3.5: Зміна бази

Хоча можна змінювати бази, завжди повертаючись до експоненціальної форми, ефективніше з'ясувати, як змінити базу логарифмів загало. оскільки на більшості калькуляторів є лише базові$e$ та базові 10 логарифмів, як би ви оцінили такий вираз$\log _{3} 12$?

Зміна бази логарифмів

Зміна базової власності говорить:

$\log _{b} x=\frac{\log _{a} x}{\log _{a} b}$

Ви можете отримати цю формулу шляхом перетворення$\log _{b} x$ в експоненціальну форму, а потім взявши основу журналу$x$ з обох сторін. Це показано нижче.

$\begin{aligned} \log _{b} x &=y \\ b^{y} &=x \\ \log _{a} b^{y} &=\log _{a} x \\ y \log _{a} b &=\log _{a} x \\ y &=\frac{\log _{a} x}{\log _{a} b} \end{aligned}$

Тому,$\log _{b} x=\frac{\log _{a} x}{\log _{a} b}$

Якщо ви повинні були оцінити$\log _{3} 4$ за допомогою калькулятора, можливо, вам доведеться скористатися зміною базової формули, оскільки деякі калькулятори мають лише базу 10 або базу$e$. Результатом буде:

$\log _{3} 4=\frac{\log _{10} 4}{\log _{10} 3}=\frac{\ln 4}{\ln 3} \approx 1.262$

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як використовувати калькулятор для оцінки виразу на кшталт$\log _{3} 12$. Для того, щоб оцінити вираз, як у$\log _{3} 12$ вас є кілька варіантів на калькуляторі:

$\frac{\ln 12}{\ln 3}=\frac{\log 12}{\log 3} \approx 2.26$

Деякі графічні калькулятори також мають інший варіант. Натисніть MATH, а потім кнопки A і введіть$\log _{3} 12$

Приклад 2

Доведіть наступну ідентифікацію журналу.

$\log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}$

$\log _{a} b=\frac{\log _{x} b}{\log _{x} a}=\frac{1}{\frac{\log _{x} a}{\log _{x} b}}=\frac{1}{\log _{b} a}$

Приклад 3

Спростіть до точного результату:$\left(\log _{4} 5\right) \cdot\left(\log _{3} 4\right) \cdot\left(\log _{5} 81\right) \cdot\left(\log _{5} 25\right)$

$\frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 4}{\log 3} \cdot \frac{\log 3^{4}}{\log 5} \cdot \frac{\log 5^{2}}{\log 5}=\frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 4}{\log 3} \cdot \frac{4 \cdot \log 3}{\log 5} \cdot \frac{2 \cdot \log 5}{\log 5}=4 \cdot 2=8$

Приклад 4

Оцініть:$\log _{2} 48-\log _{4} 36$

$\begin{aligned} \log _{2} 48-\log _{4} 36 &=\frac{\log 48}{\log 2}-\frac{\log 36}{\log 4} \\ &=\frac{\log 48}{\log 2}-\frac{\log 6^{2}}{\log 2^{2}} \\ &=\frac{\log 48}{\log 2}-\frac{2 \cdot \log 6}{2 \cdot \log 2} \\ &=\frac{\log 48-\log 6}{\log 2} \\ &=\frac{\log \left(\frac{48}{6}\right)}{\log 2} \\ &=\frac{\log 8}{\log 2} \\ &=\frac{\log 2^{3}}{\log 2} \\ &=\frac{3 \cdot \log 2}{\log 2} \\ &=3 \end{aligned}$

Приклад 5

Задано$\log _{3} 5 \approx 1.465$ знайти$\log _{25} 27$ без використання кнопки журналу на калькуляторі.

$\log _{25} 27=\frac{\log 3^{3}}{\log 5^{2}}=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\left(\frac{\log 5}{\log 3}\right)}=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\log _{3} 5} \approx \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1.465}=1.0239$

Рецензія

Оцініть кожен вираз, змінивши базу і скориставшись калькулятором.

1. $\log _{6} 15$

2. $\log _{9} 12$

3. $\log _{5} 25$

Оцініть кожен вираз.

4. $\log _{8}\left(\log _{4}\left(\log _{3} 81\right)\right)$

5. $\log _{2} 3 \cdot \log _{3} 4 \cdot \log _{6} 16 \cdot \log _{4} 6$

6. $\log 125 \cdot \log _{9} 4 \cdot \log _{4} 81 \cdot \log _{5} 10$

7. $\log _{5}\left(5^{\log _{5} 125}\right)$

8. $\log \left(\log _{6}\left(\log _{2} 64\right)\right)$

9. $10^{\log _{100} 9}$

10. $\left(\log _{4} x\right)\left(\log _{x} 16\right)$

11. $\log _{49} 49^{5}$

12. $3 \log _{24} 24^{8}$

13. $4^{\log _{2} 3}$

Доведіть наступні властивості логарифмів.

14. $\left(\log _{a} b\right)\left(\log _{b} c\right)=\log _{a} c$

15. $\left(\log _{a} b\right)\left(\log _{b} c\right)\left(\log _{c} d\right)=\log _{a} d$