Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.7: Логістичні функції

  • Page ID
    54456
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Експоненціальне зростання збільшується без обмежень. Це розумно для деяких ситуацій; однак для населення зазвичай існує певний тип верхньої межі. Це може бути викликано обмеженнями на їжу, простір або інші дефіцитні ресурси. Ефект цієї граничної верхньої межі - це крива, яка спочатку зростає експоненціально, а потім сповільнюється і майже не росте взагалі. Такий тип зростання називається логістичним зростанням. Які ще ситуації, коли логістичне зростання було б відповідною моделлю?

    Логістичні функції

    Логістичне зростання можна описати логістичним рівнянням. Логістичне рівняння має вигляд:\(f(x)=\frac{c}{1+a \cdot b^{x}}\)

    Букви\(a, b\) і\(c\) є константами, які можуть бути змінені відповідно до ситуації, що моделюється. Вам доведеться вирішувати за\(a\) та\(b\) з інформацією, яка надається вам у кожній проблемі. Константа особливо\(c\) важлива, оскільки це межа зростання. Це також відомо як вантажопідйомність.

    Наступна логістична функція має вантажопідйомність 2, яку можна безпосередньо спостерігати за її графіком.

    \(f(x)=\frac{2}{1+0.1^{x}}\)

    Важливе зауваження щодо логістичної функції полягає в тому, що вона має точку перегину. З попереднього графіка можна спостерігати, що в точці (0,1) графік переходить від кривої вгору (увігнутою вгору) до кривої вниз (увігнутою вниз). Ця зміна кривизни буде вивчена більше в обчисленні, але наразі важливо знати, що точка перегину відбувається на півдорозі між несучою здатністю та\(x\) віссю.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, для яких ситуацій підходить логістична модель. Логістична модель підходить, коли загальна кількість має верхню межу, а початкове зростання є експоненціальним. Прикладами є поширення чуток і хвороб у обмеженій популяції та зростання бактерій або людської популяції, коли ресурси обмежені.

    Приклад 2

    Слух поширюється в школі, яка має загальну кількість учнів 1200. Чотири людини знають слух, коли він починається, і через три дні триста людей знають чутки. Про те, скільки людей в школі знають слух до четвертого дня?

    У обмеженому населенні кількість людей, які знають чутку, є прикладом ситуації, яку можна змоделювати за допомогою логістичної функції. Населення становить 1200, так що це буде вантажопідйомність.

    Ідентифікаційна інформація:\(c=1200 ;(0,4) ;(3,300)\). Спочатку використовуйте точку (0,4), щоб вирішити для\(a\).

    \(\begin{aligned} \frac{1200}{1+a \cdot b^{0}} &=4 \\ \frac{1200}{1+a} &=4 \\ \frac{1200}{4} &=1+a \\ a &=299 \end{aligned}\)

    Далі використовуйте точку (3300), щоб вирішити для\(b\).

    \(\begin{aligned} \frac{1200}{1+299 \cdot b^{3}} &=300 \\ 4 &=1+299 b^{3} \\ \frac{3}{299} &=b^{3} \\ 0.21568 & \approx b \end{aligned}\)

    Моделювання рівняння при\(x=4\):

    \(f(x)=\frac{1200}{1+299 \cdot 0.21568^{x}} \rightarrow f(4) \approx 729\)люди

    Подібна картина росту буде існувати при будь-якому інфекційному захворюванні, яке швидко поширюється і може заразити людину чи тварину лише один раз.

    Приклад 3

    Особливий вид водоростей вирощується в гігантських прозорих пластикових резервуарах і може бути заготовлений для виготовлення біопалива. Водоростям дають багато їжі, води та сонячного світла, щоб швидко рости, і єдиним обмежуючим ресурсом є простір у резервуарі. Водорості збирають, коли 95% резервуара заповнене, залишаючи резервуар на 5% заповнений водоростями для відтворення та поповнення резервуара. В даний час між урожаями становить двадцять днів, а окупність становить 90% врожаю. Ви б порекомендували більш оптимальний графік збору врожаю?

    Визначте відомі величини та змоделюйте ріст водоростей.

    Відомі кількості: (0,0.05)\(;(20,0.95) ; c=1\) або\(100 \%\)

    \(\begin{aligned} 0.05 &=\frac{1}{1+a \cdot b^{0}} \\ 1+a &=\frac{1}{0.05} \\ a &=19 \\ 0.95 &=\frac{1}{1+19 \cdot b^{20}} \\ 1+19 \cdot b^{20} &=\frac{1}{0.95} \\ b^{20} &=\frac{\left(\frac{1}{0.95}-1\right)}{19} \\ b & \approx 0.74495 \end{aligned}\)

    Модель для росту водоростей:

    \(f(x)=\frac{1}{1+19 \cdot(0.74495)^{x}}\)

    Питання задається про оптимальний графік збору врожаю. В даний час урожай становить 90% на 20 день або одинична норма 4,5% на добу. Якщо скоротити час між урожаями, де водорості ростуть найбільш ефективно, то потенційно ця одинична норма може бути вищою. Припустимо, ви залишаєте 15% водоростей у резервуарі і збираєте урожай, коли він досягне 85%. Скільки часу це займе, щоб дати 70%?

