7.17: Розширення картографування

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54707

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Фігури, які можуть бути перенесені один до одного за допомогою одного або декількох жорстких перетворень з подальшим розширенням. Правила, що описують задані зміни розміру зображень

Правила для розширення

На малюнку нижче показано розширення двох трапецій. Запишіть правило відображення для розширення зображення A до зображення B.

F-д_4Ф18А 65304С49481А1924045А1Е1С9ДФД8ФБ86Ц8134А9ДЕ63Е34КБФ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{1}\)

У геометрії трансформація - це операція, яка переміщує, перевертає або змінює фігуру для створення нової форми. Розширення - це тип перетворення, який збільшує або зменшує фігуру (називається попереднім зображенням) для створення нової фігури (званої зображенням). Масштабний коефіцієнт визначає\(r\), наскільки більшим або меншим буде порівнюватися зображення розширення з попереднім зображенням.

Подивіться на схему нижче:

F-D_D759E0165cc3d35ec9f2dc0f646df9177907D8 ЕЕД 61CC385BFA0E2D1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Зображення А зазнало розширення щодо походження з коефіцієнтом масштабу 2. Зверніть увагу, що точки на зображенні розширення подвоюють координатні точки на попередньому зображенні. Розширення з масштабним\(k\) коефіцієнтом про походження можна описати за допомогою наступних позначень:

\(D_{k} (x,y)=(kx,ky)\)

\(k\)завжди буде значенням, яке більше 0.

Коефіцієнт масштабування, к	Зміна розміру для попереднього зображення
\(k>1\)	Зображення розширення більше, ніж попереднє зображення
\(0<k<1\)	Зображення розширення менше, ніж попереднє зображення
\(k=1\)	Зображення розширення має той самий розмір, що і зображення попереднього зображення

Давайте намалюємо зображення розширення для наступних відображень:

Правило відображення для розширення, застосованого до трикутника нижче, є\((x,y)\rightarrow (1.5x,1.5y)\).

F-D_F5A52Б0ББ0 ЕЕ4423А0С30ББ8 ЕЦ7ФД 9ФД9 АФ 5Д03БА 6А7Д1ЕА 41А321Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{3}\)

При масштабному коефіцієнті 1,5 кожна точка координат буде множитися на 1,5.

\ (\ begin {масив} {llcc}
\ текст {зображення} A & A (3,5) & B (4,2) & C (1,1)\
\ текст {Розширення зображення} & A^ {\ prime} (4.5,7.5) & B^ {\ prime} (6,3) & C ^ {\ прайм} (1.5,1.5)
\ кінець {масив}\)

Зображення розширення виглядає наступним чином:

Ф-Д_Б2022Ф34408Ф5А0Е7Е41А8Е20414Д1279Е97400К44ЕФ24144509ДФ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Правило відображення для розширення, застосоване до наведеної нижче діаграми, є\((x,y)\rightarrow (\dfrac{1}{3}x, \dfrac{1}{3}y)\).

F-д_1483ДББ 99ДБ2БА 0АЕ 035А70251С44А 475470703787839Ф12Ф258071С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_png — Малюнок\(\PageIndex{5}\)

При масштабному коефіцієнті\(\dfrac{1}{3}\) кожна точка координат буде помножена на\(\dfrac{1}{3}\).

\ (\ begin {масив} {lllr}
\ текст {зображення} D & D (-3,7) & E (-1,3) & F (-7,5) & G (-5,1)\
\ текст {зображення розширення} & D^ {\ prime} (-1,2.3) & E^ {\ прайм} (-0.3,1) & F^ {\ prime} (-2.3,1.7) & G^ {\ прайм} (-1.7,0.3)
\ end {масив}\)

Зображення розширення виглядає наступним чином:

Ф-д_Б4Б4БФББББ Б Б Б Б 31063 АФБК 6788КБ003С4С8Е87С059Д3АС74Е8КБ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Тепер давайте напишемо позначення, яке представляє розширення попереднього зображення A до зображення розширення J на діаграмі нижче:

F-D_FDEBBC 133КД СБ610А463Б9А83ББ ФЕА 7А573130ЕД 4КС95 Ди390 FF0D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Спочатку виберіть точку на діаграмі, щоб побачити, як на неї вплинуло розширення.

