4.1: Використовуйте прямокутну систему координат

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 4: Графіки
- 4.1E: Вправи

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

Графік точок у прямокутній системі координат
Перевірка розв'язків рівняння у двох змінних
Заповніть таблицю розв'язків лінійного рівняння
Знайти розв'язки лінійного рівняння у двох змінних

Примітка

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Оцініть $x+3$ , коли $x=−1$ .
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 1.5.25.
Оцінити, $2x−5y$ коли $x=3$ і y=−2.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 1.5.28.
Вирішити для y: $40−4y=20$
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 2.3.1.

Графік точок на прямокутній системі координат

Подібно до того, як карти використовують систему сітки для ідентифікації місць, система сітки використовується в алгебрі, щоб показати зв'язок між двома змінними в прямокутній системі координат. Прямокутна система координат також називається xy -площиною або «координатною площиною».

Горизонтальна числова лінія називається віссю х. Вертикальна числова лінія називається віссю y. Вісь x та вісь y разом утворюють прямокутну систему координат. Ці осі ділять площину на чотири області, звані квадрантами. Квадранти ідентифікуються римськими цифрами, що починаються справа вгорі і йдуть проти годинникової стрілки. Див $\PageIndex{1}$ . Малюнок.

На графіку показана координатна площина x y. Осі x- та y-вісь проходять від негативних 7 до 7. Верхня права частина площини позначена «I», верхня ліва частина площини позначена «II», нижня ліва частина площини позначена «III», а нижня права частина площини позначена «IV». — Малюнок $\PageIndex{1}$ : «Квадрант» має корінь «quad», що означає «чотири».

У прямокутній системі координат кожна точка представлена впорядкованою парою. Перше число в впорядкованій парі - координата x точки, а друге число - y -координата точки.

ЗАМОВЛЕНА ПАРА

Впорядкована пара (x, y) (x, y) дає координати точки в прямокутній системі координат.

Впорядкована пара x y позначена першою координатою x, позначеною як «x-координата», а друга координата y позначена як «y-координата». — Малюнок $\PageIndex{2}$

Перше число - координата x.

Друге число - координата y.

Фраза «замовлена пара» означає, що порядок важливий. Що таке впорядкована пара точки, де осі перетинаються? У цей момент обидві координати дорівнюють нулю, тому її впорядкована пара є $(0,0)$ . Точка $(0,0)$ має особливу назву. Його називають походженням.

ПОХОДЖЕННЯ

Точка $(0,0)$ називається початком. Це точка, де перетинаються вісь x і y -вісь.

Ми використовуємо координати, щоб знайти точку на xy -площині. Давайте побудуємо крапку $(1,3)$ як приклад. Спочатку знайдіть 1 на осі x і злегка намалюйте вертикальну лінію через x = 1x=1. Потім знайдіть 3 на осі y і намалюйте горизонтальну лінію через y = 3y = 3. Тепер знайдіть точку, де ці дві лінії зустрічаються - це точка з координатами $(1,3)$ .

На графіку показана координатна площина x y. Осі x та y кожна біжать від негативних 6 до 6. Стрілка починається від початку і тягнеться праворуч до числа 2 на осі x. Крапку (1, 3) наносять креслення і маркують. Дві пунктирні лінії, одна паралельна осі х, інша паралельна осі Y, зустрічаються перпендикулярно на 1, 3. Пунктирна лінія, паралельна осі х, перехоплює вісь y на 3. Пунктирна лінія, паралельна осі y, перехоплює вісь x на 1. — Малюнок $\PageIndex{3}$

Зверніть увагу, що вертикальна лінія $x=1$ і горизонтальна лінія наскрізь не $y=3$ є частиною графіка. Ми просто використовували їх, щоб допомогти нам знайти точку $(1,3)$ .

Вправа $\PageIndex{1}$

Побудуйте кожну точку в прямокутній системі координат і визначте квадрант, в якому знаходиться точка:

(−5,4)
(−3, −4)
(2, −3)
(−2,3)
$(3, \frac{5}{2})$

Відповідь

Перше число координатної пари - координата x, а друге число - координата y.

Починаючи з x=−5, точка знаходиться ліворуч від осі y. Крім того, починаючи з y = 4, точка знаходиться вище осі x. Точка (−5,4) знаходиться у II квадранті.
Починаючи з x=−3, точка знаходиться ліворуч від осі y. Крім того, починаючи з y=−4, точка знаходиться нижче осі x. Точка (−3, −4) знаходиться в третьому квадранті.
Починаючи з x = 2, точка знаходиться праворуч від осі y. Починаючи з y=−3, точка знаходиться нижче осі x. Точка (2, −3) знаходиться в квадранті lV.
Починаючи з x=−2, точка знаходиться ліворуч від осі y. Починаючи з y=3, точка знаходиться вище осі x. Точка (−2,3) знаходиться у II квадранті.
Починаючи з x = 3, точка знаходиться праворуч від осі y. Так як $y = \frac{5}{2}$ , точка знаходиться вище осі х. (Може бути корисно писати $\frac{5}{2}$ як змішане число або десяткове число.) $(3, \frac{5}{2})$ Справа в квадранті I.

