Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.1.7: Проблеми слова тригонометрії

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54671

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Контекстне використання властивостей трикутника, співвідношення, теорем та законів.

    Кут западини і кут піднесення

    Одним із застосувань тригонометричних коефіцієнтів є пошук довжин, які ви не можете виміряти. Дуже часто кути депресії і піднесення використовуються в таких видах проблем.

    Кут западини: Кут, виміряний вниз від горизонту або горизонтальної лінії.

    F-д_11бф 18 аф 5666b61e4d6724866493268 Бед 0А77А493b4b4cd+зображення_крихіткий+зображення_крихітка_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Кут піднесення: Кут, виміряний вгору від горизонту або горизонтальної лінії.

    F-D_534E33 АААА24Б855732А19161Ф007Б90372910Ф CFD3947BCA6A928A+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Що робити, якщо ви розмістили сходи в 10 футах від сіна, підлога якого знаходиться в 20 футах від землі? Якою висотою повинна бути сходи, щоб досягти підлоги сінокоса, якщо вона утворює\(30^{\circ}\) кут із землею?

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Студент математики стоїть в 25 футах від підстави пам'ятника Вашингтону. Кут піднесення від неї горизонтальна лінія погляду дорівнює\(87.4^{\circ}\). Якщо її «висота очей» становить 5 футів, наскільки високий пам'ятник?

    F-D_2AF93AD05Е8721329 АБФ БФ 1Б17А45Ф1714635781D9C6799317DB1E95+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Рішення

    Ми можемо знайти висоту пам'ятника, скориставшись співвідношенням тангенсів.

    \(\begin{aligned} \tan 87.4^{\circ} &=\dfrac{h}{25} \\ h&=25\cdot \tan 87.4^{\circ}=550.54 \end{aligned}\)

    Додавши 5 футів, загальна висота пам'ятника Вашингтона становить 555,54 футів.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Флагшток висотою 25 футів відкидає тінь 42 футів. Який кут потрапляє сонце на флагшток?

    F-д_Е09766CBE751238Б20Д807567С6А6Д1 BEA215DA9796837602F15F275+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Рішення

    Намалюйте малюнок. Кут, який сонце потрапляє на флагшток, дорівнює\(x^{\circ}\). Нам потрібно використовувати зворотне дотичне відношення.

    \(\begin{aligned} \tan x &=\dfrac{42}{25} \\ \tan^{−1} \dfrac{42}{25}&\approx 59.2^{\circ}=x \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Еліза стоїть на вершині будівлі 50 футів і бачить свого друга, Моллі. Якщо Моллі знаходиться в 30 футах від основи будівлі, який кут депресії від Елізи до Моллі? Висота очей Елізи становить 4,5 футів.

    Рішення

    Через паралельних ліній кут западини дорівнює куту у Моллі, або\(x^{\circ}\). Ми можемо використовувати зворотне дотичне відношення.

    \(\tan^{−1} \left(\dfrac{54.5}{30}\right)=61.2^{\circ}=x\)

    Ф-Д_806ДД2ДД 7Ф27417Ф6Ф083793250209 Е5Ф83Ф9Е03Ф681ДА8БФ8972Е7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)
    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Марк летить повітряний змій і розуміє, що 300 футів струни вийшли. Кут тятиви з землею дорівнює\(42.5^{\circ}\). Наскільки високо знаходиться повітряний змій Марка над землею?

    Рішення

    Це може допомогти намалювати малюнок. Потім запишіть і розв'яжіть рівняння трига.

    \(\begin{aligned} \sin 42.5^{\circ} &=\dfrac{x}{300}\\ 300\cdot \sin 42.5^{\circ} &=x \\ x&\approx 202.7\end{aligned}\)

    Повітряний змій знаходиться приблизно в 202,7 футів від землі.

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Сходи 20 футів впирається в стіну. Підстава сходів знаходиться в 7 футах від стіни. Який кут роблять сходи з грунтом?

    Рішення

    Це може допомогти намалювати малюнок.

    \(\begin{aligned} \cos x &=\dfrac{7}{20}\\ x&=\cos ^{−1}\dfrac{7}{20}\\ x&\approx 69.5^{\circ}\end{aligned}\)

    Рецензія

    1. Крістін плаває в океані і помічає кораловий риф під нею. Кут депресії\(35^{\circ}\) і глибина океану, в цій точці 250 футів. Як далеко вона знаходиться від рифу?
      F-д_5С0Е35Е3123Ф7876 ФА7Е7А67793341871Е9С0А5Д2С77972Ф222БК9ДД+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{5}\)
    2. Пізанська вежа Пізи в даний час «нахиляється»\(4^{\circ}\) під кутом і має вертикальну висоту 55,86 метра. Наскільки висотою була вежа, коли її спочатку будували?
      F-D_008 CAEC1675D06D953B8D 4С5Д8 БДДС2ДДБ9578Б4Б265029BCD+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    Використовуйте те, що ви знаєте про правильні трикутники, щоб вирішити відсутній кут. Якщо потрібно, намалюйте малюнок. Округляйте всі відповіді до найближчої десятої частки градуса.

    1. Будівля 75 футів кидає 82-футовий тінь. Який кут потрапляє сонце в будівлю?
    2. За 2 милі (по горизонталі) дорога піднімається на 300 футів (по вертикалі). Що таке кут піднесення?
    3. Човен плаває і помічає корабельну аварію на 200 футів під водою. Дайвер стрибає з човна і плаває 935 футів, щоб дістатися до аварії. Який кут западини від човна до корабельної аварії?
    4. Стоячи 100 футів від основи будівлі, Сем вимірює кут до вершини будівлі від висоти його очей, щоб бути\(50^{\circ}\). Якщо його очі знаходяться на висоті 6 футів над землею, наскільки висотою є будівля?
    5. За 4 милі (по горизонталі) дорога піднімається на 200 футів (по вертикалі). Що таке кут піднесення?
    6. Будівля 90 футів кидає тінь 110 футів. Який кут потрапляє сонце в будівлю?
    7. Лука летить повітряного змія і розуміє, що 400 футів струни вийшли. Кут тятиви з землею дорівнює\(50^{\circ}\). Наскільки високий повітряний змій Луки над землею?
    8. Сходи 18 футів впирається в стіну. Підстава сходів знаходиться в 10 футах від стіни. Який кут роблять сходи з грунтом?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.9.

    Ресурси

    Лексика

    Термін Визначення
    Кут депресії Кут западини - це кут, утворений горизонтальною лінією і лінією зору вниз до об'єкта, коли зображення об'єкта розташоване під горизонтальною лінією.
    Кут піднесення Кут піднесення - це кут, утворений горизонтальною лінією і лінією зору до об'єкта, коли зображення об'єкта розташоване над горизонтальною лінією.
    ASA ASA, кут-бічний кут, відноситься до двох відомих кутів у трикутнику з однією відомою стороною між відомими кутами.
    закон косинусів Закон косинусів - це правило, що стосується сторін трикутника з косинусом одного з його кутів. Закон косинусів стверджує, що C2=A2+B2−2AbCoSc, де C - кут поперек з боку c.
    закон синусів Закон синусів - це правило, застосоване до трикутників, яке стверджує, що відношення синуса кута до сторони, протилежної цьому куту, дорівнює відношенню синуса іншого кута в трикутнику до сторони, протилежної цьому куту.
    Тангенс Тангенс кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини сторони, протилежної заданому куту, на довжину сторони, прилеглої до заданого кута.
    Тригонометричні коефіцієнти Співвідношення, які допомагають нам зрозуміти відносини між сторонами і кутами прямих трикутників.