2.10 Горизонтальні асимптоти
- Page ID
- 54511
Вертикальні асимптоти описують поведінку функції як значення\(x\) наближення до певного числа. Горизонтальні асимптоти описують поведінку функції як значення\(x\) стають нескінченно великими і нескінченно малими. оскільки функції не можуть торкатися вертикальних асимптотів, чи не дозволяється їм торкатися і горизонтальних асимптотів?
Знаходження горизонтальних асимптотів
Горизонтальні асимптоти є засобом опису кінцевої поведінки функції. Поведінка кінця по суті є описом того, що відбувається по обидва боки графіка, оскільки функція продовжується вправо і вліво нескінченно. При визначенні горизонтальних асимптотів важливо враховувати і праву, і ліву сторони, тому що горизонтальні асимптоти не обов'язково будуть однаковими в обох місцях. Розглянемо зворотну функцію і зверніть увагу, як як\(x\) йде вправо і вліво вона згладжується до лінії\(y=0\).
Іноді функції згладжуються, а в інших випадках функції збільшуються або зменшуються без обмежень. Є в основному три випадки.
Випадок 1: Ступінь чисельника менше ступеня знаменника
Перший випадок полягає в тому, що функція згладжується до 0, оскільки\(x\) стає нескінченно великою або нескінченно маленькою. Це відбувається, коли ступінь чисельника менше ступеня знаменника. Ступінь визначається найбільшим показником\(x\).
\(f(x)=\frac{2 x^{8}+3 x^{2}+100}{x^{9}-12}\)
Один із способів пояснити, чому це має сенс,\(x\) полягає в тому, що коли це смішно велика кількість, то більшість частин функції навряд чи впливають. Наприклад, 100 - це ніщо в порівнянні, і ні\(3 x^{2}\). Два важливі терміни для порівняння - це\(x^{8}\) і\(x^{9}\). 2 зараз навіть не важливо, тому що якщо\(x\) навіть мільйон, ніж\(x^{9}\) буде в мільйон разів більше, ніж\(x^{8}\) і 2 навряд чи має значення знову. По суті, коли\(x\) стає досить великим, ця функція діє як\(\frac{1}{x}\) яка має горизонтальну асимптоту\(0 .\)
Випадок 2: Ступінь чисельника дорівнює ступені знаменника
Якщо ступінь чисельника дорівнює ступеня знаменника, то горизонтальна асимптота дорівнює відношенню провідних коефіцієнтів.
\(f(x)=\frac{6 x^{4}-3 x^{3}+12 x^{2}-9}{3 x^{4}+144 x-0.001}\)
Зверніть увагу, як ступінь чисельника і знаменника дорівнює 4. Це означає, що горизонтальна асимптота є\(y=\frac{6}{3}=2\). Один із способів пояснити, чому це має сенс, полягає в тому, що коли\(x\) стає дуже великою кількістю, всі менші повноваження насправді не зроблять значного впливу. Найбільші учасники — це лише найбільші повноваження. Тоді значення чисельника буде приблизно в два рази більше, ніж у знаменника. Як\(x\) стає ще більше, то функція стане ще ближче до 2.
Випадок 3: Ступінь чисельника більше, ніж ступінь знаменника
Якщо ступінь чисельника більше ступеня знаменника, горизонтальної асимптоти не існує. Ви повинні визначити, чи збільшується або зменшується функція без обмежень як в лівому, так і в правому напрямку.
Подивіться наступне відео, зосередившись на ділянках про горизонтальні асимптоти.
Приклади
Раніше вас запитали, чи дозволено функціям торкатися їх горизонтальних асимптотів. Функції можуть торкатися і проходити через горизонтальні асимптоти без обмежень. Це різниця між вертикальними і горизонтальними асимптотами. У обчисленні є суворі докази, які показують, що функції, подібні до того, що в прикладі C, стають довільно близькими до асимптоти.
Визначте вертикальні і горизонтальні асимптоти наступної раціональної функції.
\(f(x)=\frac{(x-2)(4 x+3)(x-4)}{(x-1)(4 x+3)(x-6)}\)
Існує фактор, який скасовує, який не є ні горизонтальною, ні вертикальною асимптотою. Вертикальні асимптоти виникають при\(x=1\) і\(x=6\). Щоб отримати горизонтальну асимптоту, ви можете методично помножити кожен біном, однак оскільки більшість цих членів не мають значення, ефективніше спочатку визначити відносні сили чисельника та знаменника. У цьому випадку вони обидва трапляються 3. Далі визначаємо коефіцієнт тільки кубічних домішок. Чисельник буде мати\(4 x^{3}\) і знаменник буде мати,\(4 x^{3}\) і тому горизонтальна асимптота буде відбуватися при\(y=\frac{4}{4}=1\)
Опишіть поведінку правого кінця наступної функції.
