5.4: Множення та ділення радикальних виразів

Цілі навчання

• Помножте радикальні вирази.
• Розділіть радикальні вирази.
• Раціоналізувати знаменник.

Множення радикальних виразів

При множенні радикальних виразів з однаковим індексом ми використовуємо правило добутку для радикалів. Дано дійсні числа\(\sqrt [ n ] { A }\) і\(\sqrt [ n ] { B }\),

\(\sqrt [ n ] { A } \cdot \sqrt [ n ] { B } = \sqrt [ n ] { A \cdot B }\)\

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Помножити:\(\sqrt [ 3 ] { 12 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 6 }\).

Рішення:

Застосовуємо правило продукту для радикалів, а потім спрощуємо.

\(\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { 12 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 6 } & = \sqrt [ 3 ] { 12 \cdot 6 }\quad \color{Cerulean} { Multiply\: the\: radicands. } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 72 } \quad\quad\:\color{Cerulean} { Simplify. } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 3 } \cdot 3 ^ { 2 } } \\ & = 2 \sqrt [ 3 ] { {3 } ^ { 2 }} \\ & = 2 \sqrt [ 3 ] { 9 } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(2 \sqrt [ 3 ] { 9 }\)

Нерідко перед радикалами будуть стояти коефіцієнти.

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Помножити:\(3 \sqrt { 6 } \cdot 5 \sqrt { 2 }\)

Рішення

Використовуючи правило добутку для радикалів і той факт, що множення є комутативним, ми можемо помножити коефіцієнти і радиканди наступним чином.

\(\begin{aligned} 3 \sqrt { 6 } \cdot 5 \sqrt { 2 } & = \color{Cerulean}{3 \cdot 5}\color{black}{ \cdot}\color{OliveGreen}{ \sqrt { 6 } \cdot \sqrt { 2} }\quad\color{Cerulean}{Multiplication\:is\:commutative.} \\ & = 15 \cdot \sqrt { 12 } \quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{Multiply\:the\:coefficients\:and\:the\:radicands.} \\ & = 15 \sqrt { 4 \cdot 3 } \quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = 15 \cdot 2 \cdot \sqrt { 3 } \\ & = 30 \sqrt { 3 } \end{aligned}\)

Як правило, перший крок, що передбачає застосування комутативного майна, не показаний.

Відповідь:

\(30 \sqrt { 3 }\)

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Помножити:\(- 3 \sqrt [ 3 ] { 4 y ^ { 2 } } \cdot 5 \sqrt [ 3 ] { 16 y }\).

Рішення

\(\begin{aligned} - 3 \sqrt [ 3 ] { 4 y ^ { 2 } } \cdot 5 \sqrt [ 3 ] { 16 y } & = - 15 \sqrt [ 3 ] { 64 y ^ { 3 } }\quad\color{Cerulean}{Multiply\:the\:coefficients\:and\:then\:multipy\:the\:rest.} \\ & = - 15 \sqrt [ 3 ] { 4 ^ { 3 } y ^ { 3 } }\quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = - 15 \cdot 4 y \\ & = - 60 y \end{aligned}\)

Відповідь:

\(-60y\)

Використовувати розподільну властивість при множенні раціональних виразів з більш ніж одним терміном.

Приклад\(\PageIndex{4}\):

Помножити:\(5 \sqrt { 2 x } ( 3 \sqrt { x } - \sqrt { 2 x } )\).

Рішення:

Застосовуйте розподільну властивість і помножте кожен член на\(5 \sqrt { 2 x }\).

\(\begin{aligned} 5 \sqrt { 2 x } ( 3 \sqrt { x } - \sqrt { 2 x } ) & = \color{Cerulean}{5 \sqrt { 2 x } }\color{black}{\cdot} 3 \sqrt { x } - \color{Cerulean}{5 \sqrt { 2 x }}\color{black}{ \cdot} \sqrt { 2 x } \quad\color{Cerulean}{Distribute.}\\ & = 15 \sqrt { 2 x ^ { 2 } } - 5 \sqrt { 4 x ^ { 2 } } \quad\quad\quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = 15 x \sqrt { 2 } - 5 \cdot 2 x \\ & = 15 x \sqrt { 2 } - 10 x \end{aligned}\)

Відповідь:

\(15 x \sqrt { 2 } - 10 x\)

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Помножити:\(\sqrt [ 3 ] { 6 x ^ { 2 } y } \left( \sqrt [ 3 ] { 9 x ^ { 2 } y ^ { 2 } } - 5 \cdot \sqrt [ 3 ] { 4 x y } \right)\).

Рішення

Застосовуємо розподільне властивість, а потім спрощуємо результат.

\(\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { 6 x ^ { 2 } y } \left( \sqrt [ 3 ] { 9 x ^ { 2 } y ^ { 2 } } - 5 \cdot \sqrt [ 3 ] { 4 x y } \right) & = \color{Cerulean}{\sqrt [ 3 ] { 6 x ^ { 2 } y }}\color{black}{\cdot} \sqrt [ 3 ] { 9 x ^ { 2 } y ^ { 2 } } - \color{Cerulean}{\sqrt [ 3 ] { 6 x ^ { 2 } y }}\color{black}{ \cdot} 5 \sqrt [ 3 ] { 4 x y } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 54 x ^ { 4 } y ^ { 3 } } - 5 \sqrt [ 3 ] { 24 x ^ { 3 } y ^ { 2 } } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 27 \cdot 2 \cdot x \cdot x ^ { 3 } \cdot y ^ { 3 } } - 5 \sqrt [ 3 ] { 8 \cdot 3 \cdot x ^ { 3 } \cdot y ^ { 2 } } \\ & = 3 x y \sqrt [ 3 ] { 2 x } - 10 x \sqrt [ 3 ] { 3 y ^ { 2 } } \\ & = 3 x y \sqrt [ 3 ] { 2 x } - 10 x \sqrt [ 3 ] { 3 y ^ { 2 } } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(3 x y \sqrt [ 3 ] { 2 x } - 10 x \sqrt [ 3 ] { 3 y ^ { 2 } }\)

Процес множення радикальних виразів з множинними долями - це той самий процес, який використовується при множенні многочленів. Застосовуйте розподільну властивість, спрощуйте кожен радикал, а потім комбінуйте подібні терміни.

