4.3: Терміни факторингу

Цілі навчання

• Факторні триноміали форми$x^{2}+bx+c$.
• Факторні триноміали вищого ступеня.
• Факторні триноміали форми$ax^{2}+bx+c$.
• Факторні триноми за допомогою методу змінного струму.

Факторинг триноміалів, провідний коефіцієнт яких один

(Факторинг Тримінал форми$x^{2}+bx+c$)

Деякі триноми форми$x^{2}+bx+c$ можуть враховуватися як добуток біноміалів. Якщо триноміал такого типу факторів, то у нас є:

$\begin{aligned} x ^ { 2 } + b x + c & = ( x + m ) ( x + n ) \\ & = x ^ { 2 } + n x + m x + m n \\ & = x ^ { 2 } + ( n + m ) x + m n \end{aligned}$

Це дає нам

$b=n+m$і$c=mn$

Коротше кажучи, якщо провідним коефіцієнтом факторного триноміала є$1$, то коефіцієнти останнього члена повинні складати до коефіцієнта середньострокового. Це спостереження є ключем до факторингу триномів за допомогою методики, відомої як метод проб і помилок (або здогадки та перевірки) ¹⁸.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Фактор$x^{2}+12x+20$.

Рішення

Починаємо з написання двох наборів порожніх дужок. Якщо триноміал цього форм-фактора, то він буде множиться на два лінійних біноміальних множника.

$x ^ { 2 } + 12 x + 20 = ( \quad ) ( \quad)$

Запишіть множники першого члена в першому просторі кожного набору дужок. В даному випадку фактор$x^{2}=x⋅x$.

$x ^ { 2 } + 12 x + 20 = ( x \quad ) ( x\quad )$

Визначте фактори останнього члена, сума яких дорівнює коефіцієнту середньострокового. Для цього перерахуйте всі множники$20$ і знайдіть фактори, сума яких дорівнює$12$.

$\begin{aligned} 20 & = 1 \cdot 20 \:\:\rightarrow\:\: 1 + 20 = 21 \\ & =\color{OliveGreen}{ 2 \cdot 10 \:\:\rightarrow\:\: 2 + 10}\color{black}{ =}\color{OliveGreen}{ 12} \\ & = 4 \cdot 5 \:\:\:\:\rightarrow\:\: 4 + 5 = 9 \end{aligned}$

Вибирайте$20 = 2 ⋅ 10$ тому, що$2 + 10 = 12$. Напишіть в останньому семестрі кожного біноміала, використовуючи фактори, визначені на попередньому кроці.

$x ^ { 2 } + 12 x + 20 = ( x + 2 ) ( x + 10 )$

Це можна візуально інтерпретувати наступним чином:

Малюнок$\PageIndex{1}$

Перевірте, множивши два біноміали.

$\begin{aligned} ( x + 2 ) ( x + 10 ) & = x ^ { 2 } + 10 x + 2 x + 20 \\ & = x ^ { 2 } + 12 x + 20 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$

Відповідь

$$(x+2)(x+10) \nonumber$$

Оскільки множення є комутативним, порядок факторів не має значення.

$\begin{aligned} x ^ { 2 } + 12 x + 20 & = ( x + 2 ) ( x + 10 ) \\ & = ( x + 10 ) ( x + 2 ) \end{aligned}$

Якщо останній член триноміала позитивний, то або обидва постійні фактори повинні бути негативними, або обидва повинні бути позитивними.

Приклад$\PageIndex{2}$:

Фактор$x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 7 x y + 12$.

Рішення

По-перше, фактор$x^{2}y^{2}=xy⋅xy$.

$x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 7 x y + 12 = ( x y \quad \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )} ( x y \quad\color{Cerulean}{?}\color{black}{ )}$

Далі шукаємо фактори, сума$12$ яких дорівнює$−7$.

$\begin{aligned} 12 & = 1 \cdot 12 \:\:\rightarrow\:\: - 1 + ( - 12 ) = - 13 \\ & = 2 \cdot 6 \:\:\:\:\rightarrow\:\: - 2 + ( - 6 ) = - 8 \\ & = \color{OliveGreen}{3 \cdot 4\:\:\:\: \rightarrow\:\: - 3 + ( - 4 ) = - 7} \end{aligned}$

В цьому випадку вибирають$−3$ і$−4$ тому, що$(−3)(−4)=+12$ і$−3+(−4)=−7$.

$\begin{aligned} x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 7 x y + 12 & = ( x y\quad \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )} ( x y\quad\color{Cerulean}{ ?}\color{black}{ )} \\ & = ( x y - 3 ) ( x y - 4 ) \end{aligned}$

Перевірити

$\begin{aligned} ( x y - 3 ) ( x y - 4 ) & = x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 4 x y - 3 x y + 12 \\ & = x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 7 x y + 12 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$

Відповідь

$( x y - 3 ) ( x y - 4 )$

Якщо останній термін триноміала негативний, то один з його факторів повинен бути негативним.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Фактор:$x ^ { 2 } - 4 x y - 12 y ^ { 2 }$.

