7.17: Розширення картографування

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 7.16: Розширення в координатній площині
- 7.18: Самоподібність і фрактали

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Фігури, які можуть бути перенесені один до одного за допомогою одного або декількох жорстких перетворень з подальшим розширенням. Правила, що описують задані зміни розміру зображень

Правила для розширення

На малюнку нижче показано розширення двох трапецій. Запишіть правило відображення для розширення зображення A до зображення B.

F-д_4Ф18А 65304С49481А1924045А1Е1С9ДФД8ФБ86Ц8134А9ДЕ63Е34КБФ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{1}$

У геометрії трансформація - це операція, яка переміщує, перевертає або змінює фігуру для створення нової форми. Розширення - це тип перетворення, який збільшує або зменшує фігуру (називається попереднім зображенням) для створення нової фігури (званої зображенням). Масштабний коефіцієнт визначає $r$ , наскільки більшим або меншим буде порівнюватися зображення розширення з попереднім зображенням.

Подивіться на схему нижче:

F-D_D759E0165cc3d35ec9f2dc0f646df9177907D8 ЕЕД 61CC385BFA0E2D1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

Зображення А зазнало розширення щодо походження з коефіцієнтом масштабу 2. Зверніть увагу, що точки на зображенні розширення подвоюють координатні точки на попередньому зображенні. Розширення з масштабним $k$ коефіцієнтом про походження можна описати за допомогою наступних позначень:

$D_{k} (x,y)=(kx,ky)$

$k$ завжди буде значенням, яке більше 0.

Коефіцієнт масштабування, к	Зміна розміру для попереднього зображення
$k>1$	Зображення розширення більше, ніж попереднє зображення
$0<k<1$	Зображення розширення менше, ніж попереднє зображення
$k=1$	Зображення розширення має той самий розмір, що і зображення попереднього зображення

Давайте намалюємо зображення розширення для наступних відображень:

Правило відображення для розширення, застосованого до трикутника нижче, є $(x,y)\rightarrow (1.5x,1.5y)$ .

F-D_F5A52Б0ББ0 ЕЕ4423А0С30ББ8 ЕЦ7ФД 9ФД9 АФ 5Д03БА 6А7Д1ЕА 41А321Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{3}$

При масштабному коефіцієнті 1,5 кожна точка координат буде множитися на 1,5.

\ (\ begin {масив} {llcc}
\ текст {зображення} A & A (3,5) & B (4,2) & C (1,1)\
\ текст {Розширення зображення} & A^ {\ prime} (4.5,7.5) & B^ {\ prime} (6,3) & C ^ {\ прайм} (1.5,1.5)
\ кінець {масив}\)

Зображення розширення виглядає наступним чином:

Ф-Д_Б2022Ф34408Ф5А0Е7Е41А8Е20414Д1279Е97400К44ЕФ24144509ДФ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{4}$

Правило відображення для розширення, застосоване до наведеної нижче діаграми, є $(x,y)\rightarrow (\dfrac{1}{3}x, \dfrac{1}{3}y)$ .

F-д_1483ДББ 99ДБ2БА 0АЕ 035А70251С44А 475470703787839Ф12Ф258071С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_png — Малюнок $\PageIndex{5}$

При масштабному коефіцієнті $\dfrac{1}{3}$ кожна точка координат буде помножена на $\dfrac{1}{3}$ .

\ (\ begin {масив} {lllr}
\ текст {зображення} D & D (-3,7) & E (-1,3) & F (-7,5) & G (-5,1)\
\ текст {зображення розширення} & D^ {\ prime} (-1,2.3) & E^ {\ прайм} (-0.3,1) & F^ {\ prime} (-2.3,1.7) & G^ {\ прайм} (-1.7,0.3)
\ end {масив}\)

Зображення розширення виглядає наступним чином:

Ф-д_Б4Б4БФББББ Б Б Б Б 31063 АФБК 6788КБ003С4С8Е87С059Д3АС74Е8КБ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{6}$

Тепер давайте напишемо позначення, яке представляє розширення попереднього зображення A до зображення розширення J на діаграмі нижче:

F-D_FDEBBC 133КД СБ610А463Б9А83ББ ФЕА 7А573130ЕД 4КС95 Ди390 FF0D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{7}$

Спочатку виберіть точку на діаграмі, щоб побачити, як на неї вплинуло розширення.

