2.8 Нулі раціональних функцій
- Page ID
- 54518
Нулі функції - це сукупність\(x\) значень, де висота функції дорівнює нулю. Як знайти ці значення для раціональної функції і що буде, якщо нуль виявиться діркою?
Знаходження нулів раціональних функцій
Нулі також відомі як\(x\) -перехоплення, рішення або коріння функцій. Вони є\(x\) значеннями, де висота функції дорівнює нулю. Для раціональних функцій потрібно встановити чисельник функції рівний нулю і вирішити для можливих\(x\) значень. Якщо дірка виникає на\(x\) значенні, то вона не вважається нулем, оскільки функція насправді не визначена в цій точці.
Візьміть наступну раціональну функцію:
\(f(x)=\frac{(x-1)(x+3)(x+3)}{x+3}\)
Зверніть увагу, як один з\(x+3\) факторів, здається, скасовує і вказує на знімний розрив. Незважаючи на те, що є два\(x+3\) фактори, єдиний нуль відбувається при\(x=1\) і отвір відбувається при (-3,0).
Перегляньте відео нижче і зосередьтеся на частині цього відео, обговорюючи отвори і\(x\) -перехоплення.
Приклади
Раніше вас запитали, як знайти нулі раціональної функції і що буде, якщо нуль - дірка. Щоб знайти нулі раціональної функції, встановіть чисельник рівний нулю і розв'яжіть\(x\) значення. Коли отвір і нуль відбуваються в одній точці, отвір виграє, і в цьому місці немає нуля.
Створіть функцію з нулями в\(x=1,2,3\) і дірками в\(x=0,4\).
Існує нескінченна кількість можливих функцій, які відповідають цьому опису, оскільки функцію можна помножити на будь-яку константу. Однією з можливих функцій може бути:
\(f(x)=\frac{(x-1)(x-2)(x-3) x(x-4)}{x(x-4)}\)
Зверніть увагу, що 0 і 4 є отворами, оскільки вони скасовують.
Визначте нулі, дірки та\(y\) перехоплення наступної раціональної функції без графіків.
\(f(x)=\frac{x(x-2)(x-1)(x+1)(x+1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}\)
Отвори відбуваються при\(x=-1,1\). Щоб отримати точні точки, ці значення необхідно підставити в функцію зі скасованими факторами.
\(\begin{aligned} f(x) &=x(x-2)(x+1)(x+2) \\ f(-1) &=0, f(1)=-6 \end{aligned}\)
Отвори є (-1,0)\(;(1,6)\). Нулі відбуваються при\(x=0,2,-2\). Нуль, який повинен відбуватися в,\(x=-1\) вже було продемонстровано як дірку.
Визначте y перехоплення, дірки та нулі наступної раціональної функції.
\(f(x)=\frac{6 x^{3}-7 x^{2}-x+2}{x-1}\)
Помітивши, що можлива дірка відбувається при\(x=1\) і за допомогою поліноміального довгого ділення на чисельнику, ви повинні отримати:
\(f(x)=\left(6 x^{2}-x-2\right) \cdot \frac{x-1}{x-1}\)
Відбувається отвір\(x=1\), в якому виявляється точка (1,3) тому що\(6 \cdot 1^{2}-1-2=3\).
\(y\)-intercept завжди відбувається там\(x=0\), де виявляється точка (0, -2) тому що\(f(0)=-2\)
Щоб знайти\(x\) -incepts, потрібно зарахувати частину функції, що залишилася:
\((2 x+1)(3 x-2)\)
Таким чином нулі\(\left(x\right.\) -перехоплення) є\(x=-\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\).
Визначте нулі і дірки наступної раціональної функції.
\(f(x)=\frac{2(x+1)(x+1)(x+1)}{2(x+1)}\)
Відбувається отвір\(x=-1\), при якому виявляється подвійний нуль. Отвір все ще виграє, так що точка (-1,0) є отвір. Нулів немає. Константа 2 перед чисельником і знаменником служить для ілюстрації того факту, що постійні скаляри не впливають на\(x\) значення ні нулів, ні дірок функції.
Рецензія
Визначте перехоплення і дірки кожної з наступних раціональних функцій.
1. \(f(x)=\frac{x^{3}+x^{2}-10 x+8}{x-2}\)
2. \(g(x)=\frac{6 x^{3}-17 x^{2}-5 x+6}{x-3}\)
3. \(h(x)=\frac{(x+2)(1-x)}{x-1}\)
4. \(j(x)=\frac{(x-4)(x+2)(x+2)}{x+2}\)
5. \(k(x)=\frac{x(x-3)(x-4)(x+4)(x+4)(x+2)}{(x-3)(x+4)}\)
6. \(f(x)=\frac{x(x+1)(x+1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}\)
7. \(g(x)=\frac{x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{2}-1}\)
8. \(h(x)=\frac{4-x^{2}}{x-2}\)
9. Створіть функцію з отворами в\(x=3,5,9\) і нулями в\(x=1,2\).
10. Створіть функцію з отворами в\(x=-1,4\) і нулями в\(x=1\).
11. Створіть функцію з отворами в\(x=0,5\) і нулями в\(x=2,3\).
12. Створіть функцію з отворами в\(x=-3,5\) і нулями в\(x=4\).
13. Створіть функцію з отворами в\(x=-2,6\) і нулями в\(x=0,3\).
14. Створіть функцію з отворами в\(x=1,5\) і нулями в\(x=0,6\).
15. Створіть функцію з отворами в\(x=2,7\) і нулями в\(x=3\).