6.4: Спеціальні продукти

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Квадратний двочлен за допомогою візерунка біноміальних квадратів
• Множення кон'югатів за допомогою візерунка добутку кон'югатів
• Розпізнайте та використовуйте відповідний спеціальний візерунок продукту

Примітка

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Спрощення: а.$9^2$ б.$(−9)^2$ с$−9^2$.

Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 1.5.13.

Квадрат біном з використанням візерунка біноміальних квадратів

Математики люблять шукати закономірності, які полегшать їх роботу. Хорошим прикладом цього є квадратні двочлени. Хоча ви завжди можете отримати продукт, написавши біном двічі і використовуючи методи останнього розділу, менше роботи, якщо ви навчитеся використовувати візерунок.

$$\begin{array}{ll}{\text { Let's start by looking at }(x+9)^{2} \text { . }}& \\ {\text { What does this mean? }} &{(x+9)^{2}} \\ {\text { It means to multiply }(x+9) \text { by itself. }} & {(x+9)(x+9)}\\ {\text { Then, using FOIL, we get: }} & {x^{2}+9 x+9 x+81}\\ {\text { Combining like terms gives: }} &{x^{2}+18 x+81} \\ \\ {\text { Here's another one: }} & {(y-7)^{2}} \\ {\text { Multiply }(y-7) \text { by itself. }} & {(y-7)(y-7)} \\ {\text { Using FOIL, we get: }} & {y^{2}-7 y-7 y+49} \\ {\text { And combining like terms: }} & {y^{2}-14 y+49} \\ \\ {\text { And one more: }} & {(2 x+3)^{2}} \\ {\text { Multiply. }} & {(2 x+3)(2 x+3)} \\ {\text { Use FOIL: }} & {\text { 4x }+6 x+6 x+9} \\ {\text { Combine like terms. }} & {4 x^{2}+12 x+9}\end{array} \nonumber$$

Подивіться на ці результати. Ви бачите якісь візерунки?

А як щодо кількості термінів? У кожному прикладі ми склали біноміал, і результат був триноміальним.

$$(a+b)^{2}=\underline{\qquad}+\underline{\qquad}+\underline{\qquad}\nonumber$$

Тепер подивіться на перший термін в кожному результаті. Звідки воно взялося?

Перший термін - це добуток перших членів кожного біноміала. Оскільки біноміали ідентичні, це просто квадрат першого члена!

$$(a+b)^{2}=a^{2}+\underline{\qquad}+\underline{\qquad}\nonumber$$

Щоб отримати перший термін виробу, квадратний перший член.

Звідки взявся останній термін? Подивіться приклади і знайдіть викрійку.

Останній термін - добуток останніх термінів, який є квадратом останнього члена.

$$(a+b)^{2}=\underline{\qquad}+\underline{\qquad}+b^{2}\nonumber$$

Щоб отримати останній термін виробу, квадратний останній термін.

Нарешті, подивіться на середній термін. Зверніть увагу, що це сталося з додавання «зовнішнього» та «внутрішнього» термінів - які однакові! Таким чином, середній термін є подвійним добутком двох членів біноміального.

$$(a+b)^{2}=\underline{\qquad}+2ab+\underline{\qquad}\nonumber$$

$$(a+b)^{2}=\underline{\qquad}-2ab+\underline{\qquad}\nonumber$$

Щоб отримати середній термін добутку, помножте добуток і подвоюйте їх добуток.

Збираємо все разом:

Біноміальний квадратний візерунок

Якщо$a$ і$b$ є дійсними числами, то біноміальний квадратний візерунок

$$\underbrace{(a+b)^{2}}_{(\text{binomial})^2} = \underbrace{a^{2}}_{(\text{first term})^2}  +  \underbrace{2 a b}_{2 \times (\text{product of terms})} + \underbrace{a^{2}}_{(\text{last term})^2} \nonumber$$

Застосовуючи це до двох біноміальних типів:

$$\begin{align*} (a+b)^{2} &= a^{2}+2 a b+b^{2} \\[4pt] (a-b)^{2} &=a^{2}- 2 a b + b^{2} \end{align*}$$

Для квадратного двочлена:

1. квадрат перший член
2. квадрат останній термін
3. подвоїти свій продукт

Приклад чисел допомагає перевірити візерунок.

