4.1.4: кут-бічний кут трикутники
- Page ID
- 54624
Закон синусів заданий двома кутами і включеною стороною.
Ви їсте обід в кафетерії одного дня, працюючи над домашнім завданням з математики. Останнім часом ви, здається, помічаєте трикутні форми у всьому. Вдома, в школі, з друзями. Здається, трикутники є скрізь. І ви намагаєтеся застосувати те, що ви вивчаєте в класі математики, до всіх трикутників навколо вас. І сьогодні не виняток. Коли ви починаєте відкушувати свою фішку, ви раптом дізнаєтеся ту звичну форму - трикутник.
Ви оцінюєте довжину однієї зі сторін чіпа в 3 см. Ви також можете сказати, що кут, що прилягає до сторони 3 см, є\(50^{\circ} \) і кут, що прилягає з іншого боку краю 3 см, є\(60^{\circ} \). Чи можете ви знайти довжини двох інших сторін, використовуючи методи з вашого класу математики?
Трикутники ASA
Закон Синеса говорить:\(\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}\). Це відношення між синусом кута в трикутнику і довжиною сторони, протилежної цьому куту, до синуса іншого кута в цьому трикутнику і довжиною сторони, протилежної цьому другому куту.
Один випадок, коли ми використовуємо Закон Синеса, коли ми знаємо два кути в трикутнику та включену сторону (ASA). Наприклад, в\(\Delta TRI\):
\(\angle T\),\(\angle R\), і\(i\) відомі
\(\angle T\),\(\angle I\), і\(r\) відомі
\(\angle R\),\(\angle I\), і\(t\) відомі
У цьому випадку Закон Синеса дозволяє знайти будь-яку з не включених сторін.
Використання закону Синеса
1. У трикутнику вище\(\Delta TRI\),\(\angle T=83^{\circ} \),,\(\angle R=24^{\circ} \), і\(i=18.5\). Знайдіть міру\(t\).
Оскільки ми знаємо два кути та включену сторону, ми можемо знайти будь-яку з невключених сторін, використовуючи Закон Синеса. Оскільки ми вже знаємо два кути в трикутнику, ми можемо знайти третій кут, використовуючи той факт, що сума всіх кутів в трикутнику повинна дорівнювати\(180^{\circ} \).
\(\begin{aligned} \angle I&=180−(83+24) \\ \angle I&=180−107 \\ \angle I&=73^{\circ} \end{aligned}\)
Тепер, коли ми знаємо\(\angle I=73^{\circ} \), ми можемо використовувати Закон Синеса, щоб знайти\(t\).
\(\begin{aligned} \dfrac{\sin 73}{18.5}&=\dfrac{\sin 83}{t} \\ t(\sin 73)&=18.5(\sin 83) \\ t&=\dfrac{18.5(\sin 83)}{\sin 73} \\ t&\approx 19.2 \end{aligned}\)
Зверніть увагу, як ми чекаємо до останнього кроку, щоб ввести значення в калькулятор. Ось так наша відповідь є максимально точною.
2. Щоб уникнути великої і небезпечної заметілі на рейсі з Чикаго в Буффало, пілот Джон\(27^{\circ} \) починає зі звичайного шляху польоту. Пролетівши 412 миль в цьому напрямку, він повертає літак в бік Буффало. Кут, утворений першим польотним курсом і другим польотним курсом є\(88^{\circ} \). Для пілота нагальними є два питання:
- Яка загальна відстань зміненої траєкторії польоту?
- Наскільки далі він подорожував, ніж якби залишився на курсі?
Для того щоб знайти загальну відстань зміненої траєкторії польоту, нам потрібно знати сторону\(x\). Щоб знайти сторону\(x\), нам потрібно буде використовувати Закон Синеса. Оскільки ми знаємо два кути і включену сторону, це випадок ASA. Пам'ятайте, що в випадку ASA нам потрібно спочатку знайти третій кут в трикутнику.
\(\begin{aligned} \text{Missing Angle}&=180−(27+88)=65^{\circ} && \text{The sum of angles in a triangle is 180} \\ \dfrac{\sin 65}{412}&=\dfrac{\sin 27}{x} && \text{Law of Sines} \\ x(\sin 65)&=412(\sin 27) && \text{Cross multiply}\\ x&=\dfrac{412(\sin 27)}{\sin 65} && \text{ Divide by} \sin 65 \\ x &\approx 206.4 \text{ miles} \end{aligned}\)
Загальна відстань зміненої траєкторії польоту дорівнює\(412+206.4=618.4 \text{ miles}\).
Щоб дізнатися, скільки далі Джон повинен був проїхати, нам потрібно знати відстань початкової траєкторії польоту,\(y\). Ми можемо знову використовувати Закон Синеса, щоб знайти\(y\).
\(\begin{aligned}\dfrac{\sin 65}{412}&=\dfrac{\sin 88}{y} && \text{Law of Sines}\\ y(\sin 65)&=412(\sin 88) && \text{Cross multiply}\\ y&=\dfrac{412(\sin 88)}{\sin 65} && \text{Divide by }\sin 65\\ y &\approx 454.3 \text{ miles} \end{aligned}\)
Джону довелося подорожувати\(618.4−454.3=164.1 \text{ miles}\) далі.
