2.2: Розширений факторинг

Різницю досконалих квадратів можна узагальнити як метод факторингу. За розширенням, будь-яка різниця між термінами, які піднімаються до рівної потужності, як\(a^{6}-b^{6}\) може бути врахована за допомогою різниці техніки ідеальних квадратів. Це тому, що навіть повноваження завжди можна записати як ідеальні квадрати:

\[a^{6}-b^{6}=\left(a^{3}\right)^{2}-\left(b^{3}\right)^{2}. \nonumber\]

А як щодо суми або різниці термінів із відповідністю непарних держав? Як вони можуть бути враховані?

Більше методів факторингу

Факторинг триноміала форми\(a x^{2}+b x+c\) набагато складніше, коли\(a \neq 1\). Існує
чотири прийоми, які можуть бути використані для фактора таких виразів.

Вгадай і перевіряй

Освічений метод здогадки та перевірки може зайняти багато часу, але якщо перший і останній коефіцієнт мають лише кілька факторів, існує кінцева кількість можливостей. Візьмемо вираз:

\(6 x^{2}-13 x-28\)

6 можуть бути враховані на наступні чотири пари:

1, 6

2, 3

-1, -6

-2, -3

-28 можна враховувати на наступні дванадцять пар:

1, -28 або -28, 1

-1, 28 або 28, -1

2, -14 або -14, 2

-2, 14 або 14, -2

4, -7 або -7, 4

-4, -7 або -7, -4

Правильно врахований вираз знадобиться пара з верхнього списку і пара з нижнього списку. Це 48 можливих комбінацій, щоб спробувати.

Якщо ви спробуєте першу пару з кожного списку і помножити, ви побачите, що перший і останній коефіцієнти правильні, але\(b\) коефіцієнт - ні.

\((1 x+1)(6 x-28)=6 x^{2}-28 x+6 x-28\)

Системний підхід до кожної з 48 можливих комбінацій - найкращий спосіб уникнути пропуску правильної пари. В даному випадку це:

\((2 x-7)(3 x+4)=6 x^{2}+8 x-21 x-28=6 x^{2}-13 x-28\)

Цей метод може бути надзвичайно довгим і сильно покладатися на гарне ворожіння, тому інші методи є кращими.

Факторинг за групуванням

Наступний метод факторингу - факторинг шляхом групування. Припустимо, ви починаєте з виразу вже в факторованому вигляді:

\(12 x^{2}+4 x z+3 x y+y z\)

Зверніть увагу, що перші два члени діляться як на 4, так\(x\) і останні два члени діляться на\(y\). По-перше, враховуйте ці загальні фактори, а потім помітите, що з'являється другий шар загальних факторів. Біноміал тепер\((3 x+z)\) є загальним для обох термінів і може бути врахований так само, як і раніше.

\(\begin{aligned} 12 x^{2}+4 x z+3 x y+y z &=4 x(3 x+z)+y(3 x+z) \\ &=(3 x+z)(4 x+y) \end{aligned}\)

Щоб перевірити свою роботу, помножте біноміали і порівняйте їх з вихідним виразом.

\((4 x+y)(3 x+z)=12 x^{2}+4 x z+3 x y+y z\)

Зазвичай, коли ви множите факторну форму многочлена, два члени можуть бути об'єднані, оскільки вони схожі на терміни. При цьому немає подібних термінів, які можна комбінувати.

Квадратична формула

Альтернативний метод множинних многочленів використовує квадратичну формулу як підказку, хоча це вираз, а не рівняння, рівне нулю.

\(6 x^{2}-13 x-28\)

\(a=6, b=-13, c=-28\)

\(\begin{aligned} x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}=\frac{13 \pm \sqrt{169-4 \cdot 6 \cdot-28}}{2 \cdot 6} &=\frac{13 \pm 29}{12} \\=\frac{13+29}{12} &=\frac{42}{12}=\frac{7}{2} \\ &=\frac{13-29}{12}=-\frac{16}{12}=-\frac{4}{3} \end{aligned}\)

Це означає, що якщо встановлено рівне нулю, цей вираз еквівалентно

\(\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)=0\)

Множення на 2 і множення на 3 змінює лише ліву частину рівняння, тому що права сторона залишиться\(0 .\) Це має ефект зміщення коефіцієнта від знаменника дробу, щоб бути перед\(x\).

\(6 x^{2}-13 x-28=\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)=(2 x-7)(3 x+4)\)

Алгоритм факторингу

Ще одним корисним і ефективним прийомом є алгоритм процедурного факторингу. Доказ алгоритму виходить за рамки цієї книги, але є надійною методикою отримання ручки на хитрих факторингових питаннях виду:\(6 x^{2}-13 x-28\)

Ми будемо враховувати,\(6 x^{2}-13 x-28\) використовуючи алгоритм факторингу, щоб представити його вам.

