Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.4: Додавання та віднімання многочленів

У цьому розділі ми зосереджуємося на додаванні та відніманні поліноміальних виразів, заснованих на попередніх роботах, що поєднують подібні терміни у висхідній та спадній силах. Почнемо з прикладу додавання.

Приклад5.4.1

Спростити:(a2+3abb2)+(4a2+11ab9b2)

Рішення

Використовуйте комутативні та асоціативні властивості, щоб змінити порядок і перегрупувати. Потім комбінуйте подібні терміни.

(a2+3abb2)+(4a2+11ab9b2)=(a2+4a2)+(3ab+11ab)+(b29b2)=5a2+14ab10b2

Вправа5.4.1

Спростити:(3s22st+4t2)+(s2+7st5t2)

Відповідь

4s2+5stt2

Давайте об'єднаємо деякі поліноміальні функції.

Приклад5.4.2

Даноf(x)=3x24x8 іg(x)=x211x+15, спроститиf(x)+g(x).

Рішення

По-перше, замінитиf(x) іg(x) з їх визначеннями. Обов'язково оточуйте кожен многочлен дужками, тому що нас просять додати всеf(x) до всіхg(x).

f(x)+g(x)=(3x24x8)+(x211x+15)Тепер використовуйте комутативні та асоціативні властивості, щоб змінити порядок і перегрупувати. Поєднуйте подібні терміни.

=(3x2+x2)+(4x11x)+(8+15)=4x215x+7

Отже,f(x)+g(x)=4x215x+7.

Вправа5.4.2

Дайте enf(x)=2x2+9x5 іg(x)=x24x+3, simplify f(x)+g(x).

Відповідь

x2+5x2

Якщо вам зручно пропустити крок або два, не обов'язково записувати всі кроки, показані в Прикладах5.4.1 і5.4.2. Спробуємо поєднати подібні терміни подумки в наступному прикладі.

Приклад5.4.3

Спростити:(x32x2y+3xy2+y3)+(2x34x2y8xy2+5y3)

Рішення

Якщо ми використовуємо асоціативну та комутативну властивість для переупорядкування та перегрупування, то об'єднаємо подібні терміни, отримаємо наступний результат.

(x32x2y+3xy2+y3)+(2x34x2y8xy2+5y3)=(x3+2x3)+(2x2y4x2y)+(3xy28xy2)+(y3+5y3)=3x36x2y5xy2+6y3

Однак якщо ми можемо поєднувати подібні терміни подумки, усуваючи середню сходинку, набагато ефективніше написати:

(x32x2y+3xy2+y3)+(2x34x2y8xy2+5y3)=3x36x2y5xy2+6y3

Вправа5.4.3

Спростити:(5a2b+4ab3ab2)+(2a2b+7abab2)

Відповідь

3a2b+11ab4ab2d

Заперечуючи многочлен

Перш ніж спробувати віднімання многочленів, давайте спочатку розглянемо, як заперечувати або «прийняти протилежне» многочлена. Спочатку нагадаємо, що заперечення еквівалентно множенню на1.

заперечуючи

Якщоa будь-яке число, то

a=(1)a.

Тобто заперечення еквівалентно множенню на1.

Ми можемо використовувати цю властивість для спрощення(a+b). По-перше, заперечення ідентично множенню на1. Тоді ми можемо розподілити1.

(a+b)=(1)(a+b) Negating is equivalent to multiplying by 1=(1)a+(1)b Distribute the 1.=a+(b) Simplify: (1)a=a and (1)b=b=ab Subtraction means add the opposite. 

Таким чином,(a+b)=ab. Однак, ймовірно, простіше відзначити, що знак мінус перед дужками просто змінював знак кожного члена всередині дужок.

заперечення суми

При запереченні суми термінів дія знака мінус полягає в зміні кожного члена в дужках на протилежний знак. (a+b)=ab

Давайте розглянемо цей принцип в наступному прикладі.

Приклад5.4.4

Спростити:(3x2+4x8)

Рішення

По-перше, заперечення еквівалентно множенню на1. Потім розподіліть1.

(3x2+4x8)=(1)(3x2+4x8)Negating is equivalent to multiplying by 1=(1)(3x2)+(1)(4x)(1)(8)Distribute the 1=3x2+(4x)(8)Simplify: (1)(3x2)=3x2,(1)(4x)=4x,and(1)(8)=8=3x24x+8Subtraction means add the opposite.

Альтернативне рішення:

Як ми бачили вище, негативний знак перед дужками просто змінює знак кожного члена всередині дужок. Так що набагато ефективніше писати(3x2+4x8)=3x24x+8 просто змінюючи знак кожного члена всередині дужок.

Вправа5.4.4

Спростити:(2x23x+9)

Відповідь

2x2+3x9

Віднімання многочленів

Тепер, коли ми знаємо, як звести нанівець многочлен (змінити знак кожного члена многочлена), ми готові відняти многочлени.

Приклад5.4.5

Спростити:(y33y2z+4yz2+z3)(2y38y2z+2yz28z3)

Рішення

Спочатку розподіліть знак мінус, змінюючи знак кожного члена другого многочлена.

