5.6: Рішення радикальних рівнянь

Цілі навчання

• Розв'яжіть рівняння з квадратними коренями
• Вирішити рівняння за участю кубових

радикальні рівняння

Радикальне рівняння ²² - це будь-яке рівняння, яке містить один або кілька радикалів зі змінною в радиканді. Нижче наведено кілька прикладів радикальних рівнянь, всі з яких будуть розв'язані в цьому розділі:

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

\(\sqrt { 2 x - 1 } = 3\)

\(\sqrt [ 3 ] { 4 x ^ { 2 } + 7 } - 2 = 0\)

\(\sqrt { x + 2 } - \sqrt { x } = 1\)

Починаємо з квадратного властивості рівності ²³; задані дійсні числа\(a\) і\(b\), маємо наступне:

\(\text{If}\:\:\:a = b , \text { then } a ^ { 2 } = b ^ { 2 }\)

Іншими словами, рівність зберігається, якщо ми квадратично обидві сторони рівняння.

\(\begin{aligned} - 3 = - 3 \Rightarrow ( - 3 ) ^ { 2 } & = ( - 3 ) ^ { 2 } \\ 9 & = 9\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Зворотне, з іншого боку, не обов'язково вірно,

\(\begin{aligned} 9 &= 9 \\ ( - 3 ) ^ { 2 } &= ( 3 ) ^ { 2 } \Rightarrow - 3 \neq 3\:\:\color{red}{✗} \end{aligned}\)

Це важливо, тому що ми будемо використовувати цю властивість для вирішення радикальних рівнянь. Розглянемо дуже просте радикальне рівняння, яке можна вирішити оглядом,

\(\sqrt { x } = 5\)

Тут ми бачимо, що\(x = 25\) це рішення. Щоб вирішити це рівняння алгебраїчно, використовують квадратичну властивість рівності і той факт, що\(( \sqrt { a } ) ^ { 2 } = \sqrt { a ^ { 2 } } = a\) коли\(a\) невід'ємний. Усуньте квадратний корінь, зрівнявши обидві сторони рівняння наступним чином:

\(\begin{aligned} \color{Cerulean}{(}\color{black}{ \sqrt { x } }\color{Cerulean}{) ^ { 2 }} & \color{black}{=}\color{Cerulean}{ (}\color{black}{ 5}\color{Cerulean}{ ) ^ { 2 }} \\ x & = 25 \end{aligned}\)

Як перевірка, ми можемо побачити це,\(\sqrt{25}=5\) як очікувалося. Оскільки зворотне квадратичне властивість рівності не обов'язково вірно, рішення квадратного рівняння не можуть бути розв'язками оригіналу. Отже, квадратичне обох сторін рівняння вводить можливість сторонніх розв'язків ²⁴, які є розв'язками, які не вирішують вихідного рівняння. Наприклад,

\(\sqrt { x } = - 5\)

Це рівняння явно не має дійсного числового рішення. Однак квадратура обох сторін дає нам рішення:

\(\begin{aligned} \color{Cerulean}{(}\color{black}{ \sqrt { x } }\color{Cerulean}{) ^ { 2 }} & \color{black}{=}\color{Cerulean}{ (}\color{black}{ -5}\color{Cerulean}{ ) ^ { 2 }} \\ x & = 25 \end{aligned}\)

Як перевірка, ми можемо це побачити\(\sqrt { 25 } \neq - 5\). З цієї причини ми повинні перевірити відповіді, які виникають в результаті квадратування обох сторін рівняння.

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Вирішити:\(\sqrt { 3 x + 1 } = 4\).

Рішення

Ми можемо усунути квадратний корінь, застосувавши квадратне властивість рівності.

\(\begin{aligned} \sqrt { 3 x + 1 } & = 4 \\ ( \sqrt { 3 x + 1 } ) ^ { 2 } & = ( 4 ) ^ { 2 }\quad\color{Cerulean}{Square \:both\:sides.} \\ 3 x + 1 & = 16 \quad\:\:\:\color{Cerulean}{Solve.}\\ 3 x & = 15 \\ x & = 5 \end{aligned}\)

Далі ми повинні перевірити.

\(\begin{aligned} \sqrt { 3 (\color{OliveGreen}{ 5}\color{black}{ )} + 1 } & = 4 \\ \sqrt { 15 + 1 } & = 4 \\ \sqrt { 16 } & = 4 \\ 4 & = 4\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(5\).

Існує геометрична інтерпретація до попереднього прикладу. Графік функції, визначеної\(f ( x ) = \sqrt { 3 x + 1 }\) і визначити, де вона перетинає графік, заданий\(g (x) = 4\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Як проілюстровано,\(f ( x ) = g ( x )\) де\(x=5\).

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Вирішити:\(\sqrt { x - 3 } = x - 5\).

Рішення

Почніть зі зведення в квадрат обидві сторони рівняння.

\(\begin{aligned} \sqrt { x - 3 } &= x - 5 \\ ( \sqrt { x - 3 } ) ^ { 2 } &= ( x - 5 ) ^ { 2 }\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Square\:both\:sides.} \\ x - 3 &= x ^ { 2 } - 10 x + 25 \end{aligned}\)

Отримане квадратне рівняння може бути вирішено факторингом.

\(\begin{aligned} x - 3 & = x ^ { 2 } - 10 x + 25 \\ 0 & = x ^ { 2 } - 11 x + 28 \\ 0 & = ( x - 4 ) ( x - 7 ) \end{aligned}\)

\(\begin{array} { r l } { x - 4 = 0 } & { \text { or } \quad x - 7 = 0 } \\ { x = 4 } & \quad\quad\quad\quad\:{ x = 7 } \end{array}\)

Перевірка розв'язків після зведення в квадрат обох сторін рівняння не є необов'язковою. Використовуйте вихідне рівняння при виконанні перевірки.