Рішення

Почніть з факторингу першого терміну$x ^ { 2 } = x \cdot x$.

$x ^ { 2 } - 4 x y - 12 y ^ { 2 } = \left( \begin{array} { l l } { x } & { \color{Cerulean}{?} } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { x } & { \color{Cerulean}{?} } \end{array} \right)$

Фактори розвитку$12$ наведені нижче. У цьому прикладі ми шукаємо фактори, сума яких дорівнює$−4$.

$\begin{aligned} 12 & = 1 \cdot 12 \:\:\rightarrow\:\: 1 + ( - 12 ) = - 11 \\ & =\color{OliveGreen}{ 2 \cdot 6\:\:\:\: \rightarrow\:\: 2 + ( - 6 ) = - 4} \\ & = 3 \cdot 4\:\:\:\: \rightarrow\:\: 3 + ( - 4 ) = - 1 \end{aligned}$

Тому коефіцієнт останнього терміну може враховуватися як$−12=2(−6)$, де$2+(−6)=−4$. Оскільки останній термін має змінний коефіцієнт$y^{2}$, використання$−12y^{2}=2y(−6y)$ та множник триноміального наступним чином:

$\begin{aligned} x ^ { 2 } - 4 x y - 12 y ^ { 2 } & = ( x \quad \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )} ( x \quad \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )} \\ & = ( x + 2 y ) ( x - 6 y ) \end{aligned}$

Помножте, щоб перевірити.

$\begin{aligned} ( x + 2 y ) ( x - 6 y ) & = x ^ { 2 } - 6 x y + 2 y x - 12 y ^ { 2 } \\ & = x ^ { 2 } - 6 x y + 2 x y - 12 y ^ { 2 } \\ & = x ^ { 2 } - 4 x y - 12 y ^ { 2 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{aligned}$

Відповідь

$( x + 2 y ) ( x - 6 y )$

Часто наше перше припущення не дасть правильної факторизації. Цей процес може зажадати повторних випробувань. З цієї причини перевірка дуже важлива і не є необов'язковою.

Приклад$\PageIndex{4}$:

Фактор$a ^ { 2 } + 10 a - 24$.

Рішення

Перший термін цього триноміалу, фактори$a^{2}$, як$a⋅a$.

$a ^ { 2 } + 10 a - 24 = \left( \begin{array} { l l } { a } & { ? } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { a } & { ? } \end{array} \right)$

Розглянемо фактори$24$:

$\begin{aligned} 24 & = 1 \cdot 24 \\ & = \color{OliveGreen}{2 \cdot 12} \\ & = 3 \cdot 8 \\ & = \color{red}{4 \cdot 6} \end{aligned}$

Припустимо, ми вибираємо фактори$4$ і$6$ тому$4 + 6 = 10$, що коефіцієнт середньострокової. Тоді ми маємо наступну некоректну факторизацію:

$a ^ { 2 } + 10 a - 24 \stackrel{\color{red}{?}}{\color{black}{=}} ( a + 4 ) ( a + 6 ) \:\:\color{red}{Incorrect\:Factorization}$

Коли ми множимо, щоб перевірити, ми знаходимо помилку.

$\begin{aligned} ( a + 4 ) ( a + 6 ) & = a ^ { 2 } + 6 a + 4 a + 24 \\ & = a ^ { 2 } + 10 a \color{red}{+ 24}\:\:\color{red}{✗} \end{aligned}$

У цьому випадку середній термін є правильним, але останній термін - ні. Так як останній термін в вихідному вираженні негативний, потрібно вибирати фактори, протилежні за знаком. Тому треба спробувати ще раз. Цього разу ми вибираємо фактори$−2$ і$12$ тому$−2+12=10$.

$a ^ { 2 } + 10 a - 24 = ( a - 2 ) ( a + 12 )$

Тепер перевірка показує, що ця факторизація правильна.

$\begin{aligned} ( a - 2 ) ( a + 12 ) & = a ^ { 2 } + 12 a - 2 a - 24 \\ & = a ^ { 2 } + 10 a \color{OliveGreen}{- 24}\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$

Відповідь

$( a - 2 ) ( a + 12 )$

Якщо ми вибираємо фактори з розумом, то зможемо скоротити значну частину здогадок в цьому процесі. Однак, якщо припущення не є правильним, не турбуйтеся; просто спробуйте інший набір факторів. Майте на увазі, що деякі многочлени є простими. Для прикладу розглянемо триноміал$x^{2}+3x+20$ і фактори$20$:

$\begin{aligned} 20 & = 1 \cdot 20 \\ & = 2 \cdot 10 \\ & = 4 \cdot 5 \end{aligned}$

Немає факторів, сума$20$ яких є$3$. Тому початковий триноміал не може бути врахований як добуток двох біноміалів з цілими коефіцієнтами. Триноміал є простим.

