5.4: Похідні тригонометричних функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54330

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Функції sinx і cosx періодичні, з періодом 2π. Ви дізналися, що похідна диференційовної функції дає нахил дотичної прямої в точці. Перш ніж приступити до цього уроку, подивіться на криві функцій для двох функцій і подивіться, чи зможете ви визначити будь-які точки, де ви знаєте, якою буде похідна. Для кожної функції ці набори точок повторюються, коли x збільшується або зменшується? Як часто? Чи можете ви зробити загальне твердження про похідні тригонометричних функцій?

Похідні тригонометричних функцій

Тепер ми хочемо знайти вираз для похідної кожної з шести тригонометричних функцій:

гріх х	Кос х	загар х
CSC х	сек х	дитяче ліжечко х

Розглянуто спочатку задачу диференціації sin x, використовуючи визначення похідної.

\[ \displaystyle \frac{d}{dx}[sinx]=\lim_{h \to 0} \frac{sin(x+h)−sinx}{h} \nonumber\]

Так як

\[ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ \nonumber\]

Похідною стає

\[ \displaystyle \frac{d}{dx}[sinx]=\lim_{h \to 0} \frac{sinxcosh+cosxsinh−sinx}{h} \nonumber\]

\[ \displaystyle = \lim_{h \to 0} [sinx(\frac{cosh−1}{h})+cosx(\frac{sinh}{h})] \nonumber\]

\[ \displaystyle =−sinx⋅limh→0(1−coshh)+cosx⋅limh→0(sinhh) \nonumber\]

\[ =−sinx⋅(0)+cosx⋅(1) \nonumber\]

\[ =cosx \nonumber\]

Давайте розглянемо\[ \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{1−cos(h)}{h} \nonumber\] і\[ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin(h)}{h}\nonumber\] Хоча існують аналітичні методи, які можуть бути використані для оцінки цих двох меж, давайте розглянемо графіки функцій і табличні дані. Графіки двох функцій і деякі дані таблиці калькулятора наведені нижче. Перевірка цих поблизу x = 0, здається, показує, що межі:

\[ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{cos(h)−1}{h}=0 \nonumber\]і\[ \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}=1 \nonumber\]

Наведені вище результати можуть бути підтверджені аналітично.

Знімок екрана 2020-10-12 на 7.36.09 PM.png

CC ЗА NC-SA

x (читати)	-0,001	-0,0001	0	0,0001	0,0001
f (х)	-0,0005	-0,00005	Помилка	0,00005	0,0005
г (х)	0,999833	0,9999998	Помилка	0,9999998	0,999833

Тому

\[ \frac{d}{dx}[sinx]=cosx \nonumber\]

Це залишиться як вправа, щоб довести, що\[ \frac{d}{dx}[cosx]=−sinx\]

Похідні шести тригонометричних функцій наведені нижче.

\[ \frac{d}{dx} [sinx]= cosx \nonumber\]	\[ \frac{d}{dx} [cosx]= -sinx \nonumber\]	\[ \frac{d}{dx} [tanx]= sec^2x \nonumber\]
\[ \frac{d}{dx} [cscx]= -cscxcotx \nonumber\]	\[ \frac{d}{dx} [secx]= secxtanx \nonumber\]	\[ \frac{d}{dx} [cotx]= -csc^2x \nonumber\]

Майте на увазі, що аргумент x для всіх тригонометричних функцій вимірюється в радіанах.

Всі похідні можуть бути доведені визначенням похідної, але зворотні функції можна знайти більш простим методом. Доказ\[ \frac{d}{dx}[tanx]=sec^2x \nonumber\] полягає в наступному:

Так як

\[ tanx= \frac{sinx}{cosx} \nonumber\]

потім

\[ \frac{d}{dx}[tanx]=\frac{d}{dx}[\frac{sinx}{cosx}] \nonumber\]

Використовуючи часткове правило,

\[ =\frac{(cosx)(cosx)−(sinx)(−sinx)}{cos^2x} \nonumber\]

\[ =\frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x} \nonumber\]

\[=\frac{1}{cos2x} \nonumber\]

\[ =sec^2x\nonumber\]

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, чи є повторювані точки для похідних тригонометричних функцій і якщо так, то як часто вони повторюються.

По-перше, подивіться, чи можете ви визначити будь-які точки, де ви знаєте похідну від sinx і cosx: Кожна функція має два місця в інтервалі 0≤x≤2π, де дотична лінія має нахил 0.