Таблиця\(\PageIndex{2}\)

\(\color{Cerulean}{Check} \color{black}{x=4}\)	\(\color{Cerulean}{Check} \color{black}{x=7}\)
\(\begin{aligned} \sqrt { x - 3 } & = x - 5 \\ \sqrt { \color{Cerulean}{4}\color{black}{ -} 3 } & = \color{Cerulean}{4}\color{black}{ -} 5 \\ \sqrt { 1 } & = - 1 \\ 1 & = - 1 \quad \color{red}{✗} \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} \sqrt { x - 3 } & = x - 5 \\ \sqrt { \color{Cerulean}{7}\color{black}{ -} 3 } & = \color{Cerulean}{7}\color{black}{ -} 5 \\ \sqrt { 4 } & = 2 \\ 2 & = 2\quad\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Після перевірки можна побачити, що\(x = 4\) це стороннє рішення; воно не вирішує вихідного радикального рівняння. Нехтуйте цією відповіддю. Це залишає\(x = 7\) єдиним рішенням.

Відповідь:

Рішення є\(7\).

Геометрично ми бачимо, що\(f ( x ) = \sqrt { x + 3 }\) дорівнює\(g (x) = x − 5\) де\(x = 7\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

У попередніх двох прикладах зверніть увагу, що радикал ізольований на одній стороні рівняння. Як правило, це не так. Етапи розв'язання радикальних рівнянь за участю квадратних коренів викладені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Вирішити:\(\sqrt { 2 x - 1 } + 2 = x\).

Рішення

Крок 1: Ізолюйте квадратний корінь. Почніть з віднімання 2 з обох сторін рівняння.

\(\begin{aligned} \sqrt { 2 x - 1 } + 2 &= x \\ \sqrt { 2 x - 1 } &= x - 2 \end{aligned}\)

Крок 2: Квадрат з обох сторін. Квадратування обох сторін усуває квадратний корінь.

\(\begin{aligned} ( \sqrt { 2 x - 1 } ) ^ { 2 } &= ( x - 2 ) ^ { 2 } \\ 2 x - 1 &= x ^ { 2 } - 4 x + 4 \end{aligned}\)

Крок 3: Розв'яжіть отримане рівняння. Тут нам залишається квадратне рівняння, яке можна вирішити факторингом.

\(\begin{aligned} 2 x - 1 & = x ^ { 2 } - 4 x + 4 \\ 0 & = x ^ { 2 } - 6 x + 5 \\ 0 & = ( x - 1 ) ( x - 5 ) \end{aligned}\)

\(\begin{array} { r l } { x - 1 = 0 } & { \text { or } \quad x - 5 = 0 } \\ { x = 1 } & \quad\quad\quad\quad{ x = 5 } \end{array}\)

Крок 4: Перевірте рішення у вихідному рівнянні. Квадратування обох сторін вводить можливість сторонніх рішень, отже, потрібна перевірка.

Таблиця\(\PageIndex{3}\)

\(\color{Cerulean}{Check} \color{black}{x=1}\)	\(\color{Cerulean}{Check} \color{black}{x=5}\)
\(\begin{aligned} \sqrt { 2 x - 1 } + 2 & = x \\ \sqrt { 2 ( \color{Cerulean}{1}\color{black}{ )} - 1 } + 2 & = \color{Cerulean}{1} \\ \sqrt { 1 } + 2 & = 1 \\ 1 + 2 & = 1 \\ 3 & = 1 \:\:\color{red}{✗}\end{aligned}\)	\(\begin{aligned} \sqrt { 2 x - 1 } + 2 & = x \\ \sqrt { 2 ( \color{Cerulean}{5}\color{black}{ )} - 1 } + 2 & = \color{Cerulean}{5} \\ \sqrt { 9 } + 2 & = 5 \\ 3 + 2 & = 5 \\ 5 & = 5\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Після перевірки ми бачимо, що\(x = 1\) це стороннє рішення; воно не вирішує вихідного радикального рівняння. Це залишає\(x = 5\) єдиним рішенням.

Відповідь:

Рішення є\(5\).

Іноді існує більше одного рішення радикального рівняння.

Приклад\(\PageIndex{4}\):

Вирішити:\(2 \sqrt { 2 x + 5 } - x = 4\).

Рішення

Почніть з виділення терміна з радикалом.

\(\begin{aligned} 2 \sqrt { 2 x + 5 } - x &= 4 \quad\quad\color{Cerulean}{Add\:x\:to\:both\:sides.} \\ 2 \sqrt { 2 x + 5 } &= x + 4 \end{aligned}\)

Незважаючи на те, що термін з лівого боку має коефіцієнт, ми все ж вважаємо його ізольованим. Нагадаємо, що терміни відокремлюються операторами додавання або віднімання.

\(\begin{aligned} 2 \sqrt { 2 x + 5 } & = x + 4 \\ ( 2 \sqrt { 2 x + 5 } ) ^ { 2 } & = ( x + 4 ) ^ { 2 } \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Square\:both\:sides.}\\ 4 ( 2 x + 5 ) & = x ^ { 2 } + 8 x + 16 \end{aligned}\)

Розв'яжіть отримане квадратне рівняння.

\(\begin{aligned} 4 ( 2 x + 5 ) & = x ^ { 2 } + 8 x + 16 \\ 8 x + 20 & = x ^ { 2 } + 8 x + 16 \\ 0 & = x ^ { 2 } - 4 \\ 0 & = ( x + 2 ) ( x - 2 ) \end{aligned}\)

\(\begin{array} { r l } { x + 2 = 0 } & { \text { or } x - 2 = 0 } \\ { x = - 2 } & \quad\quad\quad\:{ x = 2 } \end{array}\)

Оскільки ми квадратично обидві сторони, ми повинні перевірити наші рішення.

