { 4 } } & = \sqrt { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } } } \\ & = \left( 2 ^ { 2 / 3 } \right) ^ { 1 / 2 } \quad\color{Cerulean}{Equivalents\:using\:rational\:exponents.} \\ & = 2 ^ { ( 2 / 3 ) ( 1 / 2 ) } \quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:exponents.}\\ & = 2 ^ { 1 / 3 } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 2 } \end{aligned}\)

    Відповідь:

    \(\sqrt [ 3 ] { 2 }\)

    Ключові винос

    • Будь-який радикальний вираз можна записати в експоненціальній формі:\(\sqrt [ n ] { a ^ { m } } = a ^ { m / n }\).
    • Дробні показники вказують на радикали. Використовуйте чисельник як ступінь, а знаменник - як індекс радикала.
    • Всі правила показників застосовуються до виразів з раціональними показниками.
    • Якщо операції повинні бути застосовані до радикалів з різними індексами, спочатку перепишіть радикали в експоненціальну форму, а потім застосуйте правила для експонентів.

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Експрес з використанням раціональних показників.

    1. \(\sqrt{10}\)
    2. \(\sqrt{6}\)
    3. \(\sqrt [ 3 ] { 3 }\)
    4. \(\sqrt [ 4 ] { 5 }\)
    5. \(\sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 2 } }\)
    6. \(\sqrt [ 4 ] { 2 ^ { 3 } }\)
    7. \(\sqrt [ 3 ] { 49 }\)
    8. \(\sqrt [ 3 ] { 9 }\)
    9. \(\sqrt [ 5 ] { x }\)
    10. \(\sqrt [ 6 ] { x }\)
    11. \(\sqrt [ 6 ] { x ^ { 7 } }\)
    12. \(\sqrt [ 5 ] { x ^ { 4 } }\)
    13. \(\frac { 1 } { \sqrt { x } }\)
    14. \(\frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } }\)
    Відповідь

    1. \(10 ^ { 1 / 2 }\)

    3. \(3 ^ { 1 / 3 }\)

    5. \(5 ^ { 2 / 3 }\)

    7. \(7 ^ { 2 / 3 }\)

    9. \(x ^ { 1 / 5 }\)

    11. \(x ^ { 7 / 6 }\)

    13. \(x ^ { - 1 / 2 }\)

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Експрес в радикальній формі.

    1. \(10 ^ { 1 / 2 }\)
    2. \(11 ^ { 1 / 3 }\)
    3. \(7 ^ { 2 / 3 }\)
    4. \(2 ^ { 3 / 5 }\)
    5. \(x ^ { 3 / 4 }\)
    6. \(x ^ { 5 / 6 }\)
    7. \(x ^ { - 1 / 2 }\)
    8. \(x ^ { - 3 / 4 }\)
    9. \(\left( \frac { 1 } { x } \right) ^ { - 1 / 3 }\)
    10. \(\left( \frac { 1 } { x } \right) ^ { - 3 / 5 }\)
    11. \(( 2 x + 1 ) ^ { 2 / 3 }\)
    12. \(( 5 x - 1 ) ^ { 1 / 2 }\)
    Відповідь

    1. \(\sqrt { 10 }\)

    3. \(\sqrt [ 3 ] { 49 }\)

    5. \(\sqrt [ 4 ] { x ^ { 3 } }\)

    7. \(\frac { 1 } { \sqrt { x } }\)

    9. \(\sqrt [ 3 ] { x }\)

    11. \(\sqrt [ 3 ] { ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } }\)

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Пишіть як радикал, а потім спрощуйте.

