2.1:2.1 Факторинговий Огляд

Коефіцієнт означає написати вираз у вигляді добутку замість суми. Факторинг особливо корисний при розв'язанні рівнянь, рівних нулю, оскільки тоді логічно хоча б один коефіцієнт повинен дорівнювати нулю. У Precalculus ви повинні мати можливість фактора навіть тоді, коли немає очевидного найбільшого спільного фактора або різниця не між двома ідеальними квадратами.

Як ви використовуєте метод факторингу відмінностей досконалих квадратів на поліномах, які не містять ідеальних квадратів, і чому це було б корисно?

Функції факторингу

Многочлен - це сума скінченного числа членів. Кожен член складається з константи, яка множить змінну. Змінну можна підняти лише до невід'ємного показника. Букви\(a, b, c \ldots\) в наступному загальному поліноміальному виразі означають регулярні числа, як\(0,5,-\frac{1}{4}, \sqrt{2}\) і\(x\) представляє змінну.

\(a x^{n}+b x^{n-1}+\ldots+f x^{2}+g x+h\)

Ви вже дізналися багато властивостей многочленів. Наприклад, ви знаєте комутативну властивість, яка стверджує, що члени многочлена можна переставити, щоб створити еквівалентний многочлен. Коли два поліноми додаються, віднімаються або множаться, результат завжди є поліномом. Це означає, що поліноми закриті при додаванні і є однією з властивостей, яка робить можливим факторинг поліномів. Поліноми не замикаються при діленні, оскільки ділення двох многочленів може призвести до змінної в знаменнику, яка є раціональним виразом (не поліномом).

Існує три методи факторингу, які необхідні для освоєння.

Найбільший загальний фактор метод

Перший метод, який ви завжди повинні намагатися - це врахувати найбільший загальний фактор (GCF) виразу.

Щоб зарахувати наступний вираз, спочатку застосуйте метод GCF:

\(-\frac{1}{2} x^{4}+\frac{7}{2} x^{2}-6\)

Щоб знайти GCF, прийнято намагатися врахувати\(a\) значення. У цьому випадку спробуйте факторинг\(-\frac{1}{2}\)

\(-\frac{1}{2} x^{4}+\frac{7}{2} x^{2}-6=-\frac{1}{2}\left(x^{4}-7 x^{2}+12\right)\)

Для того, щоб перевірити, що це еквівалентний вираз, потрібно розподілити\(-\frac{1}{2}\). Коли ви розподіляєте, перший коефіцієнт збігається, тому що він просто множиться на 1, другий член стає\(\frac{7}{2}\) і третій член стає -\(6 .\) Зверніть увагу, що цей вираз ще не повністю враховано, але він спрощується настільки, наскільки це може бути лише за допомогою методу GCF.

Метод факторингу в біноміали

Другий метод, який ви повинні спробувати, полягає в тому, щоб побачити, чи можете ви перерахувати вираз у добуток двох біноміалів.

Щоб продовжити факторинг виразу з розділу «Найбільший спільний фактор», введіть наступний вираз у добуток двох біноміалів та константи:

\(-\frac{1}{2}\left(x^{4}-7 x^{2}+12\right)\)

Багато студентів, знайомих з базовим факторингом, можуть спочатку застрягти на такій проблемі. Тим не менш, ви повинні визнати, що нижче\(4^{t h}\) ступеня і проблема\(-\frac{1}{2}\) зводиться до того, щоб бути в змозі фактор\(u^{2}-7 u+12\), який є справедливим\((u-3)(u-4)\).

Почніть з переписування проблеми:\(-\frac{1}{2}\left(x^{4}-7 x^{2}+12\right)\)

Потім вибираємо тимчасову заміну: Нехай\(u=x^{2}\).

Потім підставляйте і фактор геть. Не забудьте замінити назад в кінці.

\(\begin{aligned}-\frac{1}{2}\left(u^{2}-7 u+12\right) &=-\frac{1}{2}(u-3)(u-4) \\ &=-\frac{1}{2}\left(x^{2}-3\right)\left(x^{2}-4\right) \end{aligned}\)

Цей тип тимчасової заміни, який дозволяє побачити основну структуру виразу, дуже поширений у численні. Вираз все ще не повністю враховано, і оскільки більше немає тріноміалів, ви повинні застосувати останній метод.

Метод різниці квадратів

Третій метод базового факторингу - різниця квадратів. Він впізнаваний як один квадратний мономіал віднімається від іншого квадратного мономіала.

Щоб закінчити факторинг отриманого виразу з розділу Факторинг на біноми, розрахуйте вираз на чотири лінійні фактори та константу:

\(-\frac{1}{2}\left(x^{2}-3\right)\left(x^{2}-4\right)\)

Багато студентів можуть визнати, що\(x^{2}-4\) відразу фактори різниці квадратів метод бути\((x-2)(x+2)\). Ця проблема вимагає більше, оскільки іноді метод різниці квадратів може бути застосований до виразів, наприклад,\(x^{2}-3\) де кожен термін не є ідеальним квадратом. Число 3 насправді є квадратом.