Таблиця\(\PageIndex{4}\)

\(\color{Cerulean}{Check} \color{black}{x=-2}\)	\(\color{Cerulean}{Check} \color{black}{x=2}\)
\(\begin{array} { r } { 2 \sqrt { 2 x + 5 } - x = 4 } \\ { 2 \sqrt { 2 ( \color{Cerulean}{- 2}\color{black}{ )} + 5 } - ( \color{Cerulean}{- 2}\color{black}{ )} = 4 } \\ { 2 \sqrt { - 4 + 5 } + 2 = 4 } \\ { 2 \sqrt { 1 } + 2 = 4 } \\ { 2 + 2 = 4 } \\ { 4 = 4 }\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array}\)	\(\begin{aligned} 2 \sqrt { 2 x + 5 } - x & = 4 \\ 2 \sqrt { 2 (\color{Cerulean}{ 2}\color{black}{ )} + 5 } - ( \color{Cerulean}{2}\color{black}{ )} & = 4 \\ 2 \sqrt { 4 + 5 } - 2 & = 4 \\ 2 \sqrt { 9 } - 2 & = 4 \\ 6 - 2 & = 4 \\ 4 & = 4 \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\)

Після перевірки ми можемо побачити, що обидва є розв'язками вихідного рівняння.

Відповідь:

Рішення є\(\pm 2\).

Іноді обидва можливі рішення є сторонніми.

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Вирішити:\(\sqrt { 4 - 11 x } - x + 2 = 0\).

Рішення

Почніть з виділення радикала.

\(\begin{aligned} \sqrt { 4 - 11 x } - x + 2 & = 0\quad\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Isolate\:the\:radical.} \\ \sqrt { 4 - 11 x } & = x - 2 \\ ( \sqrt { 4 - 11 x } ) ^ { 2 } & = ( x - 2 ) ^ { 2 }\quad\quad\color{Cerulean}{Square\:both\:sides.} \\ 4 - 11 x & = x ^ { 2 } - 4 x + 4\:\:\color{Cerulean}{Solve.} \\ 0 & = x ^ { 2 } + 7 x \\ 0 & = x ( x + 7 ) \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} x = 0 \text { or } x + 7 & = 0 \\ x & = - 7 \end{aligned}\)

Оскільки ми квадратично обидві сторони, ми повинні перевірити наші рішення.

Таблиця\(\PageIndex{5}\)

\(\color{Cerulean}{Check} \color{black}{x=0}\)	\(\color{Cerulean}{Check} \color{black}{x=-7}\)
\(\begin{aligned} \sqrt { 4 - 11 x } - x + 2 & = 0 \\ \sqrt { 4 - 11 ( \color{Cerulean}{0}\color{black}{ )} } -\color{Cerulean}{ 0}\color{black}{ +} 2 & = 0 \\ \sqrt { 4 } + 2 & = 0 \\ 2 + 2 & = 0 \\ 4 & = 0 \:\:\color{red}{✗} \end{aligned}\)	\( \begin{aligned} \sqrt { 4 - 11 x } - x + 2 &=0 \\ \sqrt { 4 - 11 ( \color{Cerulean}{- 7}\color{black}{ )} } - ( \color{Cerulean}{- 7}\color{black}{ )} + 2 &=0 \\ \sqrt { 4 + 77 } + 7 + 2 &=0 \\ \sqrt { 81 } + 9 &=0 \\ 9 + 9 &=0 \\ 18 &=0 \:\:\color{red}{✗} \end{aligned} \)

Оскільки обидва можливі рішення є сторонніми, рівняння не має рішення.

Відповідь:

Немає рішення,\(\emptyset\)

Квадратне властивість рівності поширюється на будь-яку натуральну цілу силу\(n\). З огляду на дійсні числа\(a\) і\(b\), ми маємо наступне:

\(\text{If}\:\:\:a = b , \text { then } a ^ { n } = b ^ { n }\)

Це часто називають властивістю влади рівності ²⁵. Використовують цю властивість поряд з тим\(( \sqrt [ n ] { a } ) ^ { n } = \sqrt [ n ] { a ^ { n } } = a\), що, коли\(a\) невід'ємний, для вирішення радикальних рівнянь з показниками більше\(2\).

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Вирішити\(\sqrt [ 3 ] { 4 x ^ { 2 } + 7 } - 2 = 0\).

Рішення

Виділіть радикал, а потім куб обидві сторони рівняння.

\(\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { 4 x ^ { 2 } + 7 } - 2 & = 0\quad\quad\color{Cerulean}{Isolate\:the\:radical.} \\ \sqrt [ 3 ] { 4 x ^ { 2 } + 7 } & = 2 \\ \left( \sqrt [ 3 ] { 4 x ^ { 2 } + 7 } \right) ^ { 3 } & = ( 2 ) ^ { 3 }\quad\color{Cerulean}{Cube\:both\:sides.} \\ 4 x ^ { 2 } + 7 & = 8 \quad\quad\color{Cerulean}{Solve.}\\ 4 x ^ { 2 } - 1 & = 0 \\ ( 2 x + 1 ) ( 2 x - 1 ) & = 0 \end{aligned}\)

\(\begin{array} { r l } { 2 x + 1 = 0 } & { \text { or } \quad 2 x - 1 = 0 } \\ { 2 x = - 1 } &\quad\quad\quad\quad\: { 2 x = 1 } \\ { x = - \frac { 1 } { 2 } } &\quad\quad\quad\quad\:\:\; { x = \frac { 1 } { 2 } } \end{array}\)

Перевірка.

