3.7: Логістичні функції
- Page ID
- 54456
Експоненціальне зростання збільшується без обмежень. Це розумно для деяких ситуацій; однак для населення зазвичай існує певний тип верхньої межі. Це може бути викликано обмеженнями на їжу, простір або інші дефіцитні ресурси. Ефект цієї граничної верхньої межі - це крива, яка спочатку зростає експоненціально, а потім сповільнюється і майже не росте взагалі. Такий тип зростання називається логістичним зростанням. Які ще ситуації, коли логістичне зростання було б відповідною моделлю?
Логістичні функції
Логістичне зростання можна описати логістичним рівнянням. Логістичне рівняння має вигляд:\(f(x)=\frac{c}{1+a \cdot b^{x}}\)
Букви\(a, b\) і\(c\) є константами, які можуть бути змінені відповідно до ситуації, що моделюється. Вам доведеться вирішувати за\(a\) та\(b\) з інформацією, яка надається вам у кожній проблемі. Константа особливо\(c\) важлива, оскільки це межа зростання. Це також відомо як вантажопідйомність.
Наступна логістична функція має вантажопідйомність 2, яку можна безпосередньо спостерігати за її графіком.
\(f(x)=\frac{2}{1+0.1^{x}}\)
Важливе зауваження щодо логістичної функції полягає в тому, що вона має точку перегину. З попереднього графіка можна спостерігати, що в точці (0,1) графік переходить від кривої вгору (увігнутою вгору) до кривої вниз (увігнутою вниз). Ця зміна кривизни буде вивчена більше в обчисленні, але наразі важливо знати, що точка перегину відбувається на півдорозі між несучою здатністю та\(x\) віссю.
Приклади
Раніше вас запитали, для яких ситуацій підходить логістична модель. Логістична модель підходить, коли загальна кількість має верхню межу, а початкове зростання є експоненціальним. Прикладами є поширення чуток і хвороб у обмеженій популяції та зростання бактерій або людської популяції, коли ресурси обмежені.
Слух поширюється в школі, яка має загальну кількість учнів 1200. Чотири людини знають слух, коли він починається, і через три дні триста людей знають чутки. Про те, скільки людей в школі знають слух до четвертого дня?
У обмеженому населенні кількість людей, які знають чутку, є прикладом ситуації, яку можна змоделювати за допомогою логістичної функції. Населення становить 1200, так що це буде вантажопідйомність.
Ідентифікаційна інформація:\(c=1200 ;(0,4) ;(3,300)\). Спочатку використовуйте точку (0,4), щоб вирішити для\(a\).
\(\begin{aligned} \frac{1200}{1+a \cdot b^{0}} &=4 \\ \frac{1200}{1+a} &=4 \\ \frac{1200}{4} &=1+a \\ a &=299 \end{aligned}\)
Далі використовуйте точку (3300), щоб вирішити для\(b\).
\(\begin{aligned} \frac{1200}{1+299 \cdot b^{3}} &=300 \\ 4 &=1+299 b^{3} \\ \frac{3}{299} &=b^{3} \\ 0.21568 & \approx b \end{aligned}\)
Моделювання рівняння при\(x=4\):
\(f(x)=\frac{1200}{1+299 \cdot 0.21568^{x}} \rightarrow f(4) \approx 729\)люди
Подібна картина росту буде існувати при будь-якому інфекційному захворюванні, яке швидко поширюється і може заразити людину чи тварину лише один раз.
Особливий вид водоростей вирощується в гігантських прозорих пластикових резервуарах і може бути заготовлений для виготовлення біопалива. Водоростям дають багато їжі, води та сонячного світла, щоб швидко рости, і єдиним обмежуючим ресурсом є простір у резервуарі. Водорості збирають, коли 95% резервуара заповнене, залишаючи резервуар на 5% заповнений водоростями для відтворення та поповнення резервуара. В даний час між урожаями становить двадцять днів, а окупність становить 90% врожаю. Ви б порекомендували більш оптимальний графік збору врожаю?
Визначте відомі величини та змоделюйте ріст водоростей.
