3.2: Властивості експонентів

Важливо швидко і ефективно маніпулювати алгебраїчними виразами за участю експонентів. Одне спрощення, яке часто виникає, полягає в тому, що вирази та числа, підняті до потужності 0, завжди рівні 1. Чому це правда і чи завжди це правда?

Властивості експоненти

Розглянемо наступні експоненціальні вирази з однаковою базою і те, що відбувається через алгебраїчні операції. Ви повинні відчувати себе комфортно при всіх перерахованих видах маніпуляцій. \(b^{y}, b^{x}\)Дозволяти бути експоненціальними термінами.

Додавання і віднімання

\(b^{x} \pm b^{y}=b^{x} \pm b^{y}\)

Тільки в особливому випадку, коли терміни\(x=y\) можуть бути об'єднані. Це основна властивість комбінування подібних термінів.

множення

\(b^{x} \cdot b^{y}=b^{x+y}\)

Коли основи однакові, то можна додати експоненти.

Відділ

\(\frac{b^{x}}{b^{y}}=b^{x-y}\)

Правило ділення є продовженням правила множення з можливістю негативного в показнику.

Негативний показник

\(b^{-x}=\frac{1}{b^{x}}\)

Негативний показник означає зворотний.

Дробова експонента

\((b)^{\frac{1}{x}}=\sqrt[x]{b}\)

Квадратні корені - це те, про що думає більшість людей, коли вони думають про коріння, але коріння можна взяти з будь-яким дійсним числом, використовуючи дробові показники.

повноваження повноважень

\(\left(b^{x}\right)^{y}=b^{x \cdot y}\)

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, чому вирази та числа, підняті до ступеня 0, завжди дорівнюють 1. Розглянемо наступну закономірність і вирішуємо, яким повинен бути наступний член в послідовності:

16, 8, 4, 2, ___

Має сенс, що наступний термін дорівнює 1, оскільки кожен наступний термін вдвічі менше попереднього терміну. Ці цифри відповідають степеням 2.

\(2^{4}, 2^{3}, 2^{2}, 2^{1}\)

У цьому випадку ви можете вирішити, що наступний термін повинен бути\(2^{0}\). Це корисна методика для запам'ятовування того, що відбувається, коли число піднімається до потужності 0.

Одне питання, яке розширює цю ідею, полягає в тому, що таке цінність\(0^{0}\)? Люди сперечалися з цього приводу століттями. Ейлер стверджував, що це має бути 1, і багато інших математиків, таких як Коші та Мобіус, також стверджували. Якщо ви шукаєте сьогодні ви все ще знайдете людей, які обговорюють те, що має сенс. На практиці багато математиків відзначають це значення як невизначене.

Приклад 2

Спрощуйте наступний вираз, поки всі експоненти не будуть позитивними.

\(\frac{\left(a^{-2} b^{3}\right)^{-3}}{a b^{2} c^{0}}\)

\(\frac{\left(a^{-2} b^{3}\right)^{-3}}{a b^{2} c^{0}}=\frac{a^{6} b^{-9}}{a b^{2} \cdot 1}=\frac{a^{5}}{b^{11}}\)

Приклад 3

Спрощуйте наступний вираз, поки всі експоненти не будуть позитивними.

\((2 x)^{5} \cdot \frac{4^{2}}{2^{-3}}\)

\((2 x)^{5} \cdot \frac{4^{2}}{2^{-3}}=\frac{2^{5} x^{5} 2^{4}}{2^{-3}}=\frac{2^{9} x^{5}}{2^{-3}}=2^{12} x^{5}\)

Приклад 4

Спростіть наступний вираз за допомогою позитивних показників.

\(\frac{\left(2^{6} \cdot 8^{3}\right)^{-3}}{4^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{4} 64^{\frac{1}{3}}}\)

Перепишіть кожен показник у міру 2.

Наприклад\(8^{3}=\left(2^{3}\right)^{3}=2^{9}\) і\(64^{\frac{1}{3}}=\left(2^{6}\right)^{\frac{1}{3}}=2^{2}\)

\(\frac{\left(2^{6} \cdot 8^{3}\right)^{-3}}{4^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{4} 64^{\frac{1}{3}}}=\frac{\left(2^{6} \cdot 2^{9}\right)^{-3}}{2^{4} 2^{-4} 2^{2}}=\frac{\left(2^{15}\right)^{-3}}{2^{2}}=\frac{2^{-45}}{2^{2}}=\frac{1}{2^{47}}\)

Приклад 5

Розв'яжіть наступне рівняння, використовуючи властивості експонент.

\(\left(32^{0.6}\right)^{2}=x^{3}\)

Спочатку працюйте з лівою стороною рівняння.

\(\begin{aligned}\left(32^{0.6}\right)^{2} &=\left(\left(2^{5}\right)^{\frac{3}{5}}\right)^{2}=2^{6} \\ 2^{6} &=x^{3} \\\left(2^{6}\right)^{\frac{1}{3}} &=\left(x^{3}\right)^{\frac{1}{3}} \\ 2^{2} &=x \\ 4 &=x \end{aligned}\)

Рецензія

Спростіть кожний вираз за допомогою позитивних показників.

1. \(81^{-\frac{1}{4}}\)

2. \(64^{\frac{2}{3}}\)

\(3 .\left(\frac{1}{32}\right)^{-\frac{2}{5}}\)

\(4 .(-125)^{\frac{1}{3}}\)

5. \(\left(4 x^{3} y\right)\left(3 x^{5} y^{2}\right)^{4}\)

6. \(\left(5 x^{3} y^{2}\right)^{2}\left(7 x^{3} y\right)^{2}\)

7. \(\frac{8 a^{3} b^{-2}}{\left(-4 a^{2} b^{4}\right)^{-2}}\)

8. \(\frac{5 x^{2} y^{-3}}{\left(-2 x^{3} y^{2}\right)^{-4}}\)

9. \(\left(\frac{3 m^{3} n^{-4}}{2 m^{-5} n^{-2}}\right)^{-4}\)

10. \(\left(\frac{4 m^{-3} n^{-4}}{5 m^{5} n^{-4}}\right)^{-3}\)

11. \(\left(\frac{a^{-1} b}{a^{5} b^{4}}\right)^{-3}\)

12. \(\frac{15 c^{-2} d^{-6}}{3 c^{-4} d^{-2}}\)

13. \(\frac{12 e^{5} f}{\left(-2 e f^{3}\right)^{-2}}\)

Вирішіть наступні рівняння, використовуючи властивості експонент.

14. \(\left(81^{0.75}\right)^{2}=x^{3}\)

15. \(\left(64^{\frac{1}{6}}\right)^{-3}=x^{3}\)