Таблиця\(\PageIndex{6}\)

\(\color{Cerulean}{Check} \color{black}{x=-\frac{1}{2}}\)	\(\color{Cerulean}{Check} \color{black}{x=\frac{1}{2}}\)
\(\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { 4 x ^ { 2 } + 7 } - 2 & = 0 \\ \sqrt [ 3 ] { 4 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2} } \right) ^ { 2 } + 7 } - 2 & = 0 \\ \sqrt [ 3 ] { 4 \cdot \frac { 1 } { 4 } + 7 } - 2 & = 0 \\ \sqrt [ 3 ] { 8 } - 2 & = 0 \\ 2- 2 & = 0 \\ 0 & = 0\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { 4 x ^ { 2 } + 7 } - 2 & = 0 \\ \sqrt [ 3 ] { 4 \left( \color{Cerulean}{\frac { 1 } { 2} } \right) ^ { 2 } + 7 } - 2 & = 0 \\ \sqrt [ 3 ] { 4 \cdot \frac { 1 } { 4 } + 7 } - 2 & = 0 \\ \sqrt[3]{1+7}-2 &=0 \\ \sqrt [ 3 ] { 8 } - 2 & = 0 \\ 2 - 2 & = 0 \\ 0 & = 0\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(\pm \frac { 1 } { 2 }\).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\(x - 3 \sqrt { 3 x + 1 } = 3\)

Відповідь

Рішення є\(33\).

www.youtube.com/В/КР6х0КББТБС

Може бути так, що рівняння має більше одного члена, який складається з радикальних виразів.

Приклад\(\PageIndex{7}\):

Вирішити:\(\sqrt { 5 x - 3 } = \sqrt { 4 x - 1 }\).

Рішення

Обидва радикали вважаються ізольованими з окремих сторін рівняння.

\(\begin{aligned} \sqrt { 5 x - 3 } & = \sqrt { 4 x - 1 } \\ ( \sqrt { 5 x - 3 } ) ^ { 2 } & = ( \sqrt { 4 x - 1 } ) ^ { 2 } \quad\color{Cerulean}{Square\:both\:sides.}\\ 5 x - 3 & = 4 x - 1 \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Solve.}\\ x & = 2 \end{aligned}\)

Перевірка\(x=2\).

\(\begin{aligned} \sqrt { 5 x - 3 } & = \sqrt { 4 x - 1 } \\ \sqrt { 5 ( \color{OliveGreen}{2}\color{black}{ )} - 3 } & = \sqrt { 4 ( \color{OliveGreen}{2}\color{black}{ )} - 1 } \\ \sqrt { 10 - 3 } & = \sqrt { 8 - 1 } \\ \sqrt { 7 } & = \sqrt { 7 }\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Відповідь:

Рішення є\(2\).

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Вирішити:\(\sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } + x - 14 } = \sqrt [ 3 ] { x + 50 }\).

Рішення

Усуньте радикали, кубіруючи обидві сторони.

\(\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } + x - 14 } & = \sqrt [ 3 ] { x + 50 } \\ \left( \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } + x - 14 } \right) ^ { 3 } & = ( \sqrt [ 3 ] { x + 50 } ) ^ { 3 }\quad\color{Cerulean}{Cube\:both\:sides.} \\ x ^ { 2 } + x - 14 & = x + 50 \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Solve.}\\ x ^ { 2 } - 64 & = 0 \\ ( x + 8 ) ( x - 8 ) & = 0 \end{aligned}\)

\(\begin{array} { r l } { x + 8 = 0 } & { \text { or } \quad x - 8 = 0 } \\ { x = - 8 } & \quad\quad\quad\quad{ x = 8 } \end{array}\)

Перевірка.

Таблиця\(\PageIndex{7}\)

\(\color{Cerulean}{Check} \color{black}{x=-8}\)

\(\color{Cerulean}{Check} \color{black}{x=8}\)

\(\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } + x - 14 } & = \sqrt [ 3 ] { x + 50 } \\ \sqrt [ 3 ] { ( \color{Cerulean}{- 8}\color{black}{ )} ^ { 2 } + ( \color{Cerulean}{- 8}\color{black}{ )} - 14 } & = \sqrt [ 3 ] { ( \color{Cerulean}{- 8}\color{black}{ )} + 50 } \\ \sqrt [ 3 ] { 64 - 8 - 14 } & = \sqrt [ 3 ] { 42 } \\ \sqrt [ 3 ] { 42 } & = \sqrt [ 3 ] { 42 Table \(\PageIndex{7}\)}\:\:\ color {Cerulean} {✓}\ кінець {вирівняний}\)

\ (\ почати {вирівняний}\ sqrt [3] {x ^ {2} + x - 14} & =\ sqrt [3] {x + 50}\\ sqrt [3] {(\ колір {зерулеан} {8}\ колір {чорний} {)} ^ {2} + (\ колір {зерулеан} {8}\ колір {чорний} {)} - 14} &\ sqrt [3] {(\ color {Cerulean} {8}\ колір {чорний} {)} + 50}\\ sqrt [3] {64 + 8 - 14} & =\ sqrt [3] ] {58}\\ sqrt [3] {58} & =\ sqrt [3] {58}\:\:\ color {Cerulean} {✓}\ кінець {вирівняний}\

Відповідь:

Рішення є\(\pm 8\).

Виділити радикал з обох сторін рівняння може бути неможливим. Коли це так, ізолюйте радикали, по одному, і застосовуйте квадратну властивість рівності кілька разів, поки не залишиться лише многочлен.

Приклад\(\PageIndex{9}\):

Вирішити:\(\sqrt { x + 2 } - \sqrt { x } = 1\)

Рішення

Почніть з виділення одного з радикалів. У цьому випадку додайте\(\sqrt { x }\) до обох сторін рівняння.

\(\begin{aligned} \sqrt { x + 2 } - \sqrt { x } & = 1 \\ \sqrt { x + 2 } & = \sqrt { x } + 1 \end{aligned}\)

Далі квадрат з обох сторін. Подбайте про те, щоб застосувати розподільне властивість на праву сторону.

