4.1.8: Визначення невідомих кутів за законом косинусів

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 4.1.7: Проблеми слова тригонометрії
- 4.1.9: Визначте точні креслення трикутників

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Знайти невідомий кут заданої довжини всіх 3 сторін

Саріне малює трикутник. Вона вимірює довжину сторін і записує свої виміри наступним чином. Яка міра кута $C$ трикутника?

$\begin{aligned} a&=3 \\ b&=4 \\ c&=5 \end{aligned}$

Закон косинусів з SSS

Закон косинусів $a^2+b^2−2ab\cos C$ , може бути перебудований, щоб полегшити розрахунок міри кута $a$ , $C$ коли, $b$ і всі $c$ відомі довжини.

$\begin{aligned} a^2+b^2−2ab \cos C &=c^2 \\ a^2+b^2−c^2 &=2ab\cos C\\ \dfrac{a^2+b^2−c^2}{2ab} &=\cos C \end{aligned}$

яким можна додатково маніпулювати $C=\cos ^{−1}\left(\dfrac{a^2+b^2−c^2 }{2ab}\right)$ .

Знайдемо міру найбільшого кута в трикутнику з довжинами сторін 12, 18 і 21.

Для початку треба визначити, який кут буде найбільшим. Нагадаємо з геометрії, що найдовша сторона протилежна найбільшому куту. Найдовша сторона 21, тому ми дозволимо, $c=21$ оскільки $C$ це кут, який ми намагаємося знайти. Дозвольте $a=12$ $b=18$ і використовувати формулу для вирішення, $C$ як показано на малюнку. Не має значення, які сторони ми присвоюємо $a$ і $b$ . Вони взаємозамінні за формулою.

$m\angle C=\cos ^{−1}\left(\dfrac{12^2+18^2−21^2 }{2(12)(18)}\right) \approx 86^{\circ}$

Примітка: Будьте обережні, щоб поставити круглі дужки навколо всього чисельника і всього знаменника на калькуляторі, щоб забезпечити належний порядок операцій. Екран калькулятора повинен виглядати наступним чином:

$\cos ^{−1}((12^2+18^2−21^2)/(2(12)(18)))$

Тепер знайдемо значення $x$ , до найближчого ступеня.

F-д_924С7ЕФ78Д4Е2Е2ЕЕ8БК5Е85Д1ДФ9ДФ5Ф4С34ДБ630Б776Б65Б91Е+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{1}$

Кут з мірою $x^{\circ}$ буде кут $C$ так $c=16$ , $a=22$ і $b=8$ . Пам'ятайте, $a$ і $b$ є взаємозамінними в формулі. Тепер ми можемо замінити змінні відомими мірами і вирішити.

$\cos ^{−1}\left(\dfrac{22^2+8^2−16^2}{2(22)(8)}\right)\approx 34^{\circ}$

Нарешті, давайте знайдемо $m\angle A$ , якщо $a=10$ , $b=15$ і $c=21$ .

Спочатку давайте переставимо формулу, щоб відобразити сторони заданого та запитаного кута:

$\cos A=\left(\dfrac{b^2+c^2−a^2}{2(b)(c)}\right)$ , тепер підключіть наші цінності

$m\angle A=\cos ^{−1}\left( \dfrac{15^2+21^2−10^2}{2(15)(21)}\right) \approx 26^{\circ}$

Приклад $\PageIndex{1}$

Раніше вас попросили знайти міру кута $C$ трикутника, який має сторони $a = 3$ $b = 4$ , і $c = 5$ .

Рішення

Ми можемо використовувати маніпульований Закон Косинусів для вирішення $C$ .

$\begin{aligned} C&=\cos ^{−1} \dfrac{3^2+4^2−5^2}{2(3)(4)} \\ C&=\cos ^{−1} \dfrac{9+16−25}{24} \\ C&=\cos ^{−1} \dfrac{0}{24}=\cos ^{−1} 0 \\ C&=90^{\circ} \end{aligned}$

Тому трикутник - це прямокутний трикутник.

Приклад $\PageIndex{2}$

Знайдіть міру на $x$ схемі:

Ф-д_Е07Б58Д594Д1ФФФФ3Ф9Ф8С99789065Д7Б5Е9А9737067Е125ДБ8186Ф+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

Рішення

$\cos ^{−1}\left(\dfrac{14^2+8^2−19^2}{2(14)(8)}\right) \approx 117^{\circ}$

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайти міру найменшого кута в трикутнику з довжинами сторін 47, 54 і 72.

Рішення

Найменший кут буде протилежний стороні з довжиною 47, так що це буде наш $c$ в рівнянні.

$\cos ^{−1}\left(\dfrac{54^2+72^2−47^2 }{2(54)(72)}\right) \approx 41^{\circ}$

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайти $m\angle B$ , якщо $a=68$ , $b=56$ і $c=25$ .

Рішення

Переставити формулу для розв'язання $m\angle B$ ,

$\cos B=\left(\dfrac{a^2+c^2−b^2}{2(a)(c)}\right)$ ; $\cos ^{−1}\left(\dfrac{68^2+25^2−56^2}{2(68)(25)}\right)\approx 52^{\circ}$

Рецензія

Використовуйте Закон Косинусів, щоб знайти значення $x$ , в найближчій мірі, в задачах з 1 по 6.

Малюнок $\PageIndex{3}$
Малюнок $\PageIndex{4}$
Малюнок $\PageIndex{5}$
Малюнок $\PageIndex{6}$
Малюнок $\PageIndex{7}$
Малюнок $\PageIndex{8}$
Знайдіть міру найменшого кута в трикутнику з довжинами сторін 150, 165 і 200 метрів.
Знайдіть міру найбільшого кута в трикутнику з довжиною сторони 59, 83 і 100 ярдів.
Знайдіть $m\angle C$ if $a=6$ , $b=9$ і $c=13$ .
Знайдіть $m\angle B$ if $a=15$ , $b=8$ і $c=9$ .
Знайдіть $m\angle A$ if $a=24$ , $b=20$ і $c=14$ .
Трикутна ділянка землі межує з дорогою, парканом і струмком. Якщо ділянка уздовж дороги 100 метрів, довжина огорожі 115 метрів, а сторона уздовж струмка 90 метрів, під яким кутом зустрічаються паркан і дорога?