1.16: Терміни факторингу та змішаний факторинг

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57996

Samar ElHitti, Marianna Bonanome, Holly Carley, Thomas Tradler, & Lin Zhou
CUNY New York City College of Technology & NYC College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Факторингові триноміали$a x^{2}+b x+c$ за AC-методом

Ми знаємо, що множення двох бічленів методом FOIL призводить до чотиричленного многочлена, і в багатьох випадках його можна об'єднати в тричленний многочлен. Наприклад:

\[ \begin{align*} (x+3)(2 x+1) &=2 x^{2}+1 x+6 x+3 \\[4pt] &=2 x^{2}+7 x+3 . \end{align*}\]

Це вказує на те, що якщо ми хочемо фактор виразу$2 x^{2}+7 x+3$, ми отримаємо добуток двох біноміалів$(x+3)$ і$(2 x+1)$, тобто

\[2 x^{2}+7 x+3=(x+3)(2 x+1). \nonumber\]

У цьому розділі ми дізнаємося, як змінити процедуру FOIL на факторні тріноми форми$a x^{2}+b x+c $. Процедура називається AC-методом.

AC-метод до фактора$a x^{2}+b x+c ; a \neq 0$

Крок 1. Знайдіть твір$a c$, тобто добуток коефіцієнтів першого і останнього членів.
Крок 2. Знайдіть два цілих числа, добуток яких$a c$ і сума яких дорівнює$b$. Якщо таку цілу пару не вдається знайти, то многочлен не може бути врахований.
Крок 3. Використовуйте два цілих числа, знайдені на кроці 2, щоб переписати термін$b x$ як суму двох членів.
Крок 4. Фактор за методом групування.

Наприклад: Фактор$2 x^{2}+7 x+3$.

Крок$1 $. Продукт$a c$ є$2 \cdot 3=6$.

Крок 2. Шукаємо два числа, добуток яких 6 і сума яких 7. Ми можемо зробити це шляхом огляду або написавши всі пари чисел, твір яких дорівнює 6 і обчислити суму для кожної пари:$1+6=7,2+3=5$. Отже, 1 і 6 - це числа, які ми шукаємо.

Крок 3. Пишемо$7 x=1 x+6 x$ так

\[2 x^{2}+7 x+3=2 x^{2}+x+6 x+3\nonumber\]

Крок 4.

\ [\ begin {align*}\ почати {вирівняний}
2 x^ {2} +x+6 x+3 &=\ ліворуч (2 x^ {2} +x\ праворуч) + (6 x+3) ~~\ текст {Фактор за групуванням}\\
&= x (2 x+1) +3 (2 x+1)\\
& =( x+3) (2 x+1) (2 x+1) (2 x+1)
\\ & =( x+3) (2 x+1)\ кінець {вирівнювання}}\ номер\]

Ми можемо перевірити, чи правильно ми враховували, розповсюдивши нашу відповідь. Ми можемо використовувати метод FOIL, вивчений раніше, щоб перевірити, чи факторні біноми дають нам оригінальний триноміал$2 x^{2}+7 x+3$.

$clipboard_e62c41e0d773bdd509b89417d24e6a635.png$

Приклад$\PageIndex{1}$

Фактор заданого многочлена за допомогою AC-методу.

а)$2 x^{2}+15 x-27$

Крок 1. Продукт$a c=(2)(-27)=-54$
Крок 2. Тепер нам потрібно знайти два цілих числа, добуток яких - 54. Ми можемо перерахувати всі можливості:

\[(-1)(54), \quad(-2)(27), \quad(-3)(18), \quad(-6)(9),\nonumber\]

\[(1)(-54), \quad(2)(-27), \quad(3)(-18), \quad(6)(-9)\nonumber\]

і обчислити суму кожної пари. Тільки цілі числа -3 і 18 складаються до 15.

Крок 3. Ми можемо переписати середній термін$15 x=-3 x+18 x $. Так$2 x^{2}+15 x-$$27=2 x^{2}-3 x+18 x-27$
Крок 4. Ми враховуємо групування.

\ [\ почати {вирівнювати*}
2 x^ {2} +15 х-27 &=2 х ^ {2} -3 х+18 х-27\\
=\ ліворуч (2 х ^ {2} -3 х\ праворуч) + (18 х-27)\\
&= х (2 х-3) +9 (2 х-3)\\
& = (x+9) (2 х-3) (2 x-3)\\ &=( x+9) (2 х-3)
\ кінець {align*}\ номер\]

б)$12 x^{2}-11 x+2:$

Крок 1. Продукт$a c=(12)(2)=24$

Крок 2. Нам потрібно знайти два цілих числа, добуток яких дорівнює 24 і сума яких дорівнює -11. Ми перераховуємо всі пари факторів 24:

\[(1)(24), \quad(2)(12), \quad(3)(8), \quad(4)(6)\nonumber\]

\[(-1)(-24), \quad(-2)(-12), \quad(-3)(-8), \quad(-4)(-6)\nonumber\]

Пара -3 і -8 матиме суму -11.