\(\begin{aligned} ( \sqrt { x + 2 } ) ^ { 2 } & = ( \sqrt { x } + 1 ) ^ { 2 } \\ x + 2 & = ( \sqrt { x } + 1 ) ( \sqrt { x } + 1 ) \\ x + 2 & = \sqrt { x ^ { 2 } } + \sqrt { x } + \sqrt { x } + 1 \\ x + 2 & = x + 2 \sqrt { x } + 1 \end{aligned}\)

На даний момент у нас є один термін, який містить радикал. Ізолюйте його і знову заквадратуйте обидві сторони.

\(\begin{aligned} x + 2 & = x + 2 \sqrt { x } + 1 \\ 1 & = 2 \sqrt { x } \\ ( 1 ) ^ { 2 } & = ( 2 \sqrt { x } ) ^ { 2 } \\ 1 & = 4 x \\ \frac { 1 } { 4 } & = x \end{aligned}\)

Перевірте, чи\(x = \frac { 1 } { 4 }\) задовольняє вихідне рівняння\(\sqrt { x + 2 } - \sqrt { x } = 1\)

\(\begin{array} { r } { \sqrt { \color{OliveGreen}{\frac { 1 } { 4 }}\color{black}{ +} 2 } - \sqrt { \color{OliveGreen}{\frac { 1 } { 4 }} } \color{black}{=} 1 } \\ { \sqrt { \frac { 9 } { 4 } } - \frac { 1 } { 2 } = 1 } \\ { \frac { 3 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } = 1 } \\ { \frac { 2 } { 2 } = 1 } \\ { 1 = 1 }\color{Cerulean}{✓} \end{array}\)

Відповідь

Рішення є\( \frac { 1 } { 4 }\).

\(( A + B ) ^ { 2 } \neq A ^ { 2 } + B ^ { 2 }\)Тому що ми не можемо просто квадратувати кожен термін. Наприклад, неправильно квадратувати кожен член наступним чином.

\(\color{Cerulean}{(}\color{black}{ \sqrt { x + 2 }}\color{Cerulean}{ ) ^ { 2 } }\color{black}{-}\color{Cerulean}{ (}\color{black}{ \sqrt { x }}\color{Cerulean}{ ) ^ { 2 }}\color{black}{ =}\color{Cerulean}{ (}\color{black}{ 1}\color{Cerulean}{ ) ^ { 2 }}\\\color{red}{Incorrect!}\)

Це поширена помилка і призводить до неправильного результату. При квадратизації обох сторін рівняння з декількома долями ми повинні подбати про застосування розподільної властивості.

Приклад\(\PageIndex{10}\):

Вирішити:\(\sqrt { 2 x + 10 } - \sqrt { x + 6 } = 1\)

Рішення

Почніть з виділення одного з радикалів. У цьому випадку додайте\(\sqrt{x+6}\) до обох сторін рівняння.

\(\begin{aligned} \sqrt { 2 x + 10 } - \sqrt { x + 6 } &= 1 \\ \sqrt { 2 x + 10 } & = \sqrt { x + 6 } + 1 \end{aligned}\)

Далі квадрат з обох сторін. Подбайте про те, щоб застосувати розподільне властивість на праву сторону.

\(\begin{aligned} ( \sqrt { 2 x + 10 } ) ^ { 2 } & = ( \sqrt { x + 6 } + 1 ) ^ { 2 } \\ 2 x + 10 & = x + 6 + 2 \sqrt { x + 6 } + 1 \\ 2 x + 10 & = x + 7 + 2 \sqrt { x + 6 } \end{aligned}\)

На даний момент у нас є один термін, який містить радикал. Ізолюйте його і знову заквадратуйте обидві сторони.

\(\begin{aligned} 2 x + 10 & = x + 7 + 2 \sqrt { x + 6 } \\ x + 3 & = 2 \sqrt { x + 6 } \\ ( x + 3 ) ^ { 2 } & = ( 2 \sqrt { x + 6 } ) ^ { 2 } \\ x ^ { 2 } + 6 x + 9 & = 4 ( x + 6 ) \\ x ^ { 2 } + 6 x + 9 & = 4 x + 24 \\ x ^ { 2 } + 2 x - 15 & = 0 \\ (x - 3 ) ( x + 5 ) & = 0 \end{aligned}\)

\(\begin{array} { r l } { x - 3 = 0 } & { \text { or } \quad x + 5 = 0 } \\ { x = 3 } & \quad\quad\quad\quad\:{ x = - 5 } \end{array}\)

Перевірка.

Таблиця\(\PageIndex{8}\)

\(\color{Cerulean}{Check} \color{black}{x=3}\)	\(\color{Cerulean}{Check} \color{black}{x=-5}\)
\(\begin{aligned} \sqrt { 2 x + 10 } - \sqrt { x + 6 } & = 1 \\ \sqrt { 2 ( \color{Cerulean}{3}\color{black}{ )} + 10 } - \sqrt { \color{Cerulean}{3}\color{black}{ +} 6 } & = 1 \\ \sqrt { 16 } - \sqrt { 9 } & = 1 \\ 4 - 3 & = 1 \\ 1 & = 1\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} \sqrt { 2 x + 10 } - \sqrt { x + 6 } &= 1 \\ \sqrt { 2 (\color{Cerulean}{ - 5}\color{black}{ )} + 10 } - \sqrt { \color{Cerulean}{- 5}\color{black}{ +} 6 } &=1 \\ \sqrt { 0 } - \sqrt { 1 }& =1 \\ 0 - 1 &=1 \\ - 1 &=1\:\:\color{red}{✗} \end{aligned}\)

Відповідь

Рішення є\(3\).

