3.7: Логістичні функції

Експоненціальне зростання збільшується без обмежень. Це розумно для деяких ситуацій; однак для населення зазвичай існує певний тип верхньої межі. Це може бути викликано обмеженнями на їжу, простір або інші дефіцитні ресурси. Ефект цієї граничної верхньої межі - це крива, яка спочатку зростає експоненціально, а потім сповільнюється і майже не росте взагалі. Такий тип зростання називається логістичним зростанням. Які ще ситуації, коли логістичне зростання було б відповідною моделлю?

Логістичні функції

Логістичне зростання можна описати логістичним рівнянням. Логістичне рівняння має вигляд:$f(x)=\frac{c}{1+a \cdot b^{x}}$

Букви$a, b$ і$c$ є константами, які можуть бути змінені відповідно до ситуації, що моделюється. Вам доведеться вирішувати за$a$ та$b$ з інформацією, яка надається вам у кожній проблемі. Константа особливо$c$ важлива, оскільки це межа зростання. Це також відомо як вантажопідйомність.

Наступна логістична функція має вантажопідйомність 2, яку можна безпосередньо спостерігати за її графіком.

$f(x)=\frac{2}{1+0.1^{x}}$

Важливе зауваження щодо логістичної функції полягає в тому, що вона має точку перегину. З попереднього графіка можна спостерігати, що в точці (0,1) графік переходить від кривої вгору (увігнутою вгору) до кривої вниз (увігнутою вниз). Ця зміна кривизни буде вивчена більше в обчисленні, але наразі важливо знати, що точка перегину відбувається на півдорозі між несучою здатністю та$x$ віссю.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, для яких ситуацій підходить логістична модель. Логістична модель підходить, коли загальна кількість має верхню межу, а початкове зростання є експоненціальним. Прикладами є поширення чуток і хвороб у обмеженій популяції та зростання бактерій або людської популяції, коли ресурси обмежені.

Приклад 2

Слух поширюється в школі, яка має загальну кількість учнів 1200. Чотири людини знають слух, коли він починається, і через три дні триста людей знають чутки. Про те, скільки людей в школі знають слух до четвертого дня?

У обмеженому населенні кількість людей, які знають чутку, є прикладом ситуації, яку можна змоделювати за допомогою логістичної функції. Населення становить 1200, так що це буде вантажопідйомність.

Ідентифікаційна інформація:$c=1200 ;(0,4) ;(3,300)$. Спочатку використовуйте точку (0,4), щоб вирішити для$a$.

$\begin{aligned} \frac{1200}{1+a \cdot b^{0}} &=4 \\ \frac{1200}{1+a} &=4 \\ \frac{1200}{4} &=1+a \\ a &=299 \end{aligned}$

Далі використовуйте точку (3300), щоб вирішити для$b$.

$\begin{aligned} \frac{1200}{1+299 \cdot b^{3}} &=300 \\ 4 &=1+299 b^{3} \\ \frac{3}{299} &=b^{3} \\ 0.21568 & \approx b \end{aligned}$

Моделювання рівняння при$x=4$:

$f(x)=\frac{1200}{1+299 \cdot 0.21568^{x}} \rightarrow f(4) \approx 729$люди

Подібна картина росту буде існувати при будь-якому інфекційному захворюванні, яке швидко поширюється і може заразити людину чи тварину лише один раз.

Приклад 3

Особливий вид водоростей вирощується в гігантських прозорих пластикових резервуарах і може бути заготовлений для виготовлення біопалива. Водоростям дають багато їжі, води та сонячного світла, щоб швидко рости, і єдиним обмежуючим ресурсом є простір у резервуарі. Водорості збирають, коли 95% резервуара заповнене, залишаючи резервуар на 5% заповнений водоростями для відтворення та поповнення резервуара. В даний час між урожаями становить двадцять днів, а окупність становить 90% врожаю. Ви б порекомендували більш оптимальний графік збору врожаю?

Визначте відомі величини та змоделюйте ріст водоростей.