Зверніть увагу, як швидко ця функція гасіння хвилі осідає. Здається, є очевидна горизонтальна вісь праворуч\(y=1\)
Визначте горизонтальні асимптоти наступної функції.
\(f(x)=\frac{(x-3)(x+2)}{|(x-5)| \cdot(x-1)}\)
Спочатку зверніть увагу на абсолютне значення, що оточує один із термінів у знаменнику. Ступені як чисельника, так і знаменника будуть 2, що означає, що горизонтальна асимптота буде відбуватися за числом. Як\(x\) стає нескінченно великим, функція приблизно:
\(f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}}\)
Таким чином, горизонтальна асимптота\(y=-1\) як\(x\) стає нескінченно великий.
З іншого боку, як\(x\) стає нескінченно мало, функція приблизно:
\(f(x)=\frac{x^{2}}{-x^{2}}\)
Таким чином, горизонтальна асимптота\(y=-1\) як\(x\) стає нескінченно малий.
У цьому випадку ви не можете сліпо використовувати правило провідного коефіцієнта, оскільки абсолютне значення змінює знак.
Визначте горизонтальні асимптоти, якщо вони існують для наступних 3 функцій.
1. \(f(x)=\frac{3 x^{6}-72 x}{x^{6}+999}\)
Ступені чисельника і знаменника рівні так горизонтальна асимптота\(y=3\).
2. \(h(x)=\frac{a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e}{f x^{4}+g x^{3}+h x^{2}}\)
Ступені чисельника і знаменника знову рівні, тому горизонтальна асимптота дорівнює\(y=\frac{a}{f}\)
3. \(g(x)=\frac{f(x)}{h(x)}\)
Як\(x\) стає нескінченно великий,
\(g(x)=\frac{f(x)}{h(x)}=\frac{\frac{3 x^{6}-72 x}{x^{6}+999}}{\frac{a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e}{f x^{4}+g x^{3}+h x^{2}}} \approx \frac{3}{\frac{a}{f}}=\frac{3 f}{a}\)
Коли ви вивчаєте обчислення, ви дізнаєтеся суворі методи, які дозволяють вам відчувати себе більш впевнено щодо таких результатів.
Рецензія
Визначте горизонтальні асимптоти, якщо вони існують, для наступних функцій.
1. \(f(x)=\frac{5 x^{4}-2 x}{x^{4}+32}\)
2. \(g(x)=\frac{3 x^{4}-2 x^{6}}{-x^{4}+2}\)
3. \(h(x)=\frac{3 x^{4}-5 x}{8 x^{3}+3 x^{4}}\)
4. \(j(x)=\frac{2 x^{3}-15 x}{-x^{4}+3}\)
5. \(k(x)=\frac{2 x^{5}-3 x}{5 x^{2}+3 x^{4}+2 x-7 x^{5}}\)
6. \(f(x)=\frac{a x^{14}+b x^{23}+c x^{12}+d x+e}{f x^{24}+g x^{23}+h x^{21}}\)
7. \(g(x)=\frac{(x-1)(x+4)}{|(x-2)| \cdot(x-1)}\)
8. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти при\(x=1\) і\(x=4\)
- Нулі на 3 і 5
- Отвір при\(x=6\)
- Горизонтальна асимптота при\(y=\frac{2}{3}\)
9. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти при\(x=-2\) і\(x=2\)
- Нулі на 1 і 5
- Отвір при\(x=3\)
- Горизонтальна асимптота при\(y=1\)
10. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти при\(x=0\) і\(x=3\)
- Нулі на 1 і 2
- Отвір при\(x=8\)
- Горизонтальна асимптота при\(y=2\)
11. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти на 2 і 6
- Нуль на 5
- Отвір при\(x=4\)
- Горизонтальна асимптота при\(y=0\)
12. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальна асимптота при 4
- Нулі при 0 і 3
- Отвір при\(x=5\)
- Немає горизонтальних асимптотів
Визначте вертикальні та горизонтальні асимптоти наступних раціональних функцій.
13. \(f(x)=\frac{(x-5)(2 x+1)(x-3)}{(x-3)(4 x+5)(x-6)}\)
14. \(g(x)=\frac{x(x-1)(x+3)(x-5)}{3 x(x-1)(4 x+3)}\)
15. \(h(x)=\frac{(x-2)(x+3)(x-6)}{(x-4)(x+3)^{2}(x+2)}\)