12.2.1: Терміни факторингу

Примітка

• Факторні тріноми з провідним коефіцієнтом 1.
• Факторні триноміали із загальним фактором.
• Факторні тріноми з провідним коефіцієнтом, відмінним від 1.

Вступ

Многочлен з трьома домінками називається тріноміалом. Тримали часто (але не завжди!) мають форму\(\ x^{2}+b x+c\). На перший погляд може здатися важким фактором тріноміалів, але ви можете скористатися деякими цікавими математичними закономірностями, щоб врахувати навіть найскладніші на вигляд триноміали.

Отже, як же дістатися від\(\ 6 x^{2}+2 x-20\) до\(\ (2 x+4)(3 x-5)\)? Давайте подивимося.

Терміни факторингу:\(\ x^{2}+b x+c\)

Триноми у формі часто\(\ x^{2}+b x+c\) можуть враховуватися як добуток двох біноміалів. Пам'ятайте, що біном - це просто двочленний многочлен. Почнемо з розгляду того, що відбувається, коли множаться два біноміали\(\ (x+5)\), такі як\(\ (x+2)\) і.

Приклад

Помножити\(\ (x+2)(x+5)\).

Рішення

\(\ (x+2)(x+5)\)	Використовуйте метод FOIL для множення біноміалів.
\(\ x^{2}+5 x+2 x+10\)	Потім комбінуйте подібні терміни\(\ 2x\) і\(\ 5x\).

\(\ x^{2}+7 x+10\)

Факторинг - це зворотне множення. Отже, давайте підемо в зворотному напрямку і фактор тріноміала\(\ x^{2}+7 x+10\). Окремі терміни\(\ x^{2}\)\(\ 7 x\), і 10 не мають спільних факторів. Так що подивіться на рерайтинг\(\ x^{2}+7 x+10\) як\(\ x^{2}+5 x+2 x+10\).

І, можна згрупувати пари факторів:\(\ \left(x^{2}+5 x\right)+(2 x+10)\)

Коефіцієнт кожної пари:\(\ x(x+5)+2(x+5)\)

Потім враховуйте загальний фактор\(\ x+5\):\(\ (x+5)(x+2)\)

Ось така ж проблема зроблена у вигляді прикладу:

Приклад

Фактор\(\ x^{2}+7 x+10\).

Рішення

\(\ x^{2}+5 x+2 x+10\)	Перепишіть середній термін\(\ 7x\) як\(\ 5 x+2 x\).
\(\ x(\mathbf{x}+\mathbf{5})+2(\mathbf{x}+\mathbf{5})\)	Згрупуйте пари та виведіть загальний фактор\(\ x\) з першої пари та 2 з другої пари.
\(\ (\mathbf{x}+\mathbf{5})(x+2)\)	Фактор з загального фактора\(\ (x+5)\).

\(\ (x+5)(x+2)\)

Як дізнатися, як переписати середній термін? На жаль, ви не можете переписати його просто будь-яким способом. Якщо переписати\(\ 7x\) як\(\ 6 x+x\), цей метод не спрацює. На щастя, для цього є правило.

Факторинг Тримінал у формі\(\ x^{2}+b x+c\)

Щоб множити тріноміал у вигляді\(\ x^{2}+b x+c\), знайдіть два цілих числа,\(\ r\) і\(\ s\), чиї добуток є і чия сума дорівнює\(\ b\).

Перепишіть тріноміал як,\(\ x^{2}+r x+s x+c\) а потім використовуйте групування та розподільну властивість для множника. Отриманими факторами будуть\(\ (x+r)\) і\(\ (x+s)\).

Наприклад, для множника ви шукаєте два числа\(\ x^{2}+7 x+10\), сума яких дорівнює 7 (коефіцієнт середнього члена) і добуток яких дорівнює 10 (останній член).

Подивіться на пари коефіцієнтів 10:1 і 10, 2 і 5. Чи має будь-яка з цих пар сума 7? Так, 2 і 5. Таким чином, ви можете переписати\(\ 7x\) як\(\ 2 x+5 x\), і продовжити факторинг, як у прикладі вище. Зверніть увагу, що ви також можете переписати\(\ 7 x\) як\(\ 5 x+2 x\). Обидва будуть працювати.

