4.7: Графіки лінійних нерівностей

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Перевірка розв'язків нерівності в двох змінних
• Визнати зв'язок між розв'язками нерівності та її графіком
• Лінійні нерівності графа

Примітка

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Вирішити:$4x+3>23.$
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 2.7.22.
2. Перекласти з алгебри на англійську:$x<5.$
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 1.3.1.
3. Оцініть,$3x−2y$ коли$x=1, \, y=−2.$
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 1.5.28.

Перевірка рішень нерівності в двох змінних

Ми навчилися вирішувати нерівності в одній змінній. Тепер ми розглянемо нерівності в двох змінних. Нерівності в двох змінних мають багато застосувань. Наприклад, якщо ви керуєте бізнесом, ви хотіли б, щоб ваш дохід був більшим за ваші витрати, щоб ваш бізнес отримував прибуток.

ЛІНІЙНА НЕРІВ

Лінійна нерівність - це нерівність, яку можна записати в одну з наступних форм:

$$A x+B y>C \quad A x+B y \geq C \quad A x+B y<C \quad A x+B y \leq C \nonumber$$

де$A$ і не$B$ обидва нульові.

Ви пам'ятаєте, що нерівність з однією змінною мала багато рішень? Рішення нерівності$x>3$ є будь-яке число більше, ніж$3$. Ми показали це на числовому рядку затінення в числовому рядку праворуч від$3$, і покласти відкриті дужки на$3$. Див$\PageIndex{1}$. Малюнок.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Аналогічно нерівності в двох змінних мають багато рішень. $(x, y)$Будь-яка впорядкована пара, яка робить нерівність істинною, коли ми підставляємо значення, є рішенням нерівності.

Розв'язок ЛІНІЙНОЇ НЕРІВНОСТІ

$(x, y)$Впорядкована пара - це рішення лінійної нерівності, якщо нерівність істинна, коли ми підставляємо значення$x$ і$y$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Визначте, чи є кожна впорядкована пара розв'язком нерівності$y>x+4$:

1. $(0,0)$
2. $(1,6)$
3. $(2,6)$
4. $(−5,−15)$
5. $(−8,12)$

Відповідь

1.

$(0,0)$
Спростити.		Отже,$(0,0)$ це не рішення для$y>x+4$.

2.

$(1,6)$
Спростити.		Отже,$(1,6)$ це рішення для$y>x+4$.

3.

$(2,6)$
Спростити.		Отже,$(2,6)$ це не рішення для$y>x+4$.

4.

$(−5,−15)$
Спростити.		Отже,$(−5,−15)$ це не рішення для$y>x+4$.

5.

(−8,12)
Спростити.		Отже,$(−8,12)$ це рішення для$y>x+4$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Визначте, чи є кожна впорядкована пара розв'язком нерівності$y>x−3$:

1. $(0,0)$
2. $(4,9)$
3. $(−2,1)$
4. $(−5,−3)$
5. $(5,1)$

Відповідь

1. так
2. так
3. так
4. так
5. ні

Вправа$\PageIndex{3}$

Визначте, чи є кожна впорядкована пара розв'язком нерівності$y<x+1$:

1. $(0,0)$
2. $(8,6)$
3. $(−2,−1)$
4. $(3,4)$
5. $(−1,−4)$

Відповідь

1. так
2. так
3. ні
4. ні
5. так

Визнати зв'язок між розв'язками нерівності та її графіком

Тепер ми розглянемо, як розв'язки нерівності співвідносяться з його графіком.

Давайте$\PageIndex{1}$ знову подумаємо над числовим рядком на малюнку. Точка$x=3$ розділила цю цифрову лінію на дві частини. На одній стороні$3$ знаходяться всі числа менше, ніж$3$. На іншій стороні$3$ всі цифри більше, ніж$3$. Див$\PageIndex{2}$. Малюнок.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Рішення$x>3$ - це затінена частина числового рядка праворуч від$x=3$.

Аналогічно лінія$y=x+4$ розділяє площину на дві області. З одного боку лінії розташовані точки с$y<x+4$. На іншій стороні лінії розташовані точки с$y>x+4$. Називаємо лінію$y=x+4$ лінією кордону.

