1.9:30-60-90 Прямі трикутники

Гіпотенуза дорівнює вдвічі найменшому катету, тоді як більший катет - в$sqrt{3}$ рази найменший.

Один з двох спеціальних прямих трикутників називається трикутником 30-60-90, після його трьох кутів.

30-60-90 Теорема: Якщо трикутник має кутові заходи$30^{\circ}$$90^{\circ}$,$60^{\circ}$ і, то сторони знаходяться в співвідношенні$x: x\sqrt{3}:2x$.

Чим коротше катет завжди$x$, тим довший катет завжди$x\sqrt{3}$, а гіпотенуза завжди$2x$. Якщо ви коли-небудь забудете ці теореми, ви все одно можете використовувати теорему Піфагора.

Що робити, якщо вам дали 30-60-90 прямокутний трикутник і довжину однієї з його сторін? Як ви могли з'ясувати довжини його інших сторін?

Приклад$\PageIndex{1}$

Знайдіть значення$x$ і$y$.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Рішення

Нам дається довша нога.

$\begin{aligned} x\sqrt{3} &=12 \\ x&=12\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=12\dfrac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3} \\ \text{The hypotenuse is } y&=2(4\sqrt{3})=8\sqrt{3} \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть значення$x$ і$y$.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Рішення

Нам дано гіпотенузу.

$\begin{aligned} 2x&=16 \\ x&=8 \\ \text{The longer leg is } y&=8\cdot \sqrt{3}&=8\sqrt{3} \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть довжину відсутніх сторін.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Рішення

Нам дається коротша нога. Якщо$x=5$, то довший катет$b=5\sqrt{3}$, і гіпотенуза,$c=2(5)=10$.

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть довжину відсутніх сторін.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Рішення

Нам дано гіпотенузу. $2x=20$, Таким чином, чим коротше нога$f=\dfrac{20}{2}=10$, і довша нога,$g=10\sqrt{3}$.

Приклад$\PageIndex{5}$

Прямокутник має сторони 4 і$4\sqrt{3}$. Яка довжина діагоналі?

Рішення

Якщо вам не дали картинку, намалюйте її.

Малюнок$\PageIndex{5}$

Дві довжини$x$$x\sqrt{3}$, так що діагональ буде$2x$, або$2(4)=8$.

Якщо ви не визнали, що це трикутник 30-60-90, ви також можете використовувати теорему Піфагора.

$\begin{aligned} 4^2+(4\sqrt{3})^2&=d^2 \\ 16+48&=d^2 \\ d=\sqrt{64}&=8 \end{aligned}$

Рецензія

1. У трикутнику 30-60-90, якщо коротший катет дорівнює 5, то довший катет - __________, а гіпотенуза - ___________.
2. У трикутнику 30-60-90, якщо коротший катет$x$, то довший катет __________ і гіпотенуза ___________.
3. Прямокутник має сторони довжиною 6 і$6\sqrt{3}$. Яка довжина діагоналі?
4. Дві (протилежні) сторони прямокутника - 10, а діагональ - 20. Яка довжина двох інших сторін?

Для питань 5-12 знайдіть довжини відсутніх сторін. Спрощення всіх радикалів.

5. 
   

   Малюнок$\PageIndex{6}$

6. 

   Малюнок$\PageIndex{7}$

7. 

   Малюнок$\PageIndex{8}$

8. 

   Малюнок$\PageIndex{9}$

9. 

   Малюнок$\PageIndex{10}$

10. 

    Малюнок$\PageIndex{11}$

11. 

    Малюнок$\PageIndex{12}$

12. 

    Малюнок$\PageIndex{13}$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.6.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Теорема 30-60-90	Якщо трикутник має кутові заходи 30, 60 і 90 градусів, то сторони знаходяться в співвідношенні$x : x \sqrt{3} : 2x$
30-60-90 Трикутник	Трикутник 30-60-90 - це спеціальний прямокутний трикутник з кутами$30^{\circ}$$60^{\circ}$, і$90^{\circ}$.
Гіпотенуза	Гіпотенуза прямокутного трикутника - найдовша сторона прямокутного трикутника. Вона знаходиться поперек від прямого кута.
Ніжки прямокутного трикутника	Ніжки прямокутного трикутника - це дві коротші сторони прямокутного трикутника. Ноги примикають до прямого кута.
Теорема Піфагора	Теорема Піфагора - це математична залежність між сторонами прямокутного трикутника, задана$a^2+b^2=c^2$, де a і b - катети трикутника, а c - гіпотенуза трикутника.
Радикальний	Знак$\sqrt{}$, або квадратний корінь.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Розв'язування спеціальних правильних трикутників

Види діяльності: 30-60-90 Прямі трикутники Обговорення Питання

Навчальні посібники: Спеціальні правильні трикутники навчальний посібник

Практика: 30-60-90 Прямі трикутники

Реальний світ: боротьба з війною з наркотиками за допомогою геометрії та спеціальних трикутників