5.4: Додавання та віднімання многочленів
У цьому розділі ми зосереджуємося на додаванні та відніманні поліноміальних виразів, заснованих на попередніх роботах, що поєднують подібні терміни у висхідній та спадній силах. Почнемо з прикладу додавання.
Приклад5.4.1
Спростити:(a2+3ab−b2)+(4a2+11ab−9b2)
Рішення
Використовуйте комутативні та асоціативні властивості, щоб змінити порядок і перегрупувати. Потім комбінуйте подібні терміни.
(a2+3ab−b2)+(4a2+11ab−9b2)=(a2+4a2)+(3ab+11ab)+(−b2−9b2)=5a2+14ab−10b2
Вправа5.4.1
Спростити:(3s2−2st+4t2)+(s2+7st−5t2)
- Відповідь
-
4s2+5st−t2
Давайте об'єднаємо деякі поліноміальні функції.
Приклад5.4.2
Даноf(x)=3x2−4x−8 іg(x)=x2−11x+15, спроститиf(x)+g(x).
Рішення
По-перше, замінитиf(x) іg(x) з їх визначеннями. Обов'язково оточуйте кожен многочлен дужками, тому що нас просять додати всеf(x) до всіхg(x).
f(x)+g(x)=(3x2−4x−8)+(x2−11x+15)Тепер використовуйте комутативні та асоціативні властивості, щоб змінити порядок і перегрупувати. Поєднуйте подібні терміни.
=(3x2+x2)+(−4x−11x)+(−8+15)=4x2−15x+7
Отже,f(x)+g(x)=4x2−15x+7.
Вправа5.4.2
Дайте enf(x)=2x2+9x−5 іg(x)=−x2−4x+3, simplify f(x)+g(x).
- Відповідь
-
x2+5x−2
Якщо вам зручно пропустити крок або два, не обов'язково записувати всі кроки, показані в Прикладах5.4.1 і5.4.2. Спробуємо поєднати подібні терміни подумки в наступному прикладі.
Приклад5.4.3
Спростити:(x3−2x2y+3xy2+y3)+(2x3−4x2y−8xy2+5y3)
Рішення
Якщо ми використовуємо асоціативну та комутативну властивість для переупорядкування та перегрупування, то об'єднаємо подібні терміни, отримаємо наступний результат.
(x3−2x2y+3xy2+y3)+(2x3−4x2y−8xy2+5y3)=(x3+2x3)+(−2x2y−4x2y)+(3xy2−8xy2)+(y3+5y3)=3x3−6x2y−5xy2+6y3
Однак якщо ми можемо поєднувати подібні терміни подумки, усуваючи середню сходинку, набагато ефективніше написати:
(x3−2x2y+3xy2+y3)+(2x3−4x2y−8xy2+5y3)=3x3−6x2y−5xy2+6y3
Вправа5.4.3
Спростити:(−5a2b+4ab−3ab2)+(2a2b+7ab−ab2)
- Відповідь
-
−3a2b+11ab−4ab2d
Заперечуючи многочлен
Перш ніж спробувати віднімання многочленів, давайте спочатку розглянемо, як заперечувати або «прийняти протилежне» многочлена. Спочатку нагадаємо, що заперечення еквівалентно множенню на−1.
заперечуючи
Якщоa будь-яке число, то
−a=(−1)a.
Тобто заперечення еквівалентно множенню на−1.
Ми можемо використовувати цю властивість для спрощення−(a+b). По-перше, заперечення ідентично множенню на−1. Тоді ми можемо розподілити−1.
−(a+b)=(−1)(a+b) Negating is equivalent to multiplying by −1=(−1)a+(−1)b Distribute the −1.=−a+(−b) Simplify: (−1)a=−a and (−1)b=−b=−a−b Subtraction means add the opposite.
Таким чином,−(a+b)=−a−b. Однак, ймовірно, простіше відзначити, що знак мінус перед дужками просто змінював знак кожного члена всередині дужок.
заперечення суми
При запереченні суми термінів дія знака мінус полягає в зміні кожного члена в дужках на протилежний знак. −(a+b)=−a−b
Давайте розглянемо цей принцип в наступному прикладі.
Приклад5.4.4
Спростити:−(−3x2+4x−8)
Рішення
По-перше, заперечення еквівалентно множенню на−1. Потім розподіліть−1.
−(−3x2+4x−8)=(−1)(−3x2+4x−8)Negating is equivalent to multiplying by −1=(−1)(−3x2)+(−1)(4x)−(−1)(8)Distribute the −1=3x2+(−4x)−(−8)Simplify: (−1)(−3x2)=3x2,(−1)(4x)=−4x,and(−1)(8)=−8=3x2−4x+8Subtraction means add the opposite.
Альтернативне рішення:
Як ми бачили вище, негативний знак перед дужками просто змінює знак кожного члена всередині дужок. Так що набагато ефективніше писати−(−3x2+4x−8)=3x2−4x+8 просто змінюючи знак кожного члена всередині дужок.
Вправа5.4.4
Спростити:−(2x2−3x+9)
- Відповідь
-
−2x2+3x−9
Віднімання многочленів
Тепер, коли ми знаємо, як звести нанівець многочлен (змінити знак кожного члена многочлена), ми готові відняти многочлени.
Приклад5.4.5
Спростити:(y3−3y2z+4yz2+z3)−(2y3−8y2z+2yz2−8z3)
Рішення
Спочатку розподіліть знак мінус, змінюючи знак кожного члена другого многочлена.
(y3−3y2z+4yz2+z3)−(2y3−8y2z+2yz2−8z3)=y3−3y2z+4yz2+z3−2y3+8y2z−2yz2+8z3
Перегрупувати, комбінуючи подібні терміни. Ви можете виконати цей наступний крок подумки, якщо хочете.
=(y3−2y3)+(−3y2z+8y2z)+(4yz2−2yz2)+(z3+8z3)=−y3+5y2z+2yz2+9z3
Вправа5.4.5
Спростити:(4a2b+2ab−7ab2)−(2a2b−ab−5ab2)
- Відповідь
-
2a2b+3ab−2ab2
Віднімемо дві поліноміальні функції.
Приклад5.4.6
Даноp(x)=−5x3+6x−9 іq(x)=6x2−7x−11, спроститиp(x)−q(x).
Рішення
По-перше, замінитиp(x) іq(x) з їх визначеннями. Тому що нас просять відняти всеq(x) з усіхp(x), дуже важливо оточити кожен многочлен дужками.
p(x)−q(x)=(−5x3+6x−9)−(6x2−7x−11)
Розподіліть знак мінус, змінюючи знак кожного члена в другому многочлені, потім перегрупуйте і об'єднайте подібні терміни.
=−5x3+6x−9−6x2+7x+11=−5x3−6x2+(6x+7x)+(−9+11)=−5x3−6x2+13x+2
Однак після розподілу знака мінус, якщо ми можемо поєднувати подібні терміни подумки, усунувши середню сходинку, набагато ефективніше написати:
p(x)−q(x)=(−5x3+6x−9)−(6x2−7x−11)=−5x3+6x−9−6x2+7x+11=−5x3−6x2+13x+2
Вправа5.4.6
Даноf(x)=3x2+9x−4 іg(x)=−5x2+4x−6, спроститиf(x)−g(x).
- Відповідь
-
8x2+5x+2
Деякі програми
Нагадаємо, що площа прямокутника, що має довжинуL і ширинуW, знаходять за формулоюA=LW. Площа квадрата, що має сторону s, знаходимо за формулоюA=s2 (див. Рис.5.4.1).

