2.10 Горизонтальні асимптоти
Вертикальні асимптоти описують поведінку функції як значенняx наближення до певного числа. Горизонтальні асимптоти описують поведінку функції як значенняx стають нескінченно великими і нескінченно малими. оскільки функції не можуть торкатися вертикальних асимптотів, чи не дозволяється їм торкатися і горизонтальних асимптотів?
Знаходження горизонтальних асимптотів
Горизонтальні асимптоти є засобом опису кінцевої поведінки функції. Поведінка кінця по суті є описом того, що відбувається по обидва боки графіка, оскільки функція продовжується вправо і вліво нескінченно. При визначенні горизонтальних асимптотів важливо враховувати і праву, і ліву сторони, тому що горизонтальні асимптоти не обов'язково будуть однаковими в обох місцях. Розглянемо зворотну функцію і зверніть увагу, як якx йде вправо і вліво вона згладжується до лініїy=0.
Іноді функції згладжуються, а в інших випадках функції збільшуються або зменшуються без обмежень. Є в основному три випадки.
Випадок 1: Ступінь чисельника менше ступеня знаменника
Перший випадок полягає в тому, що функція згладжується до 0, оскількиx стає нескінченно великою або нескінченно маленькою. Це відбувається, коли ступінь чисельника менше ступеня знаменника. Ступінь визначається найбільшим показникомx.
f(x)=2x8+3x2+100x9−12
Один із способів пояснити, чому це має сенс,x полягає в тому, що коли це смішно велика кількість, то більшість частин функції навряд чи впливають. Наприклад, 100 - це ніщо в порівнянні, і ні3x2. Два важливі терміни для порівняння - цеx8 іx9. 2 зараз навіть не важливо, тому що якщоx навіть мільйон, ніжx9 буде в мільйон разів більше, ніжx8 і 2 навряд чи має значення знову. По суті, колиx стає досить великим, ця функція діє як1x яка має горизонтальну асимптоту0.
Випадок 2: Ступінь чисельника дорівнює ступені знаменника
Якщо ступінь чисельника дорівнює ступеня знаменника, то горизонтальна асимптота дорівнює відношенню провідних коефіцієнтів.
f(x)=6x4−3x3+12x2−93x4+144x−0.001
Зверніть увагу, як ступінь чисельника і знаменника дорівнює 4. Це означає, що горизонтальна асимптота єy=63=2. Один із способів пояснити, чому це має сенс, полягає в тому, що колиx стає дуже великою кількістю, всі менші повноваження насправді не зроблять значного впливу. Найбільші учасники — це лише найбільші повноваження. Тоді значення чисельника буде приблизно в два рази більше, ніж у знаменника. Якx стає ще більше, то функція стане ще ближче до 2.
Випадок 3: Ступінь чисельника більше, ніж ступінь знаменника
Якщо ступінь чисельника більше ступеня знаменника, горизонтальної асимптоти не існує. Ви повинні визначити, чи збільшується або зменшується функція без обмежень як в лівому, так і в правому напрямку.
Подивіться наступне відео, зосередившись на ділянках про горизонтальні асимптоти.
Приклади
Раніше вас запитали, чи дозволено функціям торкатися їх горизонтальних асимптотів. Функції можуть торкатися і проходити через горизонтальні асимптоти без обмежень. Це різниця між вертикальними і горизонтальними асимптотами. У обчисленні є суворі докази, які показують, що функції, подібні до того, що в прикладі C, стають довільно близькими до асимптоти.
Визначте вертикальні і горизонтальні асимптоти наступної раціональної функції.
f(x)=(x−2)(4x+3)(x−4)(x−1)(4x+3)(x−6)
Існує фактор, який скасовує, який не є ні горизонтальною, ні вертикальною асимптотою. Вертикальні асимптоти виникають приx=1 іx=6. Щоб отримати горизонтальну асимптоту, ви можете методично помножити кожен біном, однак оскільки більшість цих членів не мають значення, ефективніше спочатку визначити відносні сили чисельника та знаменника. У цьому випадку вони обидва трапляються 3. Далі визначаємо коефіцієнт тільки кубічних домішок. Чисельник буде мати4x3 і знаменник буде мати,4x3 і тому горизонтальна асимптота буде відбуватися приy=44=1
Опишіть поведінку правого кінця наступної функції.
Зверніть увагу, як швидко ця функція гасіння хвилі осідає. Здається, є очевидна горизонтальна вісь праворучy=1
Визначте горизонтальні асимптоти наступної функції.
f(x)=(x−3)(x+2)|(x−5)|⋅(x−1)
Спочатку зверніть увагу на абсолютне значення, що оточує один із термінів у знаменнику. Ступені як чисельника, так і знаменника будуть 2, що означає, що горизонтальна асимптота буде відбуватися за числом. Якx стає нескінченно великим, функція приблизно:
f(x)=x2x2
Таким чином, горизонтальна асимптотаy=−1 якx стає нескінченно великий.
З іншого боку, якx стає нескінченно мало, функція приблизно:
f(x)=x2−x2
Таким чином, горизонтальна асимптотаy=−1 якx стає нескінченно малий.
У цьому випадку ви не можете сліпо використовувати правило провідного коефіцієнта, оскільки абсолютне значення змінює знак.
Визначте горизонтальні асимптоти, якщо вони існують для наступних 3 функцій.
1. f(x)=3x6−72xx6+999
Ступені чисельника і знаменника рівні так горизонтальна асимптотаy=3.
2. h(x)=ax4+bx3+cx2+dx+efx4+gx3+hx2
Ступені чисельника і знаменника знову рівні, тому горизонтальна асимптота дорівнюєy=af
3. g(x)=f(x)h(x)
Якx стає нескінченно великий,
g(x)=f(x)h(x)=3x6−72xx6+999ax4+bx3+cx2+dx+efx4+gx3+hx2≈3af=3fa
Коли ви вивчаєте обчислення, ви дізнаєтеся суворі методи, які дозволяють вам відчувати себе більш впевнено щодо таких результатів.
Рецензія
Визначте горизонтальні асимптоти, якщо вони існують, для наступних функцій.
1. f(x)=5x4−2xx4+32
2. g(x)=3x4−2x6−x4+2
3. h(x)=3x4−5x8x3+3x4
4. j(x)=2x3−15x−x4+3
5. k(x)=2x5−3x5x2+3x4+2x−7x5
6. f(x)=ax14+bx23+cx12+dx+efx24+gx23+hx21
7. g(x)=(x−1)(x+4)|(x−2)|⋅(x−1)
8. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти приx=1 іx=4
- Нулі на 3 і 5
- Отвір приx=6
- Горизонтальна асимптота приy=23
9. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти приx=−2 іx=2
- Нулі на 1 і 5
- Отвір приx=3
- Горизонтальна асимптота приy=1
10. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти приx=0 іx=3
- Нулі на 1 і 2
- Отвір приx=8
- Горизонтальна асимптота приy=2
11. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальні асимптоти на 2 і 6
- Нуль на 5
- Отвір приx=4
- Горизонтальна асимптота приy=0
12. Напишіть функцію, яка відповідає наступним критеріям:
- Вертикальна асимптота при 4
- Нулі при 0 і 3
- Отвір приx=5
- Немає горизонтальних асимптотів
Визначте вертикальні та горизонтальні асимптоти наступних раціональних функцій.
13. f(x)=(x−5)(2x+1)(x−3)(x−3)(4x+5)(x−6)
14. g(x)=x(x−1)(x+3)(x−5)3x(x−1)(4x+3)
15. h(x)=(x−2)(x+3)(x−6)(x−4)(x+3)2(x+2)