На графіку показана координатна площина x y. Осі x- та y-вісь проходять від негативних 7 до 7. Пункти (негативні 5, 4), (негативні 2, 3), (негативні 3, негативні 4), (3, п'ять половин) і (2, негативні 3) побудовані і позначені. — Малюнок $\PageIndex{4}$

Вправа $\PageIndex{2}$

Побудуйте кожну точку в прямокутній системі координат і визначте квадрант, в якому знаходиться точка:

(−2,1)
(−3, −1)
(4, −4)
(−4,4)
$(-4, \frac{3}{2})$

Відповідь: $На графіку показана координатна площина x y. Осі x та y кожна біжать від негативних 6 до 6. Точка (від'ємна 2, 1) наноситься на креслення і маркується «а». Крапка (негативна 3, негативна 1) наноситься на креслення і маркується «b». Крапку (4, мінус 4) позначають і маркують «с». Крапка (від'ємна 4, негативна одна половина) позначається і маркується «d».$

Вправа $\PageIndex{3}$

Побудуйте кожну точку в прямокутній системі координат і визначте квадрант, в якому знаходиться точка:

(−4,1)
(−2,3)
(2, −5)
(−2,5)
$(-3, \frac{5}{2})$

Відповідь: $На графіку показана координатна площина x y. Осі x та y кожна біжать від негативних 6 до 6. Точка (мінус 4, 1) наноситься на креслення і маркується «а». Точка (від'ємна 2, 3) наноситься на креслення і маркується «b». Точка (2, від'ємна 5) наноситься на креслення і маркується «с». Крапка (від'ємна 3, 2 і одна половина) наноситься і маркується «d».$

Як знаки впливають на розташування точок? Можливо, ви помітили деякі закономірності, коли ви намалювали точки в попередньому прикладі.

Що стосується точки на малюнку $\PageIndex{4}$ в квадранті IV, що ви помічаєте про знаки координат? А як щодо знаків координат точок у третьому квадранті? Другий квадрант? Перший квадрант?

Чи можете ви сказати, просто подивившись на координати, в якому квадранті знаходиться точка (−2,5)? У якому квадранті знаходиться (2, −5)?

КВАДРАНТИ

Таким чином ми можемо узагальнити шаблони знаків квадрантів.

$\begin{array}{ccc}{\text { Quadrant I }} & {\text { Quadrant II }} & {\text { Quadrant III }} & {\text { Quadrant IV }} \\ {(x, y)} & {(x, y)} & {(x, y)} & {(x, y)} \\ {(+,+)} & {(-,+)} & {(-,-)} & {(+,-)}\end{array}$

На графіку показана координатна площина x y. Осі x- та y-вісь проходять від негативних 7 до 7. На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -7 до 7. Верхня права частина площини позначена «I» і «впорядкована пара +, +», верхня ліва частина площини позначена «II» і «впорядкована пара -, +», нижня ліва частина площини позначена «III» «впорядкована пара -, -», а нижня права частина площини маркується «IV» і «впорядкована пара +, -». — Малюнок $\PageIndex{5}$

Що робити, якщо одна координата дорівнює нулю, як показано на малюнку $\PageIndex{6}$ ? Де знаходиться точка (0,4)? Де знаходиться точка (−2,0)?

На графіку показана координатна площина x y. Осі x та y кожна біжать від негативних 6 до 6. Точки (0, 4) і (від'ємні 2, 0) наносяться і маркуються. — Малюнок $\PageIndex{6}$

Точка (0,4) знаходиться на осі y, а точка (−2,0) - на осі x.

ТОЧКИ НА ОСЯХ

Точки з y -координатою, рівною 0, знаходяться на осі x і мають координати (a,0).

Точки з координатою x, рівною 0, знаходяться на осі y і мають координати (0, b).

Вправа $\PageIndex{4}$

Ділянка кожної точки:

(0,5)
(4,0)
(−3,0)
(0,0)
(0, −1)

Відповідь

Починаючи з x=0, точка, координати якої (0,5), знаходиться на осі y.
Починаючи з y=0, точка, координати якої (4,0), знаходиться на осі x.
Починаючи з y=0, точка, координати якої (−3,0), знаходиться на осі x.
Оскільки x = 0 і y=0, точка, координати якої (0,0), є початком.
Починаючи з x=0, точка, координати якої (0, −1), знаходиться на осі y.

