5.1: Коріння і радикали

Цілі навчання

• Визначте та оцініть квадратні та кубові корені.
• Визначте область функцій за участю квадратних і кубових коренів.
• Оцініть$n$ коріння.
• Спрощення радикалів, використовуючи продукт і часткові правила для радикалів.

Квадратні та кубові корені

Нагадаємо, що квадратний корінь ¹ числа - це число, яке при множенні на себе дає вихідне число. Наприклад,$5$ це квадратний корінь$25$, тому що$5^{2} = 25$. Так як$(−5)^{2} = 25$, можна сказати, що$−5$ це квадратний корінь$25$, а також. Кожне додатне дійсне число має два квадратних кореня, один позитивний і один негативний. З цієї причини ми використовуємо знак радикала для$√$ позначення головного (невід'ємного) квадратного кореня ² і негативний знак перед радикалом$−√$ для позначення негативного квадратного кореня.

$\begin{aligned} \sqrt { 25 } & = 5 \quad\quad\color{Cerulean} { Positive\: square \:root \:of \: 25} \\ - \sqrt { 25 } & = - 5 \quad\:\color{Cerulean} { Negative \:square\: root \:of\: 25} \end{aligned}$

Нуль - єдине дійсне число з одним квадратним коренем.

$\sqrt { 0 } = 0 \text { because } 0 ^ { 2 } = 0$

Приклад$\PageIndex{1}$:

Оцінити.

1. $\sqrt { 121 }$
2. $- \sqrt { 81 }$

Рішення

1. $\sqrt { 121 } = \sqrt { 11 ^ { 2 } } = 11$
2. $- \sqrt { 81 } = - \sqrt { 9 ^ { 2 } } = - 9$

Якщо радиканд ³, число всередині знака радикала, може враховуватися як квадрат іншого числа, то очевидний квадратний корінь числа. В даному випадку ми маємо наступну властивість:

$\sqrt { a ^ { 2 } } = a \quad \text { if } \quad a \geq 0$

Або загалом,

$\sqrt { a ^ { 2 } } = | a | \quad \text { if } \quad a \in R$

Абсолютне значення має важливе значення, оскільки$a$ може бути від'ємним числом, а знак радикала позначає основний квадратний корінь. Наприклад,

$\sqrt { ( - 8 ) ^ { 2 } } = | -8| = 8$

Використовуйте абсолютне значення, щоб забезпечити позитивний результат.

Приклад$\PageIndex{2}$:

Спростити:$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } }$.

Рішення

Тут змінний вираз$x − 2$ може бути від'ємним, нульовим або позитивним. Оскільки знак залежить від невідомої кількості$x$, ми повинні переконатися, що ми отримуємо основний квадратний корінь, використовуючи абсолютне значення.

$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } } = | x - 2 |$

Відповідь:

$| x - 2 |$

Важливість використання абсолютного значення в попередньому прикладі очевидна, коли ми оцінюємо за допомогою значень, які роблять радикаі негативним. Наприклад, коли$x = 1$,

$\begin{aligned} \sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } } & = | x - 2 | \\ & = | 1 - 2 | \\ & = | - 1 | \\ & = 1 \end{aligned}$

Далі розглянемо квадратний корінь від'ємного числа. Щоб визначити квадратний корінь$−25$, ви повинні знайти число, яке при квадраті призводить до$−25$:

$\sqrt { - 25 } = \color{Cerulean}{?} \color{black}\quad{ \text { or }} \quad( \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )} ^ { 2 } = - 25$

Однак будь-яке дійсне число в квадраті завжди призводить до позитивного числа. Квадратний корінь від'ємного числа в даний час залишається невизначеною. Наразі ми будемо констатувати, що$\sqrt { - 25 }$ це не реальне число. Отже, функція квадратного кореня ⁴, задана не$f ( x ) = \sqrt { x }$ є дійсним числом, якщо$x$ -значення від'ємні. Найменше значення в домені дорівнює нулю. Наприклад,$f ( 0 ) = \sqrt { 0 } = 0$ і$f ( 4 ) = \sqrt { 4 } = 2$. Нагадаємо графік функції квадратного кореня.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Домен і діапазон складаються з дійсних чисел, більших або рівних нулю:$[0, ∞)$. Щоб визначити область функції з квадратним коренем, ми розглянемо радиканд і знаходимо значення, які дають невід'ємні результати.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Визначте область функції, визначеної за допомогою$f ( x ) = \sqrt { 2 x + 3 }$.

Рішення

Ось радиканд$2x + 3$. Цей вираз має бути нульовим або позитивним. Іншими словами,

$2 x + 3 \geq 0$

Вирішити для$x$.

$\begin{aligned} 2 x + 3 & \geq 0 \\ 2 x & \geq - 3 \\ x & \geq - \frac { 3 } { 2 } \end{aligned}$

Відповідь:

Домен:$\left[ - \frac { 3 } { 2 } , \infty \right)$

Кубичний корінь ⁵ числа - це число, яке при помноженні на себе три рази дає початкове число. Крім того, ми позначаємо кубічний корінь за допомогою символу$\sqrt [ 3 ] { }$, де$3$ називається індекс ⁶. Наприклад,

$\sqrt [ 3 ] { 64 } = 4 , \text { because } 4 ^ { 3 } = 64$

Твір трьох рівних факторів буде позитивним, якщо фактор позитивний і негативний, якщо фактор негативний. З цієї причини будь-яке дійсне число матиме лише один реальний кубічний корінь. Звідси технічні характеристики, пов'язані з основним коренем, не застосовуються. Наприклад,

$\sqrt [ 3 ] { - 64 } = - 4 , \text { because } ( - 4 ) ^ { 3 } = - 64$

Загалом, з огляду на будь-яке дійсне число$a$, ми маємо наступну властивість:

$\sqrt [ 3 ] { a ^ { 3 } } = a \quad \text { if } \quad a \in R$

Спрощуючи кубічні корені, шукайте фактори, які є ідеальними кубами.