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:\(\sqrt { 4 x + 21 } - \sqrt { 2 x + 22 } = 1\)

Відповідь

Рішення є\(7\).

www.youtube.com/В/BTMEQWPSТравень

Ключові виноси

• Вирішіть рівняння, що включають квадратні корені, спочатку ізолюючи радикал, а потім квадратично обидві сторони. Квадратування квадратного кореня усуває радикал, залишаючи нам рівняння, яке можна вирішити за допомогою методів, вивчених раніше в нашому вивченні алгебри.
• Квадратування обох сторін рівняння вводить можливість сторонніх розв'язків. З цієї причини ви повинні перевірити свої рішення в оригінальному рівнянні.
• Вирішіть рівняння за участю\(n\) коренів, спочатку виділивши радикал, а потім підніміть\(n\) обидві сторони до степені. Це усуває радикал і призводить до рівняння, яке може бути вирішено за допомогою методів, які ви вже освоїли.
• Коли в рівнянні присутній більше одного радикального члена, ізолюйте їх по одному і застосуйте властивість влади рівності кілька разів, поки не залишиться лише многочлен.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вирішити

1. \(\sqrt { x } = 7\)
2. \(\sqrt { x } = 4\)
3. \(\sqrt { x } + 8 = 9\)
4. \(\sqrt { x } - 4 = 5\)
5. \(\sqrt { x } + 7 = 4\)
6. \(\sqrt { x } + 3 = 1\)
7. \(5 \sqrt { x } - 1 = 0\)
8. \(3 \sqrt { x } - 2 = 0\)
9. \(\sqrt { 3 x + 1 } = 2\)
10. \(\sqrt { 5 x - 4 } = 4\)
11. \(\sqrt { 7 x + 4 } + 6 = 11\)
12. \(\sqrt { 3 x - 5 } + 9 = 14\)
13. \(2 \sqrt { x - 1 } - 3 = 0\)
14. \(3 \sqrt { x + 1 } - 2 = 0\)
15. \(\sqrt { x + 1 } = \sqrt { x } + 1\)
16. \(\sqrt { 2 x - 1 } = \sqrt { 2 x } - 1\)
17. \(\sqrt { 4 x - 1 } = 2 \sqrt { x } - 1\)
18. \(\sqrt { 4 x - 11 } = 2 \sqrt { x } - 1\)
19. \(\sqrt { x + 8 } = \sqrt { x } - 4\)
20. \(\sqrt { 25 x - 1 } = 5 \sqrt { x } + 1\)
21. \(\sqrt [ 3 ] { x } = 3\)
22. \(\sqrt [ 3 ] { x } = - 4\)
23. \(\sqrt [ 3 ] { 2 x + 9 } = 3\)
24. \(\sqrt [ 3 ] { 4 x - 11 } = 1\)
25. \(\sqrt [ 3 ] { 5 x + 7 } + 3 = 1\)
26. \(\sqrt [ 3 ] { 3 x - 6 } + 5 = 2\)
27. \(4 - 2 \sqrt [ 3 ] { x + 2 } = 0\)
28. \(6 - 3 \sqrt [ 3 ] { 2 x - 3 } = 0\)
29. \(\sqrt [ 5 ] { 3 ( x + 10 ) } = 2\)
30. \(\sqrt [ 5 ] { 4 x + 3 } + 5 = 4\)
31. \(\sqrt { 8 x + 11 } = 3 \sqrt { x + 1 }\)
32. \(2 \sqrt { 3 x - 4 } = \sqrt { 2 ( 3 x + 1 ) }\)
33. \(\sqrt { 2 ( x + 10 ) } = \sqrt { 7 x - 15 }\)
34. \(\sqrt { 5 ( x - 4 ) } = \sqrt { x + 4 }\)
35. \(\sqrt [ 3 ] { 5 x - 2 } = \sqrt [ 3 ] { 4 x }\)
36. \(\sqrt [ 3 ] { 9 ( x - 1 ) } = \sqrt [ 3 ] { 3 ( x + 7 ) }\)
37. \(\sqrt [ 3 ] { 3 x + 1 } = \sqrt [ 3 ] { 2 ( x - 1 ) }\)
38. \(\sqrt [ 3 ] { 9 x } = \sqrt [ 3 ] { 3 ( x - 6 ) }\)
39. \(\sqrt [ 5 ] { 3 x - 5 } = \sqrt [ 5 ] { 2 x + 8 }\)
40. \(\sqrt [ 5 ] { x + 3 } = \sqrt [ 5 ] { 2 x + 5 }\)
41. \(\sqrt { 4 x + 21 } = x\)
42. \(\sqrt { 8 x + 9 } = x\)
43. \(\sqrt { 4 ( 2 x - 3 ) } = x\)
44. \(\sqrt { 3 ( 4 x - 9 ) } = x\)
45. \(2 \sqrt { x - 1 } = x\)
46. \(3 \sqrt { 2 x - 9 } = x\)
47. \(\sqrt { 9 x + 9 } = x + 1\)
48. \(\sqrt { 3 x + 10 } = x + 4\)
49. \(\sqrt { x - 1 } = x - 3\)
50. \(\sqrt { 2 x - 5 } = x - 4\)
51. \(\sqrt { 16 - 3 x } = x - 6\)
52. \(\sqrt { 7 - 3 x } = x - 3\)
53. \(3 \sqrt { 2 x + 10 } = x + 9\)
54. \(2 \sqrt { 2 x + 5 } = x + 4\)
55. \(3 \sqrt { x - 1 } - 1 = x\)
56. \(2 \sqrt { 2 x + 2 } - 1 = x\)
57. \(\sqrt { 10 x + 41 } - 5 = x\)
58. \(\sqrt { 6 ( x + 3 ) } - 3 = x\)
59. \(\sqrt { 8 x ^ { 2 } - 4 x + 1 } = 2 x\)
60. \(\sqrt { 18 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } = 3 x\)
61. \(5 \sqrt { x + 2 } = x + 8\)
62. \(4 \sqrt { 2 ( x + 1 ) } = x + 7\)
63. \(\sqrt { x ^ { 2 } - 25 } = x\)
64. \(\sqrt { x ^ { 2 } + 9 } = x\)
65. \(3 + \sqrt { 6 x - 11 } = x\)
66. \(2 + \sqrt { 9 x - 8 } = x\)
67. \(\sqrt { 4 x + 25 } - x = 7\)
68. \(\sqrt { 8 x + 73 } - x = 10\)
69. \(2 \sqrt { 4 x + 3 } - 3 = 2 x\)
70. \(2 \sqrt { 6 x + 3 } - 3 = 3 x\)
71. \(2 x - 4 = \sqrt { 14 - 10 x }\)
72. \(3 x - 6 = \sqrt { 33 - 24 x }\)
73. \(\sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } - 24 } = 1\)
74. \(\sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } - 54 } = 3\)
75. \(\sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } + 6 x } + 1 = 4\)
76. \(\sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } + 2 x } + 5 = 7\)
77. \(\sqrt [ 3 ] { 25 x ^ { 2 } - 10 x - 7 } = - 2\)
78. \(\sqrt [ 3 ] { 9 x ^ { 2 } - 12 x - 23 } = - 3\)
79. \(\sqrt [ 3 ] { 4 x ^ { 2 } - 1 } - 2 = 0\)
80. \(4 \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } - 1 = 0\)
81. \(\sqrt [ 5 ] { x ( 2 x + 1 ) } - 1 = 0\)
82. \(\sqrt [ 5 ] { 3 x ^ { 2 } - 20 x } - 2 = 0\)
83. \(\sqrt { 2 x ^ { 2 } - 15 x + 25 } = \sqrt { ( x + 5 ) ( x - 5 ) }\)
84. \(\sqrt { x ^ { 2 } - 4 x + 4 } = \sqrt { x ( 5 - x ) }\)
85. \(\sqrt [ 3 ] { 2 \left( x ^ { 2 } + 3 x - 20 \right) } = \sqrt [ 3 ] { ( x + 3 ) ^ { 2 } }\)
86. \(\sqrt [ 3 ] { 3 x ^ { 2 } + 3 x + 40 } = \sqrt [ 3 ] { ( x - 5 ) ^ { 2 } }\)
87. \(\sqrt { 2 x - 5 } + \sqrt { 2 x } = 5\)
88. \(\sqrt { 4 x + 13 } - 2 \sqrt { x } = 3\)
89. \(\sqrt { 8 x + 17 } - 2 \sqrt { 2 - x } = 3\)
90. \(\sqrt { 3 x - 6 } - \sqrt { 2 x - 3 } = 1\)
91. \(\sqrt { 2 ( x - 2 ) } - \sqrt { x - 1 } = 1\)
92. \(\sqrt { 2 x + 5 } - \sqrt { x + 3 } = 2\)
93. \(\sqrt { 2 ( x + 1 ) } - \sqrt { 3 x + 4 } - 1 = 0\)
94. \(\sqrt { 6 - 5 x } + \sqrt { 3 - 3 x } - 1 = 0\)
95. \(\sqrt { x - 2 } - 1 = \sqrt { 2 ( x - 3 ) }\)
96. \(\sqrt { 14 - 11 x } + \sqrt { 7 - 9 x } = 1\)
97. \(\sqrt { x + 1 } = \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 - x }\)
98. \(\sqrt { 2 x + 9 } - \sqrt { x + 1 } = 2\)
99. \(x ^ { 1 / 2 } - 10 = 0\)
100. \(x ^ { 1 / 2 } - 6 = 0\)
101. \(x ^ { 1 / 3 } + 2 = 0\)
102. \(x ^ { 1 / 3 } + 4 = 0\)
103. \(( x - 1 ) ^ { 1 / 2 } - 3 = 0\)
104. \(( x + 2 ) ^ { 1 / 2 } - 6 = 0\)
105. \(( 2 x - 1 ) ^ { 1 / 3 } + 3 = 0\)
106. \(( 3 x - 1 ) ^ { 1 / 3 } - 2 = 0\)
107. \(( 4 x + 15 ) ^ { 1 / 2 } - 2 x = 0\)
108. \(( 3 x + 2 ) ^ { 1 / 2 } - 3 x = 0\)
109. \(( 2 x + 12 ) ^ { 1 / 2 } - x = 6\)
110. \(( 4 x + 36 ) ^ { 1 / 2 } - x = 9\)
111. \(2 ( 5 x + 26 ) ^ { 1 / 2 } = x + 10\)
112. \(3 ( x - 1 ) ^ { 1 / 2 } = x + 1\)
113. \(x ^ { 1 / 2 } + ( 3 x - 2 ) ^ { 1 / 2 } = 2\)
114. \(( 6 x + 1 ) ^ { 1 / 2 } - ( 3 x ) ^ { 1 / 2 } = 1\)
115. \(( 3 x + 7 ) ^ { 1 / 2 } + ( x + 3 ) ^ { 1 / 2 } - 2 = 0\)
116. \(( 3 x ) ^ { 1 / 2 } + ( x + 1 ) ^ { 1 / 2 } - 5 = 0\)

