2.3: Розширення поліномів та трикутник Паскаля

Вираз\((2 x+3)^{5}\) займе деякий час, щоб помножити. Чи є візерунок, який ви можете використовувати?

Розширення за допомогою трикутника Паскаля

Розширення біноміального

Паскаль був французьким математиком у\(17^{t h}\) столітті, але трикутник, який зараз називається Трикутник Паскаля, вивчався задовго до того, як Паскаль використовував його. Візерунок використовувався приблизно в\(10^{t h}\) столітті в Персії, Індії та Китаї, а також багатьох інших місцях.

Основна мета використання цього трикутника - ввести, як розширити біноми.

\((x+y)^{0}=1\)
\((x+y)^{1}=x+y\)
\((x+y)^{2}=x^{2}+2 y+y^{2}\)
\((x+y)^{3}=x^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}+y^{3}\)

Зверніть увагу, що коефіцієнти для\(x\) і\(y\) членів на правій стороні вирівнюються точно з числами з трикутника Паскаля. Це означає, що задану\((x+y)^{n}\) для будь-якої потужності\(n\) можна виписати розширення, використовуючи коефіцієнти з трикутника. Зверніть увагу, що для написання коефіцієнтів для будь-якої потужності потрібно подивитися рядок\(n\),\(n+1\) щоб знайти коефіцієнти.

Якби вас попросили розширити\((3 x-2)^{4}\) за допомогою трикутника Паскаля, ви б подивилися на 5-й рядок, щоб знайти коефіцієнти. Коефіцієнти будуть 1,4,6,4,\(1 ;\) однак, оскільки вже є коефіцієнти з\(x\) постійним терміном, ви повинні бути особливо обережними.

\(1 \cdot(3 x)^{4}+4 \cdot(3 x)^{3} \cdot(-2)+6 \cdot(3 x)^{2} \cdot(-2)^{2}+4 \cdot(3 x) \cdot(-2)^{3}+1 \cdot(-2)^{4}\)

Тоді справа лише в примноженні і відстеженні негативних знаків.

\(81 x^{4}-216 x^{3}+216 x^{2}-96 x+16\)

Коли ви вивчите, як рахувати за допомогою комбінацій, то ви зможете обчислити значення будь-якого коефіцієнта, не виписуючи весь трикутник.

Візерунки і трикутник Паскаля

У трикутнику багато візерунків. Ось лише деякі з них.

1. Зверніть увагу на те, як кожне число створюється шляхом підсумовування двох чисел вище на лівій та правій стороні.
2. Коли ви йдете далі вниз по трикутнику, значення в рядку наближаються до кривої дзвінка. Це тісно пов'язане з нормальним розподілом в статистиці.
3. Для будь-якого рядка, який має другий член, який є простим, всі числа, крім 1 в цьому рядку, діляться на це просте число.

Використання реального життя: У грі Плінко, де об'єкт скидається через трикутний масив кілочків, ймовірність (що відповідає пропорційно значенням у трикутнику) приземлення до центру більше, ніж посадка до краю. Це пов'язано з тим, що кожне число в трикутнику вказує на кількість способів падіння об'єкта може дістатися до цього простору через попередні числа.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас просили примножити\((2 x+3)^{5}\). Трикутник Паскаля дозволяє виявити, що коефіцієнти\((2x+3)^{5}\) волі.\(1,5,10,10,5,1 .\) За допомогою ретельної підстановки розширення буде:

\(1 \cdot(2 x)^{5}+5 \cdot(2 x)^{4} \cdot 3+10 \cdot(2 x)^{3} \cdot 3^{2}+10 \cdot\left(2 x^{2}\right) \cdot 3^{3}+5(2 x)^{1} \cdot 3^{4}+3^{5}\)

Спрощення - справа арифметики, але більша частина роботи виконується завдяки шаблонам трикутника Паскаля.

Приклад 2

Фактор наступного полінома шляхом розпізнавання коефіцієнтів.

