Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.16: Розширення в координатній площині

  • Page ID
    54720
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Множення координат на масштабний коефіцієнт з урахуванням початку координат як центру.

    Розширення в координатній площині

    Дві фігури схожі, якщо вони однакової форми, але не обов'язково однакового розміру. Одним із способів створення подібних фігур є розширення. Розширення робить фігуру більшою або меншою, так що нове зображення має ту ж форму, що і оригінал.

    Розширення: збільшення або зменшення фігури, яка зберігає форму, але не розмір. Всі розширення схожі на вихідну фігуру.

    Розширення мають центр і масштабний коефіцієнт. Центр є точкою відліку для розширення, а масштабний коефіцієнт говорить нам, наскільки фігура розтягується або зменшується. Масштабний коефіцієнт позначається\(k\). Тільки позитивні масштабні фактори\(k\), будуть розглянуті в цьому тексті.

    Якщо розширене зображення менше оригіналу, то\(0<k<1\).

    Якщо розширене зображення більше оригіналу, то\(k>1\).

    Щоб розширити щось у координатній площині, помножте кожну координату на коефіцієнт масштабу. Це називається картографуванням . Для будь-якого розширення картографування буде\((x,y)\rightarrow (kx,ky)\). У цьому тексті центром розширення завжди буде початок.

    Що робити, якщо вам дали координати фігури і попросили розширити цю цифру на коефіцієнт масштабу 2? Як ви могли знайти координати розширеної фігури?

    Для прикладів 1 і 2 скористайтеся наступною інструкцією:

    Задано A і масштабний коефіцієнт, визначають координати розширеної точки,\(A′\). Ви можете припустити, що центром розширення є походження. Пам'ятайте, що відображення буде\((x, y)\rightarrow (kx, ky)\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    \(A(−4,6), k=2\)

    Рішення

    \(A′(−8,12)\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    \(A(9,−13), k=\dfrac{1}{2}\)

    Рішення

    \(A′(4.5,−6.5)\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Чотирикутник EFGH\) має вершини\(E(−4,−2)\)\(F(1,4)\),\(G(6,2)\) і\(H(0,−4)\). Намалюйте дилатацію з масштабним коефіцієнтом 1,5.

    Ф-Д_014а9Ф7Ф0А974832457Ф22ЕДФ3А6ДБ6Б49Ф3С08Д16Д07Ф5328Е04+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Рішення

    Пам'ятайте, що для розширення чогось в координатній площині помножте кожну координату на коефіцієнт масштабу.

    Для цього розширення відображенням буде\ (x, y)\ rightarrow (1.5x, 1.5y).

    \(\begin{aligned} &E(−4,−2)\rightarrow (1.5(−4),1.5(−2))\rightarrow E′(−6,−3) \\ &F(1,4)\rightarrow (1.5(1),1.5(4))\rightarrow F′(1.5,6) \\ &G(6,2)\rightarrow (1.5(6),1.5(2))\rightarrow G′(9,3) \\ &H(0,−4)\rightarrow (1.5(0),1.5(−4))\rightarrow H′(0,−6)\end{aligned}\)

    На графіку вище синій чотирикутник є оригіналом, а червоне зображення - розширення.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Визначте координати\(\Delta ABC\)\(\Delta A′B′C′\) і знайдіть масштабний коефіцієнт.

    F-д_789Б53 ЕЦЕ801Б022Е 9816952 СБ3Е06С04ЕБ84312ДК2Б2 CAE51F2025+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Рішення

    Координати вершин\(\Delta ABC\) є\(A(2,1)\), B (5,1)\) і C (3,6)\). Координати вершин\(\Delta A′B′C′\) є A′ (6,3)\)\(B′(15,3)\) і C′ (9,18)\). Кожна з відповідних координат втричі перевищує оригінал, так що\(k=3\).

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Покажіть, що розширення зберігають форму за допомогою формули відстані. Знайдіть довжини сторін обох трикутників у прикладі B.

