1.4: Програми, що використовують теорему Піфагора
Задачі слів з використанням теореми Піфагора
Теорема Піфагора та її зворотна мають багато застосувань для пошуку довжин та відстаней.
Застосування в реальному світі: Діагональна довжина
Марія має прямокутний лист печива, який розміром 10 дюймів × 14 дюймів. Знайдіть довжину діагоналі листа печива.
Намалюйте ескіз:

Визначити змінні: Нехайc= length of the diagonal.
Напишіть формулу: Використовуйте теорему Піфагора:a2+b2=c2
Розв'яжіть рівняння:
102+142=c2100+196=c2c2=296⇒c=√296⇒c=2√74 or c=17.2 inches
Перевірка:102+142=100+196=296 іc2=17.22=296. Рішення перевіряє.
Застосування в реальному світі: Площа затінених областей
Знайдіть площу затіненої області на наступній схемі:

Намалюйте діагональ квадрата на малюнку:

Зверніть увагу, що діагональ квадрата - це також діаметр кола.
Визначити змінні: Нехайc= diameter of the circle.
Напишіть формулу: Використовуйте теорему Піфагора:a2+b2=c2.
Розв'яжіть рівняння:
22+22=c24+4=c2c2=8⇒c=√8⇒c=2√2
Діаметр окружності дорівнює2√2, отже, радіусR=√2.
Формула площі кола:A=π⋅R2=π(√2)2=2π.
Таким чином, площа затіненої області є2π−4=2.28.
Застосування в реальному світі: Вимірювання сторін трикутника
У прямокутному трикутнику одна ніжка в два рази довша за іншу, а периметр - 28. Які міри сторін трикутника?
Складіть ескіз і визначте змінні:

Нехай:a= length of the short leg
2a= length of the long leg
c= length of the hypotenuse
Напишіть формули:
Сторони трикутника пов'язані двома різними способами.
Периметр дорівнює 28, такa+2a+c=28⇒3a+c=28
Трикутник - прямокутний трикутник, тому міри сторін повинні задовольняти теоремі Піфагора:
a2+(2a)2=c2⇒a2+4a2=c2⇒5a2=c2 or c=a√5=2.236a
Розв'яжіть рівняння:
Підключіть щойно отримане нами значення c в рівняння периметра:3a+c=28
3a+2.236a=28⇒5.236a=28⇒a=5.35
Коротка нога - це:a=5.35
Довга нога - це:2a=10.70
Гіпотенуза буває:c=11.95
Перевірка: Ніжки трикутника повинні задовольняти теоремі Піфагора:
a2+b2=5.352+10.702=143.1,c2=11.952=142.80. Результати приблизно однакові.
Периметр трикутника повинен бути 28:
a+b+c=5.35+10.70+11.95=28. Відповідь перевіряється.
Майк завантажує рухомий фургон, піднімаючись по рампі. Пандус має довжину 10 футів, а ліжко фургона - 2,5 футів над землею. Як далеко пандус простягається повз задньої частини фургона?

Рішення
Визначити змінні: Нехайx= how far the ramp extends past the back of the van .
Напишіть формулу: Використовуйте теорему Піфагора:x2+2.52=102
Розв'яжіть рівняння:
x2+6.25=100x2=93.5x=√93.5=9.7 ft
Перевірте, підключивши результат до теореми Піфагора:
9.72+2.52=94.09+6.25=100.34≈100. Отже, пандус має довжину 10 футів. Відповідь перевіряється.
Рецензія
- Для того щоб зробити пандус3 ft високо і покриває4 ft землю, скільки повинен бути пандус?
- Регулювання бейсбол алмаз є квадрат з 90 футів між базами. Як далеко друга основа від домашньої плити?
- У Емануеля є картонна коробка, яка вимірює20 cm long ×10 cm wide ×8 cm deep .
- Яка довжина діагоналі поперек дна коробки?
- Яка довжина діагоналі від нижнього кута до протилежного верхнього кута?
- Самуїл ставить сходи проти свого будинку. Підстава сходів знаходиться в 6 футах від будинку, а сходи довжиною 10 футів.
- Наскільки високо над землею сходи торкаються стіни будинку?
- Якщо край даху знаходиться на відстані 10 футів від землі і стирчить 1,5 футів за стіну, як далеко він знаходиться від краю даху до верхньої частини сходів?
- Знайдіть площу трикутника нижче, якщо площа трикутника визначена якA=12 base × height:
Малюнок1.4.6 - Замість того, щоб ходити по двох сторонам прямокутного поля, Маріо вирішив розрізати поперек діагоналі. Він таким чином економить відстань, яка становить половину довгої сторони поля.
- Знайдіть довжину довгої сторони поля, враховуючи, що коротка сторона становить 123 фути.
- Знайдіть довжину діагоналі.
- Маркус пливе на північ, а Сандра відпливає на схід від тієї ж відправної точки. За дві години човен Маркуса знаходиться в 35 милі від початкової точки, а човен Сандри - в 28 милі від початкової точки.
- Як далеко човни один від одного?
- Сандра потім пливе 21 милю через північ, поки Маркус залишається на місці. Як далеко Сандра від початкової відправної точки?
- Як далеко Сандра від Маркуса?
- Визначте площу кола нижче. (Підказка: гіпотенуза трикутника - це діаметр кола.)
Малюнок1.4.7 - Довжина прямокутника1 in довша за його ширину, а діагональ має довжину29 in. Які довжини сторін прямокутника?
- Для рівнобедреного трикутника зі сторонами заданої довжини знайдіть довжину кожної гіпотенузи:
- 1
- 2
- 3
- n
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.10.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
зворотний | Якщо умовний оператор єp→q (pif, тоq), то зворотним єq→p (ifq, тоp). Зауважте, що зворотне твердження не відповідає дійсності лише тому, що оригінальне твердження є істинним. |
Додаткові ресурси
Відео: Рішення проблем слів за участю квадратних коренів - огляд
Практика: Додатки з використанням теореми Піфагора