    1. \(64 ^ { 1 / 2 }\)
    2. \(49 ^ { 1 / 2 }\)
    3. \(\left( \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { 1 / 2 }\)
    4. \(\left( \frac { 4 } { 9 } \right) ^ { 1 / 2 }\)
    5. \(4 ^ { - 1 / 2 }\)
    6. \(9 ^ { - 1 / 2 }\)
    7. \(\left( \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { - 1 / 2 }\)
    8. \(\left( \frac { 1 } { 16 } \right) ^ { - 1 / 2 }\)
    9. \(8 ^ { 1 / 3 }\)
    10. \(125 ^ { 1 / 3 }\)
    11. \(\left( \frac { 1 } { 27 } \right) ^ { 1 / 3 }\)
    12. \(\left( \frac { 8 } { 125 } \right) ^ { 1 / 3 }\)
    13. \(( - 27 ) ^ { 1 / 3 }\)
    14. \(( - 64 ) ^ { 1 / 3 }\)
    15. \(16 ^ { 1 / 4 }\)
    16. \(625 ^ { 1 / 4 }\)
    17. \(81 ^ { - 1 / 4 }\)
    18. \(16 ^ { - 1 / 4 }\)
    19. \(100,000 ^ { 1 / 5 }\)
    20. \(( - 32 ) ^ { 1 / 5 }\)
    21. \(\left( \frac { 1 } { 32 } \right) ^ { 1 / 5 }\)
    22. \(\left( \frac { 1 } { 243 } \right) ^ { 1 / 5 }\)
    23. \(9 ^ { 3 / 2 }\)
    24. \(4 ^ { 3 / 2 }\)
    25. \(8 ^ { 5 / 3 }\)
    26. \(27 ^ { 2 / 3 }\)
    27. \(16 ^ { 3 / 2 }\)
    28. \(32 ^ { 2 / 5 }\)
    29. \(\left( \frac { 1 } { 16 } \right) ^ { 3 / 4 }\)
    30. \(\left( \frac { 1 } { 81 } \right) ^ { 3 / 4 }\)
    31. \(( - 27 ) ^ { 2 / 3 }\)
    32. \(( - 27 ) ^ { 4 / 3 }\)
    33. \(( - 32 ) ^ { 3 / 5 }\)
    34. \(( - 32 ) ^ { 4 / 5 }\)
    Відповідь

    1. \(8\)

    3. \(\frac{1}{2}\)

    5. \(\frac{1}{2}\)

    7. \(2\)

    9. \(2\)

    11. \(frac{1}{3}\)

    13. \(-3\)

    15. \(2\)

    17. \(\frac{1}{3}\)

    19. \(10\)

    21. \(\frac{1}{2}\)

    23. \(27\)

    25. \(32\)

    27. \(64\)

    29. \(\frac{1}{8}\)

    31. \(9\)

    33. \(-8\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Використовуйте калькулятор, щоб приблизити відповідь, округлену до найближчих сотих.

    1. \(2 ^ { 1 / 2 }\)
    2. \(2 ^ { 1 / 3 }\)
    3. \(2 ^ { 3 / 4 }\)
    4. \(3 ^ { 2 / 3 }\)
    5. \(5 ^ { 1 / 5 }\)
    6. \(7 ^ { 1 / 7 }\)
    7. \(( - 9 ) ^ { 3 / 2 }\)
    8. \(- 9 ^ { 3 / 2 }\)
    9. Поясніть, чому\(( - 4 ) ^ { \wedge } ( 3 / 2 )\) видає помилку на калькуляторі і\(- 4 ^ { \wedge } ( 3 / 2 )\) дає відповідь\(−8\).
    10. Марсі отримала текстове повідомлення від Марка з проханням її віку. У відповідь Марсі написала назад «\(125 ^ { \wedge } ( 2 / 3 )\)років». Допоможіть Марку визначити вік Марсі.
    Відповідь

    1. \(1.41\)

    3. \(1.68\)

    5. \(1.38\)

    7. Чи не дійсне число

    9. Відповідь може відрізнятися

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Виконайте операції і спростіть. Залиште відповіді в експоненціальній формі.