Спочатку множимо перший коефіцієнт (6) на останній коефіцієнт (28) і ставимо перший коефіцієнт рівним 1:

\(x^{2}-13 x-168\)

По-друге, фактор, як ви зазвичай робите з\(a=1\):

\((x-21)(x+8)\)

По-третє, розділіть другу половину кожного біноміала на коефіцієнт, який був помножений на кроці 1:

\(\left(x-\frac{21}{6}\right)\left(x+\frac{8}{6}\right)\)

По-четверте, спростіть кожен дріб повністю:

\(\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)\)

Нарешті, перемістіть знаменник кожного дробу, щоб він став коефіцієнтом\(x\):

\((2 x-7)(3 x+4)\)

Сума або різниця відповідності непарних держав

Останній метод розширеного факторингу не передбачає виразів форми\(a x^{2}+b x+c\) Замість цього він включає в себе закономірності, які виникають внаслідок факторингу суми або різниці термінів з відповідністю непарних степеней. Візерунки бувають:

\(\begin{aligned} a^{3}+b^{3} &=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right) \\ a^{3}-b^{3} &=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) \end{aligned}\)

Цей метод показаний на прикладах нижче, і закономірність повністю вивчена в огляді.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як можна врахувати суму та різницю термінів із відповідністю непарних повноважень. Сума або різниця термінів із відповідністю непарних повноважень може бути врахована в точній схемі, оскільки при множенні всі проміжні терміни скасовують один одного.

\(a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{4}-a^{3} b+a^{2} b^{2}-a b^{3}+b^{4}\right)\)

Коли\(a\) поширюється:\(a^{5}-a^{4} b+a^{3} b^{2}-a^{2} b^{3}+a b^{4}\)

Коли\(b\) поширюється:\(+a^{4} b-a^{3} b^{2}+a^{2} b^{3}-a b^{4}+b^{5}\)

Зверніть увагу на всі внутрішні умови скасування:\(a^{5}+b^{5}\)

Приклад 2

Покажіть, що\(a^{3}-b^{3}\) множники на результат, наведені в розділі Сума або Різниця відповідності непарних сил.

Факторинг,

\(\begin{aligned} a^{3}-b^{3} &=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) \\ &=a^{3}+a^{2} b+a b^{2}-a^{2} b-a b^{2}-b^{3} \\ &=a^{3}-b^{3} \end{aligned}\)

Приклад 3

Покажіть, що\(a^{3}+b^{3}\) множники на результат, наведені в розділі Сума або Різниця відповідності непарних сил.

Факторинг,

\(\begin{aligned} a^{3}+b^{3} &=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right) \\ &=a^{3}-a^{2} b+a b^{2}+b a^{2}-a b^{2}+b^{3} \\ &=a^{3}+b^{3} \end{aligned}\)

Приклад 4

Фактор наступного виразу без використання квадратичної формули або проб і помилок:

\(8 x^{2}+30 x+27\)

Використання алгоритму факторингу:

\(\begin{aligned} 8 x^{2}+30 x+27 & \rightarrow x^{2}+30 x+216 \\ & \rightarrow(x+12)(x+18) \\ & \rightarrow\left(x+\frac{12}{8}\right)\left(x+\frac{18}{8}\right) \\ & \rightarrow\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{9}{4}\right) \\ & \rightarrow(2 x+3)(4 x+9) \end{aligned}\)

Рецензія

Фактор кожного виразу повністю.

1. \(2 x^{2}-5 x-12\)
2. \(12 x^{2}+5 x-3\)
3. \(10 x^{2}+13 x-3\)
4. \(18 x^{2}+9 x-2\)
5. \(6 x^{2}+7 x+2\)
6. \(8 x^{2}+34 x+35\)
7. \(5 x^{2}+23 x+12\)
8. \(12 x^{2}-11 x+2\)

Розгорніть наступні вирази. Що ви помічаєте?

9. \((a+b)\left(a^{8}-a^{7} b+a^{6} b^{2}-a^{5} b^{3}+a^{4} b^{4}-a^{3} b^{5}+a^{2} b^{6}-a b^{7}+b^{8}\right)\)
10. \((a-b)\left(a^{6}+a^{5} b+a^{4} b^{2}+a^{3} b^{3}+a^{2} b^{4}+a b^{5}+b^{6}\right)\)
11. Опишіть словами закономірність знаків для факторингу різниці двох членів з відповідністю непарних степеней.
12. Опишіть словами закономірність знаків факторингу суми двох членів з відповідністю непарних степеней.

Фактор кожного виразу повністю.

13. \(27 x^{3}-64\)
14. \(x^{5}-y^{5}\)
15. \(32 a^{5}-b^{5}\)
16. \(32 x^{5}+y^{5}\)
17. \(8 x^{3}+27\)
18. \(2 x^{2}+2 x y+x+y\)
19. \(8 x^{3}+12 x^{2}+2 x+3\)
20. \(3 x^{2}+3 x y-4 x-4 y\)