Для кожної функції ці набори точок повторюються, коли x збільшується або зменшується? Так, ці 0 точок нахилу повторюються для кожної функції.

Як часто? Пара 0 точок нахилу повторюється з періодом 2π.

Чи можете ви зробити загальне твердження про похідні тригонометричних функцій? Оскільки значення функції повторюються кожен період, похідна кожної функції в певній точці також повинна повторюватися з періодом 2π.

Приклад 2

Знайти f′ (x), якщо f (x) = x ² cosx+sinx.

Використовуючи правило продукту і формули, наведені вище, отримуємо

\[ f′(x)=x^2(−sinx)+2xcosx+cosx \nonumber\]

\[ =−x^2sinx+2xcosx+cosx \nonumber\]

Приклад 3

Знайти ^_dy/dx якщо\[ y=\frac{cosx}{1−tanx} \nonumber\] Що таке нахил дотичної прямої в\[x=π3?\nonumber\]

Використовуючи часткове правило і наведені вище формули, отримаємо

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{(1−tanx)(−sinx)−(cosx)(−sec^2x)}{(1−tanx)^2} \nonumber\]

\[ =\frac{−sinx+tanxsinx+cosxsec^2x}{(1−tanx)^2} \nonumber\]

Для обчислення нахилу дотичної лінії просто підставляємо\[ x=\frac{π}{3}\nonumber\]

\[ \frac{dy}{dx}|_{x=\frac{π}{3}}=\frac{−sin(\frac{π}{3})+tan(π3)sin(\frac{π}{3})+cos(\frac{π}{3})sec^2(\frac{π}{3})}{(1−tan(\frac{π}{3}))^2} \nonumber\]

Ми, нарешті, отримуємо ухил, щоб бути приблизно

\[ \frac{dy}{dx}|_{x=\frac{π}{3}}=4.9 \nonumber\]

Приклад 4

Знайти ^_dy/dx якщо\[ y=\frac{cotx}{sinx} \nonumber\]

\[ \frac{d}{dx}[\frac{cotx}{sinx}]=\frac{sinx\frac{dy}{dx}[cotx]−cotx\frac{dy}{dx}[sinx]}{sin^2x} \nonumber\]

Частота Правило

\[ =\frac{sinx⋅[−csc^2x]−cotx⋅[cosx]}{sin^2x} \nonumber\]

Тригонометричні похідні

\[ =\frac{−sinx⋅[csc^2x+cot^2x]}{sin^2x} \nonumber\]

фактор - гріх х

\[ =−cscx⋅[1+cot^2x+cot^2x] \nonumber\]

спрощення та використання ідентифікаторів trig

\[=−cscx⋅[1+2cot^2x] \nonumber\]

Тому

\[ \frac{dy}{dx}=−cscx⋅[1+2cot^2x] \nonumber\]

Рецензія

Для #1 -10 знайдіть похідну y′.

\[ y=xsinx+2 \nonumber\]
\[ y=x^2cosx−xtanx−1 \nonumber\]
\[ y=sin^2x \nonumber\]
\[ y=\frac{sinx−1}{sinx+1} \nonumber\]
\[ y=\frac{cosx+sinx}{cosx−sinx} \nonumber\]
\[ y=\frac{x^{0.5}}{tanx+2} \nonumber\]
\[ y=cscxsinx+x \nonumber\]
\[ y=\frac{secx}{cscx} \nonumber\]
Якщо y = CSC х, знайдіть y′ (^π/₆).
у = х ⁵ кос (х)?
Що таке похідна від x ² csc (x)?
Що таке похідна від csc (x) tan (x)?
Використовуйте часткове правило, щоб перевірити, що похідна sec (x) дорівнює sec (x) tan (x).
Що таке похідна від cot (^π/₂ −x)?
Що таке похідна від csc ² (x) −cot ² (x)?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.7.

Лексика

Термін	Визначення
похідний	Похідна функції - нахил прямої дотичної до функції в заданій точці на графіку. Позначення для похідної включають f′ (x), dydx, y′, dfdx і\ frac {df (x)} {dx}.

Додаткові ресурси

PLIX: Грайте, вчіться, взаємодійте, досліджуйте - похідне гріха (x)

Відео: Похідна синуса і косинуса

Практика: Похідні тригонометричних функцій

Реальний світ: рентгенівський зір