4.1.3: кут-кут-бічні трикутники
- Page ID
- 54640
Закон синусів: пропорції, засновані на співвідношеннях сторін і синусів протилежних кутів.
Ви і друг вирішите піти літати повітряних зміїв на слабкий суботу вдень. Сидячи, щоб зробити ваші повітряні змії, ви працюєте над тим, щоб зробити найкращу форму, щоб зловити вітер. Поки ваш друг вирішує піти з діамантовим змієм, ви намагаєтеся зробити трикутник форми один. Намагаючись склеїти повітряного змія між собою, ви робите перший і другий шматок замок разом з\(70^{\circ} \) кутом. Кут між першою і третьою шматками дорівнює\(40^{\circ} \). Нарешті, ви також виміряли довжину другого шматка і виявили, що вона має довжину 22 дюйми.
Ваш повітряний змій виглядає так:
Чи є спосіб дізнатися, використовуючи математику, якою буде довжина третьої сторони?
Трикутники AAS
Закон синусів говорить:\(\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}\). Це відношення між синусом кута в трикутнику і довжиною сторони, протилежної цьому куту, до синуса іншого кута в цьому трикутнику і довжиною сторони, протилежної цьому другому куту.
Закон синусів дозволяє знайти багато величин, що цікавлять трикутники, порівнюючи сторони та внутрішні кути як співвідношення. Один випадок, коли ми можемо використовувати Закон синусів, коли ми знаємо два кути в трикутнику і не включену сторону (AAS).
Використання закону синусів
1. використання\(\Delta GMN\),\(\angle G=42^{\circ} \),\(\angle N=73^{\circ} \) і\(g=12\). Знайти\(n\).
оскільки ми знаємо два кути та одну не включену сторону (\(g\)), ми можемо знайти іншу сторону, яка не включена (\(n\)).
\(\begin{aligned} \dfrac{\sin 73^{\circ} }{n}&=\dfrac{\sin 42^{\circ} }{12} \\ n\sin 42^{\circ}&=12\sin 73^{\circ} \\ n&=\dfrac{12\sin 73^{\circ} }{\sin 42^{\circ} } \\ n&\approx 17.15 \end{aligned}\)
2. Продовжуючи з #1, знайдіть\(\angle M\) і\(m\).
\(\angle M\)це просто\(180^{\circ} −42^{\circ} −73^{\circ} =65^{\circ} \). Щоб знайти сторону\(m\), тепер ви можете використовувати або Закон синусів, або Закон Косинусів. З огляду на, що Закон синусів трохи простіший і новий, давайте скористаємося ним. Неважливо, яку сторону і протилежний кут ви використовуєте в співвідношенні з\(\angle M\) і\(m\).
Варіант 1:\(\angle G\) і\(g\)
\(\begin{aligned} \dfrac{\sin 65^{\circ} }{m}&=\dfrac{\sin 42^{\circ} }{12} \\ m\sin 42^{\circ}&=12\sin 65^{\circ} \\ m&=\dfrac{12\sin 65^{\circ} }{\sin 42^{\circ} } \\ m&\approx 16.25 \end{aligned}\)
Варіант 2:\(\angle N\) і\(n\)
\(\begin{aligned} \dfrac{\sin 65^{\circ} }{m}&=\dfrac{\sin 73^{\circ} }{17.15} \\ m\sin 73^{\circ}&=17.15\sin 65^{\circ} \\ m&=\dfrac{17.15\sin 65^{\circ} }{\sin 73^{\circ} } \\ m &\approx 16.25 \end{aligned}\)
3. Бізнес-група хоче побудувати поле для гольфу на ділянці землі, яка колись була фермою. Акт на землю старий і відомості про землю неповні. Якщо\(AB\) 5382 футів,\(BC\) це 3862 футів\(101^{\circ} \),\(\angle AEB\)\(\angle BDC\) є\(74^{\circ}\),\(\angle EAB\) є\(32^{\circ} \),\(\angle DCB\) є\(41^{\circ} \) і є, які довжини сторін кожного трикутного шматочка землі? Яка загальна площа земельної ділянки?
Перш ніж ми зможемо розібратися з площею земельної ділянки, нам потрібно з'ясувати довжину кожної сторони. В\(\Delta ABE\), ми знаємо два кути і не включені сторони. Це випадок ААС. По-перше, ми знайдемо третій кут у,\(\Delta ABE\) використовуючи теорему про суму трикутника. Потім ми можемо використовувати Закон синусів, щоб знайти обидва\(AE\) і\(EB\).
\ (\ почати {вирівняний}
\ dfrac {\ sin 101} {5382} &=\ dfrac {\ sin 38} {A E} &\ dfrac {\ sin 101} {5382} &=\ dfrac {\ sin 41} {E B}\
A (\ sin 101) &= 5382 (\ sin 38) & E B (\ sin 101) = 5382 (\ sin 41)\\
A E &=\ dfrac {5382 (\ sin 38)} {\ sin 101} & E B & =\ dfrac { 5382 (\ sin 41)} {\ sin 101}\
A E &=3375.5\ текст {ноги} & E B &\ приблизно 3597.0\ текст {фути}
\ кінець {вирівняний}\)
Далі нам потрібно знайти відсутні довжини сторін в\(\Delta DCB\). У цьому трикутнику ми знову знаємо два кути і не включену сторону (AAS), що означає, що ми можемо використовувати Закон синусів. Для початку знайдемо\(\angle DBC=180−(74+32)=74^{\circ} \). оскільки обидва\(\angle BDC\) і\(\angle DBC\) міра\(74^{\circ} \),\(\Delta DCB\) - це рівнобедрений трикутник. Це означає, що так як\(BC\) є 3862 футів,\(DC\) також 3862 футів. Все, що нам залишилося знайти зараз, - це\(DB\).
