5.6: Неявна диференціація

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54325

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Методи диференціювання до цього моменту застосовувалися до визначень функцій (рівнянь) форми y = f (x). Не всі функції можуть бути вказані в такому вигляді, наприклад, коли задіяні добутки x і y. Коли вони не можуть, пошук похідної від y може зажадати іншої техніки.

неявна диференціація

Розглянемо рівняння 2xy=1.

Ми хочемо отримати похідну ^_dy/dx. Один із способів зробити це - спочатку вирішити для y, щоб створити явну функцію x,

\[ y=\frac{1}{2x} \nonumber\]

а потім візьміть похідну з обох сторін,

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[\frac{1}{2x}] \nonumber\]

\[ =\frac{−1}{2x^2} \nonumber\]

Однак існує ще один спосіб пошуку dydx, який використовує вихідне рівняння, яке є неявною функцією x. Ми можемо безпосередньо диференціювати обидві сторони.

Знайдіть похідну ^_dy/dx рівняння 2xy=1, не перетворюючи її в явну функцію x, для цього безпосередньо диференціюйте обидві сторони:

\[ \frac{d}{dx}[2xy]=\frac{d}{dx}[1] \nonumber\]

Використовуючи Правило продукту на лівій стороні,

\[ y\frac{d}{dx}[2x]+2x\frac{d}{dx}[y] = 0 \nonumber\]

\[ y[2]+2x\frac{dy}{dx}=0 \nonumber\]

Зверніть увагу, що правило ланцюга застосовується при прийнятті похідної від терміна з y і dydx включається для цих термінів. Рішення для dydx,

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{−2y}{2x+=\frac{−y}{x}} \nonumber\]

Але так як\[y=\frac{1}{2x} \nonumber\] підміна дає

\[ \frac{dy}{dx}=−\frac{1}{x(2x)} \nonumber\]

\[ =−\frac{1}{2x^2} \nonumber\]

Цей результат узгоджується з попередніми розрахунками. Цей другий метод знаходження похідної називається неявною диференціацією. Ви можете розглянути процес і сказати, що перший спосіб простіше і швидше і немає підстав для другого способу. Це може бути вірно для цього прикладу і деяких інших, але розглянемо наступну проблему.

Знайти ^dy/_dx, якщо 3y ² −cosy=x ³.

Удачі знайти явне представлення функції цього рівняння. Спробуємо неявну диференціацію і подивимося, що вийде.

Диференціювання обох сторін рівняння щодо x і подальше рішення для ^_dy/dx,

\[ \frac{d}{dx}[3y^2−cosy]=\frac{d}{dx}[x^3] \nonumber\]

\[ 3\frac{d}{dx}[y^2]−\frac{d}{dx}[cosy]=3x^2 \nonumber\]

\[ 3(2y\frac{dy}{dx})−(−siny)\frac{dy}{dx}=3x^2 \nonumber\]

\[ 6y\frac{dy}{dx}+siny\frac{dy}{dx}=3x^2 \nonumber\]

\[ [6y+siny]\frac{dy}{dx}=3x^2 \nonumber\]

Вирішуючи для ^_dy/dx, ми нарешті отримаємо

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{3x^2}{6y+siny} \nonumber\]

У цій задачі неявна диференціація забезпечила працездатний шлях до розв'язання.

Неявна диференціація може бути використана для обчислення нахилу дотичної лінії, як показано нижче.

Знайти рівняння дотичної прямої, що проходить через точку (1, 2) на графіку 8y ³ +x2y−x=3.

Загальний підхід до вирішення цієї проблеми полягає в тому, щоб:

знайти ^_dy/dx, потім
підставити точку (1, 2) в похідну, щоб знайти нахил, а потім
використовуйте рівняння прямої (або форма нахилу-перехоплення, або форма точки-перехоплення), щоб знайти рівняння дотичної прямої.

Для кроку 1 знаходження явного представлення функції рівняння не є очевидним. Однак використання неявної диференціації дозволяє диференціювати обидві сторони:

\[ \frac{d}{dx}[8y^3+x^2y−x]=\frac{d}{dx}[3] \nonumber\]

\[ 24y^2\frac{dy}{dx}+[(x^2)(1)\frac{dy}{dx}+y(2x)]−1=0 \nonumber\]

\[ 24y^2\frac{dy}{dx}+x^2\frac{dy}{dx}+2xy−1=0 \nonumber\]

\[ [24y^2+x^2]\frac{dy}{dx}=1−2xy \nonumber\]

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{1−2xy}{24y^2+x^2} \nonumber\]

Тепер, підставляючи точку (1, 2) на похідну, щоб знайти нахил,

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{1−2(1)(2)}{24(2)2+(1)^2} \nonumber\]

\[=\frac{−3}{97} \nonumber\]

Отже, нахил дотичної лінії дорівнює ⁻³/₉₇, що є невеликим значенням. (Що це говорить нам про орієнтацію дотичної лінії?)