Відомі кількості: (0,0.05)$;(20,0.95) ; c=1$ або$100 \%$

$\begin{aligned} 0.05 &=\frac{1}{1+a \cdot b^{0}} \\ 1+a &=\frac{1}{0.05} \\ a &=19 \\ 0.95 &=\frac{1}{1+19 \cdot b^{20}} \\ 1+19 \cdot b^{20} &=\frac{1}{0.95} \\ b^{20} &=\frac{\left(\frac{1}{0.95}-1\right)}{19} \\ b & \approx 0.74495 \end{aligned}$

Модель для росту водоростей:

$f(x)=\frac{1}{1+19 \cdot(0.74495)^{x}}$

Питання задається про оптимальний графік збору врожаю. В даний час урожай становить 90% на 20 день або одинична норма 4,5% на добу. Якщо скоротити час між урожаями, де водорості ростуть найбільш ефективно, то потенційно ця одинична норма може бути вищою. Припустимо, ви залишаєте 15% водоростей у резервуарі і збираєте урожай, коли він досягне 85%. Скільки часу це займе, щоб дати 70%?

$\begin{aligned} 0.15 &=\frac{1}{1+19 \cdot(0.74495)^{x}} \\ x_{1} & \approx 4.10897 \\ 0.85 &=\frac{1}{1+19 \cdot(0.74495)^{x}} \\ x_{2} & \approx 15.8914 \end{aligned}$

$x_{2}-x_{1} \approx 15.8914-4.10897 \approx 11.78$

Потрібно близько 12 днів, щоб партії дали 70% врожаю, що становить одиничну норму близько 6% на день. Це значне підвищення ККД. Графік збору врожаю, який максимізує час, коли логістична крива найкрутіша, створює найшвидший загальний ріст водоростей.

Приклад 4

Визначте задану логістичну модель$c=12$ і бали (0,9) і (1,11)

Дві точки дають два рівняння, а логістична модель має дві змінні. Використовуйте ці пункти, щоб вирішити для$a$ і$b$.

$\begin{aligned} 9 &=\frac{12}{1+a \cdot b^{0}} \\ 1+a &=\frac{12}{9} \\ a &=\frac{1}{3} \\ 11 &=\frac{12}{1+\left(\frac{1}{3}\right) \cdot b^{1}} \\ 1+\left(\frac{1}{3}\right) \cdot b &=\frac{12}{11} \\ b &=0 . \overline{27}=\frac{3}{11} \end{aligned}$

Таким чином, приблизною моделлю є:

$f(x)=\frac{12}{1+\left(\frac{1}{3}\right) \cdot\left(\frac{3}{11}\right)^{x}}$

Приклад 5

Визначте задану логістичну модель$c=7$ і точки (0,2) і (3,5)

Дві точки дають два рівняння, а логістична модель має дві змінні. Використовуйте ці два пункти, щоб
вирішити для$a$ і$b$.

$\begin{aligned} 2 &=\frac{7}{1+a} \\ 1+a &=\frac{7}{2} \\ a &=2.5 \\ 5 &=\frac{7}{1+(2.5) \cdot b^{3}} \\ 1+(2.5) \cdot b^{3} &=\frac{7}{5} \\ b^{3} &=0.16 \\ b & \approx 0.5429 \end{aligned}$

Таким чином, приблизною моделлю є:

$f(x)=\frac{7}{1+(2.5) \cdot(0.5429)^{x}}$

Рецензія

Для 1-5 визначають логістичну модель з урахуванням вантажопідйомності та двох точок.

1. $c=12 ;(0,5) ;(1,7)$

2. $c=200 ;(0,150) ;(5,180)$

3. $c=1500 ;(0,150) ;(10,1000)$

4. $c=1000000 ;(0,100000) ;(-40,20000)$

5. $c=30000000 ;(-60,10000) ;(0,8000000)$

Для$6-8,$ використання логістичної функції$f(x)=\frac{32}{1+3 e^{-x}}$

6. Яка вантажопідйомність функції?

7. Що таке$y$ -перехоплення функції?

8. Використовуйте свої відповіді на 6 і 7 разом з принаймні двома точками на графіку, щоб зробити ескіз функції.

Для$9-11,$ використання логістичної функції$g(x)=\frac{25}{1+4 \cdot 0.2^{x}}$

9. Яка вантажопідйомність функції?

10. Що таке$y$ -перехоплення функції?

11. Використовуйте свої відповіді на 9 і 10 разом з принаймні двома точками на графіку, щоб зробити ескіз функції.

Для$12-14,$ використання логістичної функції$h(x)=\frac{4}{1+2 \cdot 0.68^{x}}$

12. Яка вантажопідйомність функції?

13. Що таке$y$ -перехоплення функції?

14. Використовуйте свої відповіді на 12 і 13 разом з принаймні двома точками на графіку, щоб зробити ескіз функції.

15. Наведіть приклад логістичної функції, яка зменшується (моделі розпаду). Загалом, як можна з рівняння визначити, чи збільшується чи зменшується логістична функція?