    Рішення

    \ (\ почати {масив} {ll}\ підкреслення {\ Дельта ABC} &\ підкреслення {\ Дельта A'B'C '}
    A B =\ sqrt {(2-5) ^ {2} + (1-1) ^ {2}} =\ sqrt {9} =3 & A^ {\ прайм} B^ {\ прайм} =\ sqrt {(6-15) ^ {2} + (3-3) ^ {2}} =\ sqrt {81} =9\
    A C=\ sqrt {(2-3) ^ {2} + (1-6) ^ {2}} =\ sqrt {26} & A^ {\ прайм} C^ {\ прайм} =\ sqrt {(6-9) ^ {2} + (3-18) ^ {2}} =3\ sqrt {26}\
    C B=\ sqrt {(3-5) ^ {2} + (6-1) ^ {2}} =\ sqrt {29} & C^ {\ прайм} B^ {\ прайм} =\ sqrt {(9-15) ^ {2} + (18-3) ^ {2}} =3\ sqrt {29}
    \ кінець {масив}\)

    З цього ми також бачимо, що всі сторони в\(\Delta A′B′C′\) три рази більше, ніж\(\Delta ABC\).

    Рецензія

    Задано\(A\) і\(A′\), знайдіть масштабний коефіцієнт. Ви можете припустити, що центром розширення є походження.

    1. \(A(8,2), A′(12,3)\)
    2. \(A(−5,−9), A′(−45,−81)\)
    3. \(A(22,−7), A(11,−3.5)\)

    Походження - центр розширення. Намалюйте розширення кожної фігури, враховуючи масштабний коефіцієнт.

    1. \(A(2,4), B(−3,7), C(−1,−2); k=3\)
    2. \(A(12,8), B(−4,−16), C(0,10); k=34\)

    Багатоступінчасті проблемні питання 6-9 будуються один на одному.

    1. Ділянка\(A(1,2), B(12,4), C(10,10)\). З'єднайте, щоб сформувати трикутник.
    2. Зробіть початок центром розширення. Намалюйте 4 промені від початку до кожної точки з #21. Потім, сюжет\(A′(2,4), B′(24,8), C′(20,20)\). Що таке масштабний коефіцієнт?
    3. Використовуйте\(k=4\), щоб знайти\(A′′B′′C′′\). Побудуйте ці точки.
    4. Що таке масштабний коефіцієнт від\(A′B′C′\) до\(A′′B′′C′′\)?

    Якщо\(O\) це походження, знайдіть наступні довжини (використовуючи 6-9 вище). Округляйте всі відповіді до найближчих сотих.

    1. \(OA\)
    2. \(AA′\)
    3. \(AA′′\)
    4. \(OA′\)
    5. \(OA′′\)
    6. \(AB\)
    7. \(A′B′\)
    8. \(A′′B′′\)
    9. Порівняйте співвідношення\(OA:OA′\) і\(AB: A′B′\). Що ви помічаєте? Чому ви думаєте, що це так?
    10. Порівняйте співвідношення\(OA:OA′′\) і\(AB: A′′B′′\). Що ви помічаєте? Чому ви думаєте, що це так?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 7.12.

    Лексика

    Термін Визначення
    Дилатація Зменшити або збільшити цифру відповідно до масштабного коефіцієнта - це розширення.
    Формула відстані Відстань між двома точками\((x_1,y_1)\) і\((x_2,y_2)\) може бути визначено як\(d=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}\).
    Картографування Відображення - це процедура, яка передбачає побудову точок на координатній сітці, щоб побачити поведінку функції.
    Масштабний коефіцієнт Масштабний коефіцієнт - це відношення масштабу до вихідного або фактичного виміру, написаного в найпростішій формі.

    Додаткові ресурси

    Інтерактивний елемент

    Відео: Принципи розширення в координатній площині - Основні

    Діяльність: Розширення в координатній площині Дискусійні питання

    Навчальні посібники: Види трансформацій Навчальний посібник

    Практика: Розширення в координатній площині