$\begin{array}{ll} & {(10+4)^{2}} \\{\text { Square the first term. }}& {10^{2}+\underline{\qquad}+\underline{\qquad}} \\ {\text { Square the last term. }} & {10^{2}+\underline{\qquad}+\frac{1}{4^{2}}} \\ {\text { Double their product. }} & {10^{2}+2 \cdot 10 \cdot 4+4^{2}} \\ {\text { Simplify. }} & {100+80+16} \\ {\text { Simplify. }} & {196}\end{array}$

Для множення$(10+4)^2$ зазвичай слід дотримуватися Порядку операцій.

$$\begin{array}{c}{(10+4)^{2}} \\ {(14)^{2}} \\ {196}\end{array}\nonumber$$

Візерунок працює!

Приклад$\PageIndex{1}$

$\text { Multiply: }(x+5)^{2}$

Рішення:

Квадратний перший член.
Квадратний останній термін.
Подвоїти виріб.
Спростити.	$x^{2}+10 x+25$

Спробуйте! $\PageIndex{1}$

Помножити:$(x+9)^{2}$

Відповідь

$x^{2}+18 x+81$

Спробуйте! $\PageIndex{2}$

Помножити:$(y+11)^{2}$

Відповідь

$y^{2}+22 y+121$

Приклад$\PageIndex{2}$

Помножити:$(y-3)^{2}$

Рішення:

Квадратний перший член.
Квадратний останній термін.
Подвоїти виріб.
Спростити.	$y^{2}-6 y+9$

Спробуйте! $\PageIndex{3}$

Помножити:$(x-9)^{2}$

Відповідь

$x^{2}-18 x+81$

Спробуйте! $\PageIndex{4}$

Помножити:$(p-13)^{2}$

Відповідь

$p^{2}-26 p+169$

Приклад$\PageIndex{3}$

Помножити:$(4 x+6)^{2}$

Рішення:

Використовуйте викрійку.
Спростити.	$16 x^{2}+48 x+36$

Спробуйте! $\PageIndex{5}$

Помножити:$(6 x+3)^{2}$

Відповідь

$36 x^{2}+36 x+9$

Спробуйте! $\PageIndex{6}$

Помножити:$(4 x+9)^{2}$

Відповідь

$16 x^{2}+72 x+81$

Приклад$\PageIndex{4}$

Помножити:$(2 x-3 y)^{2}$

Рішення:

Використовуйте викрійку.
Спростити.	$4 x^{2}-12 x y+9 y^{2}$

Спробуйте! $\PageIndex{7}$

Помножити:$(2 c-d)^{2}$

Відповідь

$4 c^{2}-4 c d+d^{2}$

Спробуйте! $\PageIndex{8}$

Помножити:$(4 x-5 y)^{2}$

Відповідь

$16 x^{2}-40 x y+25 y^{2}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Помножити:$\left(4 u^{3}+1\right)^{2}$

Рішення:

Використовуйте викрійку.
Спростити.	$16 u^{6}+8 u^{3}+1$

Спробуйте! $\PageIndex{9}$

Помножити:$\left(2 x^{2}+1\right)^{2}$

Відповідь

$4 x^{4}+4 x^{2}+1$

Спробуйте! $\PageIndex{10}$

Помножити:$\left(3 y^{3}+2\right)^{2}$

Відповідь

$9 y^{6}+12 y^{3}+4$

Множення кон'югатів за допомогою добутку візерунка кон'югатів

Ми щойно побачили шаблон для квадратування бічленів, який ми можемо використовувати, щоб полегшити множення деяких біноміалів. Аналогічно існує візерунок і для іншого твору біноміалів. Але перш ніж ми перейдемо до цього, нам потрібно ввести певний словниковий запас.