\(3=(\sqrt{3})^{2}\)

Таким чином, повністю врахований вираз буде:

\(-\frac{1}{2}(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x-2)(x+2)\)

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як ви використовуєте різницю техніки факторингу ідеальних квадратів на поліномах, які не містять ідеальних квадратів, і чому це було б корисно. Однією з причин, чому може бути корисно повністю\(-\frac{1}{2}\left(x^{4}-7 x^{2}+12\right)\) зарахувати вираз на зразок лінійного фактора, якщо ви хочете знайти коріння функції\(f(x)=-\frac{1}{2}\left(x^{4}-7 x^{2}+12\right)\). Коріння є\(x=\pm \sqrt{3},\pm 2\)

Ви повинні визнати, що все ще\(x^{2}-3\) можна розглядати як різницю ідеальних квадратів, оскільки число 3 може бути виражено як\((\sqrt{3})^{2}\). Переписування числа 3, щоб відповідати факторинговому шаблону, який ви вже знаєте, є прикладом використання основних методів факторингу на рівні Precalculus.

Приклад 2

Розподіліть наступний вираз на строго лінійні фактори, якщо це можливо. Якщо це неможливо, поясніть, чому.

\(\begin{aligned} \frac{x^{5}}{3}-\frac{11 x^{3}}{3}+6 x &=\frac{1}{3} x\left(x^{4}-11 x^{2}+18\right) \\ &=\frac{1}{3} x\left(x^{2}-2\right)\left(x^{2}-9\right) \\ &=\frac{1}{3} x(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x+3)(x-3) \end{aligned}\)

Приклад 3

Розподіліть наступний вираз на строго лінійні фактори, якщо це можливо. Якщо це неможливо, поясніть, чому.

\(-\frac{2}{7} x^{4}+\frac{74}{63} x^{2}-\frac{8}{63}\)

Для\(-\frac{2}{7} x^{4}+\frac{74}{63} x^{2}-\frac{8}{63},\) нехай\(u=x^{2}\).

\(=-\frac{2}{7} u^{2}+\frac{74}{63} u-\frac{8}{63}\)
\(=-\frac{2}{7}\left(u^{2}-\frac{37}{9} u+\frac{4}{9}\right)\)

Факторинг через такі дроби може бути надзвичайно складним. Ви повинні визнати, що\(-\frac{1}{9}\) і -4 сума\(-\frac{37}{9}\) і помножити на\(\frac{4}{9}\).

\(=-\frac{2}{7}\left(u-\frac{1}{9}\right)(u-4)\)
\(=-\frac{2}{7}\left(x^{2}-\frac{1}{9}\right)\left(x^{2}-4\right)\)
\(=-\frac{2}{7}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)(x+2)\)

Приклад 4

Розподіліть наступний вираз на строго лінійні фактори, якщо це можливо. Якщо це неможливо, поясніть, чому.

\(x^{4}+x^{2}-72\)

\(x^{4}+x^{2}-72=\left(x^{2}-8\right)\left(x^{2}+9\right)\)

\(x^{4}+x^{2}-72=\left(x^{2}-8\right)\left(x^{2}+9\right)\)

Зверніть увагу, що\(\left(x^{2}-8\right)\) можна записати як різницю ідеальних квадратів, тому що\(8=(\sqrt{8})^{2}=(2 \sqrt{2})^{2}\). З іншого боку,\(x^{2}+9\) не може бути записана як різниця між квадратами, оскільки 9 додаються,\(x^{2}\) а не віднімаються. Цей многочлен не може бути врахований на строго лінійні фактори.

\(x^{4}+x^{2}-72=(x-2 \sqrt{2})(x+2 \sqrt{2})\left(x^{2}+9\right)\)

Рецензія

Розподіліть кожен многочлен на строго лінійні фактори, якщо це можливо. Якщо це неможливо, поясніть, чому б і ні.

1. \(x^{2}+5 x+6\)

2. \(x^{4}+5 x^{2}+6\)

3. \(x^{4}-16\)

4. \(2 x^{2}-20\)

5. \(3 x^{2}+9 x+6\)

6. \(\frac{x^{4}}{2}-5 x^{2}+\frac{9}{2}\)

7. \(\frac{2 x^{4}}{3}-\frac{34 x^{2}}{3}+\frac{32}{3}\)

8. \(x^{2}-\frac{1}{4}\)

9. \(x^{4}-\frac{37 x^{2}}{4}+\frac{9}{4}\)

10. \(\frac{3}{4} x^{4}-\frac{87}{4} x^{2}+75\)

11. \(\frac{1}{2} x^{4}-\frac{29}{2} x^{2}+50\)

12. \(\frac{x^{4}}{2}-\frac{5 x^{2}}{9}+\frac{1}{18}\)

13. \(x^{4}-\frac{13}{36} x^{2}+\frac{1}{36}\)

14. Як ступінь многочлена співвідноситься з кількістю лінійних факторів?

15. Якщо многочлен не має строго лінійних факторів, що це означає про тип коренів, який має многочлен?