МЕЖОВА ЛІНІЯ

Лінія з рівнянням$Ax+By=C$ є граничною лінією, яка відокремлює область де$Ax+By>C$ від області де$Ax+By<C$.

Для нерівності в одній змінній кінцева точка показана дужками або дужкою залежно від того, чи включено aa до розв'язку:

Аналогічно, для нерівності у двох змінних межа показана суцільною або пунктирною лінією, щоб вказати, чи включена лінія до розв'язку. Це підсумовано в табл$\PageIndex{1}$.

Таблиця$\PageIndex{1}$

$Ax+By<C$	$Ax+By\leq C$
$Ax+By>C$	$Ax+By\geq C$
Гранична лінія не включається до розв'язку.	У розв'язку включається межова лінія.
Лінія кордону штрихова.	Гранична лінія суцільна.

Тепер давайте поглянемо на те, що ми знайшли в Вправи$\PageIndex{1}$. Ми почнемо з графіка лінії$y=x+4$, а потім ми побудуємо п'ять точок, які ми перевірили. Див$\PageIndex{3}$. Малюнок.

Малюнок$\PageIndex{3}$

У Вправи$\PageIndex{1}$ ми виявили, що деякі пункти були рішеннями нерівності,$y>x+4$ а деякі - ні.

Які з точок, які ми побудували, є розв'язками нерівності$y>x+4$? Точки$(1,6)$ і$(−8,12)$ є розв'язками нерівності$y>x+4$. Зверніть увагу, що вони обидва знаходяться на одній стороні лінії кордону$y=x+4$.

Дві точки$(0,0)$ і$(−5,−15)$ знаходяться на іншій стороні граничної лінії$y=x+4$, і вони не є розв'язками нерівності$y>x+4$. Для цих двох пунктів,$y<x+4$.

А як щодо суті$(2,6)$? Тому що$6=2+4$, точка - це рішення рівняння$y=x+4$. Таким чином, точка$(2,6)$ знаходиться на лінії кордону.

Візьмемо ще одну точку на лівій стороні лінії кордону і перевіримо, чи є це розв'язком нерівності$y>x+4$. Точка$(0,10)$ явно виглядає ліворуч від лінії кордону, чи не так? Це рішення нерівності?

$$\begin{array}{l}{y>x+4} \\ {10\stackrel{?}{>}0+4} \\ {10>4} &{\text{So, }(0,10)\text{ is a solution to }y>x+4.}\end{array}$$

Будь-яка точка, яку ви виберете на лівій стороні лінії кордону, є розв'язком нерівності$y>x+4$. Всі точки зліва - це рішення.

Аналогічно, всі точки на правій стороні лінії кордону, сторона з$(0,0)$ і$(−5,−15)$, не є розв'язками$y>x+4$. Див$\PageIndex{4}$. Малюнок.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Графік нерівності$y>x+4$ показаний на малюнку$\PageIndex{5}$ нижче. Лінія$y=x+4$ ділить площину на дві області. Затінена сторона показує рішення нерівності$y>x+4$.

Точки на граничній лінії, ті де$y=x+4$, не є розв'язками нерівності$y>x+4$, тому сама лінія не є частиною розв'язку. Ми показуємо, що зробивши лінію пунктирною, а не суцільною.

Малюнок$\PageIndex{5}$: Графік нерівності y>x+4.

Вправа$\PageIndex{4}$

Лінія кордону показана є$y=2x−1$. Запишіть нерівність, показану графіком.

Відповідь

Лінія$y=2x−1$ - межа. На одній стороні лінії знаходяться точки з,$y>2x−1$ а з іншого боку лінії - точки с$y<2x−1$.

Давайте перевіримо точку$(0,0)$ і подивимося, яка нерівність описує її сторону межової лінії.

При$(0,0)$, яке нерівність вірно:

$$\begin{array}{ll}{y>2 x-1} & {\text { or }} & {y<2 x-1 ?} \\ {y>2 x-1} && {y<2 x-1} \\ {0>2 \cdot 0-1} && {0<2 \cdot 0-1} \\ {0>-1 \text { True }} && {0<-1 \text { False }}\end{array}$$

Оскільки$y>2x−1$ це правда, сторона лінії з$(0,0)$, є рішенням. Затінена область показує розв'язання нерівності$y>2x−1$.