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Помножити:\(( \sqrt { x } - 5 \sqrt { y } ) ^ { 2 }\).

Рішення

\(( \sqrt { x } - 5 \sqrt { y } ) ^ { 2 } = ( \sqrt { x } - 5 \sqrt { y } ) ( \sqrt { x } - 5 \sqrt { y } )\)

Почніть з застосування розподільного властивості.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

\(\begin{array} { l } { = \color{Cerulean}{\sqrt { x }}\color{black}{ \cdot} \sqrt { x } + \color{Cerulean}{\sqrt { x }}\color{black}{ (} - 5 \sqrt { y } ) + ( \color{OliveGreen}{- 5 \sqrt { y }}\color{black}{ )} \sqrt { x } + ( \color{OliveGreen}{- 5 \sqrt { y }}\color{black}{ )} ( - 5 \sqrt { y } ) } \\ { = \sqrt { x ^ { 2 } } - 5 \sqrt { x y } - 5 \sqrt { x y } + 25 \sqrt { y ^ { 2 } } } \\ { = x - 10 \sqrt { x y } + 25 y } \end{array}\)

Відповідь:

\(x - 10 \sqrt { x y } + 25 y\)

Біноміали\((a + b)\) і\((a − b)\) називаються кон'югатами ¹⁸. При множенні сполучених бічленів середні члени протилежні, а їх сума дорівнює нулю.

Приклад\(\PageIndex{7}\):

Помножити:\(( \sqrt { 10 } + \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 10 } - \sqrt { 3 } )\).

Рішення

Застосовуйте розподільну властивість, а потім комбінуйте подібні терміни.

\(\begin{aligned} ( \sqrt { 10 } + \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 10 } - \sqrt { 3 } ) & = \color{Cerulean}{\sqrt { 10} }\color{black}{ \cdot} \sqrt { 10 } + \color{Cerulean}{\sqrt { 10} }\color{black}{ (} - \sqrt { 3 } ) + \color{OliveGreen}{\sqrt{3}}\color{black}{ (}\sqrt{10}) + \color{OliveGreen}{\sqrt{3}}\color{black}{(}-\sqrt{3}) \\ & = \sqrt { 100 } - \sqrt { 30 } + \sqrt { 30 } - \sqrt { 9 } \\ & = 10 - \color{red}{\sqrt { 30 }}\color{black}{ +}\color{red}{ \sqrt { 30} }\color{black}{ -} 3 \\ & = 10 - 3 \\ & = 7 \\ \end{aligned}\)

Відповідь:

\(7\)

Важливо відзначити, що при множенні сполучених радикальних виразів ми отримуємо раціональний вираз. Це вірно в цілому

\(\begin{aligned} ( \sqrt { x } + \sqrt { y } ) ( \sqrt { x } - \sqrt { y } ) & = \sqrt { x ^ { 2 } } - \sqrt { x y } + \sqrt {x y } - \sqrt { y ^ { 2 } } \\ & = x - y \end{aligned}\)

Як варіант, використовуючи формулу різниці квадратів, які ми маємо,

\(\begin{aligned} ( a + b ) ( a - b ) & = a ^ { 2 } - b ^ { 2 }\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Difference\:of\:squares.} \\ ( \sqrt { x } + \sqrt { y } ) ( \sqrt { x } - \sqrt { y } ) & = ( \sqrt { x } ) ^ { 2 } - ( \sqrt { y } ) ^ { 2 } \\ & = x - y \end{aligned}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Помножити:\(( 3 - 2 \sqrt { y } ) ( 3 + 2 \sqrt { y } )\). (\(y\)Припустимо, позитивний.)

Відповідь

\(9-4y\)

www.youtube.com/В/ХПГГВР8Г68U

Розділення радикальних виразів

Щоб розділити радикальні вирази з однаковим індексом, ми використовуємо часткове правило для радикалів. Дано дійсні числа\(\sqrt [ n ] { A }\) і\(\sqrt [ n ] { B }\),

\(\frac { \sqrt [ n ] { A } } { \sqrt [ n ] { B } } = \sqrt [n]{ \frac { A } { B } }\)

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Розділити:\(\frac { \sqrt [ 3 ] { 96 } } { \sqrt [ 3 ] { 6 } }\).

Рішення

У цьому випадку ми можемо бачити, що\(6\) і\(96\) є загальні фактори. Якщо застосувати часткове правило для радикалів і запишемо його як єдиний кубовий корінь, ми зможемо зменшити дробовий радиканд.

\(\begin{aligned} \frac { \sqrt [ 3 ] { 96 } } { \sqrt [ 3 ] { 6 } } & = \sqrt [ 3 ] { \frac { 96 } { 6 } } \quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:radicals\:and\:reduce\:the\:radicand.}\\ & = \sqrt [ 3 ] { 16 } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 8 \cdot 2 } \color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = 2 \sqrt [ 3 ] { 2 } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(2 \sqrt [ 3 ] { 2 }\)

Приклад\(\PageIndex{9}\):

Розділити:\(\frac { \sqrt { 50 x ^ { 6 } y ^ { 4} } } { \sqrt { 8 x ^ { 3 } y } }\).