$На графіку показана координатна площина x y. Осі x- та y-вісь проходять від негативних 7 до 7. Точки (від'ємні 3, 0), (0, 0), (0, від'ємні 1), (0, 5) та (4, 0) позначені та позначені.$

Малюнок $\PageIndex{7}$

Вправа $\PageIndex{5}$

Ділянка кожної точки:

(4,0)
(−2,0)
(0,0)
(0,2)
(0, −3).

Відповідь: $На графіку показана координатна площина x y. Осі x та y кожна біжать від негативних 6 до 6. Точки (4, 0), (негативні 2, 0), (0, 0), (0, 2) і (0, негативні 3) позначаються і позначені.$

Вправа $\PageIndex{6}$

Ділянка кожної точки:

(−5,0)
(3,0)
(0,0)
(0, −1)
(0,4).

Відповідь: $На графіку показана координатна площина x y. Осі x та y кожна біжать від негативних 6 до 6. Точки (від'ємні 5, 0), (3, 0), (0, 0), (0, від'ємні 1) та (0, 4) побудовані та позначені.$

В алгебрі можливість ідентифікувати координати точки, показаної на графіку, так само важлива, як і можливість будувати точки. Щоб визначити координату x точки на графіку, прочитайте число на осі x безпосередньо над точкою або під нею. Щоб визначити y -координату точки, прочитайте число на осі y безпосередньо ліворуч або праворуч від точки. Пам'ятайте, коли ви пишете впорядковану пару, використовуйте правильний порядок, (x, y).

Вправа $\PageIndex{7}$

Назвіть впорядковану пару кожної точки, показаної в прямокутній системі координат.

На графіку показана координатна площина x y. Осі x та y кожна біжать від негативних 6 до 6. Точки (4, 0), (від'ємні 2, 0), (0, 0), (0, 2) та (0, від'ємні 3) позначаються і позначаються відповідно A, B, C, D та E. — Малюнок $\PageIndex{8}$

Відповідь

Точка A знаходиться вище −3 на осі x, тому координата x точки дорівнює −3.

Точка знаходиться зліва від 3 на осі y, тому y -координата точки дорівнює 3.

Координати точки є (−3,3).

Точка B знаходиться нижче −1 на осі x, тому координата x точки дорівнює −1.

Точка знаходиться ліворуч від −3 на осі y, тому координата y точки дорівнює −3.

Координати точки є (−1, −3).

Точка C знаходиться вище 2 на осі x, тому координата x точки дорівнює 2.

Точка знаходиться праворуч від 4 на осі y, тому y -координата точки дорівнює 4.

Координати точки становлять (2,4).

Точка D знаходиться нижче 4 на осі x, тому координата x точки дорівнює 4.

Точка знаходиться праворуч від −4 на осі y, тому координата y точки дорівнює −4.

Координати точки є (4, −4).

Точка E знаходиться на осі y при y = −2. Координати точки E є (0, −2).

Точка F знаходиться на осі x = 3. Координати точки F є (3,0).

Вправа $\PageIndex{8}$

Назвіть впорядковану пару кожної точки, показаної в прямокутній системі координат.

Відповідь: A: (5,1) B: (−2,4) C: (−5, −1) D: (3, −2) E: (0, −5) F: (4,0)

Вправа $\PageIndex{9}$

Назвіть впорядковану пару кожної точки, показаної в прямокутній системі координат.

На графіку показана координатна площина x y. Осі x та y кожна біжать від негативних 6 до 6. Точки (від'ємні 5, 0), (3, 0), (0, 0), (0, від'ємні 1) та (0, 4) позначені і позначені відповідно A, B, C, D і E. — Малюнок $\PageIndex{10}$

Відповідь: A: (4,2) B: (−2,3) C: (−4, −4) D: (3, −5) E: (−3,0) F: (0,2)

Перевірка розв'язків рівняння у двох змінних

До теперішнього часу всі рівняння, які ви розв'язали, були рівняннями лише з однією змінною. Майже в кожному випадку, коли ви вирішували рівняння, ви отримали рівно одне рішення. Процес розв'язання рівняння закінчився твердженням типу x=4. (Потім ви перевірили рішення, підставивши назад у рівняння.)

Ось приклад рівняння в одній змінній, і його одне рішення.

$\begin{aligned} 3 x+5 &=17 \\ 3 x &=12 \\ x &=4 \end{aligned}$

Але рівняння можуть мати більше однієї змінної. Рівняння з двома змінними можуть мати вигляд Ax+By=C. рівняння такого виду називаються лінійними рівняннями в двох змінних.

ЛІНІЙНЕ РІВняння

Рівняння виду Ax+By=C, де A і B не обидва нуль, називається лінійним рівнянням в двох змінних.

Зверніть увагу на рядок слова в лінійному. Ось приклад лінійного рівняння в двох змінних, x і y.

