8.1: Радикали

Цілі навчання

• Знайдіть квадратні коріння.
• Знайдіть кубові коріння.
• Знайти в коренях.
• Спростіть вирази, використовуючи правила добутку та коефіцієнта для радикалів.

Квадратні коріння

Квадратний корінь числа - це те число, яке при множенні на себе дає вихідне число. Наприклад, 4 - квадратний корінь з 16, тому що\(4^{2}=16\). Оскільки\((−4)^{2}=16\), можна сказати, що −4 також є квадратним коренем з 16. Кожне додатне дійсне число має два квадратних кореня, один позитивний і один негативний. З цієї причини ми використовуємо знак радикала для\(√\) позначення головного (невід'ємного) квадратного кореня і негативний знак перед радикалом\(− √\) для позначення негативного квадратного кореня.

Нуль - єдине дійсне число з одним квадратним коренем.

\[\sqrt{0}=0 \quad \text { because } \quad 0^{2}=0\]

Якщо радиканд, число всередині знака радикала, невід'ємний і може бути врахований як квадрат іншого невід'ємного числа, то квадратний корінь числа очевидний. В даному випадку ми маємо наступну властивість:

\[\sqrt{a^{2}}=a, \quad \text { if } \quad a \geq 0\]

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Знайдіть квадратний корінь.

1. \(\sqrt{36}\)
2. \(\sqrt{144}\)
3. \(\sqrt{0.04}\)
4. \(\sqrt{\frac{1}{9}}\)

Рішення:

1. \(\sqrt{36} = \sqrt{6^{2}} =6\)
2. \(\sqrt{144} = \sqrt{12^{2}} =12\)
3. \(\sqrt{0.04} = \sqrt{0.02^{2}} =0.02\)
4. \(\sqrt{\frac{1}{9}} = \sqrt{(\frac{1}{3})^{2}} =\frac{1}{3}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайдіть негативний квадратний корінь.

1. \(-\sqrt{4}\)
2. \(-\sqrt{1}\)

Рішення:

1. \(-\sqrt{4} = -\sqrt{2^{2}} = -2\)
2. \(-\sqrt{1} = -\sqrt{1^{2}} = -1\)

Радиканд не завжди може бути ідеальним каре. Якщо натуральне число не є ідеальним квадратом, то його квадратний корінь буде ірраціональним. Наприклад,\(\sqrt{2}\) є ірраціональним числом і може бути наближений на більшості калькуляторів за допомогою кнопки квадратного кореня.

\(\sqrt{2} \approx 1.414 \quad \text { because } \quad 1.414^{\wedge} 2 \approx 2\)

Далі розглянемо квадратний корінь від'ємного числа. Щоб визначити квадратний корінь −9, ви повинні знайти число, яке у квадраті призведе до −9:

\(\sqrt{-9}=\color{Cerulean}{?} \quad \color{black}{ \text { or }} \quad(\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}^{2}=-9\)

Однак будь-яке дійсне число в квадраті завжди призводить до позитивного числа:

\((3)^{2}=9 \quad \text { and } \quad(-3)^{2}=9\)

Квадратний корінь від'ємного числа в даний час залишається невизначеною. Наразі ми будемо констатувати, що\(\sqrt{−9}\) це не реальне число.

Куб Коріння

Кубічний корінь числа - це те число, яке при помноженні на себе три рази дає початкове число. Крім того, ми позначаємо кубічний корінь за допомогою символу\(\sqrt[3]{}\), де 3 називається індексом. Наприклад,

\(\sqrt[3]{125}=5, \quad \text { because } \quad 5^{3}=125\)

Твір трьох рівних факторів буде позитивним, якщо фактор позитивний і негативний, якщо фактор негативний. З цієї причини будь-яке дійсне число матиме лише один реальний кубічний корінь. Звідси технічні особливості, пов'язані з основним коренем, не застосовуються. Наприклад,

\(\sqrt[3]{-125}=-5, \quad \text { because } \quad(-5)^{3}=-125\)

Загалом, з огляду на будь-яке дійсне число a, ми маємо таку властивість:

\[\sqrt[3]{a^{3}}=a\]

Спрощуючи кубічні корені, шукайте фактори, які є ідеальними кубами.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайдіть кубічний корінь.