    1. \(5 ^ { 3 / 2 } \cdot 5 ^ { 1 / 2 }\)
    2. \(3 ^ { 2 / 3 } \cdot 3 ^ { 7 / 3 }\)
    3. \(5 ^ { 1 / 2 } \cdot 5 ^ { 1 / 3 }\)
    4. \(2 ^ { 1 / 6 } \cdot 2 ^ { 3 / 4 }\)
    5. \(y ^ { 1 / 4 } \cdot y ^ { 2 / 5 }\)
    6. \(x ^ { 1 / 2 } \cdot x ^ { 1 / 4 }\)
    7. \(\frac { 5 ^ { 11 / 3 } } { 5 ^ { 2 / 3 } }\)
    8. \(\frac { 2 ^ { 9 / 2 } } { 2 ^ { 1 / 2 } }\)
    9. \(\frac { 2 a ^ { 2 / 3 } } { a ^ { 1 / 6 } }\)
    10. \(\frac { 3 b ^ { 1 / 2 } } { b ^ { 1 / 3 } }\)
    11. \(\left( 8 ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 2 / 3 }\)
    12. \(\left( 3 ^ { 6 } \right) ^ { 2 / 3 }\)
    13. \(\left( x ^ { 2 / 3 } \right) ^ { 1 / 2 }\)
    14. \(\left( y ^ { 3 / 4 } \right) ^ { 4 / 5 }\)
    15. \(\left( y ^ { 8 } \right) ^ { - 1 / 2 }\)
    16. \(\left( y ^ { 6 } \right) ^ { - 2 / 3 }\)
    17. \(\left( 4 x ^ { 2 } y ^ { 4 } \right) ^ { 1 / 2 }\)
    18. \(\left( 9 x ^ { 6 } y ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 }\)
    19. \(\left( 2 x ^ { 1 / 3 } y ^ { 2 / 3 } \right) ^ { 3 }\)
    20. \(\left( 8 x ^ { 3 / 2 } y ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 2 }\)
    21. \(\left( 36 x ^ { 4 } y ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 }\)
    22. \(\left( 8 x ^ { 3 } y ^ { 6 } z ^ { - 3 } \right) ^ { - 1 / 3 }\)
    23. \(\left( \frac { a ^ { 3 / 4 } } { a ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { 4 / 3 }\)
    24. \(\left( \frac { b ^ { 4 / 5 } } { b ^ { 1 / 10 } } \right) ^ { 10 / 3 }\)
    25. \(\left( \frac { 4 x ^ { 2 / 3 } } { y ^ { 4 } } \right) ^ { 1 / 2 }\)
    26. \(\left( \frac { 27 x ^ { 3 / 4 } } { y ^ { 9 } } \right) ^ { 1 / 3 }\)
    27. \(\frac { y ^ { 1 / 2 } y ^ { 2 / 3 } } { y ^ { 1 / 6 } }\)
    28. \(\frac { x ^ { 2 / 5 } x ^ { 1 / 2 } } { x ^ { 1 / 10 } }\)
    29. \(\frac { x y } { x ^ { 1 / 2 } y ^ { 1 / 3 } }\)
    30. \(\frac { x ^ { 5 / 4 } y } { x y ^ { 2 / 5 } }\)
    31. \(\frac { 49 a ^ {5/7 } b ^ { 3 / 2 } } { 7 a ^ { 3 /7 } b ^ { 1 / 4 } }\)
    32. \(\frac { 16 a ^ { 5 / 6 } b ^ { 5 / 4 } } { 8 a ^ { 1 / 2 } b ^ { 2 / 3 } }\)
    33. \(\frac { \left( 9 x ^ { 2 / 3 } y ^ { 6 } \right) ^ { 3 / 2 } } { x ^ { 1 / 2 } y }\)
    34. \(\frac { \left( 125 x ^ { 3 } y ^ { 3 / 5 } \right) ^ { 2 / 3 } } { x y ^ { 1 / 3 } }\)
    35. \(\frac { \left( 27 a ^ { 1 / 4 } b ^ { 3 / 2 } \right) ^ { 2 / 3 } } { a ^ { 1 / 6 } b ^ { 1 / 2 } }\)
    36. \(\frac { \left( 25 a ^ { 2 / 3 } b ^ { 4 / 3 } \right) ^ { 3 / 2 } } { a ^ { 1 / 6 } b ^ { 1 / 3 } }\)
    37. \(\left( 16 x ^ { 2 } y ^ { - 1 / 3 } z ^ { 2 / 3 } \right) ^ { - 3 / 2 }\)
    38. \(\left( 81 x ^ { 8 } y ^ { - 4 / 3 } z ^ { - 4 } \right) ^ { - 3 / 4 }\)
    39. \(\left( 100 a ^ { - 2 / 3 } b ^ { 4 } c ^ { - 3 / 2 } \right) ^ { - 1 / 2 }\)
    40. \(\left( 125 a ^ { 9 } b ^ { - 3 / 4 } c ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 / 3 }\)
    Відповідь

    1. \(25\)

    3. \(5 ^ { 5 / 6 }\)

    5. \(y ^ { 13 / 20 }\)

    7. \(125\)

    9. \(2 a ^ { 1 / 2 }\)

    11. \(2\)

    13. \(x ^ { 1 / 3 }\)

    15. \(\frac { 1 } { y ^ { 4 } }\)

    17. \(2 x y ^ { 2 }\)

    19. \(8 x y ^ { 2 }\)

    21. \(\frac { 1 } { 6 x ^ { 2 } y }\)

    23. \(a ^ { 1 / 3 }\)

    25. \(\frac { 2 x ^ { 1 / 3 } } { y ^ { 2 } }\)

    27. \(y\)

    29. \(x ^ { 1 / 2 } y ^ { 2 / 3 }\)

    31. \(7 a ^ { 2/7 } b ^ { 5 / 4 }\)

    33. \(27 x ^ { 1 / 2 } y ^ { 8 }\)

    35. \(9 b ^ { 1 / 2 }\)

    37. \(\frac { y ^ { 1 / 2 } } { 64 x ^ { 3 } z }\)

    39. \(\frac { a ^ { 1 / 3 } b ^ { 3 / 4 } } { 10 b ^ { 2 } }\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Виконайте операції.

    1. \(\sqrt [ 3 ] { 9 } \cdot \sqrt [ 5 ] { 3 }\)
    2. \(\sqrt { 5 } \cdot \sqrt [ 5 ] { 25 }\)
    3. \(\sqrt { x } \cdot \sqrt [ 3 ] { x }\)
    4. \(\sqrt { y } \cdot \sqrt [ 4 ] { y }\)
    5. \(\sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } \cdot \sqrt [ 4 ] { x }\)
    6. \(\sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } } \cdot \sqrt [ 3 ] { x }\)
    7. \(\frac { \sqrt [ 3 ] { 100 } } { \sqrt { 10 } }\)
    8. \(\frac { \sqrt [ 5 ] { 16 } } { \sqrt [ 3 ] { 4 } }\)
    9. \(\frac { \sqrt [ 3 ] { a ^ { 2 } } } { \sqrt { a } }\)
    10. \(\frac { \sqrt [ 5 ] { b ^ { 4 } } } { \sqrt [ 3 ] { b } }\)
    11. \(\frac { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } { \sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } } }\)
    12. \(\frac { \sqrt [ 4 ] { x ^ { 3 } } } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } }\)
    13. \(\sqrt { \sqrt [ 5 ] { 16 } }\)
    14. \(\sqrt { \sqrt [ 3 ] { 9 } }\)
    15. \(\sqrt [ 3 ] { \sqrt [ 5 ] { 2 } }\)
    16. \(\sqrt [ 3 ] { \sqrt [ 5 ] { 5 } }\)
    17. \(\sqrt [ 3 ] { \sqrt { 7 } }\)
    18. \(\sqrt [ 3 ] { \sqrt { 3 } }\)
    Відповідь

    1. \(\sqrt [ 15 ] { 3 ^ { 13 } }\)

    3. \(\sqrt [ 6 ] { x ^ { 5 } }\)

    5. \(\sqrt [ 12 ] { x ^ { 11 } }\)

    7. \(\sqrt [ 6 ] { 10 }\)

    9. \(\sqrt [ 6 ] { a }\)

    11. \(\sqrt [ 15 ] { x }\)

    13. \(\sqrt [ 5 ] { 4 }\)

    15. \(\sqrt [ 15 ] { 2 }\)

    17. \(\sqrt [ 6 ] { 7 }\)

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    1. Хто зараховується за розробку позначення, що дозволяє раціональні показники? Які інші його досягнення?
    2. При використанні тексту найкраще передавати коріння\(n\) за допомогою раціональних показників. Наведемо приклад.
    Відповідь

    1. Відповідь може відрізнятися

    Виноски

    20 Дробовий показник\(m/n\), який вказує на радикал з індексом\(n\) та показником\(m\):\(a ^ {m / n } = \sqrt [ n ] { a ^ { m } }\).

    21 Еквівалентний вираз, написаний з використанням раціонального показника.