Приклад$\PageIndex{4}$:

Оцінити.

1. $\sqrt [ 3 ] { 8 }$
2. $\sqrt [ 3 ] { 0 }$
3. $\sqrt [ 3 ] { \frac { 1 } { 27 } }$
4. $\sqrt [ 3 ] { - 1 }$
5. $\sqrt [ 3 ] { - 125 }$

Рішення

1. $\sqrt [ 3 ] { 8 } = \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 3 } } = 2$
2. $\sqrt [ 3 ] { 0 } = \sqrt [ 3 ] { 0 ^ { 3 } } = 0$
3. $\sqrt [ 3 ] { \frac { 1 } { 27 } } = \sqrt [ 3 ] { \left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 3 }$
4. $\sqrt [ 3 ] { - 1 } = \sqrt [ 3 ] { ( - 1 ) ^ { 3 } } = - 1$
5. $\sqrt [ 3 ] { - 125 } = \sqrt [ 3 ] { ( - 5 ) ^ { 3 } } = - 5$

Може трапитися так, що радиканд не є ідеальним квадратом або кубом. Якщо ціле число не є ідеальною силою індексу, то його корінь буде нераціональним. Наприклад,$\sqrt [ 3 ] { 2 }$ це ірраціональне число, яке можна наблизити на більшості калькуляторів за допомогою$\sqrt [ x ] { }$ кореневої кнопки. Залежно від калькулятора, ми зазвичай набираємо індекс перед натисканням кнопки, а потім радиканд наступним чином:

$3 \quad\sqrt [ x ] {y }\quad2\quad=$

Тому у нас є

$\sqrt [ 3 ] { 2 } \approx 1.260 , \quad \text { because } \quad 1.260 ^{\wedge} 3 \approx 2$

Оскільки кубові корені можуть бути від'ємними, нульовими або додатними, ми не використовуємо жодних абсолютних значень.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Спростити:$\sqrt [ 3 ] { ( y - 7 ) ^ { 3 } }$.

Рішення

Кубичний корінь кількості в кубі - це така кількість.

$\sqrt [ 3 ] { ( y - 7 ) ^ { 3 } } = y - 7$

Відповідь:

$y-7$

Вправа$\PageIndex{1}$

Оцініть:$\sqrt [ 3 ] { - 1000 }$.

Відповідь

$=10$

www.youtube.com/В/Б06Ніс-3Гіг

Далі розглянемо функцію кореня куба ⁷:

$f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x } \quad\color{Cerulean}{Cube\:root\:function.}$

Оскільки кубічний корінь може бути як негативним, так і позитивним, робимо висновок, що домен складається з усіх дійсних чисел. Намалюйте графік, намалювавши точки. Виберіть деякі позитивні і від'ємні значення для$x$, а також нуль, а потім обчислити відповідні$y$ -значення.

Таблиця$\PageIndex{1}$

$x$	$f(x)$	$f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x }$	$\color{Cerulean}{Ordered\:Pairs}$
\ (x\) ">$-8$	\ (f (x)\) ">$\color{Cerulean}{-2}$	\ (f (x) =\ sqrt [3] {x}\) ">$f ( - 8 ) = \sqrt [ 3 ] { - 8 } = - 2$	\ (\ color {Cerulean} {Упорядковано\ :Пари}\) ">$(-8,-2)$
\ (x\) ">$-1$	\ (f (x)\) ">$\color{Cerulean}{-1}$	\ (f (x) =\ sqrt [3] {x}\) ">$f ( - 1 ) = \sqrt [ 3 ] { - 1 } = - 1$	\ (\ color {Cerulean} {Упорядковано\ :Пари}\) ">$(-1,-1)$
\ (x\) ">$0$	\ (f (x)\) ">$\color{Cerulean}{0}$	\ (f (x) =\ sqrt [3] {x}\) ">$f ( 0 ) = \sqrt [ 3 ] { 0 } = 0$	\ (\ color {Cerulean} {Упорядковано\ :Пари}\) ">$(0,0)$
\ (x\) ">$1$	\ (f (x)\) ">$\color{Cerulean}{1}$	\ (f (x) =\ sqrt [3] {x}\) ">$f ( 1 ) = \sqrt [ 3 ] { 1 } = 1$	\ (\ color {Cerulean} {Упорядковано\ :Пари}\) ">$(1,1)$
\ (x\) ">$8$	\ (f (x)\) ">$\color{Cerulean}{2}$	\ (f (x) =\ sqrt [3] {x}\) ">$f ( 8 ) = \sqrt [ 3 ] { 8 } = 2$	\ (\ color {Cerulean} {Упорядковано\ :Пари}\) ">$(8,2)$

Побудуйте точки та намалюйте графік функції кореня куба.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Графік проходить тест вертикальної лінії і дійсно є функцією. Крім того, діапазон складається з усіх дійсних чисел.

Приклад$\PageIndex{6}$:

Дано$g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 1 } + 2$, знайдіть$g ( - 9 ) , g ( - 2 ) , g ( - 1 )$, і$g(0)$. Намалюйте графік$g$.

Рішення

$x$Замініть на задані значення.