Що ви помічаєте про ці пари біноміалів?

$$(x-9)(x+9) \qquad(y-8)(y+8)\qquad (2x-5)(2x+5) \nonumber$$

Подивіться на перший член кожного біноміала в кожній парі.

Зверніть увагу, що перші терміни однакові в кожній парі.

Подивіться на останні терміни кожного біноміала в кожній парі.

Зверніть увагу, що останні терміни однакові в кожній парі.

Зверніть увагу, як кожна пара має одну суму і одну різницю.

Пара біноміалів, кожен з яких має однаковий перший член і той самий останній член, але один - сума, а один - різниця, має спеціальну назву. Вона називається сполученою парою і має вигляд (a−b), (a+b).

Визначення: Сполучених пар

Спряжена пара - це два двочлени виду

$$(a-b),(a+b)\nonumber$$

Пара біноміалів має один і той же перший член і той самий останній член, але один біноміал - це сума, а інший - різниця.

Існує приємний візерунок для знаходження твору кон'югатів. Ви могли б, звичайно, просто ФОЛЬГА, щоб отримати продукт, але використання візерунка полегшує вашу роботу.

Давайте подивимося на візерунок, використовуючи FOIL для множення деяких сполучених пар.

$$\begin{array}{cc}{(x-9)(x+9)} & {(y-8)(y+8)} & (2x-5)(2x+5)\\ {x^{2}+9 x-9 x-81} & {y^{2}+8 y-8 y-64} & {4 x^{2}+10 x-10 x-25} \\ {x^{2}-81} & {y^{2}-64} & {4 x^{2}-25}\end{array}\nonumber$$

Кожен перший член є добутком перших членів біноміалів, а оскільки вони ідентичні, це квадрат першого члена.

$$\begin{array}{c}{(a+b)(a-b)=a^{2}-}\underline{\qquad} \\ {\text { To get the}\textbf{ first term, square the first term. }}\end{array}\nonumber$$

Останній термін прийшов з множення останніх членів, квадрата останнього члена.

$$\begin{array}{c}{(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}} \\ {\text { To get the}\textbf{ last term, square the last term. }}\end{array}\nonumber$$

Що ви спостерігаєте щодо продуктів?

Добуток двох біноміалів також є біноміальним! Більшість продуктів, отриманих з ФОЛЬГИ, були тріноміалами.

Чому немає середнього терміну? Зверніть увагу на два середні члени, які ви отримуєте від FOIL об'єднати до 0 у кожному випадку, результат одного додавання та одного віднімання.

Твір кон'югатів завжди має форму$a^2-b^2$. Це називається різницею квадратів.

Це призводить до закономірності:

ВИРІБ З КОН'ЮГАТІВ ВІЗЕРУНКОМ

Якщо$a$ і$b$ є дійсними числами,

Твір називається різницею квадратів.

Щоб помножити сполучені, квадрат перший член, квадрат останній член, а твір запишіть як різницю квадратів.

Давайте перевіримо цей шаблон на числовому прикладі.

$\begin{array}{ll} & (10-2)(10+2)\\ {\text { It is the product of conjugates, so the result will be the }} \\ {\text { difference of two squares. }} & \underline{\qquad} - \underline{\qquad}\\ {\text { Square the first term. }}& 10^2 - \underline{\qquad} \\ {\text { Square the last term. }} & 10^2 - 2^2\\ {\text { Simplify. }} & 100 -4\\ {\text { Simplify. }} & 96\\ {\text { What do you get using the Order of Operations? }} \\ \\ & (10-2)(10+2) \\ & (8)(12) \\ & 96 \end{array}$

Зверніть увагу, результат той же!

Приклад$\PageIndex{6}$

Помножити:$(x-8)(x+8)$

Рішення:

По-перше, визнайте це як твір кон'югатів. Біноміали мають однакові перші члени, і ті ж останні члени, і один біноміал - це сума, а інший - різниця.

Він підходить по викрійці.
Квадрат першого члена, x.
Квадрат останнього члена, 8.
Твір являє собою різницю квадратів.