    \(\begin{aligned} 0.15 &=\frac{1}{1+19 \cdot(0.74495)^{x}} \\ x_{1} & \approx 4.10897 \\ 0.85 &=\frac{1}{1+19 \cdot(0.74495)^{x}} \\ x_{2} & \approx 15.8914 \end{aligned}\)

    \(x_{2}-x_{1} \approx 15.8914-4.10897 \approx 11.78\)

    Потрібно близько 12 днів, щоб партії дали 70% врожаю, що становить одиничну норму близько 6% на день. Це значне підвищення ККД. Графік збору врожаю, який максимізує час, коли логістична крива найкрутіша, створює найшвидший загальний ріст водоростей.

    Приклад 4

    Визначте задану логістичну модель\(c=12\) і бали (0,9) і (1,11)

    Дві точки дають два рівняння, а логістична модель має дві змінні. Використовуйте ці пункти, щоб вирішити для\(a\) і\(b\).

    \(\begin{aligned} 9 &=\frac{12}{1+a \cdot b^{0}} \\ 1+a &=\frac{12}{9} \\ a &=\frac{1}{3} \\ 11 &=\frac{12}{1+\left(\frac{1}{3}\right) \cdot b^{1}} \\ 1+\left(\frac{1}{3}\right) \cdot b &=\frac{12}{11} \\ b &=0 . \overline{27}=\frac{3}{11} \end{aligned}\)

    Таким чином, приблизною моделлю є:

    \(f(x)=\frac{12}{1+\left(\frac{1}{3}\right) \cdot\left(\frac{3}{11}\right)^{x}}\)

    Приклад 5

    Визначте задану логістичну модель\(c=7\) і точки (0,2) і (3,5)

    Дві точки дають два рівняння, а логістична модель має дві змінні. Використовуйте ці два пункти, щоб
    вирішити для\(a\) і\(b\).

    \(\begin{aligned} 2 &=\frac{7}{1+a} \\ 1+a &=\frac{7}{2} \\ a &=2.5 \\ 5 &=\frac{7}{1+(2.5) \cdot b^{3}} \\ 1+(2.5) \cdot b^{3} &=\frac{7}{5} \\ b^{3} &=0.16 \\ b & \approx 0.5429 \end{aligned}\)

    Таким чином, приблизною моделлю є:

    \(f(x)=\frac{7}{1+(2.5) \cdot(0.5429)^{x}}\)

    Рецензія

    Для 1-5 визначають логістичну модель з урахуванням вантажопідйомності та двох точок.

    1. \(c=12 ;(0,5) ;(1,7)\)

    2. \(c=200 ;(0,150) ;(5,180)\)

    3. \(c=1500 ;(0,150) ;(10,1000)\)

    4. \(c=1000000 ;(0,100000) ;(-40,20000)\)

    5. \(c=30000000 ;(-60,10000) ;(0,8000000)\)

    Для\(6-8,\) використання логістичної функції\(f(x)=\frac{32}{1+3 e^{-x}}\)

    6. Яка вантажопідйомність функції?

    7. Що таке\(y\) -перехоплення функції?

    8. Використовуйте свої відповіді на 6 і 7 разом з принаймні двома точками на графіку, щоб зробити ескіз функції.

    Для\(9-11,\) використання логістичної функції\(g(x)=\frac{25}{1+4 \cdot 0.2^{x}}\)

    9. Яка вантажопідйомність функції?

    10. Що таке\(y\) -перехоплення функції?

    11. Використовуйте свої відповіді на 9 і 10 разом з принаймні двома точками на графіку, щоб зробити ескіз функції.

    Для\(12-14,\) використання логістичної функції\(h(x)=\frac{4}{1+2 \cdot 0.68^{x}}\)

    12. Яка вантажопідйомність функції?

    13. Що таке\(y\) -перехоплення функції?

    14. Використовуйте свої відповіді на 12 і 13 разом з принаймні двома точками на графіку, щоб зробити ескіз функції.

    15. Наведіть приклад логістичної функції, яка зменшується (моделі розпаду). Загалом, як можна з рівняння визначити, чи збільшується чи зменшується логістична функція?