1. \(\sqrt[3]{27}\)
2. \(\sqrt[3]{64}\)
3. \(\sqrt[3]{0}\)
4. \(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\)

Рішення:

1. \(\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^{3}}=3\)
2. \(\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^{3}}=4\)
3. \(\sqrt[3]{0} = \sqrt[3]{0^{3}}=0\)
4. \(\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \sqrt[3]{(\frac{1}{2})^{3}}=\frac{1}{2}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайдіть кубічний корінь.

1. \(\sqrt[3]{-8}\)
2. \(\sqrt[3]{-1}\)
3. \(\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}\)

Рішення:

1. \(\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^{3}} = -2\)
2. \(\sqrt[3]{-1} = \sqrt[3]{(-1)^{3}} = -1\)
3. \(\sqrt[3]{-\frac{1}{27}} = \sqrt[3]{(-\frac{1}{3})^{3}} = -\frac{1}{3}\)

Може трапитися так, що радиканд не є ідеальним кубом. Якщо ціле число не є ідеальним кубом, то його кубовий корінь буде нераціональним. Наприклад,\(\sqrt[3]{2}\) це ірраціональне число, яке можна наблизити на більшості калькуляторів за допомогою кореневої кнопки. Залежно від калькулятора, ми зазвичай набираємо індекс перед натисканням кнопки, а потім радиканд наступним чином:

\(3\:\: \sqrt[x]{y}\:\:2\:\:=\)

Тому ми маємо

\(\sqrt[3]{2} \approx 1.260, \quad \text { because } \quad 1.260^{\wedge} 3 \approx 2\)

В коренях

Для будь-якого цілого числа n≥2 ми визначаємо n -й корінь додатного дійсного числа як число, яке при підвищенні до n -й степені дає початкове число. З огляду на будь-яке невід'ємне дійсне число a, ми маємо таку властивість:

\[\sqrt[n]{a^{n}}=a, \quad \text { if } \qquad a \geq 0\]

Тут n називається індексом і\(a^{n}\) називається радикандом. Крім того, ми можемо посилатися на весь вираз\ sqrt [n] {a}\) як радикал. Коли індекс є цілим числом більше 3, ми говоримо «четвертий корінь», «п'ятий корінь», і так далі. N корінь будь-якого числа очевидно, якщо ми можемо записати радиканд з показником, рівним індексу.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Знайдіть їх в корені.

1. \(\sqrt[4]{81}\)
2. \(\sqrt[5]{32}\)
3. \(\sqrt[7]{1}\)
4. \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}}\)

Рішення:

1. \(\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^{4}} = 3\)
2. \(\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2\)
3. \(\sqrt[7]{1} = \sqrt[7]{1^{7}} = 1\)
4. \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \sqrt[4]{(\frac{1}{2})^{4}} = \frac{1}{2}\)

Якщо індекс дорівнює n=2, то радикал вказує на квадратний корінь і радикал прийнято писати без індексу, як показано нижче:

\[\sqrt[2]{a}=\sqrt{a}\]

Ми вже подбали про визначення основного квадратного кореня числа. У цей момент ми поширюємо цю ідею на коріння, коли n є парним. Наприклад, 3 - четвертий корінь з 81, тому що\(3^{4}=81\). І оскільки\((−3)^{4}=81\), ми можемо сказати, що −3 є четвертим корінням 81, а також. Отже, ми використовуємо радикальний знак\(\sqrt[n]{}\) для позначення принципового (невід'ємного) в корені, коли n парне. У цьому випадку для будь-якого дійсного числа a ми використовуємо таку властивість:

\[\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\qquad\color{Cerulean}{When\:n\:is\:even}\]

Наприклад,

\(\begin{array}{l}{\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^{4}}=|3|=3} \\ {\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{(-3)^{4}}=|-3|=3}\end{array}\)

Негативний в корені, коли n парний, буде позначатися за допомогою негативного знака перед радикалом\(-\sqrt[n]{}\).

\(-\sqrt[4]{81}=-\sqrt[4]{3^{4}}=-3\)

Ми бачили, що квадратний корінь негативного числа не є реальним, оскільки будь-яке дійсне число, коли у квадраті, призведе до позитивного числа. Насправді подібна проблема виникає при будь-якому парному показнику:

\(\sqrt[4]{-81}=\color{Cerulean}{?} \quad\color{black}{ \text { or }} \quad(\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}^{4}=-81\)

Тут четвертий корінь −81 не є дійсним числом, оскільки четвертий ступінь будь-якого дійсного числа завжди позитивний.

