1.9:30-60-90 Прямі трикутники

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54760

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Гіпотенуза дорівнює вдвічі найменшому катету, тоді як більший катет - в\(sqrt{3}\) рази найменший.

Один з двох спеціальних прямих трикутників називається трикутником 30-60-90, після його трьох кутів.

30-60-90 Теорема: Якщо трикутник має кутові заходи\(30^{\circ}\)\(90^{\circ}\),\(60^{\circ}\) і, то сторони знаходяться в співвідношенні\(x: x\sqrt{3}:2x\).

Чим коротше катет завжди\(x\), тим довший катет завжди\(x\sqrt{3}\), а гіпотенуза завжди\(2x\). Якщо ви коли-небудь забудете ці теореми, ви все одно можете використовувати теорему Піфагора.

Що робити, якщо вам дали 30-60-90 прямокутний трикутник і довжину однієї з його сторін? Як ви могли з'ясувати довжини його інших сторін?

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Знайдіть значення\(x\) і\(y\).

F-д_Ф253Е0915А3А06ЕК 0d626 БД626 БДФ 759БДФ 5480908AD2FCD50348+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Рішення

Нам дається довша нога.

\(\begin{aligned} x\sqrt{3} &=12 \\ x&=12\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=12\dfrac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3} \\ \text{The hypotenuse is } y&=2(4\sqrt{3})=8\sqrt{3} \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайдіть значення\(x\) і\(y\).

F-д_54966Ф54 ААЕЦ 43БФД1Б94А46д9Б523714Д601Е30028766637C91A37+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Рішення

Нам дано гіпотенузу.

\(\begin{aligned} 2x&=16 \\ x&=8 \\ \text{The longer leg is } y&=8\cdot \sqrt{3}&=8\sqrt{3} \end{aligned} \)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайдіть довжину відсутніх сторін.

F-D_6CF56285AC6D4E253C51867D19C5F1CF4D5EB5CCD2C207BC43F65D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Рішення

Нам дається коротша нога. Якщо\(x=5\), то довший катет\(b=5\sqrt{3}\), і гіпотенуза,\(c=2(5)=10\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайдіть довжину відсутніх сторін.

F-D_382c5686A01A4042d0d0dc31E15FA8ФА9Ф0185Ф564Б927КД65Б93DC128+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Рішення

Нам дано гіпотенузу. \(2x=20\), Таким чином, чим коротше нога\(f=\dfrac{20}{2}=10\), і довша нога,\(g=10\sqrt{3}\).

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Прямокутник має сторони 4 і\(4\sqrt{3}\). Яка довжина діагоналі?

Рішення

Якщо вам не дали картинку, намалюйте її.

Ф-д_БФБА 1 ФА Е7 БК БДФ Ф Ф 19д9ед 2213028 ДСБ883213 БК 48Ф78ЕА211АБ7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Дві довжини\(x\)\(x\sqrt{3}\), так що діагональ буде\(2x\), або\(2(4)=8\).

Якщо ви не визнали, що це трикутник 30-60-90, ви також можете використовувати теорему Піфагора.

\(\begin{aligned} 4^2+(4\sqrt{3})^2&=d^2 \\ 16+48&=d^2 \\ d=\sqrt{64}&=8 \end{aligned}\)

Рецензія

У трикутнику 30-60-90, якщо коротший катет дорівнює 5, то довший катет - __________, а гіпотенуза - ___________.
У трикутнику 30-60-90, якщо коротший катет\(x\), то довший катет __________ і гіпотенуза ___________.
Прямокутник має сторони довжиною 6 і\(6\sqrt{3}\). Яка довжина діагоналі?
Дві (протилежні) сторони прямокутника - 10, а діагональ - 20. Яка довжина двох інших сторін?

Для питань 5-12 знайдіть довжини відсутніх сторін. Спрощення всіх радикалів.

Малюнок\(\PageIndex{6}\)
Малюнок\(\PageIndex{7}\)
Малюнок\(\PageIndex{8}\)
Малюнок\(\PageIndex{9}\)
Малюнок\(\PageIndex{10}\)
Малюнок\(\PageIndex{11}\)
Малюнок\(\PageIndex{12}\)
Малюнок\(\PageIndex{13}\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.6.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Теорема 30-60-90	Якщо трикутник має кутові заходи 30, 60 і 90 градусів, то сторони знаходяться в співвідношенні\(x : x \sqrt{3} : 2x\)
30-60-90 Трикутник	Трикутник 30-60-90 - це спеціальний прямокутний трикутник з кутами\(30^{\circ}\)\(60^{\circ}\), і\(90^{\circ}\).
Гіпотенуза	Гіпотенуза прямокутного трикутника - найдовша сторона прямокутного трикутника. Вона знаходиться поперек від прямого кута.
Ніжки прямокутного трикутника	Ніжки прямокутного трикутника - це дві коротші сторони прямокутного трикутника. Ноги примикають до прямого кута.
Теорема Піфагора	Теорема Піфагора - це математична залежність між сторонами прямокутного трикутника, задана\(a^2+b^2=c^2\), де a і b - катети трикутника, а c - гіпотенуза трикутника.
Радикальний	Знак\(\sqrt{}\), або квадратний корінь.