2.9 Вертикальні асимптоти
- Page ID
- 54510
Базовою раціональною функцією\(f(x)=\frac{1}{x}\) є гіпербола з вертикальною асимптотою при\(x=0\). Більш складні раціональні функції можуть мати множинні вертикальні асимптоти. Ці асимптоти є дуже важливими характеристиками функції так само, як дірки. Обидві дірки і вертикальні асимптоти виникають при\(x\) значеннях, які роблять знаменник функції нулем. Водійське питання: чим вертикальні асимптоти відрізняються від отворів?
Пошук вертикальних асимптотів
Вертикальні асимптоти виникають, коли множник знаменника раціонального виразу не скасовується з множником від чисельника. Якщо у вас є коефіцієнт, який не скасовує, замість того, щоб зробити отвір у цьому\(x\) значенні, існує вертикальна асимптота. Вертикальна асимптота представлена пунктирною вертикальною лінією. Більшість калькуляторів не ідентифікують вертикальні асимптоти, а деякі неправильно намалюють круту лінію як частину функції, де насправді існує асимптота.
Ваша робота полягає в тому, щоб мати можливість ідентифікувати вертикальні асимптоти з функції та описати кожну асимптоту за допомогою рівняння вертикальної лінії.
Візьміть наступну раціональну функцію:
\(f(x)=\frac{(2 x-3)(x+1)(x-2)}{(x+2)(x+1)}\)
Щоб визначити дірки та рівняння вертикальних асимптотів, спочатку вирішіть, які фактори скасовують. Фактор, який скасовує, являє собою знімний розрив. Є отвір при (-1,15). Вертикальна асимптота виникає при\(x=-2\) тому, що фактор\(x+2\) не скасовується.
Подивіться наступне відео, зосередившись на частинами про вертикальні асимптоти.
Раніше вас запитали, чим асимптоти відрізняються від дірок. Дірки виникають при скасуванні множників з чисельника і знаменника. Коли коефіцієнт у знаменнику не скасовується, він створює вертикальну асимптоту. І дірки, і вертикальні асимптоти обмежують область раціональної функції.
Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти при 0 і 3
- Нулі на 2 і 5
- Отвір на (4, 2)
Кожен критерій допомагає побудувати функцію. Вертикальні асимптоти мають на увазі, що знаменник має два фактори, які не скасовуються чисельником:
\(\frac{1}{x \cdot(x-3)}\)
Нулі в 2 і 5 означають, що чисельник має два фактори, які не скасовують.
\(\frac{(x-2)(x-5)}{x \cdot(x-3)}\)
Отвір в (4,2) означає, що існує коефіцієнт\(x-4\), який скасовує чисельник і знаменник.
\(\frac{(x-2)(x-5)(x-4)}{x \cdot(x-3)(x-4)}\)
Складна частина полягає в тому, що висота функції повинна бути 2 після скасування\(x-4\) множника і 4 підставляється в. В даний час це\(-\frac{1}{2}\)
\(\frac{(4-2)(4-5)}{4 \cdot(4-3)}=-\frac{1}{2}\)
Для того щоб отвір існувало на висоті 2, потрібно помножити функцію на скаляр -4.
\(f(x)=\frac{-4(x-2)(x-5)(x-4)}{x \cdot(x-3)(x-4)}\)
Намалюйте вертикальні асимптоти для наступної функції.
\(f(x)=\frac{1}{(x-4)(x-2)(x+3)}\)
Зверніть увагу, що ви можете не знати характеристик того, що функція робить всередині цих вертикальних ліній. Незабаром ви дізнаєтеся, як використовувати тести знаків, а також методи, які ви вже навчилися заповнювати чотири розділи, на які поділена ця функція.
Визначте дірки та рівняння вертикальних асимптотів наступної раціональної функції.
\(f(x)=\frac{3(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)}{5\left(x+\frac{1}{2}\right)(2+x)(3-x)(x-8)}\)
Вертикальні асимптоти виникають при\(x=-\frac{1}{2}, x=8 .\) Отвори виникають, коли\(x\) дорівнює -2 і\(3 .\) Щоб отримати висоту отворів у цих точках, не забудьте скасувати те, що можна скасувати, а потім підставити значення. Дуже поширена помилка - забути скасувати\(\frac{x-3}{3-x}=-1\)
\(\begin{aligned} g(x) &=\frac{-3(x-1)(x+4)}{5\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-8)} \\ g(-2) &=\frac{6}{25} \\ g(3) &=\frac{12}{25} \end{aligned}\)
Отвори знаходяться на\(\left(-2, \frac{6}{25}\right),\left(3, \frac{12}{25}\right)\)
Визначте область наступної функції, а потім визначте дірки та вертикальні асимптоти.
\(f(x)=\frac{(3 x-4)(1-x)\left(x^{2}+4\right)}{(3 x-2)(x-1)}\)
Домен функції, записаної в інтервальному позначенні:\(\left(-\infty, \frac{2}{3}\right) \cup\left(\frac{2}{3}, 1\right) \cup(1, \infty) .\) Зверніть увагу, що домен - це всі дійсні числа, за винятком тих випадків, коли знаменник дорівнює нулю.
Розрізняють дві розриви: одна - дірка, а друга - вертикальна асимптота. Отвір виникає при (1,5) Вертикальна асимптота виникає при\(x=\frac{2}{3}\)
Зверніть увагу, що дірки ідентифікуються як точки, тоді як вертикальні асимптоти ідентифікуються як лінії форми,
\(x=a\) де\(a\) є певна константа.
Рецензія
1. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти в 1 і 4
- Нулі на 3 і 5
- Отвір в (6, 3)
2. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти при -2 і 2
- Нулі на 1 і 5
- Отвір при (3, -4)
3. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти при 0 і 3
- Нулі на 1 і 2
- Отвір в (8, 21)
4. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти на 2 і 6
- Нуль на 5
- Отвір на (4, 1)
5. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальна асимптота при 4
- Нулі при 0 і 3
- Отвір в (5, 10)
Дайте рівняння вертикальних асимптотів для наступних функцій.
6. \(f(x)=\frac{(2-x)}{(x-2)(x-4)}\)
7. \(g(x)=\frac{-x}{(x+1)(x-3)}\)
8. \(h(x)=6-\frac{x+2}{(x+1)(x-5)}\)
9. \(j(x)=\frac{10}{x-3}-\frac{x}{(x+2)(x-3)}\)
10. \(k(x)=2-\frac{(4-x)}{(x+3)(x-4)}\)
Визначте дірки та рівняння вертикальних асимптотів наступних раціональних функцій.
11. \(f(x)=\frac{3(x-1)(x+1)(x-4)(x+4)}{4(x+4)(2+x)(4-x)(x+1)}\)
12. \(g(x)=\frac{x(x-3)(x-8)(x-3)(x+4)}{7(x+1)(1+x)(3-x)(x-8)}\)
Створіть область наступних раціональних функцій.
13. \(h(x)=\frac{x(x+1)(x-3)(x+4)}{x(3-x)(x-1)}\)
14. \(j(x)=\frac{x^{2}+3 x-4}{x^{2}-6 x-16}\)
15. \(k(x)=\frac{2 x-10}{x^{3}+4 x^{2}+3 x}\)