\(\begin{array}{l}{\sqrt{-4}} \\ {\sqrt[4]{-81}}\end{array}\quad \} \quad\color{Cerulean}{These\:radicals\:are\:not\:real\:numbers.}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Спростити

1. \(\sqrt[4]{-16}\)
2. \(-\sqrt[4]{16}\)

Рішення:

а. радиканд негативний, а індекс парний. Тому не існує дійсного числа, яке при підвищенні до четвертої степені дорівнює −16.

\(\sqrt[4]{-16} \qquad\color{Cerulean}{Not\:a\:real\:number}\)

б. тут радиканд позитивний. Крім того\(16=2^{4}\), і ми можемо спростити наступним чином:

\(-\sqrt[4]{16}=-\sqrt[4]{2^{4}}=-2\)

Коли n непарне, ті ж проблеми не виникають. Твір непарного числа позитивних чинників позитивне, а добуток непарного числа негативних чинників - негативним. Отже, коли індекс n непарний, існує лише одне дійсне в корені для будь-якого дійсного числа a. І ми маємо наступну властивість:

\[\sqrt[n]{a^{n}}=a \qquad \color{Cerulean}{When\:n\:is\:odd}\]

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Знайдіть їх в корені.

1. \(\sqrt[5]{-32}\)
2. \(\sqrt[7]{-1}\)

Рішення:

а.\(\sqrt[5]{-32}= \sqrt[5]{(-2)^{5}} = -2\)

б.\(\sqrt[7]{-1}= \sqrt[7]{(-1)^{7}} = -1\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Знайдіть четвертий корінь:

\(\sqrt[4]{625}\)

Відповідь

5

Резюме

Коли n непарний, n-й корінь позитивний або негативний в залежності від знака радиканда.

Коли n парне, то n корінь позитивний або не реальний в залежності від знака радиканда.

\(\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{(-2)^{4}}=|-2|=2\)

\(\sqrt[4]{-16} \quad\color{Cerulean}{The\:radical\:is\:not\:a\:real\:number.}\)

Спрощення використання продукту та правила частки для радикалів

Не завжди буде так, що радиканд - це досконала сила даного індексу. Якщо ні, ми використовуємо наступні два властивості, щоб спростити їх. Якщо a і b представляють собою позитивні дійсні числа, то ми маємо

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

Правило продукту для радикалів:	\[\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\]
Коефіцієнтне правило для радикалів:	\[\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\]

Радикал спрощується, якщо він не містить жодного фактора, який можна записати як досконалу силу індексу.

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Спростити:

\(\sqrt{12}\)

Рішення:

Тут 12 можна записати як 4 ⋅ 3, де 4 - ідеальний квадрат.

\(\begin{aligned} \sqrt{12} &=\sqrt{4 \cdot 3} &\color{Cerulean} { Apply\: the\: product\: rule\: for\: radicals.} \\ &=\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} & \color{Cerulean} { Simplify. } \\ &=2 \cdot \sqrt{3} \end{aligned}\)

Ми можемо перевірити нашу відповідь на калькуляторі:

\(\sqrt{12} \approx 3.46 \quad \text { and } \quad 2 \cdot \sqrt{3} \approx 3.46\)

Також варто відзначити, що

\(3.46^{\wedge} 2 \approx 12\)

Відповідь:

\(2\sqrt{3}\)

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Спростити:

\(\sqrt{135}\)

Рішення:

Почніть з пошуку найбільшого ідеального квадратного коефіцієнта 135.

\(\begin{aligned} 135 &=3^{3} \cdot 5 \\ &=3^{2} \cdot 3 \cdot 5 \\ &=9 \cdot 15 \end{aligned}\)

Тому

\(\begin{aligned} \sqrt{135} &=\sqrt{9 \cdot 15} \qquad \color{Cerulean} { Apply\: the \:product\: rule\: for\: radicals.} \\ &=\sqrt{9} \cdot \sqrt{15} \quad\: \color{Cerulean} { Simplify. } \\ &=3 \cdot \sqrt{15} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(3\sqrt{15}\)

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Спростити:

\(\sqrt{\frac{50}{121}}\)

Рішення:

Почніть з пошуку простих факторизацій як 50, так і 121. Це дозволить нам легко визначити найбільші ідеальні квадратні коефіцієнти.

