1.3: Піфагорійська трійка

Цілочисельні трійки, які утворюють прямі трикутники.

Працюючи помічником архітектора, вас попросять використати свої знання теореми Піфагора, щоб визначити, чи довжини певної трикутної підтримки дужки кваліфікуються як трійка Піфагора. Ви вимірюєте сторони дужки і знаходите, щоб вони були 7 дюймів, 24 дюймів і 25 дюймів. Чи можете ви визначити, чи довжини сторін трикутної дужки кваліфікуються як Піфагорійська трійка?

Піфагорійська трійка

Трійки Піфагора - це множини цілих чисел, для яких теорема Піфагора відповідає дійсності. Найвідоміший трійник - 3, 4, 5. Це означає, що 3 і 4 - довжини катетів і 5 - гіпотенуза. Найбільшою довжиною завжди є гіпотенуза. Якби ми помножили будь-яку трійку на постійну, ця нова трійка все одно представляла б сторони прямокутного трикутника. Тому 6, 8, 10 і 15, 20, 25, серед незліченної кількості інших, представляли б сторони прямокутного трикутника.

Визначення трійок Піфагора

Визначте, чи є наступні довжини Піфагорійськими трійками.

1. 7, 24, 25

Підключіть задані числа до теореми Піфагора.

$\begin{aligned} 7^2+24^2&\stackrel{?}{=}25^2 \\ 49+576&=625 \\ 625&=625 \end{aligned}$

Так, 7, 24, 25 - це піфагорійська трійка і сторони прямокутного трикутника.

2. 9, 40, 41

Підключіть задані числа до теореми Піфагора.

$\begin{aligned} 9^2+40^2&\stackrel{?}{=}41^2 \\ 81+1600&=1681 \\ 1681&=1681\end{aligned}$

Так, 9, 40, 41 - це піфагорійська трійка і сторони прямокутного трикутника.

3. 11, 56, 57

Підключіть задані числа до теореми Піфагора.

$\begin{aligned} 11^2+56^2&\stackrel{?}{=}57^2 \\ 121+3136&=3249 \\ 3257&\neq 3249 \end{aligned}$

Ні, 11, 56, 57 не представляють сторони прямокутного трикутника.

Приклад$\PageIndex{1}$

Раніше вас попросили використати свої знання теореми Піфагора, щоб визначити, чи довжини певної трикутної дужки кваліфікуються як трійка Піфагора.

Рішення

Оскільки ви знаєте, що сторони дужки мають довжину 7, 24 і 25 дюймів, ви можете підставити ці значення в теорему Піфагора. Якщо теорема Піфагора задовольняється, то ви з упевненістю знаєте, що це дійсно сторони трикутника з прямим кутом:

$\begin{aligned} 7^2+24^2&\stackrel{?}{=} 25^2 \\ 49+576&=625 \\ 625&=625\end{aligned}$

Теорема Піфагора задовольняється цими значеннями у вигляді довжин сторін прямокутного трикутника. Оскільки кожна зі сторін - це ціле число, це дійсно набір Піфагорієвих трійок.

Приклад$\PageIndex{2}$

Визначте, чи є наступні довжини Піфагорійськими трійками.

5, 10, 13

Рішення

Підключіть задані числа до теореми Піфагора.

$\begin{aligned}5^2+10^2 &\stackrel{?}{=} 13^2 \\ 25+100=169 \\ 125\neq 169 \end{aligned}$

Ні, 5, 10, 13 - це не піфагорійська трійка і не сторони прямокутного трикутника.

Приклад$\PageIndex{3}$

Визначте, чи є наступні довжини Піфагорійськими трійками.

8, 15, 17

Рішення

Підключіть задані числа до теореми Піфагора.

$\begin{aligned} 8^2+15^2&\stackrel{?}{=} 17^2 \\ 64+225&=289 \\ 289&=289\end{aligned}$

Так, 8, 15, 17 - це піфагорійська трійка і сторони прямокутного трикутника.

Приклад$\PageIndex{4}$

Визначте, чи є наступні довжини Піфагорійськими трійками.

11, 60, 61

Рішення

Підключіть задані числа до теореми Піфагора.

$\begin{aligned} 11^2+60^2&\stackrel{?}{=} 61^2 \\ 121+3600=3721 \\ 3721&=3721 \end{aligned}$

Так, 11, 60, 61 - це піфагорійська трійка і сторони прямокутного трикутника.

Рецензія

1. Визначте, чи є наступні довжини Піфагорійськими трійками: 9, 12, 15.
2. Визначте, чи є наступні довжини Піфагорійськими трійками: 10, 24, 36.
3. Визначте, чи є наступні довжини Піфагорійськими трійками: 4, 6, 8.
4. Визначте, чи є наступні довжини Піфагора Трійки: 20, 99, 101.
5. Визначте, чи є наступні довжини Піфагорійськими трійками: 21, 99, 101.
6. Визначте, чи є наступні довжини Піфагора Трійки: 65, 72, 97.
7. Визначте, чи є наступні довжини Піфагора Трійки: 15, 30, 62.
8. Визначте, чи є наступні довжини Піфагорійськими трійками: 9, 39, 40.
9. Визначте, чи є наступні довжини Піфагора Трійки: 48, 55, 73.
10. Визначте, чи є наступні довжини Піфагорійськими трійками: 8, 15, 17.
11. Визначте, чи є наступні довжини Піфагора Трійки: 13, 84, 85.
12. Визначте, чи є наступні довжини Піфагора Трійки: 15, 16, 24.
13. Поясніть, чому може бути корисно знати деякі основні Піфагорійська трійка.
14. Доведіть, що будь-яке кратне 5, 12, 13 буде Піфагора Потрійний.
15. Доведіть, що будь-яке кратне 3, 4, 5 буде Піфагора Потрійний.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.2.

Лексика

Термін	Визначення
Піфагор Потрійний	Піфагорійська трійка - це набір з трьох цілих чисел$a$,$b$ і$c$ які задовольняють теоремі Піфагора,$a^2+b^2=c^2$.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Піфагорійська трійка

Практика: Піфагорійська трійка