Відповідь

1. \(49\)

3. \(1\)

5. \(Ø\)

7. \(\frac{1}{25}\)

9. \(1\)

11. \(3\)

13. \(\frac{13}{4}\)

15. \(0\)

17. \(\frac{1}{4}\)

19. \(Ø\)

21. \(27\)

23. \(9\)

25. \(−3\)

27. \(6\)

29. \(\frac{2}{3}\)

31. \(2\)

33. \(7\)

35. \(2\)

37. \(−3\)

39. \(13\)

41. \(7\)

43. \(2, 6\)

45. \(2\)

47. \(−1, 8\)

49. \(5\)

51. \(Ø\)

53. \(−3, 3\)

55. \(2, 5\)

57. \(−4, 4\)

59. \(\frac{1}{2}\)

61. \(2, 7\)

63. \(Ø\)

65. \(10\)

67. \(−6, −4\)

69. \(−\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\)

71. \(Ø\)

73. \(−5, 5\)

75. \(−9, 3\)

77. \(\frac{1}{5}\)

79. \(− \frac{3}{2} ,\frac{ 3}{2}\)

81. \(−1, \frac{1}{2}\)

83. \(5, 10\)

85. \(−7, 7\)

87. \(\frac{9}{2}\)

89. \(1\)

91. \(10\)

93. \(Ø\)

95. \(3\)

97. \(1, 2\)

99. \(100\)

101. \(−8\)

103. \(10\)

105. \(−13\)

107. \(\frac{5}{2}\)

109. \(−6, −4\)

111. \(−2, 2\)

113. \(1\)

115. \(−2\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Визначте коріння заданих функцій. Нагадаємо, що корінь - це значення в домені, яке призводить до нуля. Іншими словами, знайдіть\(x\) де\(f (x) = 0\).

