5.5: Правило ланцюга

Правило ланцюга дозволяє нам диференціювати складену функцію fg Але чому потрібно мати особливий спосіб визначення похідної від складеної функції? Інтуїтивно, це тому, що зміна області f тепер регулюється функцією g (x), а не просто x, і швидкість зміни g щодо x повинна якось бути врахована. Перш ніж продовжити, подивіться, чи знайдете ви ефект g, порівнявши похідну f (x) = x ² з похідною f (x) =( 5x) ², де g (x) =5x.

---

Правило ланцюга

Вивести правило для похідної складеної функції виду fg у терміні похідних f та g, що дозволило б диференціювати складні функції в терміні відомих похідних простіших функцій.

Правило, яке дозволяє це, називається правилом ланцюга:

Якщо g - диференційовна функція при x, а f диференційовна при g (x), то функція композиції fg=f (g (x)) диференційовна при x.

$$(f∘g)′(x)=f′(g(x))g′(x) \nonumber$$

Або еквівалентне твердження:

Якщо u=u (x) і f = f (u), то $$\frac{d}{dx}[f(u)]=f′(u)\frac{du}{dx} \nonumber$$

Або інше еквівалентне твердження:

Якщо y - функція u, а u - функція x, то

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}⋅\frac{du}{dx} \nonumber$$

Застосуйте правило ланцюга, щоб знайти похідну $$f(x)=(2x^3−4x^2+5)^2\nonumber$$

Використовуючи правило ланцюга, нехай $$u=2x^3−4x^2+5.\nonumber$$ Тоді

$$\frac{d}{dx}[(2x^2−4x^2+5)^2]=\frac{d}{dx}[u^2] \nonumber$$

$$=2u\frac{du}{dx} \nonumber$$

$$=2(2x^3−4x^2+5)(6x^2−8x) \nonumber$$

Вище наведена проблема - один з найпоширеніших типів композитних функцій. Це силова функція типу

$$y=[u(x)]^n \nonumber$$

Правилом диференціації таких функцій є окремий випадок правила ланцюга, яке називається загальним правилом влади:

Якщо $$y=[u(x)]^n \nonumber$$ , то $$\frac{dy}{dx}=n[u(x)]^{n−1}\frac{d}{dx}u(x) \nonumber$$

---

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, чи знайдете ви вплив g на похідну, порівнюючи похідну f (x) =x ² з похідною f (x) =( 5x) ² де g (x) =5x. Похідна f (x) = x ² дорівнює f′ (x) =2x, а похідна f (x) =( 5x) ^{2 - f′ (x) =2} (5x) =2 (5x) 5=2x⋅25. Ефект g у складеній функції полягає у зміні швидкості зміни f (x) =x ².

Приклад 2

Який нахил дотичної лінії до функції $$y=\sqrt{x^2−3x+2} \nonumber$$ , яка проходить через точку x=3?

Ми можемо написати $$y=(x2−3x+2)^{\frac{1}{2}} \nonumber$$ Цей приклад ілюструє точку, що п може бути будь-яке дійсне число, включаючи дроби. Використовуючи Загальне правило влади,

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(x^2−3x+2)^{\frac{1}{2}-1}(2x−3) \nonumber$$

$$=\frac{1}{2}(x^2−3x+2)^{−\frac{1}{2}}(2x−3) \nonumber$$

$$=\frac{(2x−3)}{2\sqrt{x^2−3x+2}} \nonumber$$

Щоб знайти нахил дотичної прямої, просто підставляємо x=3 в похідну:

$$\frac{dy}{dx}|_{x=3}=\frac{2(3)−3}{2\sqrt{3^2−3(3)+2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4} \nonumber$$

Приклад 3

Знайти $$\frac{dy}{dx} \nonumber$$ для $$y=sin^3x \nonumber$$

Функцію можна записати як y= [sinx] 3. Таким чином

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[sinx]^3 \nonumber$$

$$=3[sinx]^2[cosx] \nonumber$$

$$=3sinx^2cosx \nonumber$$

Приклад 4

Знайти $$\frac{dy}{dx} \nonumber$$ для $$y=[cos(πx^2)]^3 \nonumber$$

У цьому прикладі буде показано застосування правила ланцюга кілька разів, оскільки є кілька функцій, вбудованих один в одного.