Рішення

Запишіть як єдиний квадратний корінь і скасуйте загальні фактори перед спрощенням.

\(\begin{aligned} \frac { \sqrt { 50 x ^ { 6 } y ^ { 4 } } } { \sqrt { 8 x ^ { 3 } y } } & = \sqrt { \frac { 50 x ^ { 6 } y ^ { 4 } } { 8 x ^ { 3 } y } } \quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:radicals\:and\:cancel.}\\ & = \sqrt { \frac { 25 x ^ { 3 } y ^ { 3 } } { 4 } } \quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \frac { \sqrt { 25 x ^ { 3 } y ^ { 3 } } } { \sqrt { 4 } } \\ & = \frac { 5 x y \sqrt { x y } } { 2 } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac { 5xy \sqrt {x y } } { 2 }\)

Раціоналізація знаменника

Коли знаменник (дільник) радикального виразу містить радикал, звичайною практикою є пошук еквівалентного виразу, де знаменник є раціональним числом. Знаходження такого еквівалентного виразу називається раціоналізацією знаменника ¹⁹.

\(\begin{array} { c } { \color{Cerulean} { Radical\:expression\quad Rational\: denominator } } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \quad\quad\quad=\quad\quad\quad\quad \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \end{array}\)

Для цього потрібно помножити дріб на спеціальну форму\(1\) так, щоб радиканд в знаменнику можна було записати зі ступенем, що відповідає індексу. Зробивши це, спростіть і усуньте радикал в знаменнику. Наприклад:

\(\frac { 1 } { \sqrt { 2 } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \cdot \frac { \color{Cerulean}{\sqrt { 2} } } {\color{Cerulean}{ \sqrt { 2} } } \color{black}{=} \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 4 } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }\)

Пам'ятайте, для отримання еквівалентного виразу необхідно помножити чисельник і знаменник на точно такий же ненульовий коефіцієнт.

Приклад\(\PageIndex{10}\):

Раціоналізувати знаменник:\(\frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 5 x } }\).

Рішення

Мета полягає в тому, щоб знайти еквівалентний вираз без радикала в знаменнику. Радиканд в знаменнику визначає фактори, які потрібно використовувати для його раціоналізації. У цьому прикладі помножте на\(1\) в формі\(\frac { \sqrt { 5 x } } { \sqrt { 5 x } }\).

\(\begin{aligned} \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 5 x } } & = \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 5 x } } \cdot \color{Cerulean}{\frac { \sqrt { 5 x } } { \sqrt { 5 x } } { \:Multiply\:by\: } \frac { \sqrt { 5 x } } { \sqrt { 5 x } } .}\\ & = \frac { \sqrt { 10 x } } { \sqrt { 25 x ^ { 2 } } } \quad\quad\: \color{Cerulean} { Simplify. } \\ & = \frac { \sqrt { 10 x } } { 5 x } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac { \sqrt { 10 x } } { 5 x }\)

Іноді ми виявимо необхідність зменшити або скасувати після раціоналізації знаменника.

Приклад\(\PageIndex{11}\):

Раціоналізувати знаменник:\(\frac { 3 a \sqrt { 2 } } { \sqrt { 6 a b } }\).

Рішення

У цьому прикладі ми помножимо на\(1\) в формі\(\frac { \sqrt { 6 a b } } { \sqrt { 6 a b } }\).

\(\begin{aligned} \frac { 3 a \sqrt { 2 } } { \sqrt { 6 a b } } & = \frac { 3 a \sqrt { 2 } } { \sqrt { 6 a b } } \cdot \color{Cerulean}{\frac { \sqrt { 6 a b } } { \sqrt { 6 a b } }} \\ & = \frac { 3 a \sqrt { 12 a b } } { \sqrt { 36 a ^ { 2 } b ^ { 2 } } } \quad\quad\color{Cerulean}{Simplify.}\\ & = \frac { 3 a \sqrt { 4 \cdot 3 a b} } { 6 ab } \\ & = \frac { 6 a \sqrt { 3 a b } } { b }\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Cancel.} \\ & = \frac { \sqrt { 3 a b } } { b } \end{aligned}\)

Зверніть увагу, що\(b\) не скасовується в цьому прикладі. Не варто скасовувати фактори всередині радикалу з тими, які знаходяться зовні.

Відповідь:

\(\frac { \sqrt { 3 a b } } { b }\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Раціоналізувати знаменник:\(\sqrt { \frac { 9 x } { 2 y } }\).

Відповідь

\(\frac { 3 \sqrt { 2xy } } { 2 y }\)

www.youtube.com/В/H-закон8KI2RA

До цього моменту ми бачили, що множення чисельника та знаменника на квадратний корінь з точно таким же радикалом призводить до раціонального знаменника. Взагалі, це справедливо лише тоді, коли знаменник містить квадратний корінь. Однак це не стосується кубового кореня. Наприклад,

\(\frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { x } } \cdot \color{Cerulean}{\frac { \sqrt [ 3 ] { x } } { \sqrt [ 3 ] { x } }}\color{black}{ =} \frac { \sqrt [ 3 ] { x } } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } }\)

Зверніть увагу, що множення на один і той же коефіцієнт в знаменнику не раціоналізує його. При цьому, якщо помножити на\(1\) у вигляді\(\frac { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } }\), то ми можемо записати радиканд в знаменнику як ступінь\(3\). Спрощення результату потім дає раціоналізований знаменник.

