8.1: Радикали

Цілі навчання

• Знайдіть квадратні коріння.
• Знайдіть кубові коріння.
• Знайти в коренях.
• Спростіть вирази, використовуючи правила добутку та коефіцієнта для радикалів.

Квадратні коріння

Квадратний корінь числа - це те число, яке при множенні на себе дає вихідне число. Наприклад, 4 - квадратний корінь з 16, тому що$4^{2}=16$. Оскільки$(−4)^{2}=16$, можна сказати, що −4 також є квадратним коренем з 16. Кожне додатне дійсне число має два квадратних кореня, один позитивний і один негативний. З цієї причини ми використовуємо знак радикала для$√$ позначення головного (невід'ємного) квадратного кореня і негативний знак перед радикалом$− √$ для позначення негативного квадратного кореня.

Нуль - єдине дійсне число з одним квадратним коренем.

$$\sqrt{0}=0 \quad \text { because } \quad 0^{2}=0$$

Якщо радиканд, число всередині знака радикала, невід'ємний і може бути врахований як квадрат іншого невід'ємного числа, то квадратний корінь числа очевидний. В даному випадку ми маємо наступну властивість:

$$\sqrt{a^{2}}=a, \quad \text { if } \quad a \geq 0$$

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть квадратний корінь.

1. $\sqrt{36}$
2. $\sqrt{144}$
3. $\sqrt{0.04}$
4. $\sqrt{\frac{1}{9}}$

Рішення:

1. $\sqrt{36} = \sqrt{6^{2}} =6$
2. $\sqrt{144} = \sqrt{12^{2}} =12$
3. $\sqrt{0.04} = \sqrt{0.02^{2}} =0.02$
4. $\sqrt{\frac{1}{9}} = \sqrt{(\frac{1}{3})^{2}} =\frac{1}{3}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть негативний квадратний корінь.

1. $-\sqrt{4}$
2. $-\sqrt{1}$

Рішення:

1. $-\sqrt{4} = -\sqrt{2^{2}} = -2$
2. $-\sqrt{1} = -\sqrt{1^{2}} = -1$

Радиканд не завжди може бути ідеальним каре. Якщо натуральне число не є ідеальним квадратом, то його квадратний корінь буде ірраціональним. Наприклад,$\sqrt{2}$ є ірраціональним числом і може бути наближений на більшості калькуляторів за допомогою кнопки квадратного кореня.

$\sqrt{2} \approx 1.414 \quad \text { because } \quad 1.414^{\wedge} 2 \approx 2$

Далі розглянемо квадратний корінь від'ємного числа. Щоб визначити квадратний корінь −9, ви повинні знайти число, яке у квадраті призведе до −9:

$\sqrt{-9}=\color{Cerulean}{?} \quad \color{black}{ \text { or }} \quad(\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}^{2}=-9$

Однак будь-яке дійсне число в квадраті завжди призводить до позитивного числа:

$(3)^{2}=9 \quad \text { and } \quad(-3)^{2}=9$

Квадратний корінь від'ємного числа в даний час залишається невизначеною. Наразі ми будемо констатувати, що$\sqrt{−9}$ це не реальне число.

Куб Коріння

Кубічний корінь числа - це те число, яке при помноженні на себе три рази дає початкове число. Крім того, ми позначаємо кубічний корінь за допомогою символу$\sqrt[3]{}$, де 3 називається індексом. Наприклад,

$\sqrt[3]{125}=5, \quad \text { because } \quad 5^{3}=125$

Твір трьох рівних факторів буде позитивним, якщо фактор позитивний і негативний, якщо фактор негативний. З цієї причини будь-яке дійсне число матиме лише один реальний кубічний корінь. Звідси технічні особливості, пов'язані з основним коренем, не застосовуються. Наприклад,

$\sqrt[3]{-125}=-5, \quad \text { because } \quad(-5)^{3}=-125$

Загалом, з огляду на будь-яке дійсне число a, ми маємо таку властивість:

$$\sqrt[3]{a^{3}}=a$$

Спрощуючи кубічні корені, шукайте фактори, які є ідеальними кубами.

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть кубічний корінь.

