4.1.6: Закон косинусів

Знайдіть невідому сторону, задану двома сторонами і включеним кутом.

Сторони косого трикутника

Ви граєте в гру під назвою «Over the Line», де ви стоїте в одному куті трикутника і б'єте м'ячем. Поле виглядає так:

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Очки набираються ударом по м'ячу так, щоб він приземлився за першу лінію в трикутнику, але перед другою лінією.

Враховуючи, що кут на лівій стороні трикутника є\(15^{\circ}\), а довжина сторін трикутника йде до першої лінії підрахунку рахунку 30 ярдів, ви можете обчислити довжину лінії, яку ви повинні вдарити м'яч повз, щоб забити?

Пошук сторін косого трикутника

Цей урок приймає ідеї, які були застосовані лише до прямих трикутників, і інтерпретує їх так, щоб їх можна було використовувати для будь-якого типу трикутника.

По-перше, закони синусів і косинусів приймають теорему Піфагора і співвідношення і застосовують їх до будь-якого трикутника.

Закон Косинуса є узагальненням теореми Піфагора, де кут C - кут між двома заданими сторонами трикутника:

\(c^2=a^2+b^2−2(a)(b)\cos C\)

Ви помітите, що якби це був прямокутний трикутник\(\cos C=\cos 90^{\circ}=0\), і так третій член зникне, залишивши знайому теорему Піфагора.

Один випадок, коли ми можемо використовувати Закон Косинусів, - це коли ми знаємо дві сторони та включений кут у трикутник (SAS) і хочемо знайти третю сторону.

Розв'язування невідомих значень

1. Використання\(\Delta DEF\),\(\angle E=12^{\circ}\),\(d=18\), і\(f=16.8\). Знайти\(e\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Оскільки\(\Delta DEF\) це не прямокутний трикутник, ми не можемо використовувати теорему Піфагора або функції тригонометрії, щоб знайти третю сторону. Однак ми можемо використовувати наш нещодавно отриманий Закон Косинусів.

\(\begin{aligned} e^2&=18^2+16.8^2−2(18)(16.8)\cos 12 && \text{ Law of Cosines} \\ e^2 &=324+282.24−2(18)(16.8)\cos 12 && \text{ Simplify squares} \\ e^2&=324+282.24−591.5836689 && \text{ Multiply} \\ e^2&=14.6563311 && \text{ Add and subtract from left to right} \\ e&\approx 3.8 && \text{ Square root} \end{aligned}\)

∗ Зверніть увагу, що негативна відповідь викидається як не має геометричного значення в даному випадку.

2. Архітектор проектує кухню для клієнта. При проектуванні кухні архітектор повинен приділити особливу увагу розміщенню плити, мийки, холодильника. Для того, щоб кухня була ефективно використана, ці три зручності повинні утворювати трикутник один з одним. Це відоме як «робочий трикутник». За конструкцією три частини робочого трикутника повинні бути не менше 3 футів один від одного і не більше 7 футів один від одного. Виходячи з розмірів поточної кухні, архітектор визначив, що мийка буде знаходитися на відстані 3,6 футів від плити та на відстані 5,7 футів від холодильника. Якщо мийка утворює\(103^{\circ}\) кут з плитою і холодильником, чи залишиться відстань між плитою і холодильником в межах робочого трикутника?

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Для того щоб знайти відстань від мийки до холодильника, нам потрібно знайти сторону\(x\). Щоб знайти сторону\(x\), ми будемо використовувати Закон Косинусів, тому що ми маємо справу з тупим трикутником (і, таким чином, не маємо прямих кутів для роботи). Нам відома довжина двох сторін: раковина до плити і мийка до холодильника. Ми також знаємо, що включений кут (кут між двома відомими довжинами) є\(103^{\circ}\). Це означає, що ми маємо справу SAS і можемо застосовувати Закон Косинусів.

\(\begin{aligned} x^2 &=3.6^2+5.7^2−2(3.6)(5.7)\cos 103 && \text{ Law of Cosines} \\ x^2 &=12.96+32.49−2(3.6)(5.7)\cos 103 && \text{ Simplify squares} \\ x^2 &=12.96+32.49+9.23199127 && \text{ Multiply} \\ x^2 &=54.68199127 && \text{ Evaluate} \\ x &\approx 7.4 && \text{ Square root} \end{aligned}\)

Ні, цей трикутник не відповідає визначенню робочого трикутника. Раковина і холодильник занадто далеко один від одного на 0,4 фута.Вирішити для\(j\).