\(\frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { x } } = \frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { x } } \cdot \color{Cerulean}{\frac { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } }} = \frac { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 3 } } } = \frac { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } { x }\)

Тому раціоналізувати знаменник радикального виразу одним радикальним терміном в знаменнику, починають з факторингу радиканда знаменника. Фактори цього радиканда і індекс визначають, на що нам слід помножити. Помножте чисельник і знаменник на\(n\) той корінь множників, що виробляють n-й степені всіх чинників в радиканді знаменника.

Приклад\(\PageIndex{12}\):

Раціоналізувати знаменник:\(\frac { \sqrt [ 3 ] { 2 } } { \sqrt [ 3 ] { 25 } }\).

Рішення

Радикал в знаменнику еквівалентний\(\sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 2 } }\). Щоб раціоналізувати знаменник, нам знадобиться:\(\sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 3 } }\). Щоб отримати це, нам знадобиться ще один фактор\(5\). Тому помножте на\(1\) у вигляді\(\frac { \sqrt [3]{ 5 } } { \sqrt[3] { 5 } }\).

\(\begin{aligned} \frac { \sqrt [ 3 ] { 2 } } { \sqrt [ 3 ] { 25 } } & = \frac { \sqrt [ 3 ] { 2 } } { \sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 2 } } } \cdot \color{Cerulean}{\frac { \sqrt [ 3 ] { 5 } } { \sqrt [ 3 ] { 5 } } \:Multiply\:by\:the\:cube\:root\:of\:factors\:that\:result\:in\:powers\:of\:3.} \\ & = \frac { \sqrt [ 3 ] { 10 } } { \sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 3 } } } \quad\:\:\:\quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \frac { \sqrt [ 3 ] { 10 } } { 5 } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac { \sqrt [ 3 ] { 10 } } { 5 }\)

Приклад\(\PageIndex{13}\):

Раціоналізувати знаменник:\(\sqrt [ 3 ] { \frac { 27 a } { 2 b ^ { 2 } } }\).

Рішення

У цьому прикладі ми помножимо на\(1\) в формі\(\frac { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } b } } { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } b } }\).

\(\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { \frac { 27 a } { 2 b ^ { 2 } } } & = \frac { \sqrt [ 3 ] { 3 ^ { 3 } a } } { \sqrt [ 3 ] { 2 b ^ { 2 } } } \quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:radicals.} \\ & = \frac { 3 \sqrt [ 3 ] { a } } { \sqrt [ 3 ] { 2 b ^ { 2 } } } \cdot \color{Cerulean}{\frac { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } b } } { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } b } }\:\:\:Multiply\:by\:the\:cube\:root\:of\:factors\:that\:result\:in\:powers.} \\ & = \frac { 3 \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } ab } } { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 3 } b ^ { 3 } } } \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Simplify.}\\ & = \frac { 3 \sqrt [ 3 ] { 4 a b } } { 2 b } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac { 3 \sqrt [ 3 ] { 4 a b } } { 2 b }\)

Приклад\(\PageIndex{14}\):

Раціоналізуйте знаменник:\(\frac { 2 x \sqrt [ 5 ] { 5 } } { \sqrt [ 5 ] { 4 x ^ { 3 } y } }\)

Рішення

У цьому прикладі ми помножимо на\(1\) у вигляді\(\frac { \sqrt [ 5 ] { 2 ^ { 3 } x ^ { 2 } y ^ { 4 } } } { \sqrt [ 5 ] { 2 ^ { 3 } x ^ { 2 } y ^ { 4 } } }\)

\(\begin{aligned} \frac{2x\sqrt[5]{5}}{\sqrt[5]{4x^{3}y}} & = \frac{2x\sqrt[5]{5}}{\sqrt[5]{2^{2}x^{3}y}}\cdot\color{Cerulean}{\frac{\sqrt[5]{2^{3}x^{2}y^{4}}}{\sqrt[5]{2^{3}x^{2}y^{4}}} \:\:Multiply\:by\:the\:fifth\:root\:of\:factors\:that\:result\:in\:pairs.} \\ & = \frac { 2 x \sqrt [ 5 ] { 5 \cdot 2 ^ { 3 } x ^ { 2 } y ^ { 4 } } } { \sqrt [ 5 ] { 2 ^ { 5 } x ^ { 5 } y ^ { 5 } } } \quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \frac { 2 x \sqrt [ 5 ] { 40 x ^ { 2 } y ^ { 4 } } } { 2 x y } \\ & = \frac { \sqrt [ 5 ] { 40 x ^ { 2 } y ^ { 4 } } } { y } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac { \sqrt [ 5 ] { 40 x ^ { 2 } y ^ { 4 } } } { y }\)

Коли два члени, що включають квадратні корені, з'являються в знаменнику, ми можемо раціоналізувати його за допомогою дуже особливої техніки. Цей прийом передбачає множення чисельника і знаменника дробу на сполучений знаменник. Нагадаємо, що множення радикального виразу на його сполучений дає раціональне число.

Приклад\(\PageIndex{15}\):

Раціоналізувати знаменник:\(\frac { 1 } { \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } }\).

Рішення

У цьому прикладі сполучений знаменник є\(\sqrt { 5 } + \sqrt { 3 }\). Тому помножте на\(1\) у вигляді\(\frac { ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) } { ( \sqrt {5 } + \sqrt { 3 } ) }\).