Давайте врахуємо тріноміал\(\ x^{2}+5 x+6\). У цьому многочлені\(\ b\) частина середнього члена дорівнює 5, а\(\ c\) члену - 6. Діаграма допоможе нам організувати можливості. Зліва перерахуйте всі можливі фактори\(\ c\) терміну, 6; праворуч ви знайдете суми.

Фактори, продукт яких 6	Сума факторів
\(\ 1 \cdot 6=6\)	\(\ 1+6=7\)
\(\ 2 \cdot 3=6\)	\(\ 2+3=5\)

Є тільки дві можливі комбінації факторів, 1 і 6, і 2 і 3. Ви бачите, що\(\ 2+3=5\). Отже\(\ 2 x+3 x=5 x\), даючи нам правильний середній термін.

Приклад

Фактор\(\ x^{2}+5 x+6\)

Рішення

\(\ x^{2}+2 x+3 x+6\)	Використовуйте значення з наведеної вище діаграми. \(\ 5x\)Замінити на\(\ 2 x+3 x\).
\(\ \left(x^{2}+2 x\right)+(3 x+6)\)	Групуйте пари термінів.
\(\ x(x+2)+(3 x+6)\)	Фактор\(\ x\) з першої пари термінів.
\(\ x(x+2)+3(x+2)\)	Коефіцієнт 3 з другої пари термінів.
\(\ (x+2)(x+3)\)	Фактор вихід\(\ (x+2)\).

\(\ (x+2)(x+3)\)

Зауважте, що якщо ви писали\(\ x^{2}+5 x+6\) як\(\ x^{2}+3 x+2 x+6\) і згрупували пари як\(\ \left(x^{2}+3 x\right)+(2 x+6)\)\(\ x(x+3)+2(x+3)\), потім враховували\(\ x+3\), і враховували, відповідь буде\(\ (x+3)(x+2)\). Оскільки множення є комутативним, порядок факторів не має значення. Тож ця відповідь також правильна; вони є рівнозначними відповідями.

Нарешті, давайте поглянемо на триноміал\(\ x^{2}+x-12\). У цьому триноміале\(\ c\) термін є\(\ -12\). Тому подивіться на всі комбінації факторів, чиїм продуктом є\(\ -12\). Потім подивіться, яка з цих комбінацій дасть вам правильний середній термін,\(\ b\) де 1.

Фактори, продукт яких -12	Сума факторів
\(\ 1 \cdot-12=-12\)	\(\ 1+-12=-11\)
\(\ 2 \cdot-6=-12\)	\(\ 2+-6=-4\)
\(\ 3 \cdot-4=-12\)	\(\ 3+-4=-1\)
\(\ 4 \cdot-3=-12\)	\(\ 4+-3=1\)
\(\ 6 \cdot-2=-12\)	\(\ 6+-2=4\)
\(\ 12 \cdot-1=-12\)	\(\ 12+-1=11\)

Існує тільки одна комбінація, де твір дорівнює -12, а сума дорівнює 1, а це коли\(\ r=4\), і\(\ s=-3\). Давайте використаємо їх, щоб врахувати наш оригінальний триноміал.

Приклад

Фактор\(\ x^{2}+x-12\).

Рішення

\(\ x^{2}+4 x+-3 x-12\)	Перепишіть триноміал, використовуючи значення з діаграми вище. Використовуйте значення\(\ r=4\) і\(\ s=-3\).
\(\ \left(x^{2}+4 x\right)+(-3 x-12)\)	Групуйте пари термінів.
\(\ x(x+4)+(-3 x-12)\)	Фактор\(\ x\) виходить з першої групи.
\(\ x(x+4)-3(x+4)\)	Фактор -3 виходить з другої групи.
\(\ (x+4)(x-3)\)	Фактор вихід\(\ (x+4)\).

\(\ (x+4)(x-3)\)

У наведеному вище прикладі ви також можете переписати\(\ x^{2}+x-12\) як\(\ x^{2}-3 x+4 x-12\) перший. Потім фактор\(\ x(x-3)+4(x-3)\), і фактор з\(\ (x-3)\) отримання\(\ (x-3)(x+4)\). Оскільки множення є комутативним, це та сама відповідь.