\(x^{4}+4 x^{3}+6 x^{2}+4 x+1\)

Коефіцієнти - 1, 4, 6, 4 і 1 і ці коефіцієнти знаходяться на 5-му ряду. Перший ряд трикутника Паскаля показує коефіцієнти для 0-ї потужності, тому 5-й ряд показує коефіцієнти для 4-ї потужності. Таким чином, факторна форма - це:

\((x+1)^{4}\)

Приклад 3

Фактор наступного полінома шляхом розпізнавання коефіцієнтів.

\(8 x^{3}-12 x^{2}+6 x-1\)

так як перший коефіцієнт не дорівнює 1, потрібно взяти відповідний корінь першого члена виразу, щоб знайти перший член біноміала. При цьому перший член біноміала повинен бути\(2 x\). Також останній термін повинен бути -1 і потужність повинна бути\(3 .\) Тепер все, що залишилося - це перевірити.

\((2 x-1)^{3}=(2 x)^{3}+3(2 x)^{2} \cdot(-1)+3(2 x)^{1}(-1)^{2}+(-1)^{3}=8 x^{3}-12 x^{2}+6 x-1\)

Приклад 4

Розгорніть наступне біноміальне значення:\(\left(\frac{1}{2} x-3\right)^{5}\)

Ви знаєте, що коефіцієнти будуть 1, 5, 10, 10, 5, 1.

\(1\left(\frac{1}{2} x\right)^{5}+5\left(\frac{1}{2} x\right)^{4}(-3)+10\left(\frac{1}{2} x\right)^{3}(-3)^{2}+10\left(\frac{1}{2} x\right)^{2}(-3)^{3}+5\left(\frac{1}{2} x\right)(-3)^{4}+1 \cdot(-3)^{5}\)

\(=\frac{x^{5}}{32}-\frac{15 x^{4}}{16}+\frac{90 x^{3}}{8}-\frac{270 x^{2}}{4}+\frac{405 x}{2}-243\)

Не забудьте спростити дробові дроби.

\(=\frac{x^{5}}{32}-\frac{15 x^{4}}{16}+\frac{45 x^{3}}{4}-\frac{135 x^{2}}{2}+\frac{405 x}{2}-243\)

Приклад 5

Розгорніть наступний триноміал:\((x+y+z)^{4}\)

На жаль, трикутник Паскаля не відноситься до триномів. Замість того, щоб думати про двовимірний трикутник, вам потрібно буде обчислити тривимірну піраміду, яка називається пірамідою Паскаля. Сума всіх п'яти термінів нижче - ваша відповідь.

\(1 x^{4}+4 x^{3} z+6 x^{2} z^{2}+4 x z^{3}+1 z^{4}\)
\(4 x^{3} y+12 x^{2} y z+12 x y z^{2}+4 y z^{3}\)
\(6 x^{2} y^{2}+12 x y^{2} z+6 y^{2} z^{2}\)
\(4 x y^{3}+4 y^{3} z\)
\(1 y^{4}\)

Зверніть увагу, скільки закономірностей існує в коефіцієнтах цього шару піраміди.

Рецензія

Фактор наступні поліноми шляхом розпізнавання коефіцієнтів.

1. \(x^{2}+2 x y+y^{2}\)

2. \(x^{3}+3 x^{2}+3 x+1\)

3. \(x^{5}+5 x^{4}+10 x^{3}+10 x^{2}+5 x+1\)

4. \(27 x^{3}-27 x^{2}+9 x-1\)

5. \(x^{3}+12 x^{2}+48 x+64\)

Розгорніть наступні біноми за допомогою трикутника Паскаля.

6. \((2 x-3)^{3}\)

7. \((3 x+4)^{4}\)

8. \((x-y)^{7}\)

9. \((a+b)^{10}\)

10. \((2 x+5)^{5}\)

11. \((4 x-1)^{4}\)

12. \((5 x+2)^{3}\)

13. \((x+y)^{6}\)

14. \((3 x+2 y)^{3}\)

15. \((5 x-2 y)^{4}\)