\(C:(−7,5)\qquad C′:(−1.75,1.25)\)

Зверніть увагу, як обидва x- і y-координати множаться на\(\dfrac{1}{4}\). Це вказує на те, що попереднє зображення\(A\) зазнає розширення щодо походження за допомогою масштабного коефіцієнта,\(\dfrac{1}{4}\) щоб сформувати зображення розширення\(J\). Тому позначення відображення є\((x,y)\rightarrow (\dfrac{1}{4}x,\dfrac{1}{4}y)\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вам було запропоновано написати правило відображення для розширення зображення A до зображення B на зображенні нижче:

Рішення

Подивіться на точки на кожному зображенні:

\ (\ begin {масив} {lllll}
\ текст {зображення} A & B (-9,6) & C (-5,6) & D (-5, -1) & E (-10, -3)\
\ текст {зображення} B & B ^ {\ прайм} (-4.5,3) & C ^ {\ прайм} (-2.5,3) & D^ {\ прайм} (-2.5, -0.5) & E^ {\ прайм} (-5, -1.5)
\ end {масив}\)

Зверніть увагу, що координатними точками зображення B (зображення розширення) є\ dfrac {1} {2}\), які знайдені на зображенні A\). Тому зображення A зазнає розширення щодо походження масштабного фактора\ dfrac {1} {2}\). Щоб написати правило відображення для цього розширення, ви повинні написати: (x, y)\ rightarrow (\ dfrac {1} {2} x,\ dfrac {1} {2} y)\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Томас описує розширення точки\(JT\) з вершинами\(J(−2,6)\)\(T(6,2)\) до точки\(J′T′\) з вершинами\(J′(−4,12)\) і\(T′(12,4)\). Напишіть позначення, щоб описати це розширення для Томаса.

F-д_79е 7851914743 аб5728d08609c46b52772b764F25E1CD918C5E914DE+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Рішення

Оскільки координати x і y множаться на 2, коефіцієнт масштабу дорівнює 2. Позначення відображення є:\((x,y)\rightarrow (2x,2y)\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Враховуючи точки\(A(12,8)\) і\(B(8,4)\) на лінії, яка проходить розширення, щоб виробити\(A′(6,4)\) і\(B′(4,2)\), напишіть позначення, що представляє розширення.

Рішення

Для того, щоб написати позначення для опису розширення, виберіть одну точку на попередньому зображенні, а потім відповідну точку на зображенні розширення, щоб побачити, як точка перемістилася. Зверніть увагу, що точка EA\):

\(A(12,8)\rightarrow A′(6,4)\)

Оскільки обидва x- і y-координати множаться на\(\dfrac{1}{2}\), розширення приблизно походження має масштабний коефіцієнт\(\dfrac{1}{2}\). Позначення для цього розширення було б:\((x,y)\rightarrow (\dfrac{1}{2}x,\dfrac{1}{2}y)\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Джанет грала з програмою малювання на своєму комп'ютері. Вона створила наступні діаграми, а потім хотіла визначити перетворення. Напишіть правило позначення, яке представляє перетворення фіолетової та синьої діаграми на помаранчеву та синю діаграму.

F-D_DC10AB097 ЕБББД СА5Е1Ф1Е5 ДБК 7498Ф3712348C258 Баф 09357BA9E1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{10}\)

Рішення

Для того, щоб написати позначення для опису розширення, виберіть одну точку на попередньому зображенні,\(A\) а потім відповідну точку на зображенні розширення,\(A′\) щоб побачити, як змінилася точка. Зверніть увагу, що точка\(E\) показана на схемі:

\(E(−5,−3)\rightarrow E′(−1,−0.6)\)

Оскільки обидва x- і y-координати множаться на\(\dfrac{1}{5}\), розширення приблизно походження має масштабний коефіцієнт\(\dfrac{1}{5}\). Позначення для цього розширення було б:\((x,y)\rightarrow (\dfrac{1}{5}x, \dfrac{1}{5}y)\).

Рецензія

Заповніть наступну таблицю. Припустимо, що центром розширення є походження.

Початкова точка	\(D_{2}\)	\(D_{5}\)	\(D_{\dfrac{1}{2}}\)	\(D_{\dfrac{3}{4}}\)
1. (1, 4)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
2. (4, 2)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
3. (2, 0)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
4. (-1, 2)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
5. (-2, -3)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
6. (9, 4)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
7. (-1, 3)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
8. (-5, 2)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
9. (2, 6)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
10. (-5, 7)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">