2. У трикутнику, показаному тут:
Сторони\(\angle A=14^{\circ} \), наведені є\(\angle B=18^{\circ} \),, і\(c = 11\). Знайдіть довжину сторони «a».
Оскільки ми знаємо два кути та включену сторону, ми можемо знайти будь-яку з невключених сторін, використовуючи Закон Синеса. Оскільки ми вже знаємо два кути в трикутнику, ми можемо знайти третій кут, використовуючи той факт, що сума всіх кутів в трикутнику повинна дорівнювати\(180^{\circ} \).
\(\begin{aligned} \angle C &=180−(18+14)\\ \angle C &=180−32\\ \angle C&=148^{\circ} \end{aligned}\)
Використовуйте Закон Синеса, щоб знайти довжину сторони «a»:
\(\begin{aligned} \dfrac{\sin 14}{a}&=\dfrac{\sin 148}{11} \\ 11(\sin 14)&=a(\sin 148) \\ a&=\dfrac{11(\sin 14)}{\sin 148} \\ a &\approx 5.02 \end{aligned}\)
Раніше вас попросили знайти дві інші довжини трикутника.
Рішення
Ви можете використовувати Закон Синеса, щоб знайти довжину будь-якої з інших двох сторін. Однак спочатку добре відзначити, що оскільки сума внутрішніх кутів трикутника повинна дорівнювати\(180^{\circ} \), третій кут в трикутнику повинен вимірюватися\(180^{\circ} −50^{\circ} −60^{\circ} =70^{\circ} \).
Тепер, щоб налаштувати співвідношення:
\(\begin{aligned} \dfrac{\sin 60}{a}&=\dfrac{\sin 70}{3} \\ 3(\sin 60)&=a(\sin 70) \\ a&=\dfrac{3(\sin 60)}{\sin 70} \\ a&\approx 2.7647 \end{aligned}\)
Довжина однієї з двох інших сторін становить приблизно 2,7647 сантиметрів.
Щоб знайти довжину останньої сторони:
\(\begin{aligned} \dfrac{\sin 50}{b}&=\dfrac{\sin 70}{3} \\ 3(\sin 50)&=b(\sin 70) \\ b&=\dfrac{3(\sin 50)}{\sin 70} \\ b &\approx 2.46 \end{aligned}\)
Довжина іншої з 2 невідомих сторін становить приблизно 2,46 сантиметра.
Знайдіть сторону «a» в трикутнику нижче, використовуючи наступну інформацію:\(b=16,\; A=11.7^{\circ} ,\; C=23.8^{\circ}\)
Рішення
\(\dfrac{\sin 11.7^{\circ} }{a}=\dfrac{\sin 144.5^{\circ} }{16},\; a=5.6\)
Знайдіть сторону «a» в трикутнику нижче, використовуючи наступну інформацію:\(k=6.3,\; J=16.2^{\circ} ,\; L=40.3^{\circ}\)
Рішення
\(\dfrac{\sin 40.3^{\circ} }{l}=\dfrac{\sin 123.5^{\circ} }{6.3} ,\; l=4.9\)
Незважаючи на те, що трикутники ASA та AAS представляють два різні випадки Закону Синеса, що вони обидва мають спільного?
Рішення
Відповіді студентів будуть відрізнятися, але вони повинні помітити, що в обох випадках ви знаєте або можете знайти кут і сторону поперек від нього.
Рецензія
В\(\Delta ABC\),\(m\angle A=40^{\circ} \),,\(m\angle B=67^{\circ} \), і\(c = 6\).
- Знайти\(m\angle C\).
- Знайти довжину\(a\).
- Знайти довжину\(b\).
В\(\Delta DEF\),\(m\angle D=36^{\circ} \),,\(m\angle E=101^{\circ} \), і\(f = 11\).
- Знайти\(m\angle F\).
- Знайти довжину\(d\).
- Знайти довжину\(e\).
В\(\Delta BIG\),\(m\angle B=56^{\circ} \),,\(m\angle I=71^{\circ} \), і\(g = 23\).
- Знайти\(m\angle G\).
- Знайти довжину\(b\).
- Знайти довжину\(i\).
В\(\Delta APL\),\(m\angle A=79^{\circ} \),,\(m\angle P=40^{\circ} \), і\(l = 15\).
- Знайти\(m\angle L\).
- Знайти довжину\(a\).
- Знайти довжину\(p\).
В\(\Delta SAU\),\(m\angle S=5^{\circ} \),,\(m\angle A=99^{\circ} \), і\(u = 21\).
- Знайти\(m\angle U\).
- Знайти довжину\(s\).
- Знайти довжину\(a\).
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.8.
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| Кут бічний кут трикутника | Термін 'кут-бічний кутовий трикутник' відноситься до трикутника з відомими мірами двох кутів і довжини сторони між ними. |
Додаткові ресурси
Відео: Закон Синеса - Розв'язування трикутника ASA
Практика: Кутові бічні кутові трикутники