Оскільки межова лінія зображена суцільною лінією, нерівність включає знак рівності.

Графік показує нерівність$y\geq 2x−1$.

Ми могли б використовувати будь-яку точку як контрольну точку, за умови, що вона не знаходиться на лінії. Чому ми вибрали$(0,0)$? Тому що це найпростіше оцінити. Можливо, ви захочете вибрати точку на іншій стороні лінії кордону і перевірити це$y<2x−1$.

Вправа$\PageIndex{5}$

Запишіть нерівність, показану графіком, з граничною лінією$y=−2x+3$.

Відповідь

$y\geq −2x+3$

Вправа$\PageIndex{6}$

Запишіть нерівність, показану графіком, з граничною лінією$y=\frac{1}{2}x−4$.

Відповідь

$y \leq \frac{1}{2}x - 4$

Вправа$\PageIndex{7}$

Лінія кордону показана є$2x+3y=6$. Запишіть нерівність, показану графіком.

Відповідь

Лінія$2x+3y=6$ - межа. На одній стороні лінії знаходяться точки з,$2x+3y>6$ а з іншого боку лінії - точки с$2x+3y<6$.

Давайте перевіримо точку$(0,0)$ і подивимося, яка нерівність описує її сторону межової лінії.

При$(0,0)$, яке нерівність вірно:

$$\begin{array}{rr}{2 x+3 y>6} && {\text { or } \quad 2 x+3 y<6 ?} \\ {2 x+3 y>6} && {2 x+3 y<6} \\ {2(0)+3(0)>6} & & {2(0)+3(0)<6} \\ {0} >6 & {\text { False }} & {0<6}&{ \text { True }}\end{array}$$

Так що сторона з$(0,0)$ є стороною де$2x+3y<6$.

(Можливо, ви захочете вибрати точку на іншій стороні лінії кордону і перевірити це$2x+3y>6$.)

Оскільки межова лінія графічна як пунктирна лінія, нерівність не включає знак рівності.

На графіку показано розв'язання нерівності$2x+3y<6$.

Вправа$\PageIndex{8}$

Запишіть нерівність, показану затіненою областю, на графіку з граничною лінією$x−4y=8$.

Відповідь

$x-4 y \leq 8$

Вправа$\PageIndex{9}$

Запишіть нерівність, показану затіненою областю, на графіку з граничною лінією$3x−y=6$.

Відповідь

$3 x-y \leq 6$

Лінійні нерівності графа

Тепер, ми готові зібрати все це разом, щоб графік лінійних нерівностей.

Вправа$\PageIndex{10}$: How to Graph Linear Inequalities

Графік лінійної нерівності$y \geq \frac{3}{4} x-2$.

Відповідь

Вправа$\PageIndex{11}$

Графік лінійної нерівності$y \geq \frac{5}{2} x-4$.

Відповідь

Вправа$\PageIndex{12}$

Графік лінійної нерівності$y<\frac{2}{3} x-5$.

Відповідь

Кроки, які ми робимо для графіку лінійної нерівності, підсумовуються тут.

ГРАФІК A ЛІНІЙНА НЕРІВНІСТЬ.

1. Визначте та графуйте лінію кордону.
   • Якщо нерівність дорівнює$≤$ або$≥$, межова лінія суцільна.
   • Якщо нерівність дорівнює$<$ або$>$, межова лінія буде пунктирною.
2. Перевірте точку, яка не знаходиться на лінії кордону. Це рішення нерівності?
3. Заштрихуйте в одну сторону лінії кордону.
   • Якщо контрольною точкою є розчин, затінюйте в ту сторону, яка включає точку.
   • Якщо контрольна точка не є розчином, розтушуйте в протилежну сторону.

Вправа$\PageIndex{13}$

Графік лінійної нерівності$x−2y<5$.