На цьому малюнку ми бачимо лінійне рівняння Ax плюс За дорівнює C. Нижче це рівняння х плюс 4y дорівнює 8. Нижче наведені значення A дорівнює 1, B дорівнює 4, а C дорівнює 8. — Малюнок $\PageIndex{11}$

Рівняння y=−3x+5 також є лінійним рівнянням. Але, здається, це не у формі Ax+By=C. ми можемо використовувати властивість додавання рівності та переписати його у формі Ax+By=C.

$\begin{array}{llll} {} &{y} &{=} &{-3x + 5} \\ {\text{Add to both sides.}} &{y + 3x } &{=} &{-3x + 5 + 3x} \\{\text{Simplify.}} &{y + 3x} &{=} &{5} \\{\text{Use the Commutative Property to put it in}} &{3x + y} &{=} &{5} \\{Ax+By = C\text{ form.}} &{} &{} &{} \end{array}$

Переписуючи y=−3x+5 як 3x+y = 5, ми можемо легко побачити, що це лінійне рівняння у двох змінних, оскільки воно має вигляд Ax+By=C Коли рівняння має форму Ax+By=C, ми говоримо, що воно в стандартній формі.

СТАНДАРТНА ФОРМА ЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ

Лінійне рівняння знаходиться в стандартній формі, коли записано Ax+By=C.

Більшість людей вважають за краще, щоб A, B і C були цілими числами і $A\geq 0$ при написанні лінійного рівняння в стандартній формі, хоча це не є строго необхідним.

Лінійні рівняння мають нескінченно багато розв'язків. Для кожного числа, яке підставляється на x, є відповідне значення y. Ця пара значень є розв'язком лінійного рівняння і представлена впорядкованою парою (x, y). Коли ми підставляємо ці значення x і y в рівняння, результат є істинним твердженням, тому що значення на лівій стороні дорівнює значенню з правого боку.

РОЗВ'ЯЗОК ЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ У ДВОХ ЗМІННИХ

Впорядкована пара (x, y) - це рішення лінійного рівняння Ax+By=C, якщо рівняння є істинним твердженням, коли в рівняння підставляються x - і y -значення впорядкованої пари.

Вправа $\PageIndex{10}$

Визначте, які впорядковані пари є розв'язками рівняння x+4y=8.

(а) (0,2)

(б) (2, −4)

Відповідь

Підставити x - і y -значення з кожної впорядкованої пари в рівняння і визначити, чи є результат істинним твердженням.

$Ця цифра має три стовпчики. У верхній частині першого стовпця знаходиться впорядкована пара (0, 2). Нижче це значення х дорівнює 0, а у дорівнює 2. Нижче це рівняння х плюс 4y дорівнює 8. Нижче це те саме рівняння з 0 і 2 заміщеними на x і y: 0 плюс 4 рази 2 може дорівнювати 8. Нижче це 0 плюс 8 може дорівнювати 8. Нижче це 8 дорівнює 8 з галочкою поруч з ним. Нижче це речення «(0, 2) - це рішення». У верхній частині другого стовпця знаходиться впорядкована пара (2, мінус 4). Нижче це значення х дорівнює 2, а у дорівнює негативному 4. Нижче це рівняння х плюс 4y дорівнює 8. Нижче наведено те саме рівняння з 2 і негативними 4 заміненими на x і y: 2 плюс 4 рази негативні 4 можуть дорівнювати 8. Нижче це 2 плюс негативний 16 може дорівнювати 8. Нижче цього негативного 14 не дорівнює 8. Нижче це пропозиція: «(2, негативний 4) не є рішенням». У верхній частині третього стовпця знаходиться впорядкована пара (мінус 4, 3). Нижче це значення х дорівнює негативному 4 і у дорівнює 3. Нижче це рівняння х плюс 4y дорівнює 8. Нижче це те саме рівняння з негативними 4 і 3 заміщеними на x і y: негативні 4 плюс 4 рази 3 можуть дорівнювати 8. Нижче це негативний 4 плюс 12 може дорівнювати 8. Нижче це 8 дорівнює 8 з галочкою поруч з ним. Нижче це пропозиція: «(негативний 4, 3) - рішення».$

Вправа $\PageIndex{11}$

Які з наступних впорядкованих пар є розв'язками 2x+3y=6?

(3,0)
(2,0)
(6, −2)

Відповідь: 1, 3

Вправа $\PageIndex{12}$

Які з наступних впорядкованих пар є розв'язками рівняння 4x−y=8?

(0,8)
(2,0)
(1, −4)

Відповідь: 2, 3

Вправа $\PageIndex{13}$

Які з наступних впорядкованих пар є розв'язками рівняння y=5x−1?

(а) (0, −1)

(б) (1,4)

Відповідь

Підставити x - і y -значення з кожної впорядкованої пари в рівняння і визначити, чи призводить воно до істинного твердження.