\(\begin{aligned} \frac { 1 } { \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } } & = \frac { 1 } { ( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) } \color{Cerulean}{\frac { ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) } { ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) } \:\:Multiply \:numerator\:and\:denominator\:by\:the\:conjugate\:of\:the\:denominator.} \\ & = \frac { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } { \sqrt { 25 } + \sqrt { 15 } - \sqrt{15}-\sqrt{9} } \:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \frac { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } { 5-3 } \\ & = \frac { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } { 2 } \end{aligned}\)

Відповідь:

\( \frac { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } { 2 } \)

Зверніть увагу, що терміни, що включають квадратний корінь в знаменнику, усуваються множенням на сполучений. Ми можемо використовувати властивість\(( \sqrt { a } + \sqrt { b } ) ( \sqrt { a } - \sqrt { b } ) = a - b\) для прискорення процесу множення виразів у знаменнику.

Приклад\(\PageIndex{16}\):

Раціоналізувати знаменник:\(\frac { \sqrt { 10 } } { \sqrt { 2 } + \sqrt { 6 } }\).

Рішення

Помножте на\(1\) у вигляді\(\frac { \sqrt { 2 } - \sqrt { 6 } } { \sqrt { 2 } - \sqrt { 6 } }\).

\(\begin{aligned} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}+\sqrt{6} }&= \frac{(\sqrt{10})}{(\sqrt{2}+\sqrt{6})} \color{Cerulean}{\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{(\sqrt{2}-\sqrt{6})}\quad\quad Multiple\:by\:the\:conjugate.} \\ &= \frac { \sqrt { 20 } - \sqrt { 60 } } { 2 - 6 } \quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &= \frac { \sqrt { 4 \cdot 5 } - \sqrt { 4 \cdot 15 } } { - 4 } \\ &= \frac { 2 \sqrt { 5 } - 2 \sqrt { 15 } } { - 4 } \\ &=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{15})}{-4} \\ &= \frac { \sqrt { 5 } - \sqrt { 15 } } { - 2 } = - \frac { \sqrt { 5 } - \sqrt { 15 } } { 2 } = \frac { - \sqrt { 5 } + \sqrt { 15 } } { 2 } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac { \sqrt { 15 } - \sqrt { 5 } } { 2 }\)

Приклад\(\PageIndex{17}\):

Раціоналізувати знаменник:\(\frac { \sqrt { x } - \sqrt { y } } { \sqrt { x } + \sqrt { y } }\).

Рішення

У цьому прикладі ми помножимо на\(1\) в формі\(\frac { \sqrt { x } - \sqrt { y } } { \sqrt { x } - \sqrt { y } }\).

\(\begin{aligned} \frac { \sqrt { x } - \sqrt { y } } { \sqrt { x } + \sqrt { y } } & = \frac { ( \sqrt { x } - \sqrt { y } ) } { ( \sqrt { x } + \sqrt { y } ) } \color{Cerulean}{\frac { ( \sqrt { x } - \sqrt { y } ) } { ( \sqrt { x } - \sqrt { y } ) } \quad \quad Multiply\:by\:the\:conjugate\:of\:the\:denominator.} \\ & = \frac { \sqrt { x ^ { 2 } } - \sqrt { x y } - \sqrt { x y } + \sqrt { y ^ { 2 } } } { x - y } \:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \frac { x - 2 \sqrt { x y } + y } { x - y } \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac { x - 2 \sqrt { x y } + y } { x - y }\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Раціоналізуйте знаменник:\(\frac { 2 \sqrt { 3 } } { 5 - \sqrt { 3 } }\)

Відповідь

\(\frac { 5 \sqrt { 3 } + 3 } { 11 }\)

www.youtube.com/В/Гінологічний тренажерний зал

Ключові винос

• Щоб помножити два одночленних радикальних вирази, помножте коефіцієнти і помножте радиканди. Якщо є можливість, спростіть результат.
• Застосовують розподільну властивість при множенні радикального виразу з множинними долями. Потім спростити і об'єднати все подібно радикалам.
• Множення двочленного радикального виразу за участю квадратних коренів на його сполучений призводить до раціонального виразу.
• Поширеною практикою є написання радикальних виразів без радикалів у знаменнику. Процес знаходження такого еквівалентного виразу називається раціоналізацією знаменника.
• Якщо вираз має один член в знаменнику за участю радикала, то раціоналізуйте його множенням чисельника і знаменника на корінь множників радикалу так, щоб їх повноваження дорівнювали індексу.\(n\)
• Якщо радикальний вираз має два члени в знаменнику за участю квадратних коренів, то раціоналізуйте його множенням чисельника і знаменника на сполучений знаменник.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Помножити. (Припустимо, що всі змінні представляють невід'ємні дійсні числа.)