Поради щодо факторингу

Факторинг триноміалів - справа практики і терпіння. Іноді відповідні комбінації чисел просто вискочать і здаються такими очевидними! В інших випадках, незважаючи на спробу багатьох можливостей, правильні комбінації важко знайти. І бувають випадки, коли триноміал не може бути врахований.

Хоча немає надійного способу знайти правильну комбінацію на першому припущенні, є кілька порад, які можуть полегшити шлях.

Поради щодо пошуку цінностей, які працюють

При факторингу триноміала за формою\(\ x^{2}+b x+c\) враховуйте наступні поради.

Подивіться спочатку на\(\ c\) термін.

• Якщо\(\ c\) термін є позитивним числом, то фактори\(\ c\) будуть як позитивними, так і негативними. Іншими словами,\(\ r\) і\(\ s\) буде мати такий же знак.
• Якщо\(\ c\) термін є негативним числом, то один коефіцієнт\(\ c\) буде позитивним, а один фактор\(\ c\) буде негативним. \(\ r\)Або\(\ s\) буде негативним, але не обидва.

Подивіться на\(\ b\) термін другий.

• Якщо\(\ c\) термін позитивний, а термін позитивний, то обидва\(\ r\) і\(\ s\) позитивні.
• Якщо\(\ c\) термін позитивний, а\(\ b\) термін негативний, то обидва\(\ r\) і\(\ s\) негативні.
• Якщо\(\ c\) термін негативний, а\(\ b\) термін позитивний, то коефіцієнт, який є позитивним, матиме більшу абсолютну величину. Тобто якщо\(\ |r|>|s|\), то\(\ r\) позитивний і\(\ s\) негативний.
• Якщо\(\ c\) термін негативний, а\(\ b\) термін негативний, то коефіцієнт, який є негативним, матиме більшу абсолютну величину. Тобто якщо\(\ |r|>|s|\), то\(\ r\) негативний і\(\ s\) позитивний.

Після того, як ви врахували ряд триноміалів у формі\(\ x^{2}+b x+c\), ви можете помітити, що числа, які ви ідентифікуєте,\(\ r\) і в\(\ s\) кінцевому підсумку включаються до фактованої форми тріноміалу. Погляньте на наступну діаграму, в якій розглядаються три проблеми, які ви бачили до цих пір.

Тримінал	\(\ x^{2}+\mathbf{7 x}+\mathbf{1 0}\)	\(\ x^{2}+\mathbf{5 x}+\mathbf{6}\)	\(\ x^{2}+\mathbf{x}-\mathbf{1 2}\)
\(\ \boldsymbol{r}\)і\(\ \boldsymbol{s}\) цінності	\(\ r=+5, s=+2\)	\(\ r=+2, s=+3\)	\(\ r=+4, s=-3\)
Факторна форма	\(\ (x+5)(x+2)\)	\(\ (x+2)(x+3)\)	\(\ (x+4)(x-3)\)

Зверніть увагу, що в кожному з цих прикладів\(\ s\) значення\(\ r\) і повторюються у фактованій формі тріноміала.

Так що ж це означає? Це означає, що в триноміалах форми\(\ x^{2}+b x+c\) (де коефіцієнт перед\(\ x^{2}\) дорівнює 1), якщо ви можете визначити правильне\(\ r\) і\(\ s\) значення, ви можете ефективно пропустити кроки групування і перейти прямо до фактованої форми. Можливо, ви захочете дотримуватися методу групування, поки вам не буде зручно факторинг, але це акуратний ярлик, про який слід знати!

Вправа

Джесс намагається використовувати метод групування для фактора триноміалу\(\ v^{2}-10 v+21\). Як вона повинна переписати центральний\(\ b\) термін,\(\ -10 v\)?