Факторингові триноми вищого ступеня

Ми можемо використовувати техніку проб і помилок для фактора триноміалів вищого ступеня.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Фактор$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 2 } + 5$.

Рішення

Почніть з факторингу першого терміну$x ^ { 4 } = x ^ { 2 } \cdot x ^ { 2 }$.

$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 2 } + 5 = \left( x ^ { 2 } \quad \color{Cerulean}{?} \right) \left( x ^ { 2 } \quad \color{Cerulean}{?} \right)$

Так як$5$ є простим і коефіцієнт середньострокового позитивний, вибирайте$+1$ і в$+5$ якості чинників останнього члена.

$\begin{aligned} x ^ { 4 } + 6 x ^ { 2 } + 5 & = \left( x ^ { 2 } \quad \color{Cerulean}{?} \right) \left( x ^ { 2 } \quad \color{Cerulean}{?} \right) \\ & = \left( x ^ { 2 } + 1 \right) \left( x ^ { 2 } + 5 \right) \end{aligned}$

Зверніть увагу, що змінна частина середнього терміну є$x^{2}$ і факторизація перевіряє.

$\begin{aligned} \left( x ^ { 2 } + 1 \right) \left( x ^ { 2 } + 5 \right) & = x ^ { 4 } + 5 x ^ { 2 } + x ^ { 2 } + 5 \\ & = x ^ { 4 } + 6 x ^ { 2 } + 5\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$

Відповідь

$\left( x ^ { 2 } + 1 \right) \left( x ^ { 2 } + 5 \right)$

Приклад$\PageIndex{6}$:

Фактор:$x ^ { 2 n } + 4 x ^ { n } - 21$ де$n$ додатне ціле число.

Рішення

Почніть з факторингу першого терміну$x ^ { 2 n } = x ^ { n } \cdot x ^ { n }$.

$x ^ { 2 n } + 4 x ^ { n } - 21 = \left( \begin{array} { l l } { x ^ { n } } & { \color{Cerulean}{?} } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { x ^ { n } } & {\color{Cerulean}{ ?} } \end{array} \right)$

Фактор$- 21 = 7 ( - 3 )$ тому, що$7 + ( - 3 ) = + 4$ і пишуть

$\begin{aligned} x ^ { 2 n } + 4 x ^ { n } - 21 & = \left( x ^ { n } \quad \color{Cerulean}{?} \right) \left( x ^ { n } \quad \color{Cerulean}{?} \right) \\ & = \left( x ^ { n } + 7 \right) \left( x ^ { n } - 3 \right) \end{aligned}$

Відповідь

$$\left( x ^ { n } + 7 \right) \left( x ^ { n } - 3 \right) \nonumber$$

Чек залишається на розгляд зчитувача.

Вправа$\PageIndex{1}$

Фактор$x ^ { 6 } - x ^ { 3 } - 42$.

Відповідь

$$\left( x ^ { 3 } + 6 \right) \left( x ^ { 3 } - 7 \right) \nonumber$$

Факторинг триноміалів, провідний коефіцієнт яких не один

(Факторинг Тримінал форми$ax^{2}+bx+c$)

Факторинг триноміалів форми$ax^{2}+bx+c$ може бути складним завданням, оскільки на середньострокову перспективу впливають фактори обох$a$ і$c$. Загалом,

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{a}\color{black}{ x} ^ { 2 } + \color{Cerulean}{b}\color{black}{ x} + \color{Cerulean}{c} & = ( p x + m ) ( q x + n ) \\ & = p q x ^ { 2 } + p n x + q m x + m n \\ & = \color{Cerulean}{p q}\color{black}{ x} ^ { 2 } + \color{Cerulean}{( p n + q m ) }\color{black}{x} + \color{Cerulean}{m n} \end{aligned}$

Це дає нам,

$a=pq$і$b=pn+qm$, де$c=mn$

Коротше кажучи, коли провідний коефіцієнт триноміала є чимось іншим$1$, буде більше уваги при визначенні факторів методом проб і помилок. Ключ полягає в розумінні того, як виходить середній термін. Розмножуємо$(5x+3)(2x+3)$ і уважно стежимо за формуванням середньоріччя.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Як ми бачили раніше, добуток перших членів кожного біноміала дорівнює першому члену триноміала. Середній член триноміала - це сума добутків зовнішнього і внутрішнього членів біноміалів. Добуток останніх членів кожного біноміала дорівнює останньому члену триноміала. Візуально ми маємо наступне:

Малюнок$\PageIndex{3}$

З цієї причини потрібно шукати добуток факторів першого і останнього членів, сума яких дорівнює коефіцієнту середньострокового. Наприклад, щоб фактор$6x^{2}+29x+35$, подивіться на фактори$6$ і$35$.

