3.6: Експоненціальні рівняння

Коли ви вперше вивчали рівняння, ви дізналися правило, що все, що ви робите з однією стороною рівняння, ви також повинні зробити з іншого боку, щоб рівняння залишалося в рівновазі. Основні методи додавання, віднімання, множення та ділення обох сторін рівняння працювали для вирішення майже всіх рівнянь до цих пір. За допомогою логарифмів у вас є більше інструментів для ізоляції змінної. Розглянемо наступне рівняння і запитайте себе: чому$x=3$? Логічно має сенс, що якщо основи збігаються, то показники також повинні збігатися, але як це можна показати для таких прикладів?

$1.79898^{2 x}=1.79898^{6}$

Розв'язування експоненціальних рівнянь

Загальною методикою розв'язання рівнянь з невідомими змінними в показниках є взяття журналу потрібної основи обох сторін рівняння. Потім ви можете використовувати властивості колод, щоб спростити і вирішити рівняння.

Візьміть наступне рівняння. Щоб вирішити для$t$, слід спочатку максимально спростити вираз, а потім взяти натуральне колоду обох сторін.

$9,000=300 \cdot \frac{(1.06)^{t}-1}{0.06}$

$\begin{aligned} 30 &=\frac{(1.06)^{t}-1}{0.06} \\ 1.8 &=(1.06)^{t}-1 \\ 2.8 &=1.06^{t} \\ \ln 2.8 &=\ln \left(1.06^{t}\right)=t \cdot \ln (1.06) \\ t &=\frac{\ln 2.8}{\ln 1.06} \approx 17.67 \text { years} \end{aligned}$

Не має значення, яку базу ви використовуєте в цій ситуації, якщо ви використовуєте одну і ту ж основу з обох сторін. Вибір натурального колоди дозволяє скористатися калькулятором для обробки завдання.

Зверніть увагу, що цей тип рівняння поширений у фінансовій математиці. Вище рівняння являє собою невідому кількість часу, який знадобиться вам, щоб заощадити $9,000 на ощадному рахунку, якщо ви заощадите $300 наприкінці кожного року на рахунку, який заробляє 6% річних складних відсотків.

Інша хороша база для використання - це база$10 .$ При вирішенні наступного рівняння для$x: 16^{x}=25$, вам потрібно буде використовувати калькулятор, щоб отримати остаточну відповідь, і ваш калькулятор може обробляти базу 10, а також. Спочатку візьміть колоду з обох сторін. Потім скористайтеся властивостями журналу та калькулятором, щоб допомогти.

$\begin{aligned} 16^{x} &=25 \\ \log 16^{x} &=\log 25 \\ x \log 16 &=\log 25 \\ x &=\frac{\log 25}{\log 16} \\ x &=1.16 \end{aligned}$

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як показати, що якщо основи збігаються в рівнянні, показники повинні збігатися. У рівнянні журнали можуть бути використані для зведення рівняння до$2 x=6$.

$1.79898^{2 x}=1.79898^{6}$

Візьміть колоду з обох сторін і використовуйте властивість зведення в ступінь колод, щоб вивести експоненту спереду.

$\begin{aligned} \log 1.79898^{2 x} &=\log 1.79898^{6} \\ 2 x \cdot \log 1.79898 &=6 \cdot \log 1.79898 \\ 2 x &=6 \\ x &=3 \end{aligned}$

Приклад 2

Розв'яжіть наступне рівняння для всіх можливих значень$x:(x+1)^{x-4}-1=0$

$(x+1)^{x-4}-1=0$

$(x+1)^{x-4}=1$

Випадок 1 полягає в$x+1$ тому, що позитивний, в цьому випадку можна взяти колоду з обох сторін.

$\begin{aligned} \log (x+1)^{(x-4)} &=\log 1 \\(x-4) \cdot \log (x+1) &=0 \\ x-4=0 & \text { or } \log (x+1)=0 \\ x=& 4 \text { or }(x+1)=10^{0}=1 \\ & x=4,0 \end{aligned}$

Зверніть увагу, що$\log 1=0$

Випадок 2 полягає в$(x+1)$ тому, що є негативним 1 і підвищений до рівної сили. Це відбувається, коли$x=-2$.