1. \(\ +7 v+3 v\)
2. \(\ -7 v-3 v\)
3. \(\ -7 v+3 v\)
4. \(\ +7 v-3 v\)

Відповідь

1. Неправильний. Оскільки\(\ c\) термін позитивний, а\(\ b\) термін негативний, обидва терміни повинні бути негативними. (Зверніть увагу, що за допомогою цілих чисел 7 і 3\(\ 7+3=+10\), так що це надасть термін\(\ 10 v\) замість\(\ -10 v\).) Правильна відповідь -\(\ -7 v-3 v\).
2. Правильно. Оскільки\(\ c\) термін позитивний, а\(\ b\) термін негативний, обидва терміни повинні бути негативними. Перевірте: використовуючи цілі числа -7 і -3,\(\ -7+-3=-10\) і\(\ -7 \cdot-3=21\), таким чином, це забезпечує обидва терміни\(\ -10 v\) і 21 правильно.
3. Неправильний. Оскільки\(\ c\) термін позитивний, а\(\ b\) термін негативний, обидва терміни повинні бути негативними. (Зверніть увагу, що за допомогою цілих чисел -7\(\ -7+3=-4\) і 3\(\ -7 \cdot 3=-21\), і, таким чином, це забезпечить\(\ -4 v\) замість\(\ -10 v\) і -21 замість 21.) Правильна відповідь -\(\ -7 v-3 v\).
4. Неправильний. Оскільки\(\ c\) термін позитивний, а\(\ b\) термін негативний, обидва терміни повинні бути негативними. (Зверніть увагу, що за допомогою цілих чисел 7\(\ 7+-3=4\) і -3\(\ 7 \cdot-3=-21\), і, таким чином, це надасть термін\(\ 4 v\) замість\(\ -10 v\) і -21 замість 21.) Правильна відповідь -\(\ -7 v-3 v\).

Визначення загальних факторів

Не всі триноми виглядають так\(\ x^{2}+5 x+6\), де коефіцієнт перед\(\ x^{2}\) терміном дорівнює 1. У цих випадках першим кроком має бути пошук загальних факторів для трьох термінів.

Тримінал	Фактор з загального фактора	Внесений до уваги
\(\ 2 x^{2}+10 x+12\)	\(\ 2\left(x^{2}+5 x+6\right)\)	\(\ 2(x+2)(x+3)\)
\(\ -5 a^{2}-15 a-10\)	\(\ -5\left(a^{2}+3 a+2\right)\)	\(\ -5(a+2)(a+1)\)
\(\ c^{3}-8 c^{2}+15 c\)	\(\ c\left(c^{2}-8 c+15\right)\)	\(\ c(c-5)(c-3)\)
\(\ y^{4}-9 y^{3}-10 y^{2}\)	\(\ y^{2}\left(y^{2}-9 y-10\right)\)	\(\ y^{2}(y-10)(y+1)\)

Зверніть увагу, що після того, як ви визначили та витягли загальний фактор, ви можете зарахувати решту тріноміалу, як зазвичай. Цей процес показаний нижче.

Приклад

Фактор\(\ 3 x^{3}-3 x^{2}-90 x\).

Рішення

\(\ 3\left(x^{3}-x^{2}-30 x\right)\)	Оскільки 3 є загальним фактором для трьох термінів, коефіцієнт 3.
\(\ 3 x\left(x^{2}-x-30\right)\)	\(\ x\)також є загальним фактором. Фактор вихід\(\ x\). Тепер можна зарахувати тріноміал\(\ x^{2}-x-30\). Щоб знайти\(\ r\) і\(\ s\), визначити два числа, добуток яких дорівнює -30 і сума яких -1.
\(\ 3 x\left(x^{2}-6 x+5 x-30\right)\)	Пара факторів - -6 і 5. Тому\(\ -x\) замініть на\(\ -6 x+5 x\).
\(\ 3 x\left[\left(x^{2}-6 x\right)+(5 x-30)\right]\)	Використовуйте групування для розгляду термінів у парах.
\(\ 3 x[(x(x-6)+5(x-6)]\)	Фактор\(\ x\) виходить з першої групи і фактор 5 з другої групи.
\(\ 3 x(x-6)(x+5)\)	Потім фактор\(\ x-6\).

\(\ 3 x(x-6)(x+5)\)

Терміни факторингу:\(\ a x^{2}+b x+c\)

Загальна форма триномів з провідним коефіцієнтом a є\(\ a x^{2}+b x+c\). Іноді фактор\(\ a\) може бути врахований, як ви бачили вище; це відбувається, коли a може бути врахований з усіх трьох термінів. Решта триноміал, який все ще потребує факторингу, буде простішим, а провідним терміном буде лише\(\ x^{2}\) термін, а не\(\ a x^{2}\) термін.