$\begin{aligned} 6 & = 1 \cdot 635 = 1 \cdot 35 \\ & = \color{OliveGreen}{2 \cdot 3} \quad \color{black}{=}\color{OliveGreen}{ 5 \cdot 7} \end{aligned}$

Комбінація, яка виробляє коефіцієнт середнього терміну, є$2⋅7+3⋅5=14+15=29$. Переконайтеся, що зовнішні члени мають коефіцієнти$2$ і$7$, і що внутрішні члени мають коефіцієнти$5$ і$3$. Використовуйте цю інформацію, щоб зарахувати тріноміал.

$\begin{aligned} 6 x ^ { 2 } + 29 x + 35 & = ( 2 x \quad \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )} ( 3 x \quad \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )} \\ & = ( 2 x + 5 ) ( 3 x + 7 ) \end{aligned}$

Ми завжди можемо перевірити, множивши; це залишається читачеві.

Приклад$\PageIndex{7}$

Фактор$5 x ^ { 2 } + 16 x y + 3 y ^ { 2 }$.

Рішення

Оскільки провідний коефіцієнт і останній член є простими, існує лише один спосіб коефіцієнта кожного.

$5=1⋅5$і$3=1⋅3$

Почніть з написання факторів першого члена$5x^{2}$, наступним чином:

$5 x ^ { 2 } + 16 x y + 3 y ^ { 2 } = ( x \quad \color{Cerulean}{?} \color{black}{)} ( 5 x \quad \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )}$

Середній і останній термін є позитивними; тому фактори$3$ вибираються як позитивні числа. При цьому єдиний вибір - в яку угруповання розмістити ці фактори.

$(x+y)(5x+3y)$або$(x+3y)(5x+y)$

Визначте, яка групування є правильною, множивши кожен вираз.

$\begin{aligned} ( x + y ) ( 5 x + 3 y ) & = 5 x ^ { 2 } + 3 x y + 5 x y + 3 y ^ { 2 } \\ & = 5 x ^ { 2 } + 8 x y + 3 y ^ { 2 } x \:\:\color{red}{✗} \\ ( x + 3 y ) ( 5 x + y ) & = 5 x ^ { 2 } + x y + 15 x y + 3 y ^ { 2 } \\ & = 5 x ^ { 2 } + 16 x y + 3 y ^ { 2 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{aligned}$

Відповідь

$( x + 3 y ) ( 5 x + y )$

Приклад$\PageIndex{8}$

Фактор:$18 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - a b - 4$.

Рішення

Спочатку розглянемо фактори коефіцієнтів першого і останнього членів.

$\begin{aligned} 18 & = 1 \cdot 18\:\quad4 =\color{OliveGreen}{ 1 \cdot 4} \\ & =\color{OliveGreen}{ 2 \cdot 9} \:\:\:\:\:\quad\color{black}{=} 2 \cdot 2 \\ & = 3 \cdot 6 \end{aligned}$

Ми шукаємо добуток факторів, сума яких дорівнює коефіцієнту середньострокової,$−1$. Після деякої думки ми можемо побачити, що сума$8$ і$−9$ є$−1$ і комбінація, яка дає це наступним чином:

$2 ( 4 ) + 9 ( - 1 ) = 8 - 9 = - 1$

Факторинг починається з цього моменту з двох наборів порожніх дужок.

$18 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - a b - 4 = ( \quad ) (\quad )$

$2ab$Використовують і$9ab$ як фактори$18a^{2}b^{2}$.

$18 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - a b - 4 = ( 2 a b \quad \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )} \:( 9 a b\quad\color{Cerulean}{ ?}\color{black}{ )}$

Далі використовуйте фактори$1$ і$4$ в правильному порядку, щоб внутрішні і зовнішні вироби були$−9ab$ і$8ab$ відповідно.

$18 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - a b - 4 = ( 2 a b - 1 ) ( 9 a b + 4 )$

Відповідь

$( 2 a b - 1 ) ( 9 a b + 4 )$. Повна перевірка залишається за зчитувачем.

Це гарна практика, щоб перший фактор з GCF, якщо він є. Роблячи це, виходить триноміальний коефіцієнт з меншими коефіцієнтами. Як ми бачили, триноми з меншими коефіцієнтами вимагають набагато менше зусиль для фактора. Цей часто ігноруваний крок варто визначити рано.

Приклад$\PageIndex{9}$:

Фактор$12 y ^ { 3 } - 26 y ^ { 2 } - 10 y$.

Рішення

Почніть з факторингу GCF.

$12 y ^ { 3 } - 26 y ^ { 2 } - 10 y = 2 y \left( 6 y ^ { 2 } - 13 y - 5 \right)$

Після$2y$ факторингу коефіцієнти отриманого триноміала менше і мають менше факторів. Ми можемо враховувати отриманий триноміал, використовуючи$6=2(3)$ і$5=(5)(1)$. Зверніть увагу, що ці фактори можуть виробляти двома$−13$ способами:

$\begin{array} { l } { 2 ( - 5 ) + 3 ( - 1 ) = - 10 - 3 = - 13 } \\ { 2 ( \color{OliveGreen}{1}\color{black}{ )} + 3 (\color{OliveGreen}{ - 5}\color{black}{ )} = 2 - 15 = - 13 } \end{array}$

Оскільки останній термін є$−5$, правильне поєднання вимагає факторів$1$ і$5$ бути протилежними ознаками. Тут ми використовуємо$2(1) = 2$ і$3(−5) = −15$ тому, що сума є$−13$ і добуток$(1)(−5) = −5$.