Функція y може бути записана у вигляді

$$y=(u(w))^3 \nonumber$$ де

$$u(w)=cos(w) \nonumber$$

$$w(x)=πx^2 \nonumber$$

Ось кроки для вирішення:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[u(w)^3] \nonumber$$

... Використовуйте u і w заміни

$$=3⋅u(w)^2⋅\frac{du}{dx} \nonumber$$

. ... Після використання Загального правила влади

$$=3⋅u(w)^2⋅(\frac{du}{dw}⋅\frac{dw}{dx}) \nonumber$$

... Після використання правила ланцюга для ^du/_dx

$$=3⋅u(w)^2⋅[−sin(w)⋅2πx] \nonumber$$

... Після оцінки dudw і dwdx

$$=3[cos(πx^2)]^2⋅(−sin(πx^2)⋅2πx) \nonumber$$

... Після заміни u і w

$$=−6πx[cos(πx^2)]^2sin(πx^2) \nonumber$$

. ... Після спрощення.

Зверніть увагу, що ми спочатку використовували загальне правило влади, а потім використовували правило ланцюга, на останньому кроці, ми взяли похідну аргументу.

---

Рецензія

Для #1 -11, знайти f′ (x).

1. $$f(x)=(2x^2−3x)^{39} \nonumber$$
2. $$f(x)=(x^3−\frac{5}{x^2})^{−3} \nonumber$$
3. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3x^2−6x+2}} \nonumber$$
4. $$f(x)=sin^3x \nonumber$$
5. $$f(x)=sinx^3 \nonumber$$
6. $$f(x)=sin^3x^3 \nonumber$$
7. $$f(x)=tan(4x^5) \nonumber$$
8. $$f(x)=\frac{4x−sin^2}{2x} \nonumber$$
9. $$f(x)=\frac{sinx}{cos(3x−2)} \nonumber$$
10. $$f(x)=(5x+8)^3(x^3+7x)^{13} \nonumber$$
11. $$f(x)=(\frac{x−3}{2x−5})^3 \nonumber$$
12. Знайти $$\frac{dy}{dx} \nonumber$$ для $$y=5cos(3x^2−1) \nonumber$$
13. Знайдіть похідну від $$\sqrt{x^3+x^5+89} \nonumber$$
14. Знайдіть похідне від гріха (sin (sin (x))).
15. За визначенням, будь-яка функція, складена з її оберненою, є лише тотожністю: f (f ⁻¹ (x)) =x. диференціювати обидві сторони цього рівняння та розв'язувати алгебраїчно для похідної оберненого.

---

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.8.

---

Лексика

Термін	Визначення
правило ланцюга	Правило ланцюга - це метод обчислення похідної від складеної функції. У ньому зазначено, що для функцій f (x) і g (x), (fg) ′ (x) =f′ (g (x)) g′ (x).
композитна функція	Складена функція - це функція h (x), утворена шляхом використання виводу однієї функції g (x) в якості входу іншої функції f (x). Складені функції записуються у вигляді h (x) =f (g (x)) або h=fg.
похідний	Похідна функції - нахил прямої дотичної до функції в заданій точці на графіку. Позначення для похідної включають f′ (x), ^dy/dx, y′, ^df/dx і\ frac {df (x)} {dx}.

---

Додаткові ресурси

PLIX - Грайте, вчіться, взаємодійте, досліджуйте - диференціація: правило ланцюга

Відео: Вступ до правила ланцюга

Практика: Правило ланцюга

Реальний світ: До побачення хвилі