\(\begin{aligned} 50 &=5^{2} \cdot 2 \\ 121 &=11^{2} \end{aligned}\)

Тому

\(\begin{aligned} \sqrt{\frac{50}{121}} &=\sqrt{\frac{5^{2} \cdot 2}{11^{2}}} \qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:and\:quotient\:rule\:for\:radicals.} \\ &=\frac{\sqrt{5^{2}} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{11^{2}}} \quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\frac{5 \cdot \sqrt{2}}{11} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(\frac{5 \cdot \sqrt{2}}{11}\)

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Спростити:

\(\sqrt[3]{162}\)

Рішення:

Скористайтеся простою факторизацією 162, щоб знайти найбільший коефіцієнт ідеального куба:

\(\begin{aligned} 162 &=3^{4} \cdot 2 \\ &=\color{Cerulean}{3^{3}}\color{black}{ \cdot} 3 \cdot 2 \end{aligned}\)

Замініть радиканд цією факторизацією, а потім застосуйте правило продукту для радикалів.

\(\begin{aligned} \sqrt[3]{162} &=\sqrt[3]{3^{3} \cdot 3 \cdot 2} \qquad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:rule\:for\:radicals.} \\ &=\sqrt[3]{3^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 2} \quad\:\:\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=3 \cdot \sqrt[3]{6} \end{aligned}\)

Ми можемо перевірити нашу відповідь на калькуляторі.

\(\sqrt[3]{162} \approx 5.451 \quad \text { and } \quad 3 \cdot \sqrt[3]{6} \approx 5.451\)

Відповідь:

\(3 \sqrt[3]{6}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Спростити:

\(2\sqrt[3]{96}\)

Відповідь

\(4\sqrt[3]{12}\)

Приклад\(\PageIndex{12}\)

Спростити:

\(\sqrt[5]{-96}\)

Рішення:

Тут відзначимо, що індекс непарний, а радиканд негативний; отже, результат буде негативним. Ми можемо зарахувати радиканд наступним чином:

Тоді спростіть:

Відповідь:

Приклад\(\PageIndex{13}\)

Спростити:

\(\sqrt[3]{-\frac{8}{64}}\)

Рішення:

У цьому випадку розглянемо еквівалентний дріб з\(−8=(−2)^{3}\) в чисельнику, а потім спростити.

\(\begin{aligned} \sqrt[3]{-\frac{8}{64}} &=\sqrt[3]{\frac{-8}{64}}\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:radicals.} \\ &=\frac{\sqrt[3]{\frac{(-2)^{3}}{\sqrt[3]{4^{3}}}}}{\sqrt[3]{4^{3}}} \quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\frac{-2}{4} \\ &=-\frac{1}{2} \end{aligned}\)

Відповідь:

\(-\frac{1}{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Спростити:

\(\sqrt[-3]{108}\)

Відповідь

\(-3\sqrt[3]{4}\)

Ключові винос

• Квадратний корінь числа - це те число, яке при множенні на себе дає вихідне число. Коли радиканд а позитивний,\(\sqrt{a^{2}=a\). Коли радиканд негативний, результат не є дійсним числом.
• Кубічний корінь числа - це те число, яке при використанні як множника з собою тричі дає початкове число. Кубічний корінь може бути позитивним або негативним в залежності від знака радиканда. Тому для будь-якого реального числа а у нас є властивість\(\sqrt[3]{a^{3}}=a\).
• При роботі з n roots n визначає визначення, яке застосовується. Ми використовуємо,\(\sqrt[n]{a^{n}}=a\) коли п непарне, а\(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\) коли п парне. Коли n парне, негатив в корені позначається негативним знаком перед радикальним знаком.
• Щоб спростити квадратні корені, шукайте найбільший ідеальний квадратний коефіцієнт радиканда, а потім застосуйте продукт або часткове правило для радикалів.
• Щоб спростити кубічні корені, шукайте найбільший ідеальний кубовий коефіцієнт радиканда, а потім застосуйте правило продукту або частки для радикалів.
• Щоб спростити в коренях, шукайте фактори, які мають силу, рівну індексу n, а потім застосуйте для радикалів правило продукту або частки. Як правило, процес впорядковується, якщо працювати з простою факторизацією радиканда.

Вправа\(\PageIndex{4}\) radicals

Спростити.