$\begin{aligned} 12 y ^ { 3 } - 26 y ^ { 2 } - 10 y & = 2 y \left( 6 y ^ { 2 } - 13 y - 5 \right) \\ & = 2 y ( 2 y\quad \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )} ( 3 y\quad\color{Cerulean}{ ?}\color{black}{ )} \\ & = 2 y ( 2 y - 5 ) ( 3 y + 1 ) \end{aligned}$

Перевірка.

$\begin{aligned} 2 y ( 2 y - 5 ) ( 3 y + 1 ) & = 2 y \left( 6 y ^ { 2 } + 2 y - 15 y - 5 \right) \\ & = 2 y \left( 6 y ^ { 2 } - 13 y - 5 \right) \\ & = 12 y ^ { 3 } - 26 y ^ { 2 } - 10 y\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$

Фактор$2y$ є частиною факторної форми вихідного виразу; обов'язково включіть його у відповідь.

Відповідь

$2 y ( 2 y - 5 ) ( 3 y + 1 )$

Хорошою практикою є послідовна робота з триноми, де провідний коефіцієнт є позитивним. Якщо провідний коефіцієнт негативний, розрахуйте його разом з будь-яким GCF. Зверніть увагу, що іноді фактор буде$−1$.

Приклад$\PageIndex{10}$

Фактор:$- 18 x ^ { 6 } - 69 x ^ { 4 } + 12 x ^ { 2 }$.

Рішення

У цьому прикладі GCF є$3x^{2}$. Оскільки провідний коефіцієнт негативний, ми починаємо з факторингу$−3x^{2}$.

$- 18 x ^ { 6 } - 69 x ^ { 4 } + 12 x ^ { 2 } = - 3 x ^ { 2 } \left( 6 x ^ { 4 } + 23 x ^ { 2 } - 4 \right)$

На цьому етапі вважайте решту тріноміалу, як зазвичай, не забуваючи написати$−3x^{2}$ як фактор остаточної відповіді. Використовувати$6 = 1(6)$ і$−4 = 4(−1)$ тому$1(−1)+6(4)=23$. Тому,

$\begin{aligned} - 18 x ^ { 6 } - 69 x ^ { 4 } + 12 x ^ { 2 } & = - 3 x ^ { 2 } \left( 6 x ^ { 4 } + 23 x ^ { 2 } - 4 \right) \\ & = - 3 x ^ { 2 } \left( x ^ { 2\quad } \right) \left( 6 x ^ { 2 }\quad \right) \\ & = - 3 x ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } + 4 \right) \left( 6 x ^ { 2 } - 1 \right) \end{aligned}$

Відповідь

$- 3 x ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } + 4 \right) \left( 6 x ^ { 2 } - 1 \right)$. Чек залишається на розгляд зчитувача.

Вправа$\PageIndex{2}$

Фактор:$- 12 a ^ { 5 } b + a ^ { 3 } b ^ { 3 } + a b ^ { 5 }$.

Відповідь

$- a b \left( 3 a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) \left( 4 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right)$

www.youtube.com/В/АІГКУУТБК 4

Факторинг з використанням методу змінного струму

Альтернативний метод факторингу триномів, який називається методом AC ¹⁹, використовує метод групування для факторингу чотиричленних поліномів. Якщо триноміал у формі$ax^{2}+bx+c$ може бути врахований, то середній член$bx$, може бути замінений двома долями з коефіцієнтами, сума яких дорівнює$b$ і добуток$ac$. Ця заміна призводить до еквівалентного виразу з чотирма термінами, які можуть бути враховані шляхом групування.

Приклад$\PageIndex{11}$:

Фактор за допомогою методу змінного струму:$18 x ^ { 2 } - 31 x + 6$.

Рішення

Ось$a=18, b=-31$, і$c=6$.

$\begin{aligned} a c & = 18 ( 6 ) \\ & = 108 \end{aligned}$

Фактор$108$, і пошук факторів, сума яких є$−31$.

\ почати {вирівняний} 108 & = - 1 (- 108)\\ & = - 2 (- 54)\\ & = - 3 (- 36)\\ & =\ колір {оливково-зелений} {- 4 (- 27)}\ колір {✓}\\ &\ колір {чорний} {=} - 6 (- 18)\\ & = - 9 (- 12)\\\\ колір {чорний} {=} - 6 (- 18)\ & = - 9 (- 12)\\\\ кінець}

При цьому сума коефіцієнтів$−27$ і$−4$ дорівнює середньому коефіцієнту,$−31$. Тому$−31x=−27x−4x$, і ми можемо написати

$18 x ^ { 2 } \color{OliveGreen}{- 31 x}\color{black}{ +} 6 = 18 x ^ { 2 } \color{OliveGreen}{- 27 x - 4 x}\color{black}{ +} 6$

Фактор еквівалентного виразу за групуванням.