Однак якщо коефіцієнти всіх трьох членів триноміала не мають загального коефіцієнта, то вам потрібно буде перерахувати триноміал з коефіцієнтом чогось іншого, ніж 1.

Факторинг Тримінал у формі\(\ a x^{2}+b x+c\)

Щоб множити тріноміал у вигляді\(\ a x^{2}+b x+c\), знайдіть два цілих числа,\(\ r\) і\(\ s\), сума яких дорівнює\(\ b\) і чий добуток\(\ ac\). Перепишіть тріноміал як,\(\ a x^{2}+r x+s x+c\) а потім використовуйте групування та розподільну властивість для множника.

Це майже те ж саме, що факторинг триноміалів за формою\(\ x^{2}+b x+c\), як і в цій формі\(\ a=1\). Тепер ви шукаєте два фактори, чиї продукт є\(\ a \cdot c\), і чия сума є\(\ b\).

Давайте подивимося, як працює ця стратегія шляхом факторингу\(\ 6 z^{2}+11 z+4\).

У цьому триноміале,\(\ a=6\),\(\ b=11\), і\(\ c=4\). Згідно зі стратегією, потрібно знайти два фактори,\(\ r\) причому\(\ s\), чия сума є\(\ b(11)\) і чий твір\(\ a c(\text { or } 6 \cdot 4=24)\). Ви можете скласти діаграму, щоб організувати можливі комбінації факторів. (Зверніть увагу, що ця діаграма має лише позитивні числа. Оскільки\(\ a c\) є позитивним і\(\ b\) позитивним, ви можете бути впевнені, що два фактори, які ви шукаєте, також є позитивними числами.)

Фактори, продукт яких 24	Сума факторів
\(\ 1 \cdot 24=24\)	\(\ 1+24=25\)
\(\ 2 \cdot 12=24\)	\(\ 2+12=14\)
\(\ 3 \cdot 8=24\)	\(\ 3+8=11\)
\(\ 4 \cdot 6=24\)	\(\ 4+6=10\)

Існує тільки одна комбінація, де твір дорівнює 24, а сума дорівнює 11, і це коли\(\ r=3\) і\(\ s=8\). Давайте використаємо ці значення для фактора вихідного триноміала.

Приклад

Фактор\(\ 6 z^{2}+11 z+4\).

Рішення

\(\ 6 z^{2}+3 z+8 z+4\)	Перепишіть середній термін\(\ 11z\), як\(\ 3 z+8 z\) (з діаграми вище.)
\(\ \left(6 z^{2}+3 z\right)+(8 z+4)\)	Групові пари. Використовуйте групування для розгляду термінів у парах.
\(\ 3 z(2 z+1)+4(2 z+1)\)	Фактор\(\ 3 z\) виходить з першої групи і 4 з другої групи.
\(\ (2 z+1)(3 z+4)\)	Фактор вихід\(\ (2 z+1)\).

\(\ (2 z+1)(3 z+4)\)

Перш ніж йти далі, варто згадати, що не всі триноміали можуть бути враховані за допомогою цілих пар. Візьмемо\(\ 2 z^{2}+35 z+7\), наприклад, тріноміал. Чи можете ви придумати два цілих числа, сума яких є\(\ b(35)\) і чий добуток\(\ a c(2 \cdot 7=14)\)? Їх немає! Цей тип тріноміала, який не може бути врахований за допомогою цілих чисел, називається простим тріноміалом.

Вправа

Фактор\(\ 3 x^{2}+x-2\).

1. \(\ (3 x+2)(x-1)\)
2. \(\ (3 x-2)(x+1)\)
3. \(\ (3 x+1)(x-2)\)
4. \(\ (3 x-1)(x+2)\)

Відповідь

1. Неправильний. \(\ (3 x+2)(x-1)\)має добуток\(\ 3 x^{2}-x-2\); шукайте два числа, добуток яких дорівнює -6 і сума яких дорівнює +1. Потім використовуйте ці числа для фактора шляхом групування. Правильна відповідь -\(\ (3 x-2)(x+1)\).
2. Правильно. Продукт\(\ (3 x-2)(x+1)\) є\(\ 3 x^{2}+x-2\).
3. Неправильний. Добуток\(\ (3 x+1)(x-2)\) is\(\ 3 x^{2}-5 x-2\); шукайте два числа, добуток яких дорівнює -6 і сума яких +1. Потім використовуйте ці числа для фактора шляхом групування. Правильна відповідь -\(\ (3 x-2)(x+1)\).
4. Неправильний. Добуток\(\ (3 x-1)(x+2)\) is\(\ 3 x^{2}+5 x-2\); шукайте два числа, добуток яких дорівнює -6 і сума яких +1. Потім використовуйте ці числа для фактора шляхом групування. Правильна відповідь -\(\ (3 x-2)(x+1)\).

Негативні терміни

У деяких ситуаціях\(\ a\) буває негативним, як в\(\ -4 h^{2}+11 h+3\). Часто має сенс враховувати -1 як перший крок у факторингу, оскільки це змінить знак\(\ a x^{2}\) з негативного на позитивний, що полегшить фактор, що залишився тріноміал.

Приклад

Фактор\(\ -4 h^{2}+11 h+3\)

Рішення

\(\ -1\left(4 h^{2}-11 h-3\right)\)	Коефіцієнт -1 з тріноміалу. Зверніть увагу, що ознаки всіх трьох термінів змінилися. Щоб зарахувати тріноміал, потрібно розібратися, як переписати\(\ -11 h\). Добуток\(\ r s=4 \cdot-3=-12\) і сума\(\ r s=-11\).
\(\ -1\left(4 h^{2}-12 h+1 h-3\right)\)	\(\ r \cdot s=-12\) \(\ r+s=-11\) \(\ -12 \cdot 1=-12\) \(\ -12+1=-11\) \(\ -6 \cdot 2=-12\) \(\ -6+2=-4\) \(\ -4 \cdot 3=-12\) \(\ -4+3=-1\) Перепишіть середній термін\(\ -11h\) як\(\ -12 h+1 h\).
\(\ -1\left[\left(4 h^{2}-12 h\right)+(1 h-3)\right]\)	Групові терміни.
\(\ -1[4 h(h-3)+1(h-3)]\)	Фактор\(\ 4h\) з першої пари. Друга група не може бути врахована далі, але ви можете написати її як\(\ +1(h-3)\) з тих пір\(\ +1(h-3)=(h-3)\). Це допомагає з факторингом на наступному етапі.
\(\ -1[(h-3)(4 h+1)]\)	Фактор з загального фактора\(\ (h-3)\). Зверніть увагу, що ви залишилися з\(\ (h-3)(4 h+1)\);\(\ +1\) походить від терміну\(\ +1(h-3)\) в попередньому кроці.

\(\ -1(h-3)(4 h+1)\)

Зверніть увагу, що відповідь вище також може бути записана як\(\ (-h+3)(4 h+1)\) або\(\ (h-3)(-4 h-1)\) якщо ви\(\ -1\) множите на один з інших факторів.

Резюме

Триноми у вигляді\(\ x^{2}+b x+c\) можуть бути враховані шляхом знаходження двох цілих чисел,\(\ r\) і\(\ s\), сума яких дорівнює\(\ b\) і чиє добуток\(\ c\). Перепишіть тріноміал як,\(\ x^{2}+r x+s x+c\) а потім використовуйте групування та розподільну властивість для множника.

Коли триноміал має форму\(\ a x^{2}+b x+c\), де коефіцієнт,\(\ a\) відмінний від 1, спочатку шукайте загальні фактори для всіх трьох членів. Спочатку враховуйте загальний фактор, а потім фактор, що залишився простіший триноміал. Якщо залишився тріноміал все ж має вигляд\(\ a x^{2}+b x+c\), знайдіть два цілих числа,\(\ r\) і\(\ s\), сума яких дорівнює\(\ b\) і чиє добуток\(\ ac\). Потім перепишіть тріноміал як\(\ a x^{2}+r x+s x+c\) і використовуйте групування та розподільну властивість для множника многочлена.

Коли\(\ a x^{2}\) негативний, ви можете перерахувати -1 з усього триноміалу, перш ніж продовжувати.