Таблиця$\PageIndex{2}$

$x$	$g(x)$	$g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 1 } + 2$	$\color{Cerulean}{Ordered\:Pairs}$
\ (x\) ">$-9$	\ (g (x)\) ">$\color{Cerulean}{0}$	\ (g (x) =\ sqrt [3] {x + 1} + 2\) ">$g ( \color{OliveGreen}{- 9}\color{black}{ )} = \sqrt [ 3 ] { \color{OliveGreen}{- 9}\color{black}{ +} 1 } + 2 = \sqrt [ 3 ] { - 8 } + 2 = - 2 + 2 = 0$	\ (\ color {Cerulean} {Упорядковано\ :Пари}\) ">$(-9,0)$
\ (x\) ">$-2$	\ (g (x)\) ">$\color{Cerulean}{1}$	\ (g (x) =\ sqrt [3] {x + 1} + 2\) ">$g ( \color{OliveGreen}{- 2}\color{black}{ )} = \sqrt [ 3 ] {\color{OliveGreen}{ - 2}\color{black}{ +} 1 } + 2 = \sqrt [ 3 ] { - 1 } + 2 = - 1 + 2 = 1$	\ (\ color {Cerulean} {Упорядковано\ :Пари}\) ">$(-2,1)$
\ (x\) ">$-1$	\ (g (x)\) ">$\color{Cerulean}{2}$	\ (g (x) =\ sqrt [3] {x + 1} + 2\) ">$g ( \color{OliveGreen}{- 1}\color{black}{ )} = \sqrt [ 3 ] { \color{OliveGreen}{- 1}\color{black}{ +} 1 } + 2 = \sqrt [ 3 ] { 0 } + 2 = 0 + 2 = 2$	\ (\ color {Cerulean} {Упорядковано\ :Пари}\) ">$(-1,2)$
\ (x\) ">$0$	\ (g (x)\) ">$\color{Cerulean}{3}$	\ (g (x) =\ sqrt [3] {x + 1} + 2\) ">$g ( \color{OliveGreen}{0}\color{black}{ )} = \sqrt [ 3 ] { \color{OliveGreen}{0}\color{black}{ +} 1 } + 2 = \sqrt [ 3 ] { 1 } + 2 = 1 + 2 = 3$	\ (\ color {Cerulean} {Упорядковано\ :Пари}\) ">$(0,3)$

Ми також можемо намалювати графік, використовуючи такі переклади:

$\begin{array} { l } { y = \sqrt [ 3 ] { x } \quad\quad\quad\quad \color{Cerulean} { Basic\: cube \:root\: function } } \\ { y = \sqrt [ 3 ] { x + 1 } \quad \quad\:\color{Cerulean} { Horizontal\: shift\: left\: 1\: unit } } \\ { y = \sqrt [ 3 ] { x + 1 } + 2 \:\:\:\color{Cerulean} { Vertical\: shift\: up\: 2\: units } } \end{array}$

Відповідь:

Малюнок$\PageIndex{3}$

$n$Коріння

Для будь-якого цілого числа$n ≥ 2$ ми визначаємо корінь ⁸ додатного дійсного числа як число, яке при підвищенні до$n$ ї степені дає початкове число.$n$ З огляду на будь-яке невід'ємне дійсне число$a$, ми маємо таку властивість:

$\sqrt [ n ] { a ^ { n } } = a , \quad \text { if } \quad a \geq 0$

Тут n називається індексом і$a^{n}$ називається радикандом. Крім того, ми можемо називати весь$\sqrt [ n ] { A }$ вираз радикалом ⁹. Коли індекс є цілим числом більше або дорівнює$4$, ми говоримо «четвертий корінь», «п'ятий корінь» і так далі. Корінь будь-якого числа очевидний, якщо ми можемо записати радиканд з показником, рівним індексу.$n$

Приклад$\PageIndex{7}$:

Спростити:

1. $\sqrt [ 4 ] { 81 }$
2. $\sqrt [ 5 ] { 32 }$
3. $\sqrt [ 7 ] { 1 }$
4. $\sqrt [ 4 ] { \frac { 1 } { 16 } }$

Рішення

1. $\sqrt [ 4 ] { 81 } = \sqrt [ 4 ] { 3 ^ { 4 } } = 3$
2. $\sqrt [ 5 ] { 32 } = \sqrt [ 5 ] { 2 ^ { 5 } } = 2$
3. $\sqrt [ 7 ] { 1 } = \sqrt [ 7 ] { 1 ^ { 7 } } = 1$
4. $\sqrt [ 4 ] { \frac { 1 } { 16 } } = \sqrt [ 4 ] { \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 4 } } = \frac { 1 } { 2 }$

Примітка

Якщо індекс є$n = 2$, то радикал вказує на квадратний корінь і прийнято писати радикал без індексу;$\sqrt [ 2 ] { a } = \sqrt { a }$.

Ми вже подбали про визначення основного квадратного кореня дійсного числа. У цей момент ми поширюємо цю ідею до n-го коренів, коли n парне. Наприклад,$3$ це четвертий корінь$81$, тому що$3^{4} = 81$. А оскільки$(−3)^{4} = 81$, можна сказати, що$−3$ це четвертий корінь$81$, а також. Отже, ми використовуємо радикальний знак$\sqrt [ n ] { }$ для позначення основного (ненегативного)$n$ го кореня ¹⁰, коли$n$ парний. У цьому випадку для будь-якого реального числа$a$ ми використовуємо таку властивість:

$\sqrt [ n ] { a ^ { n } } = | a | \quad \color{Cerulean} { When\:n\:is\:even }$

Наприклад,

$\begin{aligned} \sqrt [ 4 ] { 81 } & = \sqrt [ 4 ] { 3 ^ { 4 } } \quad\quad= |3| \:\:\:\:\:= 3 \\ \sqrt [ 4 ] { 81 } & = \sqrt [ 4 ] { ( - 3 ) ^ { 4 } } \:\:= | - 3 | = 3 \end{aligned}$

Негативний$n$ й корінь, коли$n$ парний, буде позначатися за допомогою негативного знака перед радикалом$- \sqrt [ n ] { }$.