3. Використання\(\Delta JKL\),\(\angle J=2^{\circ}\),\(l=25\), і\(k=27\). Знайти\(j\).

Оскільки\(\Delta JKL\) це не прямокутний трикутник, ми не можемо використовувати теорему Піфагора або функції тригонометрії, щоб знайти третю сторону. Однак ми можемо використовувати наш нещодавно отриманий Закон Косинусів.

\(\begin{aligned} j^2 &=25^2+27^2−2(25)(27)\cos 2 && \text{ Law of Cosines} \\ j^2&=625+729−2(25)(27)\cos 2 && \text{ Simplify squares} \\ j^2 &=625+729−1349.18 && \text{ Multiply} \\ j^2&=4.82 && \text{ Add and subtract from left to right} \\ j &\approx 2.20 && \text{ Square root} \end{aligned}\)

∗ Зверніть увагу, що негативна відповідь викидається як не має геометричного значення в даному випадку.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вам було запропоновано обчислити довжину лінії, яку ви повинні вдарити м'яч повз, щоб забити.

Рішення

Оскільки ви знаєте, що довжина кожної з двох інших сторін становить 30 ярдів, а кут є\(15^{\circ}\), ви можете скористатися Законом Косинусів, щоб знайти довжину третьої сторони.

\(\begin{aligned} c^2&=a^2+b^2−2ab\cos \theta \\ c^2&=30^2+30^2−(2)(30)(30)\cos 15^{\circ} \\ c^2&=900+900−1738.67 \\ c^2&=1800−1738.67 \\ c^2&=61.33c\approx 7.83 \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайти сторону "\(a\)" в цьому трикутнику\(\angle A=50^{\circ}\), де\(b=8\),\(c=11\)

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Рішення

\(a^2=8^2+11^2−2\cdot 8\cdot 11\cdot \cos 50^{\circ}\),\(a\approx 8.5\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайти сторону "\(l\)" в цьому трикутнику де\(\angle L=79.5^{\circ}\)\(m=22.4\),\(p=13.17\)

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Рішення

\(l^2=22.4^2+13.17^2−2\cdot 22.4\cdot 13.17\cdot \cos 79.5^{\circ}\),\(l\approx 23.8\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайти сторону "\(b\)" в цьому трикутнику де\(\angle B=67.2^{\circ}\)\(d=43\),\(e=39\)

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Рішення

\(b^2=39^2+43^2−2\cdot 39\cdot 43\cdot \cos 67.2^{\circ}\),\(b\approx 45.5\)

Рецензія

1. Законодавство Косинусів.

Для кожного трикутника нижче введіть значення\(a\)\(b\), і\(c\).

2. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{7}\)

3. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{8}\)

4. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{9}\)

5. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{10}\)

6. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{11}\)

7. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{12}\)

8. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{13}\)

Тепер для кожного трикутника вирішуйте для відсутньої сторони, використовуючи Закон Косинусів.

9. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{14}\)

10. 
    

    Малюнок\(\PageIndex{15}\)

11. 
    

    Малюнок\(\PageIndex{16}\)

12. 
    

    Малюнок\(\PageIndex{17}\)

13. 
    

    Малюнок\(\PageIndex{18}\)

14. 
    

    Малюнок\(\PageIndex{19}\)

15. 
    

    Малюнок\(\PageIndex{20}\)

16. Доведіть, що закон Косинуса еквівалентний теоремі Піфагора для всіх правильних трикутників.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.1.

Лексика

Термін	Визначення
Включено кут	Вхідний кут в трикутник - це кут між двома відомими сторонами.
закон косинусів	Закон косинусів - це правило, що стосується сторін трикутника з косинусом одного з його кутів. Закон косинусів говорить про те\(c^2=a^2+b^2−2ab\cos C\),\(C\) де кут поперек з боку\(c\).
Косий трикутник	Косий трикутник - це трикутник без прямого кута в якості одного з його внутрішніх кутів.
Бічний кут бічного трикутника	Бічний кут бічний трикутник - це трикутник, де дві сторони і кут між ними відомі величини.

Додаткові ресурси

Відео: Приклад: застосування закону косинуса

Практика: Закон косинусів