1.1: Теорема Піфагора

Відкрийте, геометрично доведіть та застосуйте теорему Піфагора.

Довжини сторін трикутника з використанням теореми Піфагора

Ви тільки що підписалися, щоб бути помічником архітектора в новому офісі в центрі міста. Вас просять намалювати масштабну модель скульптури для бізнес-площі. Скульптура має великий трикутний шматок, де один з кутів між сторонами становить дев'яносто градусів. Цей тип трикутника називається «прямокутним трикутником». Архітектор, над яким ви працюєте, входить в кімнату і говорить вам, що сторони трикутника, які утворюють прямий кут, становлять 9 футів і 12 футів. Чи можете ви сказати, як довго третя сторона?

Пошук довжини сторін трикутника з використанням теореми Піфагора

З геометрії нагадаємо, що теорема Піфагора - це$a^2+b^2=c^2$ де$a$ і$b$ є катетами прямокутного трикутника і$c$ є гіпотенузою. Також сторона, протилежна куту, є нижнім регістрам, а кут - верхній регістр. Наприклад, кут$A$ протилежної сторони$a$.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Теорема Піфагора використовується для розв'язання сторін прямокутного трикутника.

Використання теореми Піфагора

1.

Малюнок$\PageIndex{2}$

$a=8$,$b=15$, нам потрібно знайти гіпотенузу.

$\begin{aligned} 8^2+15^2&=c^2 \\ 64+225&=c^2 \\ 289&=c^2 \\ 17&=c \end{aligned}$

Зверніть увагу, ми не включаємо -17 як рішення, оскільки від'ємне число не може бути стороною трикутника.

2.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти відсутню ніжку.

$\begin{aligned} (5\sqrt{7})^2+x^2&=(5\sqrt{13})^2 \\ 25\cdot 7+x^2&=25\cdot 13 \\ 175+x^2&=325 \\ x^2&=150 \\ x&=5\sqrt{6}\end{aligned}$

Малюнок$\PageIndex{4}$

3. Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти відсутню ніжку в трикутнику вище.

$\begin{aligned} 10^2+x^2&=(10\sqrt{2})^2 \\ 100+x^2&=100\cdot 2 \\ 100+x^2&=100 \\ x^2&=100 \\ x&=10 \end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{1}$

Раніше вам поставили проблему з проханням намалювати масштабну модель скульптури для бізнес-площі.

З вашим знанням теореми Піфагора, ви можете побачити, що трикутник має сторони з довжиною 9 футів і 12 футів. Ви працюєте, щоб знайти гіпотенузу:

Рішення

$\begin{aligned} a^2+b^2&=c^2 \\ 9^2+12^2&=c^2 \\ 81+144&=c^2 \\ 225&=c^2 \\ (\sqrt{225})&=15=c \end{aligned}$

Зважаючи на те, що довжина третьої сторони трикутника становить 15 футів, ви можете легко побудувати свою масштабну модель.

Приклад$\PageIndex{2}$

Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти відсутню сторону наступного трикутника:

Малюнок$\PageIndex{5}$

Рішення

$a=1$,$b=8$, нам потрібно знайти гіпотенузу.

$\begin{aligned} 1^2+8^2&=c^2 \\ 1+64&=c^2 \\ 65&=c^2 \\ \sqrt{65}&=c\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти відсутню сторону наступного трикутника:

Малюнок$\PageIndex{6}$

Рішення

$a=3$,$b=11$, нам потрібно знайти довжину сторони c, гіпотенузи.

$\begin{aligned} 3^2+11^2&=c^2 \\ 9+121&=c^2 \\ 130&=c^2 \\ \sqrt{130}&=c\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть відсутню сторону прямокутного трикутника внизу. Залиште відповідь в найпростішій радикальній формі.

Малюнок$\PageIndex{7}$

Рішення

$a=7$$c=18$,, Нам потрібно знайти довжину сторони b.

$\begin{aligned}7^2+b^2=18^2 \\ 49+b^2=18^2 \\ 324−49=b^2 \\ 275=b^2 \\ \sqrt{275}=b \end{aligned}$

Рецензія

Знайдіть відсутні сторони правильних трикутників. Залишайте відповіді в найпростішій радикальній формі.

1. Якщо катети прямокутного трикутника 3 і 4, то гіпотенуза дорівнює _____________.
2. Якщо катети прямокутного трикутника - 6 і 8, то гіпотенуза дорівнює _____________.
3. Якщо катети прямокутного трикутника 5 і 12, то гіпотенуза дорівнює _____________.
4. Якщо сторони квадрата довжиною 6, то діагональ - _____________.
5. Якщо сторін квадрата 9, то діагональ - _____________.
6. Якщо сторони квадрата є$x$, то діагональ - _____________.
7. Якщо катети прямокутного трикутника 3 і 7, то гіпотенуза дорівнює _____________.
8. Якщо катети прямокутного трикутника дорівнюють$2\sqrt{5}$ і 6, то гіпотенуза дорівнює _____________.
9. Якщо один катет прямокутного трикутника дорівнює 4, а гіпотенуза - 8, то інший катет _____________.
10. Якщо один катет прямокутного трикутника дорівнює 10, а гіпотенуза - 15, то інший катет _____________.
11. Якщо один катет прямокутного трикутника є$4\sqrt{7}$$10\sqrt{6}$, а гіпотенуза - то інший катет _____________.
12. Якщо катети прямокутного трикутника дорівнюють x і y, то гіпотенуза дорівнює ____________.

Доказ теореми Піфагора

Скористайтеся зображенням нижче, щоб відповісти на наступні питання.

Малюнок$\PageIndex{8}$

13. Знайти площу квадрата на зображенні зі сторонами (a+b).
14. Знайти суму площ квадрата зі сторонами c і правильних трикутників з ніжками a і b.
15. Поясніть, чому області, знайдені в попередніх двох проблемах, повинні мати однакове значення. Потім встановіть вирази рівні один одному і спростіть, щоб отримати теорему Піфагора.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.1.

Лексика

Термін	Визначення
Теорема Піфагора	Теорема Піфагора - це математична залежність між сторонами прямокутного трикутника, задана$a^2+b^2=c^2$, де a і b - катети трикутника і$c$ є гіпотенузою трикутника.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Доведення теореми Піфагора

Практика: Теорема Піфагора