Спробуйте! $\PageIndex{11}$

Помножити:$(x-5)(x+5)$

Відповідь

$x^{2}-25$

Спробуйте! $\PageIndex{12}$

Помножити:$(w-3)(w+3)$

Відповідь

$w^{2}-9$

Приклад$\PageIndex{7}$

Помножити:$(2 x+5)(2 x-5)$

Рішення:

Чи є біноміали кон'югати?

Це твір кон'югатів.
Квадрат першого члена, 2 х.
Квадрат останнього члена, 5.
Спростити. Твір являє собою різницю квадратів.

Спробуйте! $\PageIndex{13}$

Помножити:$(6 x+5)(6 x-5)$

Відповідь

$36 x^{2}-25$

Спробуйте! $\PageIndex{14}$

Помножити:$(2 x+7)(2 x-7)$

Відповідь

$4 x^{2}-49$

Біноми в наступному прикладі можуть дивитися назад — змінна знаходиться у другому семестрі. Але два біноміали все ще є сполученими, тому ми використовуємо один і той же візерунок для їх множення.

Приклад$\PageIndex{8}$

Знайдіть товар:$(3+5 x)(3-5 x)$

Рішення:

Це твір кон'югатів.
Використовуйте викрійку.
Спростити.	$9-25 x^{2}$

Спробуйте! $\PageIndex{15}$

Помножити:$(7+4 x)(7-4 x)$

Відповідь

$49-16 x^{2}$

Спробуйте! $\PageIndex{16}$

Помножити:$(9-2 y)(9+2 y)$

Відповідь

$81-4 y^{2}$

Тепер ми помножимо кон'югати, які мають дві змінні.

Приклад$\PageIndex{9}$

Знайдіть товар:$(5 m-9 n)(5 m+9 n)$

Рішення:

Це підходить до викрійки.
Використовуйте викрійку.
Спростити.	$25 m^{2}-81 n^{2}$

Спробуйте! $\PageIndex{17}$

Знайдіть товар:$(4 p-7 q)(4 p+7 q)$

Відповідь

$16 p^{2}-49 q^{2}$

Спробуйте! $\PageIndex{18}$

Знайдіть товар:$(3 x-y)(3 x+y)$

Відповідь

$9 x^{2}-y^{2}$

Приклад$\PageIndex{10}$

Знайдіть товар:$(c d-8)(c d+8)$

Рішення:

Це підходить до викрійки.
Використовуйте викрійку.
Спростити.	$c^{2} d^{2}-64$

Спробуйте! $\PageIndex{19}$

Знайдіть товар:$(x y-6)(x y+6)$

Відповідь

$x^{2} y^{2}-36$

Спробуйте! $\PageIndex{20}$

Знайдіть товар:$(a b-9)(a b+9)$

Відповідь

$a^{2} b^{2}-81$

Приклад$\PageIndex{11}$

Знайдіть товар:$\left(6 u^{2}-11 v^{5}\right)\left(6 u^{2}+11 v^{5}\right)$

Рішення:

Це підходить до викрійки.
Використовуйте викрійку.
Спростити.	$36 u^{4}-121 v^{10}$

Спробуйте! $\PageIndex{21}$

Знайдіть товар:$\left(3 x^{2}-4 y^{3}\right)\left(3 x^{2}+4 y^{3}\right)$

Відповідь

$9 x^{4}-16 y^{6}$

Спробуйте! $\PageIndex{22}$

Знайдіть товар:$\left(2 m^{2}-5 n^{3}\right)\left(2 m^{2}+5 n^{3}\right)$

Відповідь

$4 m^{4}-25 n^{6}$

Розпізнавання та використання відповідного спеціального зразка продукту

Ми тільки що розробили спеціальні шаблони продуктів для біноміальних квадратів і для добутку кон'югатів. Вироби виглядають аналогічно, тому важливо визнати, коли доречно використовувати кожен з цих візерунків і помітити, чим вони відрізняються. Подивіться на дві моделі разом і зверніть увагу на їх подібності та відмінності.