$\begin{aligned} 18 x ^ { 2 } - 31 x + 6 & = 18 x ^ { 2 } - 27 x - 4 x + 6 \\ & = 9 x ( 2 x - 3 ) - 2 ( 2 x - 3 ) \\ & = ( 2 x - 3 ) ( 9 x - 2 ) \end{aligned}$

Відповідь

$( 2 x - 3 ) ( 9 x - 2 )$

Приклад$\PageIndex{12}$:

Фактор за допомогою методу змінного струму:$4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 7 x y - 15$.

Рішення

Ось$a=4, b= -7$, і$c=-15$.

$\begin{aligned} a c & = 4 ( - 15 ) \\ & = - 60 \end{aligned}$

Фактор$−60$ і пошук факторів, сума яких є$−7$.

$\begin{aligned} - 60 & = 1 ( - 60 ) \\ & = 2 ( - 30 ) \\ & = 3 ( - 20 ) \\ & = 4 ( - 15 ) \\ & = \color{OliveGreen}{5 ( - 12 )}\:\:\color{Cerulean}{✓} \\ & = 6 ( - 10 ) \end{aligned}$

Сума множників$5$ і$−12$ дорівнює середньому коефіцієнту,$−7$. $−7xy$Замінити на$5xy−12xy$.

$\begin{aligned} 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 7 x y - 15 & = 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 x y - 12 x y - 15\quad\color{Cerulean}{Factor\:by\:grouping.} \\ & = x y ( 4 x y + 5 ) - 3 ( 4 x y + 5 ) \\ & = ( 4 x y + 5 ) ( x y - 3 ) \end{aligned}$

Відповідь

$$( 4 x y + 5 ) ( x y - 3 ).$$

Чек залишається на розгляд зчитувача.

Якщо фактори$ac$ не можуть бути знайдені для додавання,$b$ то триноміал є простим.

Ключові винос

• Якщо триноміал$x^{2}+bx+c$ форм-факторів у добуток двох біноміалів, то коефіцієнт середнього члена - це сума множників останнього члена.
• Якщо триноміал$ax^{2}+bx+c$ форм-факторів в добуток двох біноміалів, то коефіцієнт середньострокового буде сумою певних добутків факторів першого і останнього членів.
• Якщо триноміал має найбільший загальний фактор, то це найкраща практика, щоб спочатку вивести GCF, перш ніж намагатися перерахувати його в добуток біноміалів.
• Якщо провідний коефіцієнт триноміала є негативним, то це найкраща практика спочатку фактор, що негативний фактор, перш ніж намагатися фактор триноміалу.
• Факторинг є одним з найбільш важливих навичок, необхідних в алгебрі. З цієї причини ви повинні практикувати роботу стільки проблем, скільки потрібно, щоб стати досвідченим.

Вправа$\PageIndex{3}$

Фактор.

1. $x ^ { 2 } + 5 x - 6$
2. $x ^ { 2 } + 5 x + 6$
3. $x ^ { 2 } + 4 x - 12$
4. $x ^ { 2 } + 3 x - 18$
5. $x ^ { 2 } - 14 x + 48$
6. $x ^ { 2 } - 15 x + 54$
7. $x ^ { 2 } + 11 x - 30$
8. $x ^ { 2 } - 2 x + 24$
9. $x ^ { 2 } - 18 x + 81$
10. $x ^ { 2 } - 22 x + 121$
11. $x ^ { 2 } - x y - 20 y ^ { 2 }$
12. $x ^ { 2 } + 10 x y + 9 y ^ { 2 }$
13. $x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 x y - 50$
14. $x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 16 x y + 48$
15. $a ^ { 2 } - 6 a b - 72 b ^ { 2 }$
16. $a ^ { 2 } - 21 a b + 80 b ^ { 2 }$
17. $u ^ { 2 } + 14 u v - 32 v ^ { 2 }$
18. $m ^ { 2 } + 7 m n - 98 n ^ { 2 }$
19. $( x + y ) ^ { 2 } - 2 ( x + y ) - 8$
20. $( x - y ) ^ { 2 } - 2 ( x - y ) - 15$
21. $x ^ { 4 } - 7 x ^ { 2 } - 8$
22. $x ^ { 4 } + 13 x ^ { 2 } + 30$
23. $x ^ { 4 } - 8 x ^ { 2 } - 48$
24. $x ^ { 4 } + 25 x ^ { 2 } + 24$
25. $y ^ { 4 } - 20 y ^ { 2 } + 100$
26. $y ^ { 4 } + 14 y ^ { 2 } + 49$
27. $x ^ { 4 } + 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2 y ^ { 4 }$
28. $x ^ { 4 } - 8 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 15 y ^ { 4 }$
29. $a ^ { 4 } b ^ { 4 } - 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 4$
30. $a ^ { 4 } + 6 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 9 b ^ { 4 }$
31. $x ^ { 6 } - 18 x ^ { 3 } - 40$
32. $x ^ { 6 } + 18 x ^ { 3 } + 45$
33. $x ^ { 6 } - x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 6 y ^ { 6 }$
34. $x ^ { 6 } + x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 20 y ^ { 6 }$
35. $x ^ { 6 } y ^ { 6 } + 2 x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 15$
36. $x ^ { 6 } y ^ { 6 } + 16 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 48$
37. $x ^ { 2 n } + 12 x ^ { n } + 32$
38. $x ^ { 2 n } + 41 x ^ { n } + 40$
39. $x ^ { 2 n } + 2 a x ^ { n } + a ^ { 2 }$
40. $x ^ { 2 n } - 2 a x ^ { n } + a ^ { 2 }$

