1.4: Програми, що використовують теорему Піфагора
- Page ID
- 54759
Задачі слів з використанням теореми Піфагора
Теорема Піфагора та її зворотна мають багато застосувань для пошуку довжин та відстаней.
Застосування в реальному світі: Діагональна довжина
Марія має прямокутний лист печива, який розміром 10 дюймів × 14 дюймів. Знайдіть довжину діагоналі листа печива.
Намалюйте ескіз:
![Ф-д_А5132А90081Д190373037Б8А 932893346Д82А897КБ53А469Е88БФ7С6+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/13696/f-d_a5132a90081d190373037b8a932893346d82a897cb53a469e88bf7c6%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Визначити змінні: Нехай\(c= \text{ length of the diagonal}\).
Напишіть формулу: Використовуйте теорему Піфагора:\(a^2+b^2=c^2\)
Розв'яжіть рівняння:
\(\begin{aligned} 10^2+14^2&=c^2 \\ 100+196&=c^2 \\ c^2&=296 \Rightarrow c=\sqrt{296} \Rightarrow c=2 \sqrt{74} \text{ or } c=17.2 \text{ inches } \end{aligned}\)
Перевірка:\(10^2+14^2=100+196=296\) і\(c^2=17.2^2=296\). Рішення перевіряє.
Застосування в реальному світі: Площа затінених областей
Знайдіть площу затіненої області на наступній схемі:
![Ф-Д_ДЕ 048С8Ф31ЕФ804БАФ 146Ф1Ф84Д7204 ФА82ДФ6Б34ЕЕ29310ДФ7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/13697/f-d_de048c8f31ef804baf146f1f84d7204fa82dc4ef6b3434ee29310df7%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Намалюйте діагональ квадрата на малюнку:
![F-д_Е1250690C3E1E1EB0DB4А990C5А283Д95С50402 ЕЕЕ1ФД6БФ1Е539Е2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/13698/f-d_e1250690c3e1e1eb0db4ad990c5a283d95c50402eee1fd6bf1e539e2%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Зверніть увагу, що діагональ квадрата - це також діаметр кола.
Визначити змінні: Нехай\(c= \text{ diameter of the circle}\).
Напишіть формулу: Використовуйте теорему Піфагора:\(a^2+b^2=c^2\).
Розв'яжіть рівняння:
\(\begin{aligned} 2^2+2^2&=c^2 \\ 4+4&=c^2 \\ c^2&=8 \Rightarrow c=\sqrt{8} \Rightarrow c=2\sqrt{2}\end{aligned}\)
Діаметр окружності дорівнює\(2\sqrt{2}\), отже, радіус\(R=\sqrt{2}\).
Формула площі кола:\(A= \pi \cdot R^2=\pi (\sqrt{2})^2=2\pi\).
Таким чином, площа затіненої області є\(2\pi−4=2.28\).
Застосування в реальному світі: Вимірювання сторін трикутника
У прямокутному трикутнику одна ніжка в два рази довша за іншу, а периметр - 28. Які міри сторін трикутника?
Складіть ескіз і визначте змінні:
![F-D_C87244233D16961 AD4ЦА96 ДБ8615893 ЕЕ8С67ДБ5Е0А3314А85Ф4Ф+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_крихіткий.PNG](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/13699/f-d_c87244233d16961ad4cea96db8615893ee8c67dcb5e0a33314a85f4f%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Нехай:\(a= \text{ length of the short leg}\)
\(2a= \text{ length of the long leg }\)
\(c= \text{ length of the hypotenuse}\)
Напишіть формули:
Сторони трикутника пов'язані двома різними способами.
Периметр дорівнює 28, так\(a+2a+c=28 \Rightarrow 3a+c=28\)
Трикутник - прямокутний трикутник, тому міри сторін повинні задовольняти теоремі Піфагора:
\(\begin{aligned} a^2+(2a)^2&=c^2 \Rightarrow a^2+4a^2=c^2 \Rightarrow 5a^2=c^2 \\ \text{ or } \qquad c&=a\sqrt{5}=2.236a\end{aligned}\)
Розв'яжіть рівняння:
Підключіть щойно отримане нами значення c в рівняння периметра:\(3a+c=28\)
\(3a+2.236a=28 \Rightarrow 5.236a=28 \Rightarrow a=5.35\)
Коротка нога - це:\(a=5.35\)
Довга нога - це:\(2a=10.70\)
Гіпотенуза буває:\(c=11.95\)
Перевірка: Ніжки трикутника повинні задовольняти теоремі Піфагора:
\(a^2+b^2=5.35^2+10.70^2=143.1\),\(c^2=11.95^2=142.80\). Результати приблизно однакові.