ПОРІВНЯННЯ СПЕЦІАЛЬНИХ МОДЕЛЕЙ ТОВАРУ

$\begin{array}{ll }{\textbf { Binomial Squares }}&{\textbf { Product of Conjugates }} \\ {(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}} & {(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}} \\ {(a-b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}} \\ {\text { - Squaring a binomial }}& {\text { - Multiplying conjugates }} \\ {\text { - Product is a trinomial }} & {\text { - Product is a binomial }} \\ {\text { - Inner and outer terms with FOIL are the same. }} &{\text { - Inner and outer terms with FOIL are opposites. }} \\ {\text { - Middle term is double the product of the terms. }} &{\text { - There is no middle term. }} \end{array}$

Приклад$\PageIndex{12}$

Виберіть відповідний візерунок і використовуйте його, щоб знайти виріб:

1. $(2 x-3)(2 x+3)$
2. $(8 x-5)^{2}$
3. $(6 m+7)^{2}$
4. $(5 x-6)(6 x+5)$

Рішення:

1. $(2x−3)(2x+3)$Це кон'югати. Вони мають однакові перші числа, і ті ж останні числа, і один біноміал - це сума, а інший - різниця. Він підходить до виробу з кон'югатів візерунком.

Це підходить до викрійки.
Використовуйте викрійку.
Спростити.	$4 x^{2}-9$

2. $(8 x-5)^{2}$Нас просять квадрат біном. Він підходить для візерунка біноміальних квадратів.

Використовуйте викрійку.
Спростити.	$64 x^{2}-80 x+25$

3. $(6 m+7)^{2}$Знову ж таки, ми будемо квадратувати біном, тому ми використовуємо шаблон біноміальних квадратів.

Використовуйте викрійку.
Спростити.	$36 m^{2}+84 m+49$

4. $(5 x-6)(6 x+5)$Цей виріб не підходить по викрійках, тому будемо використовувати фольгу.

$\begin{array}{ll} & (5 x-6)(6 x+5)\\ {\text { Use FOIL. }} & {30 x^{2}+25 x-36 x-30} \\ {\text { Simplify. }} & {30 x^{2}-11 x-30}\end{array}$

Спробуйте! $\PageIndex{23}$

Виберіть відповідний візерунок і використовуйте його, щоб знайти виріб:

1. $(9b−2)(2b+9)$
2. $(9p−4)2$
3. $(7y+1)^2$
4. $(4r-3)(4r+3)$

Відповідь

1. ФОЛЬГА;$18 b^{2}+77 b-18$
2. Біноміальні квадрати;$81 p^{2}-72 p+16$
3. Біноміальні квадрати;$49 y^{2}+14 y+1$
4. Твір кон'югатів;$16 r^{2}-9$

Спробуйте! $\PageIndex{24}$

Виберіть відповідний візерунок і використовуйте його, щоб знайти виріб:

1. $(6x+7)^2$
2. $(3x−4)(3x+4)$
3. $(2x−5)(5x−2)$
4. $(6n−1)^2$

Відповідь

1. Біноміальні квадрати;$36 x^{2}+84 x+49$
2. Твір кон'югатів;$9 x^{2}-16$
3. ФОЛЬГА;$10 x^{2}-29 x+10$
4. Біноміальні квадрати;$36 n^{2}-12 n+1$

Примітка

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткової інструкції та практики за допомогою спеціальних продуктів:

• Спеціальні продукти

Ключові концепції

• Біноміальні квадрати візерунок
  • Якщо a, b - дійсні числа,
    
  • $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$
  • $(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$
  • Для квадратного двочлена: квадрат першого члена, квадрат останнього члена, подвоїти їх добуток.
• Продукт кон'югатів візерунок
  • Якщо a, ba, b є дійсними числами,
    
  • $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$
  • Твір називається різницею квадратів.
• Для множення кон'югатів:
  • квадрат, перший член, квадрат, останній член, запишіть його як різницю квадратів.

Глосарій

сполучені пари

Спряжена пара - це два біноміали форми$(a−b)$ і$(a+b)$; пара біноміалів кожен має однаковий перший член і той самий останній член, але один біноміал - це сума, а інший - різниця.