$Ця цифра має три стовпчики. У верхній частині першого стовпця знаходиться впорядкована пара (0, негативна 1). Нижче наведені значення х дорівнює 0, а у дорівнює негативному 1. Нижче це рівняння y дорівнює 5x мінус 1. Нижче наведено те саме рівняння з 0 та від'ємним 1, заміненим на x та y: від'ємний 1 може дорівнювати 5 разів 0 мінус 1. Нижче це негативний 1 може дорівнювати 0 мінус 1. Нижче це від'ємний 1 дорівнює негативному 1 з галочкою поруч з ним. Нижче це пропозиція: «(0, негативний 1) - це рішення». У верхній частині другого стовпчика знаходиться впорядкована пара (1, 4). Нижче це значення х дорівнює 1, а у дорівнює 4. Нижче це рівняння y дорівнює 5x мінус 1. Нижче це те саме рівняння з 1 і 4 заміщеними на x і y: 4 може дорівнювати 5 разів 1 мінус 1. Нижче це 4 може дорівнювати 5 мінус 1. Нижче це 4 дорівнює 4 з галочкою поруч з ним. Нижче це пропозиція: «(1, 4) - це рішення». У верхній частині правого стовпчика знаходиться впорядкована пара (негативна 2, негативна 7). Нижче це значення х дорівнює від'ємним 2, а у дорівнює від'ємним 7. Нижче це рівняння y дорівнює 5x мінус 1. Нижче наведено те саме рівняння з негативними 2 та від'ємними 7, заміненими на x та y: від'ємний 7 може дорівнювати 5 разів негативним 2 мінус 1. Нижче цього негативного 7 може дорівнювати негативним 10 мінус 1. Нижче цього негативного 7 не дорівнює негативному 11. Нижче це пропозиція: «(негативний 2, негативний 7) не є рішенням».$

Вправа $\PageIndex{14}$

Які з наступних впорядкованих пар є розв'язками рівняння y=4x−3?

(0,3)
(1,1)
(−1, −1)

Відповідь: 2

Вправа $\PageIndex{15}$

Які з наступних впорядкованих пар є розв'язками рівняння y=−2x+6?

(0,6)
(1,4)
(−2, −2)

Відповідь: 1, 2

Заповніть таблицю розв'язків лінійного рівняння у двох змінних

У наведених вище прикладах ми підставили x - і y -значення заданої впорядкованої пари, щоб визначити, чи є це рішення лінійного рівняння. Але як знайти впорядковані пари, якщо їх не дано? Це простіше, ніж ви думаєте - ви можете просто вибрати значення для xx, а потім вирішити рівняння для yy. Або виберіть значення для yy, а потім вирішіть для xx.

Ми почнемо з розв'язків рівняння y = 5x−1, які ми знайшли у Вправі $\PageIndex{13}$ . Ми можемо узагальнити цю інформацію в таблиці рішень, як показано в табл $\PageIndex{1}$ .

Таблиця $\PageIndex{1}$
y=5x−1
х	у	(х, у)
0	−1	(0, −1)
1	4	(1,4)

Щоб знайти третє рішення, ми дозволимо x=2 і вирішимо для y.

На малюнку показані кроки для вирішення для y, коли х дорівнює 2 у рівнянні y дорівнює 5 х мінус 1. Показано рівняння y дорівнює 5 х мінус 1. Нижче це рівняння з 2 замінені на x, який у дорівнює 5 разів 2 мінус 1. Щоб вирішити для y спочатку помножте так, що рівняння стає y дорівнює 10 мінус 1 потім відніміть так, щоб рівняння y дорівнювало 9. — Малюнок $\PageIndex{12}$

Впорядкована пара (2,9) є розв'язком y=5x−1. Ми додамо його в табл $\PageIndex{2}$ .

Таблиця $\PageIndex{2}$
y=5x−1
х	у	(х, у)
0	−1	(0, −1)
1	4	(1,4)
2	9	(2,9)

Ми можемо знайти більше розв'язків рівняння, підставивши будь-яке значення x або будь-яке значення y та вирішивши отримане рівняння, щоб отримати іншу впорядковану пару, яка є розв'язком. Розв'язків цього рівняння нескінченно багато.

Вправа $\PageIndex{16}$

Заповніть таблицю, щоб знайти три розв'язки рівняння y=4x−2.

Таблиця $\PageIndex{3}$
y=4x−2
х	у	(х, у)
0
−1
2

Відповідь

Замініть x=0, x = −1 та x=2 на y=4x−2.