Відповідь

Спочатку графуємо лінію кордону$x−2y=5$. Нерівність полягає в$<$ тому, що ми проводимо пунктирну лінію.

Потім перевіряємо точку. Ми будемо використовувати$(0,0)$ знову, тому що це легко оцінити, і це не на лінії кордону.

Чи$(0,0)$ є рішенням$x−2y<5$?

Точка$(0,0)$ є рішенням$x−2y<5$, тому ми затінюємо в цій стороні лінії кордону.

Вправа$\PageIndex{14}$

Графік лінійної нерівності$2x−3y\leq 6$.

Відповідь

Вправа$\PageIndex{15}$

Графік лінійної нерівності$2x−y>3$.

Відповідь

Що робити, якщо межа проходить через початок? Тоді ми не зможемо використовувати$(0,0)$ як контрольну точку. Немає проблем - ми просто виберемо якусь іншу точку, яка не знаходиться на лінії кордону.

Вправа$\PageIndex{16}$

Графік лінійної нерівності$y\leq −4x$.

Відповідь

Спочатку графуємо лінію кордону$y=−4x$. Він знаходиться у формі нахилу—перехоплення, з$m=−4$ і$b=0$. Нерівність полягає в$≤$ тому, що ми проводимо суцільну лінію.

Тепер нам потрібна контрольна точка. Ми бачимо, що точка$(1,0)$ знаходиться не на граничній лінії.

Чи$(1,0)$ є рішенням$y≤−4x$?

Точка не$(1,0)$ є рішенням$y≤−4x$, тому затінюємо в протилежну сторону лінії кордону. Див$\PageIndex{6}$. Малюнок.

Малюнок$\PageIndex{6}$

Вправа$\PageIndex{17}$

Графік лінійної нерівності$y>−3x$.

Відповідь

Вправа$\PageIndex{18}$

Графік лінійної нерівності$y\geq −2x$.

Відповідь

Деякі лінійні нерівності мають лише одну змінну. Вони можуть мати$x$ але ні$y$, або$y$ але ні$x$. У цих випадках лінія кордону буде або вертикальною, або горизонтальною лінією. Ви пам'ятаєте?

$\begin{array}{ll}{x=a} & {\text { vertical line }} \\ {y=b} & {\text { horizontal line }}\end{array}$

Вправа$\PageIndex{19}$

Графік лінійної нерівності$y>3$.

Відповідь

Спочатку графуємо лінію кордону$y=3$. Вона являє собою горизонтальну лінію. Нерівність полягає в$>$ тому, що ми проводимо пунктирну лінію.

Тестуємо точку$(0,0)$.

$$y>3 \\ 0\not>3$$

$(0,0)$це не рішення$y>3$.

Так затінюємо ту сторону, яка не включає$(0,0)$.

Вправа$\PageIndex{20}$

Графік лінійної нерівності$y<5$.

Відповідь

Вправа$\PageIndex{21}$

Графік лінійної нерівності$y \leq-1$.

Відповідь

Ключові концепції

• Графік лінійної нерівності
  1. Визначте та графуйте лінію кордону.
     Якщо нерівність дорівнює$≤$ або$≥$, межова лінія суцільна.
     Якщо нерівність дорівнює$<$ або$>$, межова лінія буде пунктирною.
  2. Перевірте точку, яка не знаходиться на лінії кордону. Це рішення нерівності?
  3. Заштрихуйте в одну сторону лінії кордону.
     Якщо контрольною точкою є розчин, затінюйте в ту сторону, яка включає точку.
     Якщо контрольна точка не є розчином, розтушуйте в протилежну сторону.

Глосарій

межова лінія

Лінія з рівнянням$A x+B y=C$, що відокремлює область де$A x+B y>C$ від області де$A x+B y<C$.

лінійна нерівність

Нерівність, яка може бути записана в одній з наступних форм:

$$A x+B y>C \quad A x+B y \geq C \quad A x+B y<C \quad A x+B y \leq C$$

де$A$ і не$B$ обидва нульові.

розв'язок лінійної нерівності

$(x,\,y)$Впорядкована пара - це рішення лінійної нерівності, нерівність істинна, коли ми підставляємо значення$x$ і$y$.