1. \(\sqrt { 3 } \cdot \sqrt { 7 }\)
2. \(\sqrt { 2 } \cdot \sqrt { 5 }\)
3. \(\sqrt { 6 } \cdot \sqrt { 12 }\)
4. \(\sqrt { 10 } \cdot \sqrt { 15 }\)
5. \(\sqrt { 2 } \cdot \sqrt { 6 }\)
6. \(\sqrt { 5 } \cdot \sqrt { 15 }\)
7. \(\sqrt { 7 } \cdot \sqrt { 7 }\)
8. \(\sqrt { 12 } \cdot \sqrt { 12 }\)
9. \(2 \sqrt { 5 } \cdot 7 \sqrt { 10 }\)
10. \(3 \sqrt { 15 } \cdot 2 \sqrt { 6 }\)
11. \(( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 }\)
12. \(( 6 \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }\)
13. \(\sqrt { 2 x } \cdot \sqrt { 2 x }\)
14. \(\sqrt { 5 y } \cdot \sqrt { 5 y }\)
15. \(\sqrt { 3 a } \cdot \sqrt { 12 }\)
16. \(\sqrt { 3 a } \cdot \sqrt { 2 a }\)
17. \(4 \sqrt { 2 x } \cdot 3 \sqrt { 6 x }\)
18. \(5 \sqrt { 10 y } \cdot 2 \sqrt { 2 y }\)
19. \(\sqrt [ 3 ] { 3 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 9 }\)
20. \(\sqrt [ 3 ] { 4 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 16 }\)
21. \(\sqrt [ 3 ] { 15 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 25 }\)
22. \(\sqrt [ 3 ] { 100 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 50 }\)
23. \(\sqrt [ 3 ] { 4 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 10 }\)
24. \(\sqrt [ 3 ] { 18 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 6 }\)
25. \(( 5 \sqrt [ 3 ] { 9 } ) ( 2 \sqrt [ 3 ] { 6 } )\)
26. \(( 2 \sqrt [ 3 ] { 4 } ) ( 3 \sqrt [ 3 ] { 4 } )\)
27. \(( 2 \sqrt [ 3 ] { 2 } ) ^ { 3 }\)
28. \(( 3 \sqrt [ 3 ] { 4 } ) ^ { 3 }\)
29. \(\sqrt [ 3 ] { 3 a ^ { 2 } } \cdot \sqrt [ 3 ] { 9 a }\)
30. \(\sqrt [ 3 ] { 7 b } \cdot \sqrt [ 3 ] { 49 b ^ { 2 } }\)
31. \(\sqrt [ 3 ] { 6 x ^ { 2 } } \cdot \sqrt [ 3 ] { 4 x ^ { 2 } }\)
32. \(\sqrt [ 3 ] { 12 y } \cdot \sqrt [ 3 ] { 9 y ^ { 2 } }\)
33. \(\sqrt [ 3 ] { 20 x ^ { 2 } y } \cdot \sqrt [ 3 ] { 10 x ^ { 2 } y ^ { 2 } }\)
34. \(\sqrt [ 3 ] { 63 x y } \cdot \sqrt [ 3 ] { 12 x ^ { 4 } y ^ { 2 } }\)
35. \(\sqrt { 5 } ( 3 - \sqrt { 5 } )\)
36. \(\sqrt { 2 } ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } )\)
37. \(3 \sqrt { 7 } ( 2 \sqrt { 7 } - \sqrt { 3 } )\)
38. \(2 \sqrt { 5 } ( 6 - 3 \sqrt { 10 } )\)
39. \(\sqrt { 6 } ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } )\)
40. \(\sqrt { 15 } ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } )\)
41. \(\sqrt { x } ( \sqrt { x } + \sqrt { x y } )\)
42. \(\sqrt { y } ( \sqrt { x y } + \sqrt { y } )\)
43. \(\sqrt { 2 a b } ( \sqrt { 14 a } - 2 \sqrt { 10 b } )\)
44. \(\sqrt { 6 a b } ( 5 \sqrt { 2 a } - \sqrt { 3 b } )\)
45. \(\sqrt [ 3 ] { 6 } ( \sqrt [ 3 ] { 9 } - \sqrt [ 3 ] { 20 } )\)
46. \(\sqrt [ 3 ] { 12 } ( \sqrt [ 3 ] { 36 } + \sqrt [ 3 ] { 14 } )\)
47. \(( \sqrt { 2 } - \sqrt { 5 } ) ( \sqrt { 3 } + \sqrt { 7 } )\)
48. \(( \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) ( \sqrt { 5 } - \sqrt { 7 } )\)
49. \(( 2 \sqrt { 3 } - 4 ) ( 3 \sqrt { 6 } + 1 )\)
50. \(( 5 - 2 \sqrt { 6 } ) ( 7 - 2 \sqrt { 3 } )\)
51. \(( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) ^ { 2 }\)
52. \(( \sqrt { 7 } - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }\)
53. \(( 2 \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) ( 2 \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } )\)
54. \(( \sqrt { 2 } + 3 \sqrt { 7 } ) ( \sqrt { 2 } - 3 \sqrt { 7 } )\)
55. \(( \sqrt { a } - \sqrt { 2 b } ) ^ { 2 }\)
56. \(( \sqrt { a b } + 1 ) ^ { 2 }\)
57. Що таке периметр і площа прямокутника з довжиною, що вимірює\(5\sqrt{3}\) сантиметри, а ширина вимірює\(3\sqrt{2}\) сантиметри?
58. Що таке периметр і площа прямокутника з довжиною, що вимірює\(2\sqrt{6}\) сантиметри, а ширина вимірює\(\sqrt{3}\) сантиметри?
59. Якщо основа трикутника вимірює\(6\sqrt{2}\) метри, а висота вимірює\(3\sqrt{2}\) метри, то обчисліть площу.
60. Якщо основа трикутника вимірює\(6\sqrt{3}\) метри, а висота вимірює\(3\sqrt{6}\) метри, то обчисліть площу.