Периметр трикутника повинен бути 28:
\(a+b+c=5.35+10.70+11.95=28\). Відповідь перевіряється.
Майк завантажує рухомий фургон, піднімаючись по рампі. Пандус має довжину 10 футів, а ліжко фургона - 2,5 футів над землею. Як далеко пандус простягається повз задньої частини фургона?
![Ф-д_БФ 179С871 Б4Б693 ФДС2Е68 БФ 45Ф6059Д6680АФ 4312277A98624E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/13700/f-d_bf179c871b4b693fadc2e68bcff45f60559d6680af4312277a98624e%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Рішення
Визначити змінні: Нехай\(x= \text{ how far the ramp extends past the back of the van }\).
Напишіть формулу: Використовуйте теорему Піфагора:\(x^2+2.5^2=10^2\)
Розв'яжіть рівняння:
\(\begin{aligned}x^2+6.25&=100 \\ x^2&=93.5 \\ x&=\sqrt{93.5}=9.7\text{ ft }\end{aligned}\)
Перевірте, підключивши результат до теореми Піфагора:
\(9.7^2+2.5^2=94.09+6.25=100.34 \approx 100\). Отже, пандус має довжину 10 футів. Відповідь перевіряється.
Рецензія
- Для того щоб зробити пандус\(3 \text{ ft}\) високо і покриває\(4 \text{ ft}\) землю, скільки повинен бути пандус?
- Регулювання бейсбол алмаз є квадрат з 90 футів між базами. Як далеко друга основа від домашньої плити?
- У Емануеля є картонна коробка, яка вимірює\(20 \text{ cm long } \times 10 \text{ cm wide }\times 8 \text{ cm deep }\).
- Яка довжина діагоналі поперек дна коробки?
- Яка довжина діагоналі від нижнього кута до протилежного верхнього кута?
- Самуїл ставить сходи проти свого будинку. Підстава сходів знаходиться в 6 футах від будинку, а сходи довжиною 10 футів.
- Наскільки високо над землею сходи торкаються стіни будинку?
- Якщо край даху знаходиться на відстані 10 футів від землі і стирчить 1,5 футів за стіну, як далеко він знаходиться від краю даху до верхньої частини сходів?
- Знайдіть площу трикутника нижче, якщо площа трикутника визначена як\(A=\dfrac{1}{2} \text{ base } \times \text{ height}\):
Малюнок\(\PageIndex{6}\) - Замість того, щоб ходити по двох сторонам прямокутного поля, Маріо вирішив розрізати поперек діагоналі. Він таким чином економить відстань, яка становить половину довгої сторони поля.
- Знайдіть довжину довгої сторони поля, враховуючи, що коротка сторона становить 123 фути.
- Знайдіть довжину діагоналі.
- Маркус пливе на північ, а Сандра відпливає на схід від тієї ж відправної точки. За дві години човен Маркуса знаходиться в 35 милі від початкової точки, а човен Сандри - в 28 милі від початкової точки.
- Як далеко човни один від одного?
- Сандра потім пливе 21 милю через північ, поки Маркус залишається на місці. Як далеко Сандра від початкової відправної точки?
- Як далеко Сандра від Маркуса?
- Визначте площу кола нижче. (Підказка: гіпотенуза трикутника - це діаметр кола.)
Малюнок\(\PageIndex{7}\) - Довжина прямокутника\(1 \text{ in}\) довша за його ширину, а діагональ має довжину\(29 \text{ in}\). Які довжини сторін прямокутника?
- Для рівнобедреного трикутника зі сторонами заданої довжини знайдіть довжину кожної гіпотенузи:
- 1
- 2
- 3
- \(n\)
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.10.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
зворотний | Якщо умовний оператор є\(p\rightarrow q\) (\(p\)if, то\(q\)), то зворотним є\(q \rightarrow p\) (if\(q\), то\(p\)). Зауважте, що зворотне твердження не відповідає дійсності лише тому, що оригінальне твердження є істинним. |
Додаткові ресурси
Відео: Рішення проблем слів за участю квадратних коренів - огляд
Практика: Додатки з використанням теореми Піфагора