Крок 3. Переписуємо середній термін$-11 x=(-3 x)+(-8 x)$.

Крок 4. Тоді ми можемо закінчити факторинг.

\ [\ почати {вирівнювати*}
12 x^ {2} -11 x+2 &=12 x^ {2} -3 x+ (-8 х) +2\\
&=\ ліворуч (12 x^ {2} -3 х\ праворуч) + (-8 х+2)\\
&=3 x (4 x-1) + (-2) (4 x-1)\\
& =( 3 х-2) (4 х-1)
\ end {вирівнювати*}\ nonumber\]

Зверніть увагу, що коли ми переписуємо середній член, ми записуємо його як суму (навіть якщо другий член негативний). Це для того, щоб можна було групувати, не турбуючись про віднімання. оскільки в іншому випадку крок групування виглядав би так:

\[12 x^{2}-3 x-8 x+2=\left(12 x^{2}-3 x\right)-(8 x-2) \nonumber\]

(Зверніть увагу на віднімання 2). Крім того, зверніть увагу, що ми врахували (-2) на другому - останньому кроці. Це було для того, щоб переконатися,$(4 x-1)$ що це загальний фактор.

в)$3 x^{2}+4 x-2$

Твір$a c=(3)(-2)=-6$, і це число факторів, як:

\[(-1)(6), \quad(-2)(3), \quad(1)(-6), \quad(2)(-3)\nonumber\]

Зрозуміло, що жодна з пар в списку не дасть суми$4 $. Це означає, що многочлен не$3 x^{2}+4 x-2$ може бути врахований на два бічлена (з використанням цілих чисел). Ми називаємо його простим многочленом.

Факторингові термінали$x^{2}+b x+c$

В особливому випадку коли$a=1$, AC-метод все одно працює. Наприклад, для фактора$x^{2}-6 x+5$, ми спочатку обчислюємо$a c=(1)(5)=5 $. Потім нам потрібно знайти два числа, твір яких дорівнює 5 і сума яких$-6 $ є. оскільки$(-1)(-5)=5$ і$(-1)+(-5)=-6$, методом групування ми маємо:

\ [\ почати {вирівнювати*}
x^ {2} -6 x+5 &=x^ {2} -1 x+ (-5 х) +5\
&=\ ліворуч (x^ {2} -1 х\ праворуч) + (-5 x+5)\
&= x (x-1) + (-5)\\ & = (x-1) (x-1) (x-1) (x-1) (x-1) (x-1) (x-1) (x-1) (x-1)
\ кінець {вирівнювати*}\ номер\]

Тепер поспостерігаємо за результатом. Результат має вигляд$(x+[-5])(x+[-1])$, і два числа в двох коробках - це лише два числа, які ми отримуємо, щоб переписати коефіцієнт середнього члена$-6$, тобто -1 і$-5 $.

Цей приклад показує, що для фактора$x^{2}+b x+c$ метод групування можна спростити. Ми можемо безпосередньо виписати факторну форму многочлена, як тільки ми знаємо два числа, які множаться$a c$ і додати до$b$. Іншими словами,$x^{2}+b x+c$ враховується як$(x+\square)(x+\square)$ добуток двох чисел у коробках буття$a c=(1)(c)=c$ та сума двох чисел у коробках$b$, що є,

Приклад 14.2

Фактор даного триноміалу.

а)$x^{2}+7 x+10$:

Нам потрібно знайти два числа$a c=c=10$, добуток яких і сума яких дорівнює$7 $. Число 10 є добутком наступних двох чисел:

\[(1)(10), \quad(2)(5), \quad(-1)(-10), \quad(-2)(-5)\nonumber\]

Пара 2 і 5 дає суму$7$, тому тріноміал може враховуватися як:

\[x^{2}+7 x+10=(x+2)(x+5)\nonumber\]

б)$t^{2}+4 t-12$:

Нам потрібно знайти два числа,$a c=c=-12$ добуток яких дорівнює 4. Число -12 є добутком наступних двох чисел:

\[(1)(-12), \quad(2)(-6), \quad(3)(-4)\nonumber\]

\[(-1)(12), \quad(-2)(6), \quad(-3)(4).\nonumber\]

Пара -2 і 6 дає суму$4$, тому тріноміал може враховуватися як:

\[t^{2}+4 t-12=(t+(-2))(t+6)=(t-2)(t+6)\nonumber\]

в)$x^{2}-3 x-24$:

Нам потрібно знайти два числа, добуток$a c=c=-24$ яких дорівнює сумі -3. Число -24 може враховуватися як:

\[(1)(-24), \quad(2)(-12), \quad(3)(-8), \quad(4)(-6)\nonumber\]

\[(-1)(24), \quad(-2)(12), \quad(-3)(8), \quad(-4)(6).\nonumber\]

Оскільки жодна з пар у списку не складається$-3$, триноміал не може бути врахований як добуток двох біноміалів. Це простий многочлен.

Змішаний факторинг

Поки ми пояснили основні прийоми факторингу поліномів. Ось настанова, яку ми можемо дотримуватися, щоб вибрати правильний метод для повного множника заданого полінома.

Рекомендації щодо повного факторингу полінома

Крок 1. Враховуйте GCF з усіх термінів, якщо це можливо.
Крок 2. Підрахуйте кількість членів многочлена: якщо многочлен має два члени, спробуйте формулу різниці двох квадратів; якщо многочлен має три члени, спробуйте AC-метод; якщо многочлен має чотири члени, спробуйте метод групування.
Крок 3. Перевірте, чи можуть бути враховані самі фактори. Якщо відповідь позитивна, то врахуйте їх повністю, використовуючи методи, наведені в кроці 2.

Приклад 14.3

Фактор заданого многочлена повністю.

а)$3 x^{2}-12$:

\ [\ begin {align*}
3 x^ {2} -12 &=3\ ліворуч (x^ {2} -4\ праворуч)\ quad\ text {Фактор з GCF
3}\\ &=3 (x+2) (x+ (-2))\ quad\ text {Фактор різниці двох квадратів} x^2-4\
&=3 (x+2) (x-2)
\ end {align*} номер\]

б)$4 x^{3}-20 x^{2}+24 x$:

\ [\ begin {align*}
4 x^ {3} -20 x^ {2} +24 x &= 4 х\ ліворуч (x^ {2} -5 x+6\ праворуч)\ квадратний\ текст {Фактор з GCF} 4x\\
&= 4 x (x+ (-2)) (x+ (-3))\ quad\ текст {Фактор триноміалу} x^ {2} -5 x+6\\
&= 4 x (x-2) (x-3)
\ кінець {align*}\ nonumber\]

в)$-10 z^{2}-4 z+6$:

\ [\ begin {align*}
-10 z^ {2} -4 z+6 &=-2\ ліворуч (5 z^ {2} +2 z-3\ праворуч)\ quad\ текст {Фактор протилежного GCF} -2\
&=-2\ ліворуч (5 z^ {2} -3 z+5 z-3\ праворуч)\ quad\ text {Фактор триноміалу} 5 z^ {2} +2 z-3\ праворуч)\ quad\ text {Фактор триноміалу} 5 z^ {2} +2 z-3\\
&=-2\ ліворуч [\ ліворуч (5 z^ {2} -3 z\ праворуч) + (5 z-3)\ праворуч]\\ &=-2 [z (5 z-3) +1 (5 z-3)]\\ &=-2 (z+1) (5 z-3)
\ кінець {align*}\ nonumber\]

г)$x^{3}-7 x^{2}-4 x+28$

\ [\ почати {вирівнювати*}
x^ {3} -7 x^ {2} -4 x+28 &=\ ліворуч (x^ {3} -7 x^ {2}\ праворуч) + (-4 x+28)\ quad\ текст {Фактор шляхом групування}\\
&=x^ {2} (x-7) + (-4) (х-7)\\ &=\ ліворуч (x^ {2}) + (-4) (х-7)\\
&=\ ліворуч (x^ {2}\ праворуч) (x-7)\\ & =( x+2) (x+ (-2)) (x-7)\ квад\ текст {Фактор} x^ {2} -4\\ & =( x+2) (x-2) (x-2) (x-2) (x-7)
\ end {вирівнювати*}\ nonumber\]

д)$30 x^{2}+10 x^{4}-280$

\ [\ begin {align*}
30 x^ {2} +10 x^ {4} -280 &=10 x^ {4} +30 x^ {2} -280\ quad\ text {Перевпорядкування в зменшенні потужностей змінної}\\
&= 10\ ліворуч (x^ {4} +3 x^ {2} -28\ праворуч)\ quad\ text {Фактор з GCF} 10\\
&=10\ ліворуч (y^ {2} +3 y-28\ праворуч)\ quad\ текст {Написати} y=x ^ {2}\ текст {розпізнати як квадратичний вираз}\\ &=10 (y+7) (y-4)\\ &= 10\ ліворуч (x^ {2} +7\ праворуч)\ left (x^ {2} -4\ праворуч)\ quad\ text {Замінити} y\ text {з} x^2\ text {і подивіться, чи може щось бути фактором}\\ &= 10 ліворуч (x^ {2} +7\ праворуч) (x+2) (x-2)
\ end {align*}\ nonumber\]

Проблема виходу

Фактор повністю:$8 x^{2}-10 x+3$