$- \sqrt [ 4 ] { 81 } = - \sqrt [ 4 ] { 3 ^ { 4 } } = - 3$

Ми бачили, що квадратний корінь негативного числа не є реальним, тому що будь-яке дійсне число, яке знаходиться в квадраті, призведе до позитивного числа. Насправді подібна проблема виникає при будь-якому парному показнику:

$\sqrt [ 4 ] { - 81 } =\color{Cerulean}{ ?} \quad \color{black}{\text { or }} \quad (\color{Cerulean}{ ?}\color{black}{ )} ^ { 4 } = - 81$

Ми бачимо, що четвертий корінь не$−81$ є дійсним числом, тому що четверта ступінь будь-якого дійсного числа завжди позитивна.

$\left. \begin{array} { l } { \sqrt { - 4 } } \\ { \sqrt [ 4 ] { - 81 } } \\ { \sqrt [ 6 ] { - 64 } } \end{array} \right\} \quad \color{Cerulean}{These\:radicals\:are\:not\:real\:numbers.}$

Вам рекомендується спробувати все це на калькуляторі. Що це говорить?

Приклад$\PageIndex{8}$:

Спростити.

1. $\sqrt [ 4 ] { ( - 10 ) ^ { 4 } }$
2. $\sqrt [ 4 ] { - 10 ^ { 4 } }$
3. $\sqrt [ 6 ] { ( 2 y + 1 ) ^ { 6 } }$

Рішення

Оскільки індекси рівні, використовуйте абсолютні значення для забезпечення ненегативних результатів.

1. $\sqrt [ 4 ] { ( - 10 ) ^ { 4 } } = | - 10 | = 10$
2. $\sqrt [ 4 ] { - 10 ^ { 4 } } = \sqrt [ 4 ] { - 10,000 }$не є дійсним числом.
3. $\sqrt [ 6 ] { ( 2 y + 1 ) ^ { 6 } } = | 2 y + 1 |$

Коли показник$n$ непарний, таких же проблем не виникає. Твір непарного числа позитивних чинників позитивне, а добуток непарного числа негативних чинників - негативним. Отже, коли індекс$n$ непарний, існує лише один$n$ дійсний корінь для будь-якого дійсного числа$a$. І ми маємо наступну властивість:

$\sqrt [ n ] { a ^ { n } } = a \quad \color{Cerulean} { When \: n\:is\:odd}$

Приклад$\PageIndex{9}$:

Спростити.

1. $\sqrt [ 5 ] { ( - 10 ) ^ { 5 } }$
2. $\sqrt [ 5 ] { - 32 }$
3. $\sqrt [ 7 ] { ( 2 y + 1 ) ^ { 7 } }$

Рішення

Так як індекси непарні, то абсолютне значення не використовується.

1. $\sqrt [ 5 ] { ( - 10 ) ^ { 5 } } = - 10$
2. $\sqrt [ 5 ] { - 32 } = \sqrt [ 5 ] { ( - 2 ) ^ { 5 } } = - 2$
3. $\sqrt [ 7 ] { ( 2 y + 1 ) ^ { 7 } } = 2 y + 1$

Підсумовуючи, для будь-якого реального числа$a$ ми маємо,

$\begin{aligned} \sqrt [ n ] { a^ { n } } & = | a | \color{Cerulean}\:\:\: { When \: n\: is\: even } \\ \sqrt [ n ] {a^ { n } } & = a \quad\: \color{Cerulean} { When \: n\: is\: odd } \end{aligned}$

Коли$n$ непарний$n$, то корінь позитивний або негативний в залежності від знака радиканда.

$\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { 27 } & = \sqrt [ 3 ] { 3 ^ { 3 } } = 3 \\ \sqrt [ 3 ] { - 27 } & = \sqrt [ 3 ] { ( - 3 ) ^ { 3 } } = - 3 \end{aligned}$

Коли$n$ парний, корінь позитивний або не реальний в залежності від знака радиканда.$n$

$\begin{aligned} \sqrt [ 4 ] { 16 } & = \sqrt [ 4 ] { 2 ^ { 4 } } \quad\:\:= 2 \\ \sqrt [ 4 ] { 16 } & = \sqrt [ 4 ] { ( - 2 ) ^ { 4 } } = | - 2| = 2 \\ \sqrt [ 4 ] { - 16 } & \quad\color{Cerulean} { Not \:a \:real\: number } \end{aligned}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Спростити:$- 8 \sqrt [ 5 ] { - 32 }$.

Відповідь

$16$

www.youtube.com/В/ІК1ХХГК18Ф0

Спрощення радикалів

Не завжди буде так, що радиканд - це досконала сила даного індексу. Якщо це не так, то ми використовуємо правило продукту для радикалів ¹¹ і часткове правило для радикалів ¹², щоб спростити їх. Дано дійсні числа$\sqrt [ n ] { A }$ і$\sqrt [ n ] { B }$,

Таблиця$\PageIndex{3}$

Правило продукту для радикалів:	$\sqrt [ n ] { A \cdot B } = \sqrt [ n ] { A } \cdot \sqrt [ n ] { B }$
Частота правило для радикалів:	$\sqrt [ n ] { \frac { A } { B } } = \frac { \sqrt [ n ] { A } } { \sqrt [ n ] { B } }$

Радикал спрощується ¹³, якщо він не містить жодних факторів, які можна записати як досконалі сили індексу.

Приклад$\PageIndex{10}$:

Спростити:$\sqrt { 150 }$.