Приклад5.4.7
Знайдіть площу квадрата5.4.2 на малюнку, підсумовуючи площу його частин.

Рішення
Давайте відокремлюємо кожну з чотирьох частин і позначимо кожну своєю площею (див. Рис.5.4.3).

Два затінених квадрата на малюнку5.4.3 мають областіA1=x2 таA3=9 відповідно. Два незаштрихованих прямокутника на малюнку5.4.3 мають областіA2=3x іA4=3x. Підсумовування цих чотирьох областей дає нам площу всієї фігури.
A=A1+A2+A3+A4=x2+3x+9+3x=x2+6x+9
Вправа5.4.7
Знайдіть площу квадрата, показаного нижче, підсумовуючи площу його частин.

- Відповідь
-
x2+8x+16
Приклад5.4.8
Імбир веде бізнес з продажу плетених кошиків. Її ділові витрати на виробництво і продажx плетених кошиків задаються поліноміальною функцієюC(x)=100+3x−0.02x2. Дохід, який вона отримує від продажуx плетених кошиків, дається поліноміальної функцієюR(x)=2.75x. Знайдіть формулу для тогоP(x), щоб прибуток отримувався від продажуx плетених кошиків. Використовуйте свою формулу, щоб визначити прибуток Джинджер, якщо вона продає123 плетені кошики.
Рішення
Прибуток, отриманий від продажуx плетених кошиків, знаходить шляхом віднімання витрат, понесених з отриманого доходу. У символах:P(x)=R(x)−C(x)
Далі, замінитиR(x) іC(x) з їх визначеннями. Оскільки ми повинні відняти всю вартість від виручки, обов'язково оточіть поліном вартості дужками. P(x)=2.75x−(100+3x−0.02x2)
Розподіліть знак мінус і комбінуйте подібні терміни.
=2.75x−100−3x+0.02x2=0.02x2−0.25x−100
Таким чином, функція прибутку єP(x)=0.02x2−0.25x−100.
Далі, щоб визначити прибуток, якщо продаються123 плетені кошики,123x замінюємо в функції profitP(x).
P(x)=0.02x2−0.25x−100P(123)=0.02(123)2−0.25(123)−100
Тепер ви можете використовувати графічний калькулятор для визначення прибутку (див. Рисунок5.4.5). Отже, прибуток, отриманий від продажу123 плетених кошиків, є$171.83.

Вправа5.4.8
Витрати на отримання та продажx widgets are given by the polynomial function C(x)=50+5x−0.5x2, and the revenue for selling x widgets is given by the polynomial function R(x)=3.5x. Determine the прибутку, якщо75 widgets are sold.
- Відповідь
-
$2,650