3.3: Наукові позначення

У науці вимірювання часто надзвичайно малі або надзвичайно великі. Неефективно записувати багато нулів у дуже малих числах, таких як 0.00000000000000523. Зазвичай порядок і кілька перших цифр числа - це те, що цікавить людей. Як ви повинні представляти ці крайні числа?

Наукові позначення

Наукові позначення - це засіб представлення дуже великих і дуже малих чисел більш ефективним способом. Загальна форма наукового позначення - це$a \cdot 10^{b}$

$a$Це число від 1 до 10 і найчастіше включає десяткове число. Ціле число$b$ називається порядком і є мірою загального розміру числа. Якщо$b$ негативний, то число невелике, а$b$ якщо позитивне, то число велике.

$1,240,000=1.24 \cdot 10^{6}$
$0.0000354=3.54 \cdot 10^{-5}$

Зверніть увагу, що при переході на наукове позначення і з нього знак$b$ вказує, в якому напрямку і на скільки знаків слід перемістити десяткову крапку.

Візьмемо число 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 22 кг. Йдеться про масу електрона. Число занадто довге, щоб виписувати весь час, тому найкраще писати його в науковому позначенні.

Щоб записати це число в наукові позначення, підрахуйте кількість десяткових знаків, які ви повинні перемістити, щоб визначити показник. Оскільки десяткова кома рухається вправо, вона повинна бути від'ємною експонентою. Маса електрона, записана в науковому позначенні, це:

$9.1093822 \cdot 10^{-31}$

Множення і ділення чисел, які знаходяться в науковому позначенні, є лише вправою в експонентних правилах:

$\begin{aligned}\left(a \cdot 10^{x}\right) \cdot\left(b \cdot 10^{y}\right) &=a \cdot b \cdot 10^{x+y} \\\left(a \cdot 10^{x}\right) \div\left(b \cdot 10^{y}\right) &=\frac{a}{b} \cdot 10^{x-y} \end{aligned}$

Додавання та віднімання вимагають, щоб числа мали однаковий порядок величин.

$1.2 \cdot 10^{6}-5.5 \cdot 10^{5}=12 \cdot 10^{5}-5.5 \cdot 10^{5}=6.5 \cdot 10^{5}$

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як представляти числа з великою кількістю нулів або перед десятковою крапкою, або після неї. Для того, щоб представити надзвичайно велике або мале число, слід порахувати кількість ходів, необхідне для того, щоб десяткова крапка була безпосередньо після першої ненульової цифри. Цей підрахунок буде на порядок і буде використовуватися як показник 10 як засіб представлення того, наскільки велике чи мале число.

Приклад 2

Окружність Землі становить приблизно 40 000 000 метрів. Який радіус землі в наукових позначеннях?

Співвідношення між окружністю і радіусом є$C=2 \pi r$.

$\begin{aligned} 4.0 \cdot 10^{7} &=2 \pi r \\ r &=\frac{4.0}{2 \pi} \cdot 10^{7} \approx 0.6366 \ldots 10^{7}=6.366 \cdot 10^{6} \end{aligned}$

Зверніть увагу, що кількість необхідних значущих цифр залежить від кількості значущих цифр (або значущих цифр) у вихідних вимірах. Цей приклад є наближенням, тому кількість значущих цифр не обов'язково точна.

Приклад 3

Замовте наступні числа від найменшого до найбільшого.

$\begin{array}{lllll}5.411 \cdot 10^{-3} & 7.837 \cdot 10^{-4} & 9.999 \cdot 10^{3} & 9.5983 \cdot 10^{-7} & 8.0984 \cdot 10^{3}\end{array}$

Спочатку розглянемо порядок кожного числа. Невеликі числа мають негативні показники. Якщо два числа мають однаковий порядок, то порівняйте фактичні цифри.

$9.5983 \cdot 10^{-7}<7.837 \cdot 10^{-4}<5.411 \cdot 10^{-3}<8.0984 \cdot 10^{3}<9.999 \cdot 10^{3}$

Приклад 4

Обчислити наступне число і використовувати наукові позначення.

$2,000,000^{3} \cdot 3,000^{4}$

Спочатку перетворюйте кожне число в наукові позначення окремо, потім обробляйте показник і множення.

$\begin{aligned} 2,000,000^{3} \cdot 3,000^{4} &=\left(2 \cdot 10^{6}\right)^{3} \cdot\left(3 \cdot 10^{3}\right)^{4} \\ &=8 \cdot 10^{18} \cdot 81 \cdot 10^{12} \\ &=648 \cdot 10^{30} \\ &=6.48 \cdot 10^{32} \end{aligned}$

Приклад 5

Спростіть наступний вираз.

$\left(4.713 \cdot 10^{7}\right)+\left(8.985 \cdot 10^{5}\right)-\left(4.987 \cdot 10^{2}\right) \cdot\left(7.3 \cdot 10^{-6}\right) \div\left(6.74 \cdot 10^{-9}\right)$

Вирішити в порядку стандартного порядку операцій

$\left(4.713 \cdot 10^{7}\right)+\left(8.985 \cdot 10^{5}\right)-\left(4.987 \cdot 10^{2}\right) \cdot\left(7.3 \cdot 10^{-6}\right) \div\left(6.74 \cdot 10^{-9}\right)$
$=\left(4.713 \cdot 10^{7}\right)+\left(8.985 \cdot 10^{5}\right)-\left(5.40135 \cdot 10^{5}\right)$
$=\left(471.3 \cdot 10^{5}\right)+\left(8.985 \cdot 10^{5}\right)-\left(5.40135 \cdot 10^{5}\right)$
$=474.8836499 \cdot 10^{5}$
$=4.748836499 \cdot 10^{7}$

Рецензія

Запишіть наступні числа в науковому позначенні.

1. 152 780

2. 0,00003256

3. 56, 320

4. 0,0821

5. 1 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000

6. 7,32

7. Якщо федеральний бюджет становить 1,5 трлн доларів, то скільки це коштує кожній особі, в середньому, якщо там 300 000 000 чоловік?

8. Бібліотека Конгресу налічує близько 60 000 000 предметів. Як ви могли висловити це число в наукових позначеннях?

9. Сонце розвиває$5 \times 10^{23}$ кінські сили в секунду. Скільки виробляється кінських сил в день? У році з 365 днями?

10. Світловий рік становить близько 5 869 713 600 миль. Космічний корабель подорожує$8.23 \times 10^{4}$ милями на годину. Скільки часу знадобиться космічному кораблю, щоб подорожувати світловий рік?

11. Обчислити наступне число і використовувати наукові позначення:$324,000 \cdot 30,000^{3}$.

12. Обчислити наступне число і використовувати наукові позначення:$14,300 \cdot 20,200^{2}$.

Спростіть наступні вирази.

13. $\left(3.29 \cdot 10^{4}\right)-\left(3.295 \cdot 10^{5}\right)+\left(1.25 \cdot 10^{2}\right) \cdot\left(3.97 \cdot 10^{15}\right) \cdot\left(5.8 \cdot 10^{-6}\right)$

14. $\left(1.95 \cdot 10^{2}\right)+\left(6.798 \cdot 10^{6}\right)+\left(2.896 \cdot 10^{3}\right) \cdot\left(5.6 \cdot 10^{-3}\right) \div\left(2.89 \cdot 10^{4}\right)$

15. $\left(2.158 \cdot 10^{7}\right) \cdot\left(1.679 \cdot 10^{6}\right)-\left(9.98 \cdot 10^{4}\right) \cdot\left(3.4 \cdot 10^{-2}\right)$