Рішення

Тут$150$ можна записати як$2 \cdot 3 \cdot 5 ^ { 2 }$.

$\begin{aligned} \sqrt { 150 } & = \sqrt { 2 \cdot 3 \cdot 5 ^ { 2 } }\quad\quad \color{Cerulean} { Apply\: the\: product \:rule\: for\: radicals.} \\ & = \sqrt { 2 \cdot 3 } \cdot \sqrt { 5 ^ { 2 } }\quad\: \color{Cerulean} { Simplify. } \\ & = \sqrt { 6 } \cdot 5 \\ & = 5 \sqrt { 6 } \end{aligned}$

Ми можемо перевірити нашу відповідь на калькуляторі:

$\sqrt { 150 } \approx 12.25 \quad\text { and }\quad 5 \sqrt { 6 } \approx 12.25$

Також варто відзначити, що

$12.25 ^ { 2 } \approx 150$

Відповідь:

$5 \sqrt { 6 }$

Примітка

$5 \sqrt { 6 }$є точною відповіддю і$12.25$ є приблизною відповіддю. Ми представляємо точні відповіді, якщо не сказано інше.

Приклад$\PageIndex{11}$:

Спростити:$\sqrt [ 3 ] { 160 }$.

Рішення

Скористайтеся простою факторизацією,$160$ щоб знайти найбільший коефіцієнт ідеального куба:

$\begin{aligned} 160 & = 2 ^ { 5 } \cdot 5 \\ & = \color{Cerulean}{2 ^ { 3} }\color{black}{ \cdot} 2 ^ { 2 } \cdot 5 \end{aligned}$

Замініть радиканд цією факторизацією, а потім застосуйте правило продукту для радикалів.

$\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { 160 } & = \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 3 } \cdot 2 ^ { 2 } \cdot 5 } \quad\quad\color{Cerulean} { Apply\:the\: product\: rule\: for\: radicals.} \\ & = \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 3 } } \cdot \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } \cdot 5 }\quad \color{Cerulean} { Simplify. } \\ & = 2 \cdot \sqrt [ 3 ] { 20 } \end{aligned}$

Ми можемо перевірити нашу відповідь на калькуляторі.

$\sqrt [ 3 ] { 160 } \approx 5.43 \text { and } 2 \sqrt [ 3 ] { 20 } \approx 5.43$

Відповідь:

$2 \sqrt [ 3 ] { 20 }$

Приклад$\PageIndex{12}$:

Спростити:$\sqrt [ 5 ] { - 320 }$.

Рішення

Тут відзначимо, що індекс непарний, а радиканд негативний; отже, результат буде негативним. Ми можемо зарахувати радиканд наступним чином:

$- 320 = - 1 \cdot 32 \cdot 10 = ( - 1 ) ^ { 5 } \cdot ( 2 ) ^ { 5 } \cdot 10$

Тоді спростіть:

$\begin{aligned} \sqrt [ 5 ] { - 320 } & = \sqrt [ 5 ] { ( - 1 ) ^ { 5 } \cdot ( 2 ) ^ { 5 } \cdot 10 } \quad\quad\quad\color{Cerulean} { Apply\: the\: product\: rule\: for\: radicals.} \\ & = \sqrt [ 5 ] { ( - 1 ) ^ { 5 } } \cdot \sqrt [ 5 ] { ( 2 ) ^ { 5 } } \cdot \sqrt [ 5 ] { 10 }\quad \color{Cerulean} { Simplify. } \\ &= -1\cdot2\cdot \sqrt[5]{10} \\ &=-2\cdot \sqrt[5]{10}\end{aligned}$

Відповідь:

$- 2 \sqrt [ 5 ] { 10 }$

Приклад$\PageIndex{13}$:

Спростити:$\sqrt [ 3 ] { - \frac { 8 } { 64 } }$.

Рішення

У цьому випадку розглянемо еквівалентний дріб з$−8 = (−2)^{3}$ в чисельнику і$64 = 4^{3}$ в знаменнику і потім спростити.

$\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { - \frac { 8 } { 64 } } & = \sqrt [ 3 ] { \frac { - 8 } { 64 } } \quad\quad\quad\color{Cerulean} { Apply\: the\: quotient \:rule\: for\: radicals.} \\ & = \frac { \sqrt [ 3 ] { ( - 2 ) ^ { 3 } } } { \sqrt [ 3 ] { 4 ^ { 3 } } }\quad\:\:\: \color{Cerulean} { Simplify. } \\ & = \frac { - 2 } { 4 } \\ & = - \frac { 1 } { 2 } \end{aligned}$

Відповідь:

$-\frac{1}{2}$

Вправа$\PageIndex{3}$

Спростити:$\sqrt [ 4 ] { \frac { 80 } { 81 } }$

Відповідь

$\frac { 2 \sqrt [ 4 ] { 5 } } { 3 }$

www.youtube.com/В/8cwbdbfo2FQ

Ключові виноси

• Щоб спростити квадратний корінь, шукайте найбільший ідеальний квадратний коефіцієнт радиканда, а потім застосуйте правило продукту або частки для радикалів.
• Щоб спростити кубічний корінь, шукайте найбільший ідеальний кубовий коефіцієнт радиканда, а потім застосуйте правило продукту або частки для радикалів.
• При роботі з n-м корінням$n$ визначає визначення, яке застосовується. Ми використовуємо$\sqrt [ n ] { a ^ { n } } = a _ { 1 }$ коли$n$ непарне, а$\sqrt [ n ] { a ^ { n } } = | a |$$n$ коли парне.
• Щоб спростити$n$ коріння, шукайте фактори, які мають силу, рівну індексу,$n$ а потім застосуйте правило продукту або частки для радикалів. Як правило, процес впорядковується, якщо працювати з простою факторизацією радиканда.