$Ця цифра має три стовпчики. У верхній частині першого стовпця знаходиться значення x дорівнює 0. Нижче це рівняння y дорівнює 4x мінус 2. Нижче це те саме рівняння з 0 заміщеним на x: y дорівнює 4 рази 0 мінус 2. Нижче це y дорівнює 0 мінус 2. Нижче це y дорівнює негативному 2. Нижче це впорядкована пара (0, негативна 2). У верхній частині другого стовпця знаходиться значення x дорівнює від'ємному 1. Нижче це рівняння y дорівнює 4x мінус 2. Нижче це те саме рівняння з від'ємним 1 заміщеним на x: y дорівнює 4 рази мінус 1 мінус 2. Нижче це y дорівнює негативному 4 мінус 2. Нижче це y дорівнює негативному 6. Нижче це впорядкована пара (негативна 1, негативна 6). У верхній частині третього стовпця знаходиться значення x дорівнює 2. Нижче це рівняння y дорівнює 4x мінус 2. Нижче це те саме рівняння з 2 заміщеними на x: y дорівнює 4 рази 2 мінус 2. Нижче це y дорівнює 8 мінус 2. Нижче це y дорівнює 6. Нижче це впорядкована пара (2, 6).$

Результати наведені в табл $\PageIndex{4}$ .

Таблиця $\PageIndex{4}$
y=4x−2
х	у	(х, у)
0	−2	(0, −2)
−1	−6	(−1, −6)
2	6	(2,6)

Вправа $\PageIndex{17}$

Заповніть таблицю, щоб знайти три розв'язки цього рівняння: y=3x−1.

Таблиця $\PageIndex{5}$
y=3x−1
х	у	(х, у)
0
−1
2

Відповідь

Таблиця $\PageIndex{6}$
y=3x−1
х	у	(х, у)
0	-1	(0, -1)
−1	-4	(-1, -4)
2	5	(2, 5)

Вправа $\PageIndex{18}$

Заповніть таблицю, щоб знайти три розв'язки цього рівняння: y=6x+1.

Таблиця $\PageIndex{7}$
y=6х+1
х	у	(х, у)


-2

Відповідь

Таблиця $\PageIndex{8}$
y=6х+1
х	у	(х, у)
0	1	(0,1)
1	7	(1,7)
−2	−11	(−2, −11)

Вправа $\PageIndex{19}$

Заповніть таблицю, $\PageIndex{9}$ щоб знайти три розв'язки рівняння 5x−4y=20.

Таблиця $\PageIndex{9}$
5х−4р=20
х	у	(х, у)

	0
	5

Відповідь

Підставляємо задане значення у рівняння 5x−4y=20 і вирішуємо для іншої змінної. Потім заповніть значення в таблиці.

$Ця цифра має три стовпчики. У верхній частині першого стовпця знаходиться значення x дорівнює 0. Нижче це рівняння 5x мінус 4y дорівнює 20. Нижче це те саме рівняння з 0, заміненим на x: 5 разів 0 мінус 4y дорівнює 20. Нижче це 0 мінус 4y дорівнює 20. Нижче це негативний 4y дорівнює 20. Нижче це y дорівнює негативному 5. Нижче це впорядкована пара (0, негативна 5). У верхній частині другого стовпця знаходиться значення y дорівнює 0. Нижче це рівняння 5x мінус 4y дорівнює 20. Нижче це те саме рівняння з 0, заміненим на y: 5x мінус 4 рази 0 дорівнює 20. Нижче це 5x мінус 0 дорівнює 20. Нижче це 5x дорівнює 20. Нижче це х дорівнює 4. Нижче це впорядкована пара (4, 0). У верхній частині третього стовпця знаходиться значення y дорівнює 5. Нижче це рівняння 5x мінус 47 дорівнює 20. Нижче це те саме рівняння з 5 заміщеними на y: 5x мінус 4 рази 5 дорівнює 20. Нижче це рівняння 5x мінус 20 дорівнює 20. Нижче це 5x дорівнює 40. Нижче це х дорівнює 8. Нижче це впорядкована пара (8, 5).$

Результати наведені в табл $\PageIndex{10}$ .

Таблиця $\PageIndex{10}$
5х−4р=20
х	у	(х, у)
0	−5	(0, −5)
4	0	(4,0)
8	5	(8,5)

Вправа $\PageIndex{20}$

Заповніть таблицю, щоб знайти три розв'язки цього рівняння: 2x−5y=20.

Таблиця $\PageIndex{11}$
2х−5р=20
х	у	(х, у)


-5

Відповідь

Таблиця $\PageIndex{12}$
2х−5р=20
х	у	(х, у)
0	−4	(0, −4)
10	0	(10,0)
−5	−6	(−5, −6)

Вправа $\PageIndex{21}$

Заповніть таблицю, щоб знайти три розв'язки цього рівняння: 3x−4y=12.

Таблиця $\PageIndex{13}$
3х−4р=12
х	у	(х, у)


-4

Відповідь

Таблиця $\PageIndex{14}$
3х−4р=12
х	у	(х, у)
0	−3	(0, −3)
4	0	(4,0)
−4	−6	(−4, −6)

Пошук розв'язків лінійного рівняння

Щоб знайти рішення лінійного рівняння, ви дійсно можете вибрати будь-яке число, яке ви хочете замінити в рівняння для x або y Але оскільки вам потрібно буде використовувати це число для розв'язання для іншої змінної, це гарна ідея вибрати число, з яким легко працювати.

Коли рівняння знаходиться в y -формі, з y сам по собі на одній стороні рівняння, зазвичай легше вибрати значення x, а потім вирішити для y.

Вправа $\PageIndex{22}$

Знайдіть три розв'язки рівняння y=−3x+2.

Відповідь

Ми можемо замінити будь-яке значення, яке ми хочемо, для x або будь-яке значення для y. Оскільки рівняння знаходиться у формі y, буде простіше підставити значення x. Давайте виберемо x=0, x=1 та x=−1.

			$.$	$.$	$.$
			$.$	$.$	$.$
Підставляємо значення в рівняння.			$.$	$.$	$.$
Спростити.			$.$	$.$	$.$
Спростити.			$.$	$.$	$.$
Напишіть замовлену пару.			(0, 2)	(1, -1)	(-1, 5)
Перевірте.
y=−3x+2	y=−3x+2	y=−3x+2
$2 \stackrel{?}{=} -3 \cdot 0 + 2$	$-1 \stackrel{?}{=} -3 \cdot 1 + 2$	$5 \stackrel{?}{=} -3 (-1) + 2$
$2 \stackrel{?}{=} 0 + 2$	$-1 \stackrel{?}{=} -3 + 2$	$5 \stackrel{?}{=} -3 + 2$
$2 = 2\checkmark$	$-1 = -1\checkmark$	$5 = 5\checkmark$

Таблиця

$\PageIndex{15}$

Отже, (0,2), (1, −1) та (−1,5) є розв'язками y=−3x+2. Ми показуємо їх в табл $\PageIndex{16}$ .

Таблиця $\PageIndex{16}$
y=−3x+2
х	у	(х, у)
0	2	(0,2)
1	−1	(1, −1)
−1	5	(−1,5)

Вправа $\PageIndex{23}$

Знайдіть три розв'язки цього рівняння: y=−2x+3.

Відповідь: Відповіді будуть відрізнятися.

Вправа $\PageIndex{24}$

Знайдіть три розв'язки цього рівняння: y=−4x+1.

Відповідь: Відповіді будуть відрізнятися.

Ми бачили, як використання нуля як одного значення x робить пошук значення y легко. Коли рівняння має стандартну форму, і x і y знаходяться на одній стороні рівняння, зазвичай простіше спочатку знайти одне рішення, коли x = 0 знайти друге рішення, коли y=0, а потім знайти третє рішення.

Вправа $\PageIndex{25}$

Знайдіть три розв'язки рівняння 3х+2y=6.

Відповідь

Ми можемо замінити будь-яке значення, яке ми хочемо для x або будь-яке значення для y Оскільки рівняння в стандартній формі, давайте виберемо спочатку x = 0, потім y=0, а потім знайдемо третю точку.

Таблиця $\PageIndex{17}$
$.$	$.$	$.$
			$.$	$.$	$.$
Підставляємо значення в рівняння.			$.$	$.$	$.$
Спростити.			$.$	$.$	$.$
Вирішити.			$.$	$.$	$.$
			$.$	$.$	$.$
Напишіть замовлену пару.			(0, 3)	(2, 0)	$(1,\frac{3}{2})$
Перевірте.
3х+2р=6	3х+2р=6	3х+2р=6
$3\cdot 0 + 2\cdot 3 \stackrel{?}{=} 6$	$3\cdot 2 + 2\cdot 0 \stackrel{?}{=} 6$	$3\cdot 1 + 2\cdot \frac{3}{2} \stackrel{?}{=} 6$
$0 + 6 \stackrel{?}{=} 6$	$6 + 0 \stackrel{?}{=} 6$	$3 + 3 \stackrel{?}{=} 6$
$6 = 6\checkmark$	$6 = 6\checkmark$	$6 = 6\checkmark$

Отже (0,3), (2,0), і всі $(1,\frac{3}{2})$ розв'язки рівняння 3х+2y=6. Ми можемо перерахувати ці три рішення в табл $\PageIndex{18}$ .

Таблиця $\PageIndex{18}$
3х+2р=63х+2р=6
х	у	(х, у)
0	3	(0,3)
2	0	(2,0)
1	$\frac{3}{2}$	$(1, \frac{3}{2})$

Вправа $\PageIndex{26}$

Знайдіть три розв'язки рівняння 2x+3y=6.

Відповідь: Відповіді будуть відрізнятися.