1. $\sqrt[3]{27}$
2. $\sqrt[3]{64}$
3. $\sqrt[3]{0}$
4. $\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$

Рішення:

1. $\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^{3}}=3$
2. $\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^{3}}=4$
3. $\sqrt[3]{0} = \sqrt[3]{0^{3}}=0$
4. $\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \sqrt[3]{(\frac{1}{2})^{3}}=\frac{1}{2}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть кубічний корінь.

1. $\sqrt[3]{-8}$
2. $\sqrt[3]{-1}$
3. $\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$

Рішення:

1. $\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^{3}} = -2$
2. $\sqrt[3]{-1} = \sqrt[3]{(-1)^{3}} = -1$
3. $\sqrt[3]{-\frac{1}{27}} = \sqrt[3]{(-\frac{1}{3})^{3}} = -\frac{1}{3}$

Може трапитися так, що радиканд не є ідеальним кубом. Якщо ціле число не є ідеальним кубом, то його кубовий корінь буде нераціональним. Наприклад,$\sqrt[3]{2}$ це ірраціональне число, яке можна наблизити на більшості калькуляторів за допомогою кореневої кнопки. Залежно від калькулятора, ми зазвичай набираємо індекс перед натисканням кнопки, а потім радиканд наступним чином:

$3\:\: \sqrt[x]{y}\:\:2\:\:=$

Тому ми маємо

$\sqrt[3]{2} \approx 1.260, \quad \text { because } \quad 1.260^{\wedge} 3 \approx 2$

В коренях

Для будь-якого цілого числа n≥2 ми визначаємо n -й корінь додатного дійсного числа як число, яке при підвищенні до n -й степені дає початкове число. З огляду на будь-яке невід'ємне дійсне число a, ми маємо таку властивість:

$$\sqrt[n]{a^{n}}=a, \quad \text { if } \qquad a \geq 0$$

Тут n називається індексом і$a^{n}$ називається радикандом. Крім того, ми можемо посилатися на весь вираз\ sqrt [n] {a}\) як радикал. Коли індекс є цілим числом більше 3, ми говоримо «четвертий корінь», «п'ятий корінь», і так далі. N корінь будь-якого числа очевидно, якщо ми можемо записати радиканд з показником, рівним індексу.

Приклад$\PageIndex{5}$

Знайдіть їх в корені.

1. $\sqrt[4]{81}$
2. $\sqrt[5]{32}$
3. $\sqrt[7]{1}$
4. $\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$

Рішення:

1. $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^{4}} = 3$
2. $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2$
3. $\sqrt[7]{1} = \sqrt[7]{1^{7}} = 1$
4. $\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \sqrt[4]{(\frac{1}{2})^{4}} = \frac{1}{2}$

Якщо індекс дорівнює n=2, то радикал вказує на квадратний корінь і радикал прийнято писати без індексу, як показано нижче:

$$\sqrt[2]{a}=\sqrt{a}$$

Ми вже подбали про визначення основного квадратного кореня числа. У цей момент ми поширюємо цю ідею на коріння, коли n є парним. Наприклад, 3 - четвертий корінь з 81, тому що$3^{4}=81$. І оскільки$(−3)^{4}=81$, ми можемо сказати, що −3 є четвертим корінням 81, а також. Отже, ми використовуємо радикальний знак$\sqrt[n]{}$ для позначення принципового (невід'ємного) в корені, коли n парне. У цьому випадку для будь-якого дійсного числа a ми використовуємо таку властивість:

$$\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\qquad\color{Cerulean}{When\:n\:is\:even}$$

Наприклад,

$\begin{array}{l}{\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^{4}}=|3|=3} \\ {\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{(-3)^{4}}=|-3|=3}\end{array}$

Негативний в корені, коли n парний, буде позначатися за допомогою негативного знака перед радикалом$-\sqrt[n]{}$.

$-\sqrt[4]{81}=-\sqrt[4]{3^{4}}=-3$

Ми бачили, що квадратний корінь негативного числа не є реальним, оскільки будь-яке дійсне число, коли у квадраті, призведе до позитивного числа. Насправді подібна проблема виникає при будь-якому парному показнику:

$\sqrt[4]{-81}=\color{Cerulean}{?} \quad\color{black}{ \text { or }} \quad(\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}^{4}=-81$

Тут четвертий корінь −81 не є дійсним числом, оскільки четвертий ступінь будь-якого дійсного числа завжди позитивний.

