2.8 Нулі раціональних функцій

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.7 Отвори в раціональних функціях
- 2.9 Вертикальні асимптоти

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Нулі функції - це сукупність $x$ значень, де висота функції дорівнює нулю. Як знайти ці значення для раціональної функції і що буде, якщо нуль виявиться діркою?

Знаходження нулів раціональних функцій

Нулі також відомі як $x$ -перехоплення, рішення або коріння функцій. Вони є $x$ значеннями, де висота функції дорівнює нулю. Для раціональних функцій потрібно встановити чисельник функції рівний нулю і вирішити для можливих $x$ значень. Якщо дірка виникає на $x$ значенні, то вона не вважається нулем, оскільки функція насправді не визначена в цій точці.

Візьміть наступну раціональну функцію:

$f(x)=\frac{(x-1)(x+3)(x+3)}{x+3}$

Зверніть увагу, як один з $x+3$ факторів, здається, скасовує і вказує на знімний розрив. Незважаючи на те, що є два $x+3$ фактори, єдиний нуль відбувається при $x=1$ і отвір відбувається при (-3,0).

Перегляньте відео нижче і зосередьтеся на частині цього відео, обговорюючи отвори і $x$ -перехоплення.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як знайти нулі раціональної функції і що буде, якщо нуль - дірка. Щоб знайти нулі раціональної функції, встановіть чисельник рівний нулю і розв'яжіть $x$ значення. Коли отвір і нуль відбуваються в одній точці, отвір виграє, і в цьому місці немає нуля.

Приклад 2

Створіть функцію з нулями в $x=1,2,3$ і дірками в $x=0,4$ .

Існує нескінченна кількість можливих функцій, які відповідають цьому опису, оскільки функцію можна помножити на будь-яку константу. Однією з можливих функцій може бути:

$f(x)=\frac{(x-1)(x-2)(x-3) x(x-4)}{x(x-4)}$

Зверніть увагу, що 0 і 4 є отворами, оскільки вони скасовують.

Приклад 3

Визначте нулі, дірки та $y$ перехоплення наступної раціональної функції без графіків.

$f(x)=\frac{x(x-2)(x-1)(x+1)(x+1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}$

Отвори відбуваються при $x=-1,1$ . Щоб отримати точні точки, ці значення необхідно підставити в функцію зі скасованими факторами.

$\begin{aligned} f(x) &=x(x-2)(x+1)(x+2) \\ f(-1) &=0, f(1)=-6 \end{aligned}$

Отвори є (-1,0) $;(1,6)$ . Нулі відбуваються при $x=0,2,-2$ . Нуль, який повинен відбуватися в, $x=-1$ вже було продемонстровано як дірку.

Приклад 4

Визначте y перехоплення, дірки та нулі наступної раціональної функції.

$f(x)=\frac{6 x^{3}-7 x^{2}-x+2}{x-1}$

Помітивши, що можлива дірка відбувається при $x=1$ і за допомогою поліноміального довгого ділення на чисельнику, ви повинні отримати:

$f(x)=\left(6 x^{2}-x-2\right) \cdot \frac{x-1}{x-1}$

Відбувається отвір $x=1$ , в якому виявляється точка (1,3) тому що $6 \cdot 1^{2}-1-2=3$ .

$y$ -intercept завжди відбувається там $x=0$ , де виявляється точка (0, -2) тому що $f(0)=-2$

Щоб знайти $x$ -incepts, потрібно зарахувати частину функції, що залишилася:

$(2 x+1)(3 x-2)$

Таким чином нулі $\left(x\right.$ -перехоплення) є $x=-\frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ .

Приклад 5

Визначте нулі і дірки наступної раціональної функції.

$f(x)=\frac{2(x+1)(x+1)(x+1)}{2(x+1)}$

Відбувається отвір $x=-1$ , при якому виявляється подвійний нуль. Отвір все ще виграє, так що точка (-1,0) є отвір. Нулів немає. Константа 2 перед чисельником і знаменником служить для ілюстрації того факту, що постійні скаляри не впливають на $x$ значення ні нулів, ні дірок функції.

Рецензія

Визначте перехоплення і дірки кожної з наступних раціональних функцій.

1. $f(x)=\frac{x^{3}+x^{2}-10 x+8}{x-2}$

2. $g(x)=\frac{6 x^{3}-17 x^{2}-5 x+6}{x-3}$

3. $h(x)=\frac{(x+2)(1-x)}{x-1}$

4. $j(x)=\frac{(x-4)(x+2)(x+2)}{x+2}$

5. $k(x)=\frac{x(x-3)(x-4)(x+4)(x+4)(x+2)}{(x-3)(x+4)}$

6. $f(x)=\frac{x(x+1)(x+1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}$

7. $g(x)=\frac{x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{2}-1}$

8. $h(x)=\frac{4-x^{2}}{x-2}$

9. Створіть функцію з отворами в $x=3,5,9$ і нулями в $x=1,2$ .

10. Створіть функцію з отворами в $x=-1,4$ і нулями в $x=1$ .

11. Створіть функцію з отворами в $x=0,5$ і нулями в $x=2,3$ .

12. Створіть функцію з отворами в $x=-3,5$ і нулями в $x=4$ .

13. Створіть функцію з отворами в $x=-2,6$ і нулями в $x=0,3$ .

14. Створіть функцію з отворами в $x=1,5$ і нулями в $x=0,6$ .

15. Створіть функцію з отворами в $x=2,7$ і нулями в $x=3$ .