3.4: Властивості журналів

Функції журналу є оберненнями експоненціальних функцій. Це означає, що домен одного - це діапазон іншого. Це надзвичайно корисно при вирішенні рівняння, а невідоме знаходиться в експоненті. Перш ніж розв'язувати рівняння, ви повинні мати можливість спростити вирази, що містять журнали. Правила показників застосовуються, але неочевидними способами. Для того, щоб отримати концептуальний обробник властивостей журналів, може бути корисно постійно запитати, що представляє вираз журналу? Наприклад, що являє$\log _{10} 1,000$ собою?

Властивості журналу

Експоненціальні та логарифмічні вирази мають однакові 3 складові. Кожен з них пишеться по-різному, так що різна змінна ізольована. Наступні два рівняння еквівалентні один одному.

$b^{x}=a \leftrightarrow \log _{b} a=x$

Експоненціальне рівняння зліва читається "$b$до влади$x$ є»$a$. Логарифмічне рівняння праворуч читається «log base$b$ of$a$ is$x$».

Два найбільш поширених підстави для колод - 10 і$e$. На рівні Preculus колода сама по собі має на увазі під собою колоду підставу 10 і$I n$ має на увазі підставу$e . I n$ називається натуральним колодою. Одним з важливих обмежень для всіх функцій журналу є те, що вони повинні мати строго позитивні числа в своїх аргументах. Отже, якщо ви натиснете на калькуляторі log -2 або log 0, він видасть помилку.

Існує три основні властивості журналів, які співвідносяться з властивостями експонент.

Додавання/множення

$\log _{b} x+\log _{b} y=\log _{b}(x \cdot y)$
$b^{w+z}=b^{w} \cdot b^{z}$

Віднімання/поділ

$\log _{b} x-\log _{b} y=\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)$
$b^{w-z}=\frac{b^{w}}{b^{z}}$

Піднесення до степеня

$\log _{b}\left(x^{n}\right)=n \cdot \log _{b} x$
$\left(b^{w}\right)^{n}=b^{w \cdot n}$

Є також кілька стандартних результатів, які слід запам'ятати і повинні служити базовими довідковими інструментами.

• $\log _{b} 1=0$
• $\log _{b} b=1$
• $\log _{b}\left(b^{x}\right)=x$
• $b^{\log _{b} x}=x$

Приклад

Приклад 1

Раніше вас запитали, що$\log _{10} 1,000$ собою являє. Вираз журналу представляє експоненту. вираз$\log _{10} 1,000$

являє собою число 3.

$\log _{10} 1000=\log _{10} 10^{3}=3$

Причина пам'ятати про це в тому, що він може затвердіти властивості колод. Наприклад, додавання експонентів передбачає множення підстав. Таким чином, додавання колод означає, що основи експонент множаться.

Приклад 2

Запишіть вираз як логарифм одного аргументу.

$\log _{2} 12+\log _{4} 6-\log _{2} 24$

Зверніть увагу, що вираз центру має іншу основу. Спочатку змініть його на базу 2, перейшовши назад до експоненціальної форми.

$\begin{aligned} \log _{4} 6 &=x \leftrightarrow 4^{x}=6 \\ 2^{2 x} &=6 \leftrightarrow \log _{2} 6=2 x \\ x &=\frac{1}{2} \log _{2} 6=\log _{2} 6^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$

Таким чином, вираз з тією ж основою є:

$\begin{aligned} \log _{2} 12+\log _{2} 6^{\frac{1}{2}}-\log _{2} 24 &=\log _{2}\left(\frac{12 \cdot \sqrt{6}}{24}\right) \\ &=\log _{2}\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) \end{aligned}$

Приклад 3

Доведіть такий ідентифікатор журналу:

$\log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}$

Почніть з того, щоб ліва частина рівняння дорівнювала$x$. Потім перепишіть в експоненціальній формі, маніпулюйте та перепишіть назад у логарифмічній формі, поки не отримаєте вираз з лівого боку рівняння.

$\begin{aligned} \log _{a} b &=x \\ a^{x} &=b \\ a &=b^{\frac{1}{x}} \\ \log _{b} a &=\log _{b} b^{\frac{1}{z}}=\frac{1}{x} \\ x &=\frac{1}{\log _{b} a} \end{aligned}$

Тому,$\frac{1}{\log _{b} a}=\log _{a} b$ тому що обидва вирази рівні$x$.

Приклад 4

Перепишіть наступний вираз під одним журналом.

$\begin{aligned} \ln e-\ln 4 x+2\left(e^{\ln x} \cdot \ln 5\right) &=\ln \left(\frac{e}{4 x}\right)+2 x \cdot \ln 5 \\ &=\ln \left(\frac{e}{4 x}\right)+\ln \left(5^{2 x}\right) \\ &=\ln \left(\frac{e \cdot 5^{2 x}}{4 x}\right) \end{aligned}$

Приклад 5

Правда чи брехня:

$\left(\log _{3} 4 x\right) \cdot\left(\log _{3} 5 y\right)=\log _{3}(4 x+5 y)$

Помилкові. Це правда, що журнал продукту - це сума колод. Неправда, що твір колод - це журнал суми.

Рецензія

Вирішіть, чи є кожне з наступних тверджень істинним чи хибним. Поясніть.

1. $\frac{\log x}{\log y}=\log \left(\frac{x}{y}\right)$

2. $(\log x)^{n}=n \log x$

3. $\log x+\log y=\log x y$

Перепишіть кожне з наступних виразів під одним журналом і спростіть.

4. $\log 4 x+\log (2 x+4)$

5. $5 \log x+\log x$

6. $4 \log _{2} x+\frac{1}{2} \log _{2} 9-\log _{2} y$

7. $6 \log _{3} z^{2}+\frac{1}{4} \log _{3} y^{8}-2 \log _{3} z^{4} y$

Максимально розгорніть вираз.

8. $\log _{4}\left(\frac{2 x^{3}}{5}\right)$

9. $\ln \left(\frac{4 x y^{2}}{15}\right)$

10. $\log \left(\frac{x^{2}(y z)^{3}}{3}\right)$

Перевести з експоненціальної форми в логарифмічну форму.

11. $2^{x+1}+4=14$

Перевести з логарифмічної форми в експоненціальну форму.

12. $\log _{2}(x-1)=12$

Доведіть наступні властивості логарифмів.

13. $\log _{b^{n}} x=\frac{1}{n} \log _{b} x$

14. $\log _{b^{n}} x^{n}=\log _{b} x$

15. $\log _{\frac{1}{6}} \frac{1}{x}=\log _{b} x$

...