Відповідь

1. \(\sqrt{21}\)

3. \(6\sqrt{2}\)

5. \(2\sqrt{3}\)

7. \(7\)

9. \(70\sqrt{2}\)

11. \(20\)

13. \(2x\)

15. \(6\sqrt{a}\)

17. \(24x\sqrt{3}\)

19. \(3\)

21. \(5 \sqrt [ 3 ] { 3 }\)

23. \(2 \sqrt [ 3 ] { 5 }\)

25. \(30 \sqrt [ 3 ] { 2 }\)

27. \(16\)

29. \(3a\)

31. \(2 x \sqrt [ 3 ] { 3 x }\)

33. \(2 x y \sqrt [ 3 ] { 25 x }\)

35. \(3\sqrt{5}-5\)

37. \(42 - 3 \sqrt { 21 }\)

39. \(3 \sqrt { 2 } - 2 \sqrt { 3 }\)

41. \(x + x \sqrt { y }\)

43. \(2 a \sqrt { 7 b } - 4 b \sqrt { 5 a }\)

45. \(3 \sqrt [ 3 ] { 2 } - 2 \sqrt [ 3 ] { 15 }\)

47. \(\sqrt { 6 } + \sqrt { 14 } - \sqrt { 15 } - \sqrt { 35 }\)

49. \(18 \sqrt { 2 } + 2 \sqrt { 3 } - 12 \sqrt { 6 } - 4\)

51. \(8 - 2 \sqrt { 15 }\)

53. \(10\)

55. \(a - 2 \sqrt { 2 a b } + 2 b\)

57. Периметр:\(( 10 \sqrt { 3 } + 6 \sqrt { 2 } )\) сантиметри; площа\(15\sqrt{6}\) квадратних сантиметрів

59. \(18\)квадратних метрів

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Розділити. (Припустимо, що всі змінні представляють собою позитивні дійсні числа.)

1. \(\frac { \sqrt { 75 } } { \sqrt { 3 } }\)
2. \(\frac { \sqrt { 360 } } { \sqrt { 10 } }\)
3. \(\frac { \sqrt { 72 } } { \sqrt { 75 } }\)
4. \(\frac { \sqrt { 90 } } { \sqrt { 98 } }\)
5. \(\frac { \sqrt { 90 x ^ { 5 } } } { \sqrt { 2 x } }\)
6. \(\frac { \sqrt { 96 y ^ { 3 } } } { \sqrt { 3 y } }\)
7. \(\frac { \sqrt { 162 x ^ { 7 } y ^ { 5 } } } { \sqrt { 2 x y } }\)
8. \(\frac { \sqrt { 363 x ^ { 4 } y ^ { 9 } } } { \sqrt { 3 x y } }\)
9. \(\frac { \sqrt [ 3 ] { 16 a ^ { 5 } b ^ { 2 } } } { \sqrt [ 3 ] { 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } } }\)
10. \(\frac { \sqrt [ 3 ] { 192 a ^ { 2 } b ^ { 7 } } } { \sqrt [ 3 ] { 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } } }\)

Відповідь

1. \(5\)

3. \(\frac { 2 \sqrt { 6 } } { 5 }\)

5. \(3 x ^ { 2 } \sqrt { 5 }\)

7. \(9 x ^ { 3 } y ^ { 2 }\)

9. \(2a\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Раціоналізувати знаменник. (Припустимо, що всі змінні представляють собою позитивні дійсні числа.)

1. \(\frac { 1 } { \sqrt { 5 } }\)
2. \(\frac { 1 } { \sqrt { 6 } }\)
3. \(\frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } }\)
4. \(\frac { \sqrt { 3 } } { \sqrt { 7 } }\)
5. \(\frac { 5 } { 2 \sqrt { 10 } }\)
6. \(\frac { 3 } { 5 \sqrt { 6 } }\)
7. \(\frac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 3 } }\)
8. \(\frac { \sqrt { 6 } - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } }\)
9. \(\frac { 1 } { \sqrt { 7 x } }\)
10. \(\frac { 1 } { \sqrt { 3 y } }\)
11. \(\frac { a } { 5 \sqrt { a b } }\)
12. \(\frac { 3 b ^ { 2 } } { 2 \sqrt { 3 a b } }\)
13. \(\frac { 2 } { \sqrt [ 3 ] { 36 } }\)
14. \(\frac { 14 } { \sqrt [ 3 ] { 7 } }\)
15. \(\frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { 4 x } }\)
16. \(\frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { 3 y ^ { 2 } } }\)
17. \(\frac { 9 x \sqrt[3] { 2 } } { \sqrt [ 3 ] { 9 x y ^ { 2 } } }\)
18. \(\frac { 5 y ^ { 2 } \sqrt [ 3 ] { x } } { \sqrt [ 3 ] { 5 x ^ { 2 } y } }\)
19. \(\frac { 3 a } { 2 \sqrt [ 3 ] { 3 a ^ { 2 } b ^ { 2 } } }\)
20. \(\frac { 25 n } { 3 \sqrt [ 3 ] { 25 m ^ { 2 } n } }\)
21. \(\frac { 3 } { \sqrt [ 5 ] { 27 x ^ { 2 } y } }\)
22. \(\frac { 2 } { \sqrt [ 5 ] { 16 x y ^ { 2 } } }\)
23. \(\frac { a b } { \sqrt [ 5 ] { 9 a ^ { 3 } b } }\)
24. \(\frac { a b c } { \sqrt [ 5 ] { a b ^ { 2 } c ^ { 3 } } }\)
25. \(\sqrt [ 5 ] { \frac { 3 x } { 8 y ^ { 2 } z } }\)
26. \(\sqrt [ 5 ] { \frac { 4 x y ^ { 2 } } { 9 x ^ { 3 } y z ^ { 4 } } }\)
27. \(\frac { 3 } { \sqrt { 10 } - 3 }\)
28. \(\frac { 2 } { \sqrt { 6 } - 2 }\)
29. \(\frac { 1 } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } }\)
30. \(\frac { 1 } { \sqrt { 7 } - \sqrt { 2 } }\)
31. \(\frac { \sqrt { 3 } } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 6 } }\)
32. \(\frac { \sqrt { 5 } } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 15 } }\)
33. \(\frac { 10 } { 5 - 3 \sqrt { 5 } }\)
34. \(\frac { - 2 \sqrt { 2 } } { 4 - 3 \sqrt { 2 } }\)
35. \(\frac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 5 } } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 5 } }\)
36. \(\frac { \sqrt { 10 } - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 10 } + \sqrt { 2 } }\)
37. \(\frac { 2 \sqrt { 3 } - 3 \sqrt { 2 } } { 4 \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } }\)
38. \(\frac { 6 \sqrt { 5 } + 2 } { 2 \sqrt { 5 } - \sqrt { 2 } }\)
39. \(\frac { x - y } { \sqrt { x } + \sqrt { y } }\)
40. \(\frac { x - y } { \sqrt { x } - \sqrt { y } }\)
41. \(\frac { x + \sqrt { y } } { x - \sqrt { y } }\)
42. \(\frac { x - \sqrt { y } } { x + \sqrt { y } }\)
43. \(\frac { \sqrt { a } - \sqrt { b } } { \sqrt { a } + \sqrt { b } }\)
44. \(\frac { \sqrt { a b } + \sqrt { 2 } } { \sqrt { a b } - \sqrt { 2 } }\)
45. \(\frac { \sqrt { x } } { 5 - 2 \sqrt { x } }\)
46. \(\frac { 1 } { \sqrt { x } - y }\)
47. \(\frac { \sqrt { x } + \sqrt { 2 y } } { \sqrt { 2 x } - \sqrt { y } }\)
48. \(\frac { \sqrt { 3 x } - \sqrt { y } } { \sqrt { x } + \sqrt { 3 y } }\)
49. \(\frac { \sqrt { 2 x + 1 } } { \sqrt { 2 x + 1 } - 1 }\)
50. \(\frac { \sqrt { x + 1 } } { 1 - \sqrt { x + 1 } }\)
51. \(\frac { \sqrt { x + 1 } + \sqrt { x - 1 } } { \sqrt { x + 1 } - \sqrt { x - 1 } }\)
52. \(\frac { \sqrt { 2 x + 3 } - \sqrt { 2 x - 3 } } { \sqrt { 2 x + 3 } + \sqrt { 2 x - 3 } }\)
53. Радіус підстави правого круглого конуса задається\(r = \sqrt { \frac { 3 V } { \pi h } }\) тим, де\(V\) представляє обсяг конуса і\(h\) представляє його висоту. Знайдіть радіус правильного кругового конуса з об'ємом\(50\) кубічних сантиметрів і висотою\(4\) сантиметрів. Дайте точну відповідь і приблизну відповідь округляйте до найближчих сотих.
54. Радіус сфери задається тим\(r = \sqrt [ 3 ] { \frac { 3 V } { 4 \pi } }\), де\(V\) представляє об'єм сфери. Знайдіть радіус сфери з об'ємом\(135\) квадратних сантиметрів. Дайте точну відповідь і приблизну відповідь округляйте до найближчих сотих.