Вправа$\PageIndex{4}$

Спростити.

1. $\sqrt { 36 }$
2. $\sqrt { 100 }$
3. $\sqrt { \frac { 4 } { 9 } }$
4. $\sqrt { \frac { 1 } { 64 } }$
5. $- \sqrt { 16 }$
6. $- \sqrt { 1 }$
7. $\sqrt { ( - 5 ) ^ { 2 } }$
8. $\sqrt { ( - 1 ) ^ { 2 } }$
9. $\sqrt { - 4 }$
10. $\sqrt { - 5 ^ { 2 } }$
11. $- \sqrt { ( - 3 ) ^ { 2 } }$
12. $- \sqrt { ( - 4 ) ^ { 2 } }$
13. $\sqrt { x ^ { 2 } }$
14. $\sqrt { ( - x ) ^ { 2 } }$
15. $\sqrt { ( x - 5 ) ^ { 2 } }$
16. $\sqrt { ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } }$
17. $\sqrt [ 3 ] { 64 }$
18. $\sqrt [ 3 ] { 216 }$
19. $\sqrt [ 3 ] { - 216 }$
20. $\sqrt [ 3 ] { - 64 }$
21. $\sqrt [ 3 ] { - 8 }$
22. $\sqrt [ 3 ] { 1 }$
23. $- \sqrt [ 3 ] { ( - 2 ) ^ { 3 } }$
24. $- \sqrt [ 3 ] { ( - 7 ) ^ { 3 } }$
25. $\sqrt [ 3 ] { \frac { 1 } { 8 } }$
26. $\sqrt [ 3 ] { \frac { 8 } { 27 } }$
27. $\sqrt [ 3 ] { ( - y ) ^ { 3 } }$
28. $- \sqrt [ 3 ] { y ^ { 3 } }$
29. $\sqrt [ 3 ] { ( y - 8 ) ^ { 3 } }$
30. $\sqrt [ 3 ] { ( 2 x - 3 ) ^ { 3 } }$

Відповідь

1. $6$

3. $\frac{2}{3}$

5. $−4$

7. $5$

9. Чи не дійсне число

11. $−3$

13. $|x|$

15. $|x − 5|$

17. $4$

19. $−6$

21. $−2$

23. $2$

25. $\frac{1}{2}$

27. $−y$

29. $y − 8$

Вправа$\PageIndex{5}$

Визначте область заданої функції.

1. $g ( x ) = \sqrt { x + 5 }$
2. $g ( x ) = \sqrt { x - 2 }$
3. $f ( x ) = \sqrt { 5 x + 1 }$
4. $f ( x ) = \sqrt { 3 x + 4 }$
5. $g ( x ) = \sqrt { - x + 1 }$
6. $g ( x ) = \sqrt { - x - 3 }$
7. $h ( x ) = \sqrt { 5 - x }$
8. $h ( x ) = \sqrt { 2 - 3 x }$
9. $g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 4 }$
10. $g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x - 3 }$

Відповідь

1. $[ - 5 , \infty )$

3. $\left[ - \frac { 1 } { 5 } , \infty \right)$

5. $( - \infty , 1 ]$

7. $( - \infty , 5 ]$

9. $( - \infty , \infty )$

Вправа$\PageIndex{6}$

Оцінити задане визначення функції.

1. Дано$f ( x ) = \sqrt { x - 1 }$, знайдіть$f ( 1 ) , f ( 2 )$, і$f ( 5 )$
2. Дано$f ( x ) = \sqrt { x + 5 }$, знайдіть$f ( - 5 ) , f ( - 1 )$, і$f ( 20 )$
3. Дано$f ( x ) = \sqrt { x } + 3$, знайдіть$f ( 0 ) , f ( 1 )$, і$f(16)$
4. Дано$f ( x ) = \sqrt { x } - 5$, знайдіть$f ( 0 ) , f ( 1 )$, і$f(25)$
5. Дано$g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x }$, знайдіть$g ( - 1 ) , g ( 0 )$, і$g(1)$
6. Дано$g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x } - 2$ знахідку$g ( - 1 ) , g ( 0 )$, і$g(8)$
7. Дано$g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 7 }$, знайдіть$g ( - 15 ) , g ( - 7 )$, і$g(20)$
8. Дано$g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x - 1 } + 2$, знайдіть$g ( 0 ) , g ( 2 )$, і$g(9)$

Відповідь

1. $f ( 1 ) = 0 ; f ( 2 ) = 1 ; f ( 5 ) = 2$

3. $f ( 0 ) = 3 ; f ( 1 ) = 4 ; f ( 16 ) = 7$

5. $g ( - 1 ) = - 1 ; g ( 0 ) = 0 ; g ( 1 ) = 1$

7. $g ( - 15 ) = - 2 ; g ( - 7 ) = 0 ; g ( 20 ) = 3$

Вправа$\PageIndex{7}$

Намалюйте графік заданої функції і задайте її область і діапазон.