1. \(\sqrt{81}\)
2. \(\sqrt{100}\)
3. \(\sqrt{64}\)
4. \(\sqrt{121}\)
5. \(\sqrt{0}\)
6. \(\sqrt{1}\)
7. \(\sqrt{0.25}\)
8. \(\sqrt{0.01}\)
9. \(\sqrt{1.21}\)
10. \(\sqrt{2.25}\)
11. \(\sqrt{14}\)
12. \(\sqrt{136}\)
13. \(\sqrt{\frac{25}{16}}\)
14. \(\sqrt{\frac{9}{25}}\)
15. \(\sqrt{−25}\)
16. \(\sqrt{−9}\)
17. \(-\sqrt{36}\)
18. \(-\sqrt{81}\)
19. \(-\sqrt{100}\)
20. \(-\sqrt{1}\)
21. \(\sqrt[3]{27}\)
22. \(\sqrt[3]{125}\)
23. \(\sqrt[3]{64}\)
24. \(\sqrt[3]{8}\)
25. \(\sqrt[3]{\frac{1}{1}}\)
26. \(\sqrt[3]{\frac{1}{64}}\)
27. \(\sqrt[3]{\frac{8}{27}}\)
28. \(\sqrt[3]{\frac{64}{125}}\)
29. \(\sqrt[3]{0.001}\)
30. \(\sqrt[3]{1,000}\)
31. \(\sqrt[3]{-1}\)
32. \(\sqrt[3]{− 8}\)
33. \(\sqrt[3]{−27}\)
34. \(\sqrt[3]{−64}\)
35. \(\sqrt[3]{−18}\)
36. \(-\sqrt[3]{\frac{27}{64}}\)
37. \(-\sqrt[3]{\frac{8}{27}}\)
38. \(-\sqrt[3]{\frac{1}{125}}\)
39. \(\sqrt[4]{81}\)
40. \(\sqrt[4]{625}\)
41. \(\sqrt[4]{16}\)
42. \(\sqrt[4]{10,000}\)
43. \(\sqrt[5]{32}\)
44. \(\sqrt[5]{1}\)
45. \(\sqrt[5]{243}\)
46. \(\sqrt[5]{100,000}\)
47. \(-\sqrt[4]{16}\)
48. \(-\sqrt[6]{1}\)
49. \(\sqrt[5]{−32}\)
50. \(\sqrt[5]{-1}\)
51. \(\sqrt{− 1}\)
52. \(\sqrt[4]{−16}\)
53. \(− 5\sqrt[3]{-27}\)
54. \(− 2\sqrt[3]{− 8}\)
55. \(5 \sqrt[3]{−1,000}\)
56. \(3 \sqrt[5]{−243}\)
57. \(10 \sqrt[4]{−16}\)
58. \(2 \sqrt[6]{−64}\)
59. \(\sqrt{325}\)
60. \(\sqrt{64}\)
61. \(2 \sqrt[3]{27}\)
62. \(8 \sqrt[3]{243}\)
63. \(−7 \sqrt[3]{8}\)
64. \(−4 \sqrt[4]{625}\)
65. \(6 \sqrt[5]{100,000}\)
66. \(5 \sqrt[7]{128}\)

Відповідь

1. 9

3. 8

5. 0

7. 0,5

9. 1.1

11. \(\frac{1}{2}\)

13. \(\frac{5}{4}\)

15. Чи не дійсне число

17. −6

19. −10

21. 3

23. 4

25. \(\frac{1}{2}\)

27. \(\frac{2}{3}\)

29. \(0.1\)

31. −1

33. −3

35. \(−\frac{1}{2}\)

37. \(−\frac{2}{3}\)

39. 3

41. 2

43. 2

45. 3

47. −2

49. −2

51. Чи не дійсне число

53. 15

55. −50

57. Чи не дійсне число

59. 15

61. 6

63. −14

65. 60

Вправа\(\PageIndex{5}\) simplifying radicals

Спростити.

1. \(\sqrt{32}\)
2. \(\sqrt{250}\)
3. \(\sqrt{80}\)
4. \(\sqrt{150}\)
5. \(\sqrt{160}\)
6. \ (\ sqrt {60}\
7. \(\sqrt{175}\)
8. \(\sqrt{216}\)
9. \(\sqrt{5112}\)
10. \(\sqrt{10135}\)
11. \(\sqrt{\frac{50}{49}}\)
12. \(−\sqrt{2120}\)
13. \(−3\sqrt{162}\)
14. \(\sqrt{89}\)
15. \(\sqrt{\frac{45}{121}}\)
16. \(\sqrt{\frac{9}{681}}\)
17. \(\sqrt[3]{54}\)
18. \(\sqrt[3]{24}\)
19. \(\sqrt[3]{48}\)
20. \(\sqrt[3]{81}\)
21. \(\sqrt[3]{40}\)
22. \(\sqrt[3]{120}\)
23. \(\sqrt[3]{162}\)
24. \(\sqrt[3]{500}\)
25. \(\sqrt[3]{\frac{54}{125}}\)
26. \(\sqrt[3]{\frac{40}{343}}\)
27. \(5 \sqrt[3]{-48}\)
28. \(2 \sqrt[3]{-108}\)
29. \(8 \sqrt[4]{96}\)
30. \(7 \sqrt[4]{162}\)
31. \(\sqrt[5]{160}\)
32. \(\sqrt[5]{486}\)
33. \(\sqrt[5]{\frac{224}{243}}\)
34. \(\sqrt[5]{532}\)

Відповідь

1. \(4\sqrt{2}\)

3. \(4\sqrt{5}\)

5. \(4\sqrt{10}\)

7. \(5\sqrt{7}\)

9. \(6\sqrt{142}\)

11. \(\frac{5 \sqrt{2}}{7}\)

13. \(-27 \sqrt{2}\)

15. \(\frac{3 \sqrt{5}}{11}\)

17. \(3\sqrt[3]{2}\)

19. \(2 \sqrt[3]{6}\)

21. \(2 \sqrt[3]{5}\)

23. \(3 \sqrt[3]{6}\)

25. \(\frac{3 \sqrt[3]{2}}{5}\)

27. \(-10 \sqrt[3]{6}\)

29. \(16 \sqrt[4]{6}\)

31. \(2 \sqrt[5]{5}\)

33. \(\frac{2 \sqrt[5]{7}}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\) simplifying radicals

Спростити. Дайте точну відповідь і приблизну відповідь округляйте до найближчих сотих.

1. \(\sqrt{8}\)
2. \(\sqrt{200}\)
3. \(\sqrt{45}\)
4. \(\sqrt{72}\)
5. \(3\sqrt{4}\)
6. \(\sqrt{59}\)
7. \(\sqrt{32}{25}\)
8. \(\sqrt{48}{49}\)
9. \(\sqrt[3]{80}\)
10. \(\sqrt[3]{320}\)
11. \(\sqrt[3]{48}\)
12. \(\sqrt[3]{270}\)

Відповідь

1. \(2\sqrt{2} ≈2.83\)

3. \(3\sqrt{5} ≈6.71\)

5. \(3\sqrt{2} ≈0.87\)

7. \(\frac{4 \sqrt{2}}{5} ≈1.13\)

9. \(2 \sqrt[3]{10} ≈4.31\)

11. \(2 \sqrt[3]{6} ≈3.63\)

Вправа\(\PageIndex{7}\) simplifying radicals

Перепишіть наступне як радикальний вираз з коефіцієнтом 1.

1. \(2\sqrt{15}\)
2. \(3\sqrt{7}\)
3. \(5\sqrt{10}\)
4. \(10\sqrt{3}\)
5. \(2\sqrt[3]{7}\)
6. \(3\sqrt[3]{6}\)
7. \(2\sqrt[4]{5}\)
8. \(3\sqrt[4]{2}\)
9. Формула для площі А квадрата є\(A=s^{2}\). Якщо площа становить 18 квадратних одиниць, то яка довжина кожної сторони?
10. Обчисліть довжину сторони квадрата площею 60 квадратних сантиметрів.
11. Формула об'єму V куба така\(V=s^{3}\). Якщо обсяг куба дорівнює 112 кубічним одиницям, то яка довжина кожної сторони?
12. Обчисліть довжину сторони куба об'ємом 54 кубічних сантиметрів.

Відповідь

1. \(\sqrt{60}\)

3. \(\sqrt{250}\)

5. \(\sqrt[3]{56}\)

7. \(\sqrt[4]{80}\)

9. \(3\sqrt{2}\)одиниць

11. \(2 \sqrt[3]{14}\)одиниць

Вправа\(\PageIndex{8}\) discussion board

1. Поясніть, чому існує два квадратних кореня для будь-якого ненульового дійсного числа.
2. Поясніть, чому існує лише один кубічний корінь для будь-якого дійсного числа.
3. Що таке квадратний корінь 1, і що таке кубічний корінь 1? Поясніть, чому.
4. Поясніть\(\sqrt{−1}\), чому не реальне число і\(\sqrt[3]{−1}\) чому реальне число.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися