Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.1.6: Закон косинусів

Знайдіть невідому сторону, задану двома сторонами і включеним кутом.

Сторони косого трикутника

Ви граєте в гру під назвою «Over the Line», де ви стоїте в одному куті трикутника і б'єте м'ячем. Поле виглядає так:

Ф-Д_С651 де 3Д 3063 АС 67БЕ9А414989 ЕД 5ДБ878256Ф28АФБ83ФДА95197660+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
Малюнок4.1.6.1

Очки набираються ударом по м'ячу так, щоб він приземлився за першу лінію в трикутнику, але перед другою лінією.

Враховуючи, що кут на лівій стороні трикутника є15, а довжина сторін трикутника йде до першої лінії підрахунку рахунку 30 ярдів, ви можете обчислити довжину лінії, яку ви повинні вдарити м'яч повз, щоб забити?

Пошук сторін косого трикутника

Цей урок приймає ідеї, які були застосовані лише до прямих трикутників, і інтерпретує їх так, щоб їх можна було використовувати для будь-якого типу трикутника.

По-перше, закони синусів і косинусів приймають теорему Піфагора і співвідношення і застосовують їх до будь-якого трикутника.

Закон Косинуса є узагальненням теореми Піфагора, де кут C - кут між двома заданими сторонами трикутника:

c2=a2+b22(a)(b)cosC

Ви помітите, що якби це був прямокутний трикутникcosC=cos90=0, і так третій член зникне, залишивши знайому теорему Піфагора.

Один випадок, коли ми можемо використовувати Закон Косинусів, - це коли ми знаємо дві сторони та включений кут у трикутник (SAS) і хочемо знайти третю сторону.

Розв'язування невідомих значень

1. ВикористанняΔDEF,E=12,d=18, іf=16.8. Знайтиe.

Ф-Д_50182 Ліжко 24А 16Ф1С9420 ЕДБ6 СД76С0ЕБ553002Е80ЕБА ФД246Ф2Ф4+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
Малюнок4.1.6.2

ОскількиΔDEF це не прямокутний трикутник, ми не можемо використовувати теорему Піфагора або функції тригонометрії, щоб знайти третю сторону. Однак ми можемо використовувати наш нещодавно отриманий Закон Косинусів.

e2=182+16.822(18)(16.8)cos12 Law of Cosinese2=324+282.242(18)(16.8)cos12 Simplify squarese2=324+282.24591.5836689 Multiplye2=14.6563311 Add and subtract from left to righte3.8 Square root

∗ Зверніть увагу, що негативна відповідь викидається як не має геометричного значення в даному випадку.

2. Архітектор проектує кухню для клієнта. При проектуванні кухні архітектор повинен приділити особливу увагу розміщенню плити, мийки, холодильника. Для того, щоб кухня була ефективно використана, ці три зручності повинні утворювати трикутник один з одним. Це відоме як «робочий трикутник». За конструкцією три частини робочого трикутника повинні бути не менше 3 футів один від одного і не більше 7 футів один від одного. Виходячи з розмірів поточної кухні, архітектор визначив, що мийка буде знаходитися на відстані 3,6 футів від плити та на відстані 5,7 футів від холодильника. Якщо мийка утворює103 кут з плитою і холодильником, чи залишиться відстань між плитою і холодильником в межах робочого трикутника?

Ф-д_36Ф1С49Д559Е5Е5300Ф7401201АФ146С94С7ФБ33А47129E26D1E060+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
Малюнок4.1.6.3

Для того щоб знайти відстань від мийки до холодильника, нам потрібно знайти сторонуx. Щоб знайти сторонуx, ми будемо використовувати Закон Косинусів, тому що ми маємо справу з тупим трикутником (і, таким чином, не маємо прямих кутів для роботи). Нам відома довжина двох сторін: раковина до плити і мийка до холодильника. Ми також знаємо, що включений кут (кут між двома відомими довжинами) є103. Це означає, що ми маємо справу SAS і можемо застосовувати Закон Косинусів.

x2=3.62+5.722(3.6)(5.7)cos103 Law of Cosinesx2=12.96+32.492(3.6)(5.7)cos103 Simplify squaresx2=12.96+32.49+9.23199127 Multiplyx2=54.68199127 Evaluatex7.4 Square root

Ні, цей трикутник не відповідає визначенню робочого трикутника. Раковина і холодильник занадто далеко один від одного на 0,4 фута.Вирішити дляj.

3. ВикористанняΔJKL,J=2,l=25, іk=27. Знайтиj.

ОскількиΔJKL це не прямокутний трикутник, ми не можемо використовувати теорему Піфагора або функції тригонометрії, щоб знайти третю сторону. Однак ми можемо використовувати наш нещодавно отриманий Закон Косинусів.

j2=252+2722(25)(27)cos2 Law of Cosinesj2=625+7292(25)(27)cos2 Simplify squaresj2=625+7291349.18 Multiplyj2=4.82 Add and subtract from left to rightj2.20 Square root

∗ Зверніть увагу, що негативна відповідь викидається як не має геометричного значення в даному випадку.