1. $f ( x ) = \sqrt { x + 9 }$
2. $f ( x ) = \sqrt { x - 3 }$
3. $f ( x ) = \sqrt { x - 1 } + 2$
4. $f ( x ) = \sqrt { x + 1 } + 3$
5. $g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x - 1 }$
6. $g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 1 }$
7. $g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x } - 4$
8. $g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x } + 5$
9. $g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 2 } - 1$
10. $g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x - 2 } + 3$
11. $f ( x ) = - \sqrt [ 3 ] { x }$
12. $f ( x ) = - \sqrt [ 3 ] { x - 1 }$

Відповідь

1. Домен:$[ - 9 , \infty )$; діапазон:$[ 0 , \infty )$

Малюнок$\PageIndex{4}$

3. Домен:$[ 1 , \infty )$; діапазон:$[ 2 , \infty )$

Малюнок$\PageIndex{5}$

5. Домен:$\mathbb { R }$; діапазон;$\mathbb { R }$

Малюнок$\PageIndex{6}$

7. Домен:$\mathbb { R }$; діапазон;$\mathbb { R }$

Малюнок$\PageIndex{7}$

9. Домен:$\mathbb { R }$; діапазон;$\mathbb { R }$

Малюнок$\PageIndex{8}$

11. Домен:$\mathbb { R }$; діапазон;$\mathbb { R }$

Малюнок$\PageIndex{9}$

Вправа$\PageIndex{8}$

Спростити.

1. $\sqrt [ 4 ] { 64 }$
2. $\sqrt [ 4 ] { 16 }$
3. $\sqrt [ 4 ] { 625 }$
4. $\sqrt [ 4 ] { 1 }$
5. $\sqrt [ 4 ] { 256 }$
6. $\sqrt [ 4 ] { 10,000 }$
7. $\sqrt [ 5 ] { 243 }$
8. $\sqrt [ 5 ] { 100,000 }$
9. $\sqrt [ 5 ] { \frac { 1 } { 32 } }$
10. $\sqrt [ 5 ] { \frac { 1 } { 243 } }$
11. $- \sqrt [ 4 ] { 16 }$
12. $- \sqrt [ 6 ] { 1 }$
13. $\sqrt [ 5 ] { - 32 }$
14. $\sqrt [ 5 ] { - 1 }$
15. $\sqrt { - 1 }$
16. $\sqrt [ 4 ] { - 16 }$
17. $- 6 \sqrt [ 3 ] { - 27 }$
18. $- 5 \sqrt [ 3 ] { - 8 }$
19. $2 \sqrt [ 3 ] { - 1,000 }$
20. $7 \sqrt [ 5 ] { - 243 }$
21. $6 \sqrt [ 4 ] { - 16 }$
22. $12 \sqrt [ 6 ] { - 64 }$
23. $\sqrt [ 3 ] { \frac { 25 } { 16 } }$
24. $6 \sqrt { \frac { 16 } { 9 } }$
25. $5 \sqrt [ 3 ] { \frac { 27 } { 125 } }$
26. $7 \sqrt [ 5 ] { \frac { 32 } { 7 ^ { 5 } } }$
27. $- 5 \sqrt [ 3 ] { \frac { 8 } { 27 } }$
28. $- 8 \sqrt [ 4 ] { \frac { 625 } { 16 } }$
29. $2 \sqrt [ 5 ] { 100,000 }$
30. $2 \sqrt [ 7 ] { 128 }$

Відповідь

1. $4$

3. $5$

5. $4$

7. $3$

9. $\frac{1}{2}$

11. $−2$

13. $−2$

15. Чи не дійсне число

17. $18$

19. $−20$

21. Чи не дійсне число

23. $\frac{15}{4}$

25. $3$

27. $−\frac{10}{3}$

29. $20$

Вправа$\PageIndex{9}$

Спростити.

1. $\sqrt { 96 }$
2. $\sqrt { 500 }$
3. $\sqrt { 480 }$
4. $\sqrt { 450 }$
5. $\sqrt { 320 }$
6. $\sqrt { 216 }$
7. $5 \sqrt { 112 }$
8. $10 \sqrt { 135 }$
9. $- 2 \sqrt { 240 }$
10. $- 3 \sqrt { 162 }$
11. $\sqrt { \frac { 150 } { 49 } }$
12. $\sqrt { \frac { 200 } { 9 } }$
13. $\sqrt { \frac { 675 } { 121 } }$
14. $\sqrt { \frac { 192 } { 81 } }$
15. $\sqrt [ 3 ] { 54 }$
16. $\sqrt [ 3 ] { 24 }$
17. $\sqrt [ 3 ] { 48 }$
18. $\sqrt [ 3 ] { 81 }$
19. $\sqrt [ 3 ] { 40 }$
20. $\sqrt [ 3 ] { 120 }$
21. $\sqrt [ 3 ] { 162 }$
22. $\sqrt [ 3 ] { 500 }$
23. $\sqrt [ 3 ] { \frac { 54 } { 125 } }$
24. $\sqrt [ 3 ] { \frac { 40 } { 343 } }$
25. $5 \sqrt [ 3 ] { - 48 }$
26. $2 \sqrt [ 3 ] { - 108 }$
27. $8 \sqrt [ 4 ] { 96 }$
28. $7 \sqrt [ 4 ] { 162 }$
29. $\sqrt [ 5 ] { 160 }$
30. $\sqrt [ 5 ] { 486 }$
31. $\sqrt [ 5 ] { \frac { 224 } { 243 } }$
32. $\sqrt [ 5 ] { \frac { 5 } { 32 } }$
33. $\sqrt [ 5 ] { - \frac { 1 } { 32 } }$
34. $\sqrt [ 6 ] { - \frac { 1 } { 64 } }$

Відповідь

1. $4 \sqrt { 6 }$

3. $4 \sqrt { 30 }$

5. $8 \sqrt { 5 }$

7. $20 \sqrt { 7 }$

9. $- 8 \sqrt { 15 }$

11. $\frac { 5 \sqrt { 6 } } { 7 }$

13. $\frac { 15 \sqrt { 3 } } { 11 }$

15. $3 \sqrt [ 3 ] { 2 }$

17. $2 \sqrt [ 3 ] { 6 }$

19. $2 \sqrt [ 3 ] { 5 }$

21. $3 \sqrt [ 3 ] { 6 }$

23. $\frac { 3 \sqrt [ 3 ] { 2 } } { 5 }$

25. $- 10 \sqrt [ 3 ] { 6 }$

27. $16 \sqrt [ 4 ] { 6 }$

29. $2 \sqrt [ 5 ] { 5 }$

31. $\frac { 2 \sqrt [ 5 ] { 7 } } { 3 }$

33. $- \frac { 1 } { 2 }$

Вправа$\PageIndex{10}$

Спростити. Дайте точну відповідь і приблизну відповідь округляйте до найближчих сотих.