\(\begin{aligned} \dfrac{\sin 74}{3862}&=\dfrac{\sin 32 }{DB}\\ DB(\sin 74)&=3862(\sin 32) \\ DB&=\dfrac{3862(\sin 32)}{\sin 74} \\ DB &\approx 2129.0 \text{ feet} \end{aligned}\)
Нарешті, нам потрібно обчислити площу кожного трикутника, а потім скласти дві області разом, щоб отримати загальну площу. З останнього розділу ми дізналися дві формули площі,\(K=\dfrac{1}{2} bc\sin A\) і Формулу Герона. У цьому випадку, оскільки у нас є достатньо інформації для використання будь-якої формули, ми будемо використовувати,\(K=\dfrac{1}{2} bc\sin A\) оскільки вона менш обчислювально-інтенсивна.
Спочатку знайдемо площу\(\Delta ABE\).
\(\Delta ABE\):
\(\begin{aligned} K&=12(3375.5)(5382)\sin 41 \\ K&=5,959,292.8 \text{ ft}^2 \end{aligned}\)
\(\Delta DBC\):
\(\begin{aligned} K&=\dfrac{1}{2}(3862)(3862)\sin 32 \\ K&=3,951,884.6 \text{ ft}^2 \end{aligned}\)
Загальна площа становить\(5,959,292.8+3,951,884.6=9,911,177.4 \text{ ft}^2\).
Раніше вас просили знайти довжину третьої сторони трикутника.
Рішення
оскільки ви знаєте два кути і одну не включену сторону повітряного змія, ви можете знайти іншу сторону, яка не включена, використовуючи Закон синусів. Налаштуйте співвідношення, використовуючи кути та сторони, які ви знаєте, та сторону, яку ви не знаєте.
\(\begin{aligned} \dfrac{\sin 70^{\circ} }{x}&=\dfrac{\sin 40^{\circ} }{22} \\ x&=\dfrac{22 \sin 70^{\circ} }{\sin 40^{\circ} } \\ x &\approx 32.146 \end{aligned}\)
Довжина дюбель-стрижня з невідомої сторони складе приблизно 32 дюйма.
Знайдіть сторону «d» в трикутнику нижче з наступною інформацією:\(e=214.9\),\(D=39.7^{\circ} \),\(E=41.3^{\circ}\)
Рішення
\(\dfrac{\sin 41.3^{\circ} }{214.9}=\dfrac{\sin 39.7^{\circ} }{d}\),\(d=208.0\)
Знайдіть сторону «o» в трикутнику нижче з наступною інформацією:\(M=31^{\circ} \),\(O=9^{\circ} \),\(m=15\)
Рішення
\(\dfrac{\sin 9^{\circ} }{o}=\dfrac{\sin 31^{\circ} }{15}\),\(o=4.6\)
Знайдіть сторону «q» в трикутнику нижче з наступною інформацією:\(Q=127^{\circ} \),\(R=21.8^{\circ} \),\(r=3.62\)
Рішення
\(\dfrac{\sin 127^{\circ} }{q}=\dfrac{\sin 21.8^{\circ} }{3.62}\),\(q=7.8\)
Рецензія
В\(\Delta ABC\),\(m\angle A=50^{\circ}\),\(m\angle B=34^{\circ}\), і\(a=6\).
- Знайти довжину\(b\).
- Знайти довжину\(c\).
В\(\Delta KMS\),\(m\angle K=42^{\circ}\),\(m\angle M=26^{\circ}\), і\(k=14\).
- Знайти довжину\(m\).
- Знайти довжину\(s\).
В\(\Delta DEF\),\(m\angle D=52^{\circ}\),\(m\angle E=78^{\circ}\), і\(d=23\).
- Знайти довжину\(e\).
- Знайти довжину\(f\).
В\(\Delta PQR\),\(m\angle P=2^{\circ}\),\(m\angle Q=79^{\circ}\), і\(p=20\).
- Знайти довжину\(q\).
- Знайти довжину\(r\).
В\(\Delta DOG\),\(m\angle D=50^{\circ} \),\(m\angle G=59^{\circ} \), і\(o=12\).
- Знайти довжину\(d\).
- Знайти довжину\(g\).
В\(\Delta CAT\),\(m\angle C=82^{\circ}\),\(m\angle T=4^{\circ}\), і a=8\).
- Знайти довжину c\).
- Знайти довжину t\).
В\(\Delta YOS\),\(m\angle Y=65^{\circ}\),\(m\angle O=72^{\circ}\), і\(s=15\).
- Знайти довжину\(o\).
- Знайти довжину\(y\).
В\(\Delta HCO\),\(m\angle H=87^{\circ}\),\(m\angle C=14^{\circ}\), і\(o=19\).
- Знайти довжину\(h\).
- Знайти довжину\(c\).
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.7.
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| Кут Кут Сторона Трикутник | «Кутовий кутовий бічний трикутник» - це трикутник, де два кути та не включена сторона є відомими величинами. |
Додаткові ресурси
Відео: Приклад: Розв'язування трикутника за законом синусів, заданих двома кутами та однією стороною
Практика: кут-кут-бічні трикутники