$C:(−7,5)\qquad C′:(−1.75,1.25)$

Зверніть увагу, як обидва x- і y-координати множаться на $\dfrac{1}{4}$ . Це вказує на те, що попереднє зображення $A$ зазнає розширення щодо походження за допомогою масштабного коефіцієнта, $\dfrac{1}{4}$ щоб сформувати зображення розширення $J$ . Тому позначення відображення є $(x,y)\rightarrow (\dfrac{1}{4}x,\dfrac{1}{4}y)$ .

Приклад $\PageIndex{1}$

Раніше вам було запропоновано написати правило відображення для розширення зображення A до зображення B на зображенні нижче:

Рішення

Подивіться на точки на кожному зображенні:

\ (\ begin {масив} {lllll}
\ текст {зображення} A & B (-9,6) & C (-5,6) & D (-5, -1) & E (-10, -3)\
\ текст {зображення} B & B ^ {\ прайм} (-4.5,3) & C ^ {\ прайм} (-2.5,3) & D^ {\ прайм} (-2.5, -0.5) & E^ {\ прайм} (-5, -1.5)
\ end {масив}\)

Зверніть увагу, що координатними точками зображення B (зображення розширення) є\ dfrac {1} {2}\), які знайдені на зображенні A\). Тому зображення A зазнає розширення щодо походження масштабного фактора\ dfrac {1} {2}\). Щоб написати правило відображення для цього розширення, ви повинні написати: (x, y)\ rightarrow (\ dfrac {1} {2} x,\ dfrac {1} {2} y)\).

Приклад $\PageIndex{2}$

Томас описує розширення точки $JT$ з вершинами $J(−2,6)$ $T(6,2)$ до точки $J′T′$ з вершинами $J′(−4,12)$ і $T′(12,4)$ . Напишіть позначення, щоб описати це розширення для Томаса.

F-д_79е 7851914743 аб5728d08609c46b52772b764F25E1CD918C5E914DE+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{9}$

Рішення

Оскільки координати x і y множаться на 2, коефіцієнт масштабу дорівнює 2. Позначення відображення є: $(x,y)\rightarrow (2x,2y)$

Приклад $\PageIndex{3}$

Враховуючи точки $A(12,8)$ і $B(8,4)$ на лінії, яка проходить розширення, щоб виробити $A′(6,4)$ і $B′(4,2)$ , напишіть позначення, що представляє розширення.

Рішення

Для того, щоб написати позначення для опису розширення, виберіть одну точку на попередньому зображенні, а потім відповідну точку на зображенні розширення, щоб побачити, як точка перемістилася. Зверніть увагу, що точка EA\):

$A(12,8)\rightarrow A′(6,4)$

Оскільки обидва x- і y-координати множаться на $\dfrac{1}{2}$ , розширення приблизно походження має масштабний коефіцієнт $\dfrac{1}{2}$ . Позначення для цього розширення було б: $(x,y)\rightarrow (\dfrac{1}{2}x,\dfrac{1}{2}y)$ .

Приклад $\PageIndex{4}$

Джанет грала з програмою малювання на своєму комп'ютері. Вона створила наступні діаграми, а потім хотіла визначити перетворення. Напишіть правило позначення, яке представляє перетворення фіолетової та синьої діаграми на помаранчеву та синю діаграму.

F-D_DC10AB097 ЕБББД СА5Е1Ф1Е5 ДБК 7498Ф3712348C258 Баф 09357BA9E1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{10}$

Рішення

Для того, щоб написати позначення для опису розширення, виберіть одну точку на попередньому зображенні, $A$ а потім відповідну точку на зображенні розширення, $A′$ щоб побачити, як змінилася точка. Зверніть увагу, що точка $E$ показана на схемі:

$E(−5,−3)\rightarrow E′(−1,−0.6)$

Оскільки обидва x- і y-координати множаться на $\dfrac{1}{5}$ , розширення приблизно походження має масштабний коефіцієнт $\dfrac{1}{5}$ . Позначення для цього розширення було б: $(x,y)\rightarrow (\dfrac{1}{5}x, \dfrac{1}{5}y)$ .

Рецензія

Заповніть наступну таблицю. Припустимо, що центром розширення є походження.

Початкова точка	$D_{2}$	$D_{5}$	$D_{\dfrac{1}{2}}$	$D_{\dfrac{3}{4}}$
1. (1, 4)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
2. (4, 2)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
3. (2, 0)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
4. (-1, 2)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
5. (-2, -3)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
6. (9, 4)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
7. (-1, 3)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
8. (-5, 2)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
9. (2, 6)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">
10. (-5, 7)	\ (D_ {2}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {5}\)» клас = "lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {1} {2}}\)» клас ="lt-k12-5951">	\ (D_ {\ dfrac {3} {4}}\)» клас ="lt-k12-5951">