1. $\sqrt { 60 }$
2. $\sqrt { 600 }$
3. $\sqrt { \frac { 96 } { 49 } }$
4. $\sqrt { \frac { 192 } { 25 } }$
5. $\sqrt [ 3 ] { 240 }$
6. $\sqrt [ 3 ] { 320 }$
7. $\sqrt [ 3 ] { \frac { 288 } { 125 } }$
8. $\sqrt [ 3 ] { \frac { 625 } { 8 } }$
9. $\sqrt [ 4 ] { 486 }$
10. $\sqrt [ 5 ] { 288 }$

Відповідь

1. $2 \sqrt { 15 } ; 7.75$

3. $\frac { 4 \sqrt { 6 } } { 7 } ; 1.40$

5. $2 \sqrt [ 3 ] { 30 } ; 6.21$

7. $\frac { 2 \sqrt [ 3 ] { 36 } } { 5 } ; 1.32$

9. $3 \sqrt [ 4 ] { 6 } ; 4.70$

Вправа$\PageIndex{11}$

Перепишіть наступне як радикальний вираз з коефектом$1$.

1. $2 \sqrt { 15 }$
2. $3 \sqrt { 7 }$
3. $5 \sqrt { 10 }$
4. $10 \sqrt { 3 }$
5. $2 \sqrt [ 3 ] { 7 }$
6. $3 \sqrt [ 3 ] { 6 }$
7. $2 \sqrt [ 4 ] { 5 }$
8. $3\sqrt [ 4 ] { 2 }$
9. Кожна сторона квадрата має довжину, яка дорівнює квадратному кореню площі квадрата. Якщо площа квадрата дорівнює$72$ квадратним одиницям, знайдіть довжину кожної з його сторін.
10. Кожне ребро куба має довжину, яка дорівнює кореню куба об'єму куба. Якщо обсяг куба дорівнює$375$ кубічним одиницям, знайдіть довжину кожного з його ребер.
11. Струм,$I$ виміряний в амперах, задається за формулою,$I = \sqrt { \frac { P } { R } }$ де$P$ використовується потужність, виміряна у ватах і опір,$R$ виміряний в Омах. Якщо$100$ ватна лампочка має$160$ Ом опору, знайдіть необхідний струм. (Округлити до найближчої сотої частки ампера.)
12. Час у секундах, коли об'єкт знаходиться у вільному падінні, задається формулою,$t = \frac { \sqrt { s } } { 4 }$ де$s$ відображається відстань у футах, на яку впав об'єкт. Скільки часу знадобиться об'єкту, щоб впасти на землю з вершини драбини на$8$ ногу? (Округлення до найближчої десятої частки секунди.)

Відповідь

1. $\sqrt { 60 }$

3. $\sqrt { 250 }$

5. $\sqrt [ 3 ] { 56 }$

7. $\sqrt [ 4 ] { 80 }$

9. $6 \sqrt { 2 }$одиниць

11. $0.79$ампер

Вправа$\PageIndex{12}$

1. Поясніть, чому існує два дійсних квадратних кореня для будь-якого позитивного дійсного числа і один реальний кубічний корінь для будь-якого дійсного числа.
2. Що таке квадратний корінь$1$ і що таке кубічний корінь$1$? Поясніть чому.
3. Поясніть$\sqrt { - 1 }$, чому не реальне число і$\sqrt [ 3 ] { - 1 }$ чому реальне число.
4. Дослідити та обговорити методи розрахунку квадратних коренів перед загальним використанням електронних калькуляторів.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹ Число, яке при множенні на себе дає вихідне число.

² Позитивний квадратний корінь позитивного дійсного числа, що позначається символом$√$.

³ Вираз$A$ всередині радикального знака,$\sqrt [ n ] { A }$.

⁴ Функція, визначена$f ( x ) = \sqrt { x }$.

⁵ Число, яке при використанні як множника з собою тричі дає початкове число, позначається символом$\sqrt [ 3 ] { }$.

⁶ Натуральне число$n$ в позначенні$\sqrt [ n ] { }$, яке використовується для позначення n-го кореня.

⁷ Функція, визначена$f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x }$.

⁸ Число, яке при підвищенні до$n$ ї потужності$(n ≥ 2)$ дає початкове число.

⁹ Використовується при зверненні до виразу форми$\sqrt [ n ] { A }$.

¹⁰ Позитивний$n$ той корінь$n$, коли парний.

¹¹ Дано дійсні числа$\sqrt [ n ] { A }$ і$\sqrt [ n ] { B }$,$\sqrt [ n ] { A \cdot B } = \sqrt [ n ] { A } \cdot \sqrt [ n ] { B }$.

¹² Дано дійсні числа$\sqrt [ n ] { A }$ і$\sqrt [ n ] { B }$,$\sqrt [ n ] { \frac { A } { B } } = \frac { \sqrt [ n ] { A } } { \sqrt [ n ] { B } }$ де$B ≠ 0$.

¹³ Радикал, де радиканд не складається з будь-яких факторів, які можна записати як досконалі сили індексу.