(y33y2z+4yz2+z3)(2y38y2z+2yz28z3)=y33y2z+4yz2+z32y3+8y2z2yz2+8z3

Перегрупувати, комбінуючи подібні терміни. Ви можете виконати цей наступний крок подумки, якщо хочете.

=(y32y3)+(3y2z+8y2z)+(4yz22yz2)+(z3+8z3)=y3+5y2z+2yz2+9z3

Вправа5.4.5

Спростити:(4a2b+2ab7ab2)(2a2bab5ab2)

Відповідь

2a2b+3ab2ab2

Віднімемо дві поліноміальні функції.

Приклад5.4.6

Даноp(x)=5x3+6x9 іq(x)=6x27x11, спроститиp(x)q(x).

Рішення

По-перше, замінитиp(x) іq(x) з їх визначеннями. Тому що нас просять відняти всеq(x) з усіхp(x), дуже важливо оточити кожен многочлен дужками.

p(x)q(x)=(5x3+6x9)(6x27x11)

Розподіліть знак мінус, змінюючи знак кожного члена в другому многочлені, потім перегрупуйте і об'єднайте подібні терміни.

=5x3+6x96x2+7x+11=5x36x2+(6x+7x)+(9+11)=5x36x2+13x+2

Однак після розподілу знака мінус, якщо ми можемо поєднувати подібні терміни подумки, усунувши середню сходинку, набагато ефективніше написати:

p(x)q(x)=(5x3+6x9)(6x27x11)=5x3+6x96x2+7x+11=5x36x2+13x+2

Вправа5.4.6

Даноf(x)=3x2+9x4 іg(x)=5x2+4x6, спроститиf(x)g(x).

Відповідь

8x2+5x+2

Деякі програми

Нагадаємо, що площа прямокутника, що має довжинуL і ширинуW, знаходять за формулоюA=LW. Площа квадрата, що має сторону s, знаходимо за формулоюA=s2 (див. Рис.5.4.1).

рис 5.4.1.png
Малюнок5.4.1: Формули площі для прямокутника та квадрата.

Приклад5.4.7

Знайдіть площу квадрата5.4.2 на малюнку, підсумовуючи площу його частин.

рис. 5.4.2.png
Малюнок5.4.2: Знайти суму частин.

Рішення

Давайте відокремлюємо кожну з чотирьох частин і позначимо кожну своєю площею (див. Рис.5.4.3).

рис. 5.4.3.png
Малюнок5.4.3: Знаходження площі кожної з чотирьох частин.

Два затінених квадрата на малюнку5.4.3 мають областіA1=x2 таA3=9 відповідно. Два незаштрихованих прямокутника на малюнку5.4.3 мають областіA2=3x іA4=3x. Підсумовування цих чотирьох областей дає нам площу всієї фігури.

A=A1+A2+A3+A4=x2+3x+9+3x=x2+6x+9

Вправа5.4.7

Знайдіть площу квадрата, показаного нижче, підсумовуючи площу його частин.

Ех 5.4.7.png
Малюнок5.4.4
Відповідь

x2+8x+16

Приклад5.4.8

Імбир веде бізнес з продажу плетених кошиків. Її ділові витрати на виробництво і продажx плетених кошиків задаються поліноміальною функцієюC(x)=100+3x0.02x2. Дохід, який вона отримує від продажуx плетених кошиків, дається поліноміальної функцієюR(x)=2.75x. Знайдіть формулу для тогоP(x), щоб прибуток отримувався від продажуx плетених кошиків. Використовуйте свою формулу, щоб визначити прибуток Джинджер, якщо вона продає123 плетені кошики.

Рішення

Прибуток, отриманий від продажуx плетених кошиків, знаходить шляхом віднімання витрат, понесених з отриманого доходу. У символах:P(x)=R(x)C(x)
Далі, замінитиR(x) іC(x) з їх визначеннями. Оскільки ми повинні відняти всю вартість від виручки, обов'язково оточіть поліном вартості дужками. P(x)=2.75x(100+3x0.02x2)
Розподіліть знак мінус і комбінуйте подібні терміни.

=2.75x1003x+0.02x2=0.02x20.25x100

Таким чином, функція прибутку єP(x)=0.02x20.25x100.

Далі, щоб визначити прибуток, якщо продаються123 плетені кошики,123x замінюємо в функції profitP(x).

P(x)=0.02x20.25x100P(123)=0.02(123)20.25(123)100

Тепер ви можете використовувати графічний калькулятор для визначення прибутку (див. Рисунок5.4.5). Отже, прибуток, отриманий від продажу123 плетених кошиків, є$171.83.

рис 5.4.5.png
Малюнок5.4.5: Визначення прибутку від продажу123 плетених кошиків.

Вправа5.4.8

Витрати на отримання та продажx widgets are given by the polynomial function C(x)=50+5x0.5x2, and the revenue for selling x widgets is given by the polynomial function R(x)=3.5x. Determine the прибутку, якщо75 widgets are sold.

Відповідь

$2,650