Відомі кількості: (0,0.05)\(;(20,0.95) ; c=1\) або\(100 \%\)
\(\begin{aligned} 0.05 &=\frac{1}{1+a \cdot b^{0}} \\ 1+a &=\frac{1}{0.05} \\ a &=19 \\ 0.95 &=\frac{1}{1+19 \cdot b^{20}} \\ 1+19 \cdot b^{20} &=\frac{1}{0.95} \\ b^{20} &=\frac{\left(\frac{1}{0.95}-1\right)}{19} \\ b & \approx 0.74495 \end{aligned}\)
Модель для росту водоростей:
\(f(x)=\frac{1}{1+19 \cdot(0.74495)^{x}}\)
Питання задається про оптимальний графік збору врожаю. В даний час урожай становить 90% на 20 день або одинична норма 4,5% на добу. Якщо скоротити час між урожаями, де водорості ростуть найбільш ефективно, то потенційно ця одинична норма може бути вищою. Припустимо, ви залишаєте 15% водоростей у резервуарі і збираєте урожай, коли він досягне 85%. Скільки часу це займе, щоб дати 70%?
\(\begin{aligned} 0.15 &=\frac{1}{1+19 \cdot(0.74495)^{x}} \\ x_{1} & \approx 4.10897 \\ 0.85 &=\frac{1}{1+19 \cdot(0.74495)^{x}} \\ x_{2} & \approx 15.8914 \end{aligned}\)
\(x_{2}-x_{1} \approx 15.8914-4.10897 \approx 11.78\)
Потрібно близько 12 днів, щоб партії дали 70% врожаю, що становить одиничну норму близько 6% на день. Це значне підвищення ККД. Графік збору врожаю, який максимізує час, коли логістична крива найкрутіша, створює найшвидший загальний ріст водоростей.
Визначте задану логістичну модель\(c=12\) і бали (0,9) і (1,11)
Дві точки дають два рівняння, а логістична модель має дві змінні. Використовуйте ці пункти, щоб вирішити для\(a\) і\(b\).
\(\begin{aligned} 9 &=\frac{12}{1+a \cdot b^{0}} \\ 1+a &=\frac{12}{9} \\ a &=\frac{1}{3} \\ 11 &=\frac{12}{1+\left(\frac{1}{3}\right) \cdot b^{1}} \\ 1+\left(\frac{1}{3}\right) \cdot b &=\frac{12}{11} \\ b &=0 . \overline{27}=\frac{3}{11} \end{aligned}\)
Таким чином, приблизною моделлю є:
\(f(x)=\frac{12}{1+\left(\frac{1}{3}\right) \cdot\left(\frac{3}{11}\right)^{x}}\)
Визначте задану логістичну модель\(c=7\) і точки (0,2) і (3,5)
Дві точки дають два рівняння, а логістична модель має дві змінні. Використовуйте ці два пункти, щоб
вирішити для\(a\) і\(b\).
\(\begin{aligned} 2 &=\frac{7}{1+a} \\ 1+a &=\frac{7}{2} \\ a &=2.5 \\ 5 &=\frac{7}{1+(2.5) \cdot b^{3}} \\ 1+(2.5) \cdot b^{3} &=\frac{7}{5} \\ b^{3} &=0.16 \\ b & \approx 0.5429 \end{aligned}\)
Таким чином, приблизною моделлю є:
\(f(x)=\frac{7}{1+(2.5) \cdot(0.5429)^{x}}\)
Рецензія
Для 1-5 визначають логістичну модель з урахуванням вантажопідйомності та двох точок.
1. \(c=12 ;(0,5) ;(1,7)\)
2. \(c=200 ;(0,150) ;(5,180)\)
3. \(c=1500 ;(0,150) ;(10,1000)\)
4. \(c=1000000 ;(0,100000) ;(-40,20000)\)
5. \(c=30000000 ;(-60,10000) ;(0,8000000)\)
Для\(6-8,\) використання логістичної функції\(f(x)=\frac{32}{1+3 e^{-x}}\)
6. Яка вантажопідйомність функції?
7. Що таке\(y\) -перехоплення функції?
8. Використовуйте свої відповіді на 6 і 7 разом з принаймні двома точками на графіку, щоб зробити ескіз функції.
Для\(9-11,\) використання логістичної функції\(g(x)=\frac{25}{1+4 \cdot 0.2^{x}}\)
9. Яка вантажопідйомність функції?
10. Що таке\(y\) -перехоплення функції?
11. Використовуйте свої відповіді на 9 і 10 разом з принаймні двома точками на графіку, щоб зробити ескіз функції.
Для\(12-14,\) використання логістичної функції\(h(x)=\frac{4}{1+2 \cdot 0.68^{x}}\)
12. Яка вантажопідйомність функції?
13. Що таке\(y\) -перехоплення функції?
14. Використовуйте свої відповіді на 12 і 13 разом з принаймні двома точками на графіку, щоб зробити ескіз функції.
15. Наведіть приклад логістичної функції, яка зменшується (моделі розпаду). Загалом, як можна з рівняння визначити, чи збільшується чи зменшується логістична функція?