1. \(f ( x ) = \sqrt { x + 5 } - 2\)
2. \(f ( x ) = \sqrt { 2 x - 3 } - 1\)
3. \(f ( x ) = 2 \sqrt { x + 2 } - 8\)
4. \(f ( x ) = 3 \sqrt { x - 7 } - 6\)
5. \(f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 1 } + 2\)
6. \(f ( x ) = 2 \sqrt [ 3 ] { x - 1 } + 6\)

Відповідь

1. \(−1\)

3. \(14\)

5. \(−9\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вирішити для зазначеної змінної.

1. Вирішити для\(\mathrm { P } : r = \sqrt { P } - 1\)
2. Вирішити для\(x : y = \sqrt { x - h } + k\)
3. Вирішити для\(s : t = \sqrt { \frac { 2 s } { g } }\)
4. Вирішити для\(\mathrm { L } : T = 2 \pi \sqrt { \frac { L } { 32 } }\)
5. Вирішити для\(\mathrm { R } : I = \sqrt { \frac { P } { R } }\)
6. Вирішити для\(h : r = \sqrt { \frac { 3 V } { \pi h } }\)
7. Вирішити для\(V : r = \sqrt [ 3 ] { \frac { 3 V } { 4 \pi } }\)
8. Вирішити для\(c : a = \sqrt [ 3 ] { \frac { b ^ { 2 } \pi } { 2 c } }\)
9. Квадратний корінь\(1\) менше дворазового числа дорівнює\(2\) меншому числу. Знайдіть номер.
10. Квадратний корінь\(4\) менше дворазового числа дорівнює\(6\) меншому числу. Знайдіть номер.
11. Квадратний корінь з подвійного числа дорівнює половині цього числа. Знайдіть номер.
12. Квадратний корінь з подвійного числа дорівнює третині цього числа. Знайдіть номер.
13. Відстань\(d\) в милі, яку людина може бачити об'єкт на горизонті, задається формулою,\(d = \frac { \sqrt { 6 h } } { 2 }\) де\(h\) представляє висоту в футах очей людини над рівнем моря. Наскільки високими повинні бути очі людини, щоб побачити об'єкт за\(5\) милі?
14. Струм,\(I\) виміряний в амперах, задається за формулою,\(I = \sqrt { \frac { P } { R } }\) де\(P\) використовується потужність, виміряна у ватах і опір,\(R\) виміряний в Омах. Якщо лампочка вимагає\(1/2\) ампер струму і використовує вати\(60\) потужності, то яке опір через лампочку?

Відповідь

1. \(P = ( r + 1 ) ^ { 2 }\)

3. \(s = \frac { g t ^ { 2 } } { 2 }\)

5. \(R = \frac { P } { I ^ { 2 } }\)

7. \(V = \frac { 4 \pi r ^ { 3 } } { 3 }\)

9. \(5\)

11. \(0,8\)

13. \(16 \frac { 2 } { 3 }\)ноги

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Період маятника\(T\) в секундах задається за формулою

\(T = 2 \pi \sqrt { \frac { L } { 32 } }\)

де\(L\) являє собою довжину в футах. Обчисліть довжину маятника з урахуванням періоду. Дайте точне значення і приблизне значення, округлене до найближчої десятої частини фута.

1. \(1\)другий
2. \(2\)секунд
3. \(\frac{1}{2}\)другий
4. \(\frac{1}{3}\)другий

Відповідь

1. \(\frac { 8 } { \pi ^ { 2 } }\)стопи;\(0.8\) стопи

3. \(\frac { 2 } { \pi ^ { 2 } }\)стопи;\(0.2\) стопи

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Час\(t\) у секундах, об'єкт знаходиться у вільному падінні, задається за формулою

\(t = \frac { \sqrt { s } } { 4 }\)

де\(s\) представляє відстань, яку вона впала, в футах. Обчисліть відстань, на яку буде падати об'єкт, враховуючи кількість часу.

1. \(1\)другий
2. \(2\)секунд
3. \(\frac{1}{2}\)другий
4. \(\frac{1}{4}\)другий

Відповідь

1. \(16\)ноги

3. \(4\)ноги

Вправа\(\PageIndex{9}\)

1. Обговоріть причини, чому ми іноді отримуємо сторонні рішення при розв'язанні радикальних рівнянь. Чи є коли-небудь умови, коли нам не потрібно перевіряти сторонні рішення? Чому чи чому ні?
2. Якщо рівняння має кілька членів, поясніть, чому квадратування всіх з них є неправильним. Наведемо приклад.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

²² Будь-яке рівняння, що містить один або кілька радикалів зі змінною в радиканді.

²³ Дано дійсні числа\(a\) і\(b\), де\(a = b\), потім\(a^{2} = b^{2}\).

²⁴ Правильно знайдене рішення, яке не вирішує вихідного рівняння. \

^{25 Задано} будь-яке натуральне ціле\(n\) і дійсне число\(a\) і\(b\) де\(a = b\), то\(a ^ { n } = b ^ { n }\).