Далі нам потрібно знайти рівняння дотичної прямої. Форма нахилу-перехоплення є

\[ y=mx+b \nonumber\]

де m=−397 і b - перехоплення y. Щоб знайти b, просто підставити точку (1, 2) в рівняння прямої і вирішити:

\[ 2=(−397)(1)+b \nonumber\]

\[ b=\frac{197}{97} \nonumber\]

Таким чином, рівняння дотичної прямої

\[ y=\frac{−3}{97}x+\frac{197}{97} \nonumber\]

Зауважте, що ми могли б використовувати еквівалентну форму точки-нахилу\[ y−y_1=m(x−x_1) \nonumber\]

Підводячи підсумок, щоб знайти похідну від неявної функції, виконайте наступні кроки:

Диференціювати обидві сторони щодо x
Зберіть всі терміни ^_dy/dx на лівій стороні рівняння і помістіть інші терміни без ^_dy/dx на правій стороні.
Фактор загальний ^_dy/dx з усіх термінів
Вирішити для ^_dy/dx.

Зауважте, що вираз для похідної ^dy/ _dx може включати як x, так і y.

Приклади

Приклад 1

_{Використовуйте неявну диференціацію, щоб знайти ^{_d 2} _{y/dx ²}, якщо 5x ² −4y ² =9.}

\[ \frac{d}{dx}[5x^2−4y^2]= \frac{d}{dx}[9] \nonumber\]

\[ 10x−8y \frac{dy}{dx}=0 \nonumber\]

Рішення для ^_dy/dx,

\[ \frac{dy}{dx}= \frac{5x}{4y} \nonumber\]

Диференціюючи обидві сторони неявно знову (і використовуючи часткове правило),

\[ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(4y)(5)−(5x)(4\frac{dy}{dx})}{(4y)^2} \nonumber\]

\[ =\frac{20y}{16y^2}−\frac{20x}{16y^2} \frac{dy}{dx} \nonumber\]

\[ = \frac{5}{4y}−\frac{5x}{4y} \frac{dy}{dx} \nonumber\]

Але так як\[ \frac{dy}{dx}=\frac{5x}{4y} \nonumber\]

підставляємо його в другу похідну:

\[ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{5}{4y}−\frac{5x}{4y}⋅\frac{5x}{4y} \nonumber\]

\[ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{5}{4y}−\frac{25x^2}{16y^2} \nonumber\]

Це друга похідна від y.

Приклад 2

Використовуйте неявну диференціацію, щоб знайти\[ \frac{d^2y}{dx^2}|_{(x,y)=(2,3)} \nonumber\]

Наступним кроком буде пошук:\[ \frac{d^2y}{dx^2|_{(x,y)=(2,3)}} \nonumber\]

\[ \frac{d^2y}{dx^2}|_{(2,3)}=\frac{5}{4(2)}−\frac{25(2)^2}{16(3)^2} \nonumber\]

\[ =−\frac{5}{72} \nonumber\]

Приклад 3

Що являє собою друга похідна?

Оскільки перша похідна функції представляє швидкість зміни функції y=f (x) щодо x, друга похідна представляє швидкість зміни функції. Наприклад, в кінематиці (дослідження руху) швидкість об'єкта (y′) означає зміну положення щодо часу, але прискорення (y′′) означає швидкість зміни швидкості щодо часу.

Рецензія

Для #1 -6 знайдіть ^_dy/dx шляхом неявної диференціації.

\[ x^2+y^2=500 \nonumber\]
\[ x^2y+3xy−2=1 \nonumber\]
\[ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{2} \nonumber\]
\[ \sqrt{x}−\sqrt{y}= \sqrt{3} \nonumber\]
\[ sin(25xy^2)=x \nonumber\]
\[ tan^3(x^2−y^2)=tan(\frac{π}{4}) \nonumber\])

Для #7 -8 використовуйте неявну диференціацію, щоб знайти нахил дотичної лінії до заданої кривої у вказаній точці.

\[ x^2y−y^2x=−1 \nonumber\]в (1,1)
\[ sin(xy)=y \nonumber\]при (π,1)
Знайти y′′ шляхом неявної диференціації для x ³ y ³ = 5.
Використовуйте неявну диференціацію, щоб показати, що дотична лінія до кривої y ² = kx at (x ₀, y ₀) задається тим,\[ y_0y= \frac{1}{2}k(x+x_0) \nonumber\] де k - константа.
Знайти\[ \frac{d}{dx}(xsin(y)+ysin(x)) \nonumber\]
Знайти y′ якщо\[ x^2+xy+y^2=10 \nonumber\]
Знайдіть формулу для прямої дотичної до кривої\[ y^3+2xy^2−x=2 \nonumber\] в точці (1, 1).
Знайти\[ \frac{d}{dx}(\sqrt{xy}) \nonumber\]
y ² +sin (y) =x. знайти\[ \frac{d^2y}{dx^2} \nonumber\] в терміні x і y.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.10.

Лексика

Термін	Визначення
явна функція	Явна функція - це функція, де можна вказати залежну змінну як функцію тільки незалежної змінної.
неявна диференціація	Неявна диференціація - це застосування диференціації на неявну функцію, яка може дати вираз, що включає як незалежні, так і залежні змінні.
неявна функція	Неявна функція - це функція, де залежна змінна не є явною функцією незалежної змінної.
дотична лінія	Дотична лінія - це лінія, яка «просто торкається» кривої в одній точці і ніякої іншої.

Додаткові ресурси

Відео: Неявна диференціація від Академії Хана

Практика: Неявна диференціація

Реальний світ: Фіолетовий колір