Приклад4.1.6.1

Раніше вам було запропоновано обчислити довжину лінії, яку ви повинні вдарити м'яч повз, щоб забити.

Рішення

Оскільки ви знаєте, що довжина кожної з двох інших сторін становить 30 ярдів, а кут є15, ви можете скористатися Законом Косинусів, щоб знайти довжину третьої сторони.

c2=a2+b22abcosθc2=302+302(2)(30)(30)cos15c2=900+9001738.67c2=18001738.67c2=61.33c7.83

Приклад4.1.6.2

Знайти сторону "a" в цьому трикутникуA=50, деb=8,c=11

Ф-Д_7С3Д 72174БК8А4351626БК83Б2899667Б3Б3Ф449ДБ8Ф4540385АЦ25+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
Малюнок4.1.6.4

Рішення

a2=82+1122811cos50,a8.5

Приклад4.1.6.3

Знайти сторону "l" в цьому трикутнику деL=79.5m=22.4,p=13.17

Ф-Д_28758516Е9ДД1С346842Ф026Е55Б 37С670032Б0864КБ29А72Е939+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
Малюнок4.1.6.5

Рішення

l2=22.42+13.172222.413.17cos79.5,l23.8

Приклад4.1.6.4

Знайти сторону "b" в цьому трикутнику деB=67.2d=43,e=39

Ф-д_А6Б0Е 544776 АБ39ЕД 69 Фе 8 БАФ 5Е9158780 СА501 АЧ4Д404А03623E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
Малюнок4.1.6.6

Рішення

b2=392+43223943cos67.2,b45.5

Рецензія

  1. Законодавство Косинусів.

Для кожного трикутника нижче введіть значенняab, іc.


  1. F-D_1866 Фе 5 ДБ4 ФС8 ФЧ 8С30ДФ Ф 1995 А88КС6Б5Д49040E2488023 BE5C+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок4.1.6.7

  2. F-D_5C252A3D7D9948 АФ 388ДА049Ф5С499Е021А445Е5Д3926А117ЕФ55089+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок4.1.6.8

  3. Ф-д_78Б2Ф9Б7А8Е921С632Е883Д8Е4АААБК 2782C0E628FA0890281591535+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок4.1.6.9

  4. F-D_ЕЦ9БА 4270С2Б6А0602А02Д4Д34 Даба743Е3Ф2А51CE813196A88A3FF+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок4.1.6.10

  5. F-д_д1е382АААА Е511С02Б86Д0АД 8Б97070С98Б838Б418502950E2C8C113E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок4.1.6.11

  6. F-D_1C9 АС Ф952CFDB70CFFA90Б9Б16614 АД 4659829Б45БК 70Ф9С22574 ДД41+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок4.1.6.12

  7. Ф-Д_Б02А0С410Е73Ф281269864Ф92553Д458С9КС647ЕБ68712ДБК36А952С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок4.1.6.13

Тепер для кожного трикутника вирішуйте для відсутньої сторони, використовуючи Закон Косинусів.


  1. F-D_1866 Фе 5 ДБ4 ФС8 ФЧ 8С30ДФ Ф 1995 А88КС6Б5Д49040E2488023 BE5C+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок4.1.6.14

  2. F-D_5C252A3D7D9948 АФ 388ДА049Ф5С499Е021А445Е5Д3926А117ЕФ55089+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок4.1.6.15

  3. Ф-д_78Б2Ф9Б7А8Е921С632Е883Д8Е4АААБК 2782C0E628FA0890281591535+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок4.1.6.16

  4. F-D_ЕЦ9БА 4270С2Б6А0602А02Д4Д34 Даба743Е3Ф2А51CE813196A88A3FF+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок4.1.6.17

  5. F-д_д1е382АААА Е511С02Б86Д0АД 8Б97070С98Б838Б418502950E2C8C113E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок4.1.6.18

  6. F-D_1C9 АС Ф952CFDB70CFFA90Б9Б16614 АД 4659829Б45БК 70Ф9С22574 ДД41+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок4.1.6.19

  7. Ф-Д_Б02А0С410Е73Ф281269864Ф92553Д458С9КС647ЕБ68712ДБК36А952С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок4.1.6.20
  8. Доведіть, що закон Косинуса еквівалентний теоремі Піфагора для всіх правильних трикутників.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.1.

Лексика

Термін Визначення
Включено кут Вхідний кут в трикутник - це кут між двома відомими сторонами.
закон косинусів Закон косинусів - це правило, що стосується сторін трикутника з косинусом одного з його кутів. Закон косинусів говорить про теc2=a2+b22abcosC,C де кут поперек з бокуc.
Косий трикутник Косий трикутник - це трикутник без прямого кута в якості одного з його внутрішніх кутів.
Бічний кут бічного трикутника Бічний кут бічний трикутник - це трикутник, де дві сторони і кут між ними відомі величини.