Відповідь

1. $( x - 1 ) ( x + 6 )$

3. $( x - 2 ) ( x + 6 )$

5. $( x - 6 ) ( x - 8 )$

7. Прем'єр

9. $( x - 9 ) ^ { 2 }$

11. $( x - 5 y ) ( x + 4 y )$

13. $( x y - 5 ) ( x y + 10 )$

15. $( a + 6 b ) ( a - 12 b )$

17. $( u - 2 v ) ( u + 16 v )$

19. $( x + y - 4 ) ( x + y + 2 )$

21. $\left( x ^ { 2 } - 8 \right) \left( x ^ { 2 } + 1 \right)$

23. $\left( x ^ { 2 } + 4 \right) \left( x ^ { 2 } - 12 \right)$

25. $\left( y ^ { 2 } - 10 \right) ^ { 2 }$

27. $\left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) \left( x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \right)$

29. $\left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 2 \right) ^ { 2 }$

31. $\left( x ^ { 3 } - 20 \right) \left( x ^ { 3 } + 2 \right)$

33. $\left( x ^ { 3 } + 2 y ^ { 3 } \right) \left( x ^ { 3 } - 3 y ^ { 3 } \right)$

35. $\left( x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 3 \right) \left( x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 5 \right)$

37. $\left( x ^ { n } + 4 \right) \left( x ^ { n } + 8 \right)$

39. $\left( x ^ { n } + a \right) ^ { 2 }$

Вправа$\PageIndex{4}$

Фактор.

1. $3 x ^ { 2 } + 20 x - 7$
2. $2 x ^ { 2 } - 9 x - 5$
3. $6 a ^ { 2 } + 13 a + 6$
4. $4 a ^ { 2 } + 11 a + 6$
5. $6 x ^ { 2 } + 7 x - 10$
6. $4 x ^ { 2 } - 25 x + 6$
7. $24 y ^ { 2 } - 35 y + 4$
8. $10 y ^ { 2 } - 23 y + 12$
9. $14 x ^ { 2 } - 11 x + 9$
10. $9 x ^ { 2 } + 6 x + 8$
11. $4 x ^ { 2 } - 28 x + 49$
12. $36 x ^ { 2 } - 60 x + 25$
13. $27 x ^ { 2 } - 6 x - 8$
14. $24 x ^ { 2 } + 17 x - 20$
15. $6 x ^ { 2 } + 23 x y - 4 y ^ { 2 }$
16. $10 x ^ { 2 } - 21 x y - 27 y ^ { 2 }$
17. $8 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 18 a b + 9$
18. $12 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - a b - 20$
19. $8 u ^ { 2 } - 26 u v + 15 v ^ { 2 }$
20. $24 m ^ { 2 } - 26 m n + 5 n ^ { 2 }$
21. $4 a ^ { 2 } - 12 a b + 9 b ^ { 2 }$
22. $16 a ^ { 2 } + 40 a b + 25 b ^ { 2 }$
23. $5 ( x + y ) ^ { 2 } - 9 ( x + y ) + 4$
24. $7 ( x - y ) ^ { 2 } + 15 ( x - y ) - 18$
25. $7 x ^ { 4 } - 22 x ^ { 2 } + 3$
26. $5 x ^ { 4 } - 41 x ^ { 2 } + 8$
27. $4 y ^ { 6 } - 3 y ^ { 3 } - 10$
28. $12 y ^ { 6 } + 4 y ^ { 3 } - 5$
29. $5 a ^ { 4 } b ^ { 4 } - a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 18$
30. $21 a ^ { 4 } b ^ { 4 } + 5 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 4$
31. $6 x ^ { 6 } y ^ { 6 } + 17 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 10$
32. $16 x ^ { 6 } y ^ { 6 } + 46 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 15$
33. $8 x ^ { 2 n } - 10 x ^ { n } - 25$
34. $30 x ^ { 2 n } - 11 x ^ { n } - 6$
35. $36 x ^ { 2 n } + 12 a x ^ { n } + a ^ { 2 }$
36. $9 x ^ { 2 n } - 12 a x ^ { n } + 4 a ^ { 2 }$
37. $- 3 x ^ { 2 } + 14 x + 5$
38. $- 2 x ^ { 2 } + 13 x - 20$
39. $- x ^ { 2 } - 10 x + 24$
40. $- x ^ { 2 } + 8 x + 48$
41. $54 - 12 x - 2 x ^ { 2 }$
42. $60 + 5 x - 5 x ^ { 2 }$
43. $4 x ^ { 3 } + 16 x ^ { 2 } + 20 x$
44. $2 x ^ { 4 } - 12 x ^ { 3 } + 14 x ^ { 2 }$
45. $2 x ^ { 3 } - 8 x ^ { 2 } y - 24 x y ^ { 2 }$
46. $6 x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } y - 6 x y ^ { 2 }$
47. $4 a ^ { 3 } b - 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 24 a b ^ { 3 }$
48. $15 a ^ { 4 } b - 33 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 6 a ^ { 2 } b ^ { 3 }$
49. $3 x ^ { 5 } y + 30 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 75 x y ^ { 5 }$
50. $45 x ^ { 5 } y ^ { 2 } - 60 x ^ { 3 } y ^ { 4 } + 20 x y ^ { 6 }$