$\begin{array}{l}{\sqrt{-4}} \\ {\sqrt[4]{-81}}\end{array}\quad \} \quad\color{Cerulean}{These\:radicals\:are\:not\:real\:numbers.}$

Приклад$\PageIndex{6}$

Спростити

1. $\sqrt[4]{-16}$
2. $-\sqrt[4]{16}$

Рішення:

а. радиканд негативний, а індекс парний. Тому не існує дійсного числа, яке при підвищенні до четвертої степені дорівнює −16.

$\sqrt[4]{-16} \qquad\color{Cerulean}{Not\:a\:real\:number}$

б. тут радиканд позитивний. Крім того$16=2^{4}$, і ми можемо спростити наступним чином:

$-\sqrt[4]{16}=-\sqrt[4]{2^{4}}=-2$

Коли n непарне, ті ж проблеми не виникають. Твір непарного числа позитивних чинників позитивне, а добуток непарного числа негативних чинників - негативним. Отже, коли індекс n непарний, існує лише одне дійсне в корені для будь-якого дійсного числа a. І ми маємо наступну властивість:

$$\sqrt[n]{a^{n}}=a \qquad \color{Cerulean}{When\:n\:is\:odd}$$

Приклад$\PageIndex{7}$

Знайдіть їх в корені.

1. $\sqrt[5]{-32}$
2. $\sqrt[7]{-1}$

Рішення:

а.$\sqrt[5]{-32}= \sqrt[5]{(-2)^{5}} = -2$

б.$\sqrt[7]{-1}= \sqrt[7]{(-1)^{7}} = -1$

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайдіть четвертий корінь:

$\sqrt[4]{625}$

Відповідь

5

Резюме

Коли n непарний, n-й корінь позитивний або негативний в залежності від знака радиканда.

Коли n парне, то n корінь позитивний або не реальний в залежності від знака радиканда.

$\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{(-2)^{4}}=|-2|=2$

$\sqrt[4]{-16} \quad\color{Cerulean}{The\:radical\:is\:not\:a\:real\:number.}$

Спрощення використання продукту та правила частки для радикалів

Не завжди буде так, що радиканд - це досконала сила даного індексу. Якщо ні, ми використовуємо наступні два властивості, щоб спростити їх. Якщо a і b представляють собою позитивні дійсні числа, то ми маємо

Таблиця$\PageIndex{1}$

Правило продукту для радикалів:	$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$$
Коефіцієнтне правило для радикалів:	$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$

Радикал спрощується, якщо він не містить жодного фактора, який можна записати як досконалу силу індексу.

Приклад$\PageIndex{8}$

Спростити:

$\sqrt{12}$

Рішення:

Тут 12 можна записати як 4 ⋅ 3, де 4 - ідеальний квадрат.

$\begin{aligned} \sqrt{12} &=\sqrt{4 \cdot 3} &\color{Cerulean} { Apply\: the\: product\: rule\: for\: radicals.} \\ &=\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} & \color{Cerulean} { Simplify. } \\ &=2 \cdot \sqrt{3} \end{aligned}$

Ми можемо перевірити нашу відповідь на калькуляторі:

$\sqrt{12} \approx 3.46 \quad \text { and } \quad 2 \cdot \sqrt{3} \approx 3.46$

Також варто відзначити, що

$3.46^{\wedge} 2 \approx 12$

Відповідь:

$2\sqrt{3}$

Приклад$\PageIndex{9}$

Спростити:

$\sqrt{135}$

Рішення:

Почніть з пошуку найбільшого ідеального квадратного коефіцієнта 135.

$\begin{aligned} 135 &=3^{3} \cdot 5 \\ &=3^{2} \cdot 3 \cdot 5 \\ &=9 \cdot 15 \end{aligned}$

Тому

$\begin{aligned} \sqrt{135} &=\sqrt{9 \cdot 15} \qquad \color{Cerulean} { Apply\: the \:product\: rule\: for\: radicals.} \\ &=\sqrt{9} \cdot \sqrt{15} \quad\: \color{Cerulean} { Simplify. } \\ &=3 \cdot \sqrt{15} \end{aligned}$

Відповідь:

$3\sqrt{15}$

Приклад$\PageIndex{10}$

Спростити:

$\sqrt{\frac{50}{121}}$

Рішення:

Почніть з пошуку простих факторизацій як 50, так і 121. Це дозволить нам легко визначити найбільші ідеальні квадратні коефіцієнти.

$\begin{aligned} 50 &=5^{2} \cdot 2 \\ 121 &=11^{2} \end{aligned}$

Тому

$\begin{aligned} \sqrt{\frac{50}{121}} &=\sqrt{\frac{5^{2} \cdot 2}{11^{2}}} \qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:and\:quotient\:rule\:for\:radicals.} \\ &=\frac{\sqrt{5^{2}} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{11^{2}}} \quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\frac{5 \cdot \sqrt{2}}{11} \end{aligned}$

Відповідь:

$\frac{5 \cdot \sqrt{2}}{11}$

Приклад$\PageIndex{11}$

Спростити:

$\sqrt[3]{162}$

Рішення:

Скористайтеся простою факторизацією 162, щоб знайти найбільший коефіцієнт ідеального куба:

$\begin{aligned} 162 &=3^{4} \cdot 2 \\ &=\color{Cerulean}{3^{3}}\color{black}{ \cdot} 3 \cdot 2 \end{aligned}$

Замініть радиканд цією факторизацією, а потім застосуйте правило продукту для радикалів.

$\begin{aligned} \sqrt[3]{162} &=\sqrt[3]{3^{3} \cdot 3 \cdot 2} \qquad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:rule\:for\:radicals.} \\ &=\sqrt[3]{3^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 2} \quad\:\:\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=3 \cdot \sqrt[3]{6} \end{aligned}$

Ми можемо перевірити нашу відповідь на калькуляторі.

$\sqrt[3]{162} \approx 5.451 \quad \text { and } \quad 3 \cdot \sqrt[3]{6} \approx 5.451$

Відповідь:

$3 \sqrt[3]{6}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Спростити:

$2\sqrt[3]{96}$

Відповідь

$4\sqrt[3]{12}$

Приклад$\PageIndex{12}$

Спростити:

$\sqrt[5]{-96}$

Рішення:

Тут відзначимо, що індекс непарний, а радиканд негативний; отже, результат буде негативним. Ми можемо зарахувати радиканд наступним чином:

Тоді спростіть:

Відповідь:

Приклад$\PageIndex{13}$

Спростити:

$\sqrt[3]{-\frac{8}{64}}$

Рішення:

У цьому випадку розглянемо еквівалентний дріб з$−8=(−2)^{3}$ в чисельнику, а потім спростити.

$\begin{aligned} \sqrt[3]{-\frac{8}{64}} &=\sqrt[3]{\frac{-8}{64}}\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:radicals.} \\ &=\frac{\sqrt[3]{\frac{(-2)^{3}}{\sqrt[3]{4^{3}}}}}{\sqrt[3]{4^{3}}} \quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\frac{-2}{4} \\ &=-\frac{1}{2} \end{aligned}$

Відповідь:

$-\frac{1}{2}$

Вправа$\PageIndex{3}$

Спростити:

$\sqrt[-3]{108}$

Відповідь

$-3\sqrt[3]{4}$

Ключові винос

• Квадратний корінь числа - це те число, яке при множенні на себе дає вихідне число. Коли радиканд а позитивний,$\sqrt{a^{2}=a$. Коли радиканд негативний, результат не є дійсним числом.
• Кубічний корінь числа - це те число, яке при використанні як множника з собою тричі дає початкове число. Кубічний корінь може бути позитивним або негативним в залежності від знака радиканда. Тому для будь-якого реального числа а у нас є властивість$\sqrt[3]{a^{3}}=a$.
• При роботі з n roots n визначає визначення, яке застосовується. Ми використовуємо,$\sqrt[n]{a^{n}}=a$ коли п непарне, а$\sqrt[n]{a^{n}}=|a|$ коли п парне. Коли n парне, негатив в корені позначається негативним знаком перед радикальним знаком.
• Щоб спростити квадратні корені, шукайте найбільший ідеальний квадратний коефіцієнт радиканда, а потім застосуйте продукт або часткове правило для радикалів.
• Щоб спростити кубічні корені, шукайте найбільший ідеальний кубовий коефіцієнт радиканда, а потім застосуйте правило продукту або частки для радикалів.
• Щоб спростити в коренях, шукайте фактори, які мають силу, рівну індексу n, а потім застосуйте для радикалів правило продукту або частки. Як правило, процес впорядковується, якщо працювати з простою факторизацією радиканда.

Вправа$\PageIndex{4}$ radicals

Спростити.

1. $\sqrt{81}$
2. $\sqrt{100}$
3. $\sqrt{64}$
4. $\sqrt{121}$
5. $\sqrt{0}$
6. $\sqrt{1}$
7. $\sqrt{0.25}$
8. $\sqrt{0.01}$
9. $\sqrt{1.21}$
10. $\sqrt{2.25}$
11. $\sqrt{14}$
12. $\sqrt{136}$
13. $\sqrt{\frac{25}{16}}$
14. $\sqrt{\frac{9}{25}}$
15. $\sqrt{−25}$
16. $\sqrt{−9}$
17. $-\sqrt{36}$
18. $-\sqrt{81}$
19. $-\sqrt{100}$
20. $-\sqrt{1}$
21. $\sqrt[3]{27}$
22. $\sqrt[3]{125}$
23. $\sqrt[3]{64}$
24. $\sqrt[3]{8}$
25. $\sqrt[3]{\frac{1}{1}}$
26. $\sqrt[3]{\frac{1}{64}}$
27. $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$
28. $\sqrt[3]{\frac{64}{125}}$
29. $\sqrt[3]{0.001}$
30. $\sqrt[3]{1,000}$
31. $\sqrt[3]{-1}$
32. $\sqrt[3]{− 8}$
33. $\sqrt[3]{−27}$
34. $\sqrt[3]{−64}$
35. $\sqrt[3]{−18}$
36. $-\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$
37. $-\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$
38. $-\sqrt[3]{\frac{1}{125}}$
39. $\sqrt[4]{81}$
40. $\sqrt[4]{625}$
41. $\sqrt[4]{16}$
42. $\sqrt[4]{10,000}$
43. $\sqrt[5]{32}$
44. $\sqrt[5]{1}$
45. $\sqrt[5]{243}$
46. $\sqrt[5]{100,000}$
47. $-\sqrt[4]{16}$
48. $-\sqrt[6]{1}$
49. $\sqrt[5]{−32}$
50. $\sqrt[5]{-1}$
51. $\sqrt{− 1}$
52. $\sqrt[4]{−16}$
53. $− 5\sqrt[3]{-27}$
54. $− 2\sqrt[3]{− 8}$
55. $5 \sqrt[3]{−1,000}$
56. $3 \sqrt[5]{−243}$
57. $10 \sqrt[4]{−16}$
58. $2 \sqrt[6]{−64}$
59. $\sqrt{325}$
60. $\sqrt{64}$
61. $2 \sqrt[3]{27}$
62. $8 \sqrt[3]{243}$
63. $−7 \sqrt[3]{8}$
64. $−4 \sqrt[4]{625}$
65. $6 \sqrt[5]{100,000}$
66. $5 \sqrt[7]{128}$

Відповідь

1. 9

3. 8

5. 0

7. 0,5

9. 1.1

11. $\frac{1}{2}$

13. $\frac{5}{4}$

15. Чи не дійсне число

17. −6

19. −10

21. 3

23. 4

25. $\frac{1}{2}$

27. $\frac{2}{3}$

29. $0.1$

31. −1

33. −3

35. $−\frac{1}{2}$

37. $−\frac{2}{3}$

39. 3

41. 2

43. 2

45. 3

47. −2

49. −2

51. Чи не дійсне число

53. 15

55. −50

57. Чи не дійсне число

59. 15

61. 6

63. −14

65. 60

Вправа$\PageIndex{5}$ simplifying radicals

Спростити.