Відповідь

1. \(\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }\)

3. \(\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }\)

5. \(\frac { \sqrt { 10 } } { 4 }\)

7. \(\frac { 3 - \sqrt { 15 } } { 3 }\)

9. \(\frac { \sqrt { 7 x } } { 7 x }\)

11. \(\frac { \sqrt { a b } } { 5 b }\)

13. \(\frac { \sqrt [ 3 ] { 6 } } { 3 }\)

15. \(\frac { \sqrt [ 3 ] { 2 x ^ { 2 } } } { 2 x }\)

17. \(\frac { 3 \sqrt [ 3 ] { 6 x ^ { 2 } y } } { y }\)

19. \(\frac { \sqrt [ 3 ] { 9 a b } } { 2 b }\)

21. \(\frac { \sqrt [ 5 ] { 9 x ^ { 3 } y ^ { 4 } } } { x y }\)

23. \(\frac { \sqrt [ 5 ] { 27 a ^ { 2 } b ^ { 4 } } } { 3 }\)

25. \(\frac { \sqrt [ 5 ] { 12 x y ^ { 3 } z ^ { 4 } } } { 2 y z }\)

27. \(3\sqrt { 10 } + 9\)

29. \(\frac { \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } } { 2 }\)

31.\ (- 1 +\ sqrt {2}\

33. \(\frac { - 5 - 3 \sqrt { 5 } } { 2 }\)

35. \(- 4 - \sqrt { 15 }\)

37. \(\frac { 15 - 7 \sqrt { 6 } } { 23 }\)

39. \(\sqrt { x } - \sqrt { y }\)

41. \(\frac { x ^ { 2 } + 2 x \sqrt { y } + y } { x ^ { 2 } - y }\)

43. \(\frac { a - 2 \sqrt { a b + b } } { a - b }\)

45. \(\frac { 5 \sqrt { x } + 2 x } { 25 - 4 x }\)

47. \(\frac { x \sqrt { 2 } + 3 \sqrt { x y } + y \sqrt { 2 } } { 2 x - y }\)

49. \(\frac { 2 x + 1 + \sqrt { 2 x + 1 } } { 2 x }\)

51. \(x + \sqrt { x ^ { 2 } - 1 }\)

53. \(\frac { 5 \sqrt { 6 \pi } } { 2 \pi }\)сантиметри;\(3.45\) сантиметри

Вправа\(\PageIndex{7}\)

1. Дослідіть та обговоріть деякі причини, чому це звичайна практика раціоналізувати знаменник.
2. Поясніть своїми словами, як раціоналізувати знаменник.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹⁸ Фактори\((a+b)\) і\((a-b)\) є сполученими.

¹⁹ Процес визначення еквівалентного радикального виразу з раціональним знаменником.