$\begin{aligned}(x+1)^{(x-4)} &=1 \\(-2+1)^{(-2-4)}-1 &=(-1)^{-6}-1 \\ &=\frac{1}{(-1)^{6}}-1 \\ &=0 \end{aligned}$

Причина, чому ця вправа включена, полягає в тому, що ви не повинні впадати в звичку припускати, що ви можете взяти журнал обох сторін рівняння. Він дійсний лише тоді, коли аргумент строго позитивний. Наприклад, не$\log (-2+1)^{(-2-4)}=\log (-1)$ представляється можливим.

Приклад 3

Інтенсивність світла, виміряна в люменах, може бути описана співвідношенням між$i$ інтенсивністю та$d$ глибиною в футах, коли вона рухається на певній глибині води в басейні. Яка інтенсивність світла на 10 футів?

$\log \left(\frac{i}{12}\right)=-0.0145 \cdot d$

Дано$d=10$, вирішуйте для$i$ вимірюваних в люменах.

$\begin{aligned} \log \left(\frac{i}{12}\right) &=-0.0145 \cdot d \\ \log \left(\frac{i}{12}\right) &=-0.0145 \cdot 10 \\ \log \left(\frac{i}{12}\right) &=-0.145 \\\left(\frac{i}{12}\right) &=10^{-0.145} \\ i &=12 \cdot 10^{-0.145} \approx 8.594 \end{aligned}$

Приклад 4

Вирішіть наступне рівняння для всіх можливих значень$x$.

$\frac{e^{x}-e^{-x}}{3}=14$

Спочатку вирішуйте для$e^{x}$,

$\begin{aligned} \frac{e^{x}-e^{-x}}{3} &=14 \\ e^{x}\left(e^{x}-e^{-x}\right) &=(42) e^{x} \\ e^{2 x}-1 &=42 e^{x} \\\left(e^{x}\right)^{2}-42 e^{x}-1 &=0 \end{aligned}$

Нехай$u=e^{x}$

$u^{2}-42 u-1=0$

$u=\frac{-(-42) \pm \sqrt{(-42)^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-1)}}{2 \cdot 1}=\frac{42 \pm \sqrt{1768}}{2} \approx 42.023796,-0.0237960$

Зверніть увагу, що негативний результат є стороннім, оскільки$e^{x}$ повинен бути більше нуля, тому ви продовжуєте вирішувати лише$x$ для одного результату.

$\begin{aligned} e^{x} & \approx 42.023796 \\ x & \approx \ln 42.023796 \approx 3.738 \end{aligned}$

Приклад 5

Вирішіть наступне рівняння для всіх можливих значень$x:\left(\log _{2} x\right)^{2}-\log _{2} x^{7}=-12$.

У обчисленні зазвичай використовується невелика заміна, щоб спростити проблему, а потім замінити назад пізніше. У цьому випадку нехай$u=\log _{2} x$. Зверніть увагу, що це квадратична проблема.

$\begin{aligned}\left(\log _{2} x\right)^{2}-7 \log _{2} x+12 &=0 \\ u^{2}-7 u+12 &=0 \\(u-3)(u-4) &=0 \\ u &=3,4 \end{aligned}$

Тепер підставляємо назад і вирішуємо для кожного$x$ випадку.

$\log _{2} x=3 \leftrightarrow 2^{3}=x=8$

$\log _{2} x=4 \leftrightarrow 2^{4}=x=16$

Рецензія

Вирішіть кожне рівняння для$x$. Округляйте кожну відповідь до трьох знаків після коми.

1. $4^{x}=6$

2. $5^{x}=2$

3. $12^{4 x}=1020$

4. $7^{3 x}=2400$

5. $2^{x+1}-5=22$

6. $5 x+12^{x}=5 x+7$

7. $2^{x+1}=2^{2 x+3}$

8. $3^{x+3}=9^{x+1}$

9. $2^{x+4}=5^{x}$

10. $13 \cdot 8^{0.2 x}=546$

11. $b^{x}=c+a$

12. $32^{x}=0.94-.12$

Вирішіть кожне рівняння журналу, використовуючи властивості журналу та переписуючи як експоненціальне рівняння.

13. $\log _{3} x+\log _{3} 5=2$

14. $2 \log x=\log 8+\log 5-\log 10$

15. $\log _{9} x=\frac{3}{2}$

...