1. $\sqrt{32}$
2. $\sqrt{250}$
3. $\sqrt{80}$
4. $\sqrt{150}$
5. $\sqrt{160}$
6. \ (\ sqrt {60}\
7. $\sqrt{175}$
8. $\sqrt{216}$
9. $\sqrt{5112}$
10. $\sqrt{10135}$
11. $\sqrt{\frac{50}{49}}$
12. $−\sqrt{2120}$
13. $−3\sqrt{162}$
14. $\sqrt{89}$
15. $\sqrt{\frac{45}{121}}$
16. $\sqrt{\frac{9}{681}}$
17. $\sqrt[3]{54}$
18. $\sqrt[3]{24}$
19. $\sqrt[3]{48}$
20. $\sqrt[3]{81}$
21. $\sqrt[3]{40}$
22. $\sqrt[3]{120}$
23. $\sqrt[3]{162}$
24. $\sqrt[3]{500}$
25. $\sqrt[3]{\frac{54}{125}}$
26. $\sqrt[3]{\frac{40}{343}}$
27. $5 \sqrt[3]{-48}$
28. $2 \sqrt[3]{-108}$
29. $8 \sqrt[4]{96}$
30. $7 \sqrt[4]{162}$
31. $\sqrt[5]{160}$
32. $\sqrt[5]{486}$
33. $\sqrt[5]{\frac{224}{243}}$
34. $\sqrt[5]{532}$

Відповідь

1. $4\sqrt{2}$

3. $4\sqrt{5}$

5. $4\sqrt{10}$

7. $5\sqrt{7}$

9. $6\sqrt{142}$

11. $\frac{5 \sqrt{2}}{7}$

13. $-27 \sqrt{2}$

15. $\frac{3 \sqrt{5}}{11}$

17. $3\sqrt[3]{2}$

19. $2 \sqrt[3]{6}$

21. $2 \sqrt[3]{5}$

23. $3 \sqrt[3]{6}$

25. $\frac{3 \sqrt[3]{2}}{5}$

27. $-10 \sqrt[3]{6}$

29. $16 \sqrt[4]{6}$

31. $2 \sqrt[5]{5}$

33. $\frac{2 \sqrt[5]{7}}{3}$

Вправа$\PageIndex{6}$ simplifying radicals

Спростити. Дайте точну відповідь і приблизну відповідь округляйте до найближчих сотих.

1. $\sqrt{8}$
2. $\sqrt{200}$
3. $\sqrt{45}$
4. $\sqrt{72}$
5. $3\sqrt{4}$
6. $\sqrt{59}$
7. $\sqrt{32}{25}$
8. $\sqrt{48}{49}$
9. $\sqrt[3]{80}$
10. $\sqrt[3]{320}$
11. $\sqrt[3]{48}$
12. $\sqrt[3]{270}$

Відповідь

1. $2\sqrt{2} ≈2.83$

3. $3\sqrt{5} ≈6.71$

5. $3\sqrt{2} ≈0.87$

7. $\frac{4 \sqrt{2}}{5} ≈1.13$

9. $2 \sqrt[3]{10} ≈4.31$

11. $2 \sqrt[3]{6} ≈3.63$

Вправа$\PageIndex{7}$ simplifying radicals

Перепишіть наступне як радикальний вираз з коефіцієнтом 1.

1. $2\sqrt{15}$
2. $3\sqrt{7}$
3. $5\sqrt{10}$
4. $10\sqrt{3}$
5. $2\sqrt[3]{7}$
6. $3\sqrt[3]{6}$
7. $2\sqrt[4]{5}$
8. $3\sqrt[4]{2}$
9. Формула для площі А квадрата є$A=s^{2}$. Якщо площа становить 18 квадратних одиниць, то яка довжина кожної сторони?
10. Обчисліть довжину сторони квадрата площею 60 квадратних сантиметрів.
11. Формула об'єму V куба така$V=s^{3}$. Якщо обсяг куба дорівнює 112 кубічним одиницям, то яка довжина кожної сторони?
12. Обчисліть довжину сторони куба об'ємом 54 кубічних сантиметрів.

Відповідь

1. $\sqrt{60}$

3. $\sqrt{250}$

5. $\sqrt[3]{56}$

7. $\sqrt[4]{80}$

9. $3\sqrt{2}$одиниць

11. $2 \sqrt[3]{14}$одиниць

Вправа$\PageIndex{8}$ discussion board

1. Поясніть, чому існує два квадратних кореня для будь-якого ненульового дійсного числа.
2. Поясніть, чому існує лише один кубічний корінь для будь-якого дійсного числа.
3. Що таке квадратний корінь 1, і що таке кубічний корінь 1? Поясніть, чому.
4. Поясніть$\sqrt{−1}$, чому не реальне число і$\sqrt[3]{−1}$ чому реальне число.

Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися