Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.13: Пропорції та бісектриси кута

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54608

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Кутові бісектриси ділять трикутники пропорційно.

    Теорема про бісектрису кута

    Коли кут всередині трикутника розділений, бісектриса ділить трикутник пропорційно. Ця ідея називається теоремою бісектриси кута.

    Теорема про бісектрису кута: Якщо промінь розсікає кут трикутника, то він ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні довжинам двох інших сторін.

    F-д_да 84Ф 356665739БА245А4 ЕБББ575Е160Д0958Б5Б5БФ84667475Б08ЕД765+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Якщо\(\Delta BAC\cong \Delta CAD\), то\(\dfrac{BC}{CD}=\dfrac{AB}{AD}\).

    Що робити, якщо вам сказали, що промінь - це бісектриса кута трикутника? Як би ви використали цей факт, щоб знайти невідомі значення стосовно довжин сторін трикутника?

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Заповніть відсутню змінну:

    F-д_59445С1А5Е6ФБ90Б94191437 ДК 40Е381Ф1301Е8С0Ф36373БН62А003+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Рішення

    Налаштуйте пропорцію і вирішуйте.

    \(\begin{aligned} \dfrac{20}{y}&=\dfrac{15}{28−y} \\ 15y&=20(28−y) \\ 15y&=560−20y \\ 35y&=560 \\ y&=16\end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Заповніть відсутню змінну:

    Ф-Д_557Б73КС3160ДБББ 5С81С50С78Бе710А47ДК53Е0960БДББН66А795БФ41+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Рішення

    Налаштуйте пропорцію і вирішуйте.

    \(\begin{aligned}\dfrac{12}{z}&=\dfrac{15}{9−z} \\ 15z&=12(9−z) \\ 15z&=108-12z \\ 27z&=108 \\ z&=4\end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Знайти\(x\).

    F-D_077 ДК 3197010 де17cdc9357863a8 фа7207bcb 1674d7b30163AE1A+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Рішення

    Промінь - це бісектриса кута, і він розщеплює протилежну сторону в тому ж співвідношенні, що і дві інші сторони. Пропорція становить:

    \(\begin{aligned} \dfrac{9}{x}&=\dfrac{21}{14} \\ 21x&=126 \\ x&=6\end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Знайдіть значення\(x\), яке зробить пропорцію істинною.

    F-д_БББ063Д 9126 ЕД додати 133 фа633864c5E76c661b4186d6d6d6d65737784C78E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Рішення

    Ви можете налаштувати цю пропорцію, як у попередньому прикладі.

    \(\begin{aligned} \dfrac{5}{3}&=\dfrac{4x+1}{15} \\ 75&=3(4x+1) \\ 75&=12x+3 \\ 72&=12x \\ 6&=x\end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Знайдіть відсутню змінну:

    F-D_2d44b37c3732899C8D3Б2Ф2255Ф038АБ9Е6128795420DA3587C8B3F3FE+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    Рішення

    Налаштуйте пропорцію і вирішуйте, як у попередніх прикладах.

    \(\begin{aligned}\dfrac{12}{4}&=\dfrac{x}{3} \\ 36&=4x \\ x&=9\end{aligned}\)

    Рецензія

    Знайти значення відсутньої змінної (ів).

    1. Ф-Д_24С 554Д011А0Е3Е7Д4ДФ 635Б98А120СБ9552А8СА3Д096Ф76Д3+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{7}\)
    2. Ф-Д_84Д6 ДБ3С4Д7396ДФ 4Б25083ФЦ71А31Б4099423БКФ9А2Ф4С42Ф481080+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Вирішити для невідомої змінної.

    1. F-D_95564529AEF 0E07340E7594459E714692c4C4C70a0311FCC8D5CF3C01+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{9}\)
    2. F-д_С53БФ 9Б7124A0C8E3C82cd0E8FDC89598C464A367CC28423c588895+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{10}\)
    3. F-Д_Д02С7214БД6ФБ963ЕЕ4ДФ4ФД635БК 41ДД929565555ДФБ ліжко C3C497F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_png
      Малюнок\(\PageIndex{11}\)
    4. F-D_4F6cd7437B63 Дед 507 ЕЕ66Ф64 де 8804А1С5 AFF643490A39D1B42551+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{12}\)
    5. F-D_B15d430 ЕАБ 396Д9Б58Д837Д2 ФББ 5 ЕА ЕЦД 7А33Е5С69АЕ 0КБД35+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{13}\)
    6. Ф-Д_19860 СБ0860 ДБ486А 4Д0Ф2Ф59517212Д4БК3А1БД01С0Е3Ф194 ЕФ5ДФ5ДФ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{14}\)
    7. F-D_744D19 ЕФ 65ФА873E8 CF1E31568507 AE5E5E6479 ДК3Ф2А688982490511+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_PNG
      Малюнок\(\PageIndex{15}\)
    8. Ф-д_АС 393562Е46Ф317А0 ЕФ6Д 90ФБ 6756782E3A440C6D1E286D08688E8E8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{16}\)
    9. Ф-д_149663е96160А305980Ф5Д9Е3Ф54677Б641Е80А2С22Б65+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{17}\)
    10. F-D_0D13492 ЕФ ЕФ 41CC44956 ЕД431Е5Б 831Е460ФДК0А942Ф858DA9511+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{18}\)
    11. F-д_8Б4Б09А 8ЕЕ9Е319Е976Ф730Б5ФА008Д09С83С24ФД3022621Ф6+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{19}\)
    12. Ф-д_аф 89д4АК 2707 CFFDE 585835C904Ф60Б72 АЦ506Д078АЕ 190534E82+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNGМалюнок\(\PageIndex{20}\)
    13. F-д_9Е9 ДДД 708ФА1553836А 236280 АБ24 Е8Е88 ДБ325ДЕ3С424019D9E5F8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
      Малюнок\(\PageIndex{21}\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 7.10.

    Ресурси

    Лексика

    Термін Визначення
    бісектриса кута Промінь, який ділить кут на два конгруентних кута.
    Теорема про бісектрису кута Теорема бісектриси кута стверджує, що якщо точка знаходиться на бісектрисі кута, то точка є рівновіддаленою від сторін кута.
    Пропорція Пропорція - це рівняння, яке показує два еквівалентних співвідношення.
    Співвідношення Співвідношення - це порівняння двох величин, які можуть бути записані у вигляді дробу, з двокрапкою або зі словом «до».

    Додаткові ресурси

    Інтерактивний елемент

    Відео: Використання властивостей теореми про бісектрису трикутника для визначення невідомих значень

    Діяльність: Пропорції з кутовими бісектрисами Питання обговорення

    Навчальні посібники: Посібник з вивчення відносин пропорційності

    Реальний світ: пропорційність трикутника