Вправа $\PageIndex{27}$

Знайдіть три розв'язки рівняння 4х+2y=8.

Відповідь: Відповіді будуть відрізнятися.

Ключові концепції

Знакові візерунки квадрантів
$\begin{array}{ll}{\text { Quadrant I }} & {\text { Quadrant II }} & {\text { Quadrant III }} & {\text { Quadrant IV }} \\ {(x, y)} & {(x, y)} & {(x, y)} & {(x, y)} \\ {(+,+)} & {(-,+)} & {(-,-)} & {(+,-)}\end{array}$
Точки на осях
- На осі x - y=0. Точки з y -координатою, рівною 0, знаходяться на осі x і мають координати (a,0).
- На осі y, x = 0. Точки з координатою x, рівною 0, знаходяться на осі y і мають координати (0, b).
Розв'язок лінійного рівняння
- Впорядкована пара (x, y) - це рішення лінійного рівняння Ax+By=C, якщо рівняння є істинним твердженням, коли в рівняння підставляються значення x - і y - впорядкованої пари.

Глосарій

лінійне рівняння: Лінійне рівняння має вигляд Ax+By=C, де A і B не обидва нуль, називається лінійним рівнянням у двох змінних.

впорядкована пара: Впорядкована пара (x, y) дає координати точки в прямокутній системі координат.

походження: Точка (0,0) (0,0) називається початком. Це точка, де перетинаються вісь x і y -вісь.

квадрант: Вісь x та вісь y ділять площину на чотири області, які називаються квадрантами.

прямокутна система координат: Система сітки використовується в алгебрі, щоб показати зв'язок між двома змінними; також називається xy -plane або «координатна площина».

x -координата: Перше число в впорядкованій парі (x, y).

y -координата: Друге число в впорядкованій парі (x, y).

Цілі навчання

Примітка

Графік точок на прямокутній системі координат

ЗАМОВЛЕНА ПАРА

ПОХОДЖЕННЯ

Вправа4.1.1\PageIndex{1}

Вправа4.1.2\PageIndex{2}

Вправа4.1.3\PageIndex{3}

КВАДРАНТИ

ТОЧКИ НА ОСЯХ

Вправа4.1.4\PageIndex{4}

Вправа4.1.5\PageIndex{5}

Вправа4.1.6\PageIndex{6}

Вправа4.1.7\PageIndex{7}

Вправа4.1.8\PageIndex{8}

Вправа4.1.9\PageIndex{9}

Перевірка розв'язків рівняння у двох змінних

ЛІНІЙНЕ РІВняння

СТАНДАРТНА ФОРМА ЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ

РОЗВ'ЯЗОК ЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ У ДВОХ ЗМІННИХ

Вправа4.1.10\PageIndex{10}

Вправа4.1.11\PageIndex{11}

Вправа4.1.12\PageIndex{12}

Вправа4.1.13\PageIndex{13}

Вправа4.1.14\PageIndex{14}

Вправа4.1.15\PageIndex{15}

Заповніть таблицю розв'язків лінійного рівняння у двох змінних

Вправа4.1.16\PageIndex{16}

Вправа4.1.17\PageIndex{17}

Вправа4.1.18\PageIndex{18}

Вправа4.1.19\PageIndex{19}

Вправа4.1.20\PageIndex{20}

Вправа4.1.21\PageIndex{21}

Пошук розв'язків лінійного рівняння

Вправа4.1.22\PageIndex{22}

Вправа4.1.23\PageIndex{23}

Вправа4.1.24\PageIndex{24}

Вправа4.1.25\PageIndex{25}

Вправа4.1.26\PageIndex{26}

Вправа4.1.27\PageIndex{27}

Ключові концепції

Глосарій

Вправа $\PageIndex{1}$

Вправа $\PageIndex{2}$

Вправа $\PageIndex{3}$

Вправа $\PageIndex{4}$

Вправа $\PageIndex{5}$

Вправа $\PageIndex{6}$

Вправа $\PageIndex{7}$

Вправа $\PageIndex{8}$

Вправа $\PageIndex{9}$

Вправа $\PageIndex{10}$

Вправа $\PageIndex{11}$

Вправа $\PageIndex{12}$

Вправа $\PageIndex{13}$

Вправа $\PageIndex{14}$

Вправа $\PageIndex{15}$

Вправа $\PageIndex{16}$

Вправа $\PageIndex{17}$

Вправа $\PageIndex{18}$

Вправа $\PageIndex{19}$

Вправа $\PageIndex{20}$

Вправа $\PageIndex{21}$

Вправа $\PageIndex{22}$

Вправа $\PageIndex{23}$

Вправа $\PageIndex{24}$

Вправа $\PageIndex{25}$

Вправа $\PageIndex{26}$

Вправа $\PageIndex{27}$