Відповідь

1. $( 3 x - 1 ) ( x + 7 )$

3. $( 2 a + 3 ) ( 3 a + 2 )$

5. $( 6 x - 5 ) ( x + 2 )$

7. $( 8 y - 1 ) ( 3 y - 4 )$

9. Прем'єр

11. $( 2 x - 7 ) ^ { 2 }$

13. $( 9 x + 4 ) ( 3 x - 2 )$

15. $( 6 x - y ) ( x + 4 y )$

17. $( 4 a b - 3 ) ( 2 a b - 3 )$

19. $( 2 u - 5 v ) ( 4 u - 3 v )$

21. $( 2 a - 3 b ) ^ { 2 }$

23. $( x + y - 1 ) ( 5 x + 5 y - 4 )$

25. $\left( x ^ { 2 } - 3 \right) \left( 7 x ^ { 2 } - 1 \right)$

27. $\left( y ^ { 3 } - 2 \right) \left( 4 y ^ { 3 } + 5 \right)$

29. $\left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 2 \right) \left( 5 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 9 \right)$

31. $\left( 6 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 5 \right) \left( x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 2 \right)$

33. $\left( 2 x ^ { n } - 5 \right) \left( 4 x ^ { n } + 5 \right)$

35. $\left( 6 x ^ { n } + a \right) ^ { 2 }$

37. $- ( x - 5 ) ( 3 x + 1 )$

39. $- ( x - 2 ) ( x + 12 )$

41. $- 2 ( x - 3 ) ( x + 9 )$

43. $4 x \left( x ^ { 2 } + 4 x + 5 \right)$

45. $2 x ( x + 2 y ) ( x - 6 y )$

47. $4 a b ( a - 3 b ) ( a + 2 b )$

49. $3 x y \left( x ^ { 2 } + 5 y ^ { 2 } \right) ^ { 2 }$

Вправа$\PageIndex{5}$

Фактор.

1. $4 - 25 x ^ { 2 }$
2. $8 x ^ { 3 } - y ^ { 3 }$
3. $9 x ^ { 2 } - 12 x y + 4 y ^ { 2 }$
4. $30 a ^ { 2 } - 57 a b - 6 b ^ { 2 }$
5. $10 a ^ { 2 } - 5 a - 6 a b + 3 b$
6. $3 x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 9 x - 12$
7. $x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 }$
8. $x ^ { 2 } - x + 2$
9. $15 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 6 a ^ { 2 } b ^ { 3 } - 3 a b ^ { 4 }$
10. $54 x ^ { 2 } - 63 x$

Відповідь

1. $( 2 - 5 x ) ( 2 + 5 x )$

3. $( 3 x - 2 y ) ^ { 2 }$

5. $( 2 a - 1 ) ( 5 a - 3 b )$

7. Прем'єр

9. $3 a b ^ { 2 } \left( 5 a ^ { 2 } + 2 a b - b ^ { 2 } \right)$

Вправа$\PageIndex{6}$

1. Створіть свій власний триноміал форми$ax^{2} + bx + c$, що чинники. Поділіться ним разом з рішенням на дошці обговорень.
2. Створіть тріноміал форми$ax^{2} + bx + c$, яка не впливає на фактор, і поділіть його разом з причиною, чому він не фактор.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹⁸ Описано метод факторингу триноміала шляхом систематичної перевірки факторів, щоб побачити, чи є їх продукт вихідним триноміалом.

¹⁹ Метод, який використовується для факторингу триноміалів шляхом заміни середнього члена двома термінами, які дозволяють множити результуючий чотиричленний многочлен шляхом групування.