7.6: Застосування непрямих вимірювань

Використовуйте співвідношення та пропорції для вирішення відсутніх довжин у подібних цифрах у реальних ситуаціях.

Непряме вимірювання

Застосування подібних трикутників полягає у вимірюванні довжин побічно. Ви можете використовувати цей метод для вимірювання ширини річки або каньйону або висоти високого об'єкта. Ідея полягає в тому, що ви моделюєте ситуацію з подібними трикутниками, а потім використовуєте пропорції, щоб знайти відсутнє вимірювання побічно.

Що робити, якщо ви стояли поруч із будівлею і хотіли знати, наскільки висотою була будівля? Як ви могли використовувати власну висоту та довжину тіней, відкинутих вами та будівлею, щоб визначити висоту будівлі?

Для прикладів 1, 2 та 3 використовуйте наступну інформацію:

Для того щоб оцінити ширину річки, можна використовувати наступну методику. Скористайтеся схемою.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Помістіть три маркери$O$$C$,,, і$E$ на верхньому березі річки. $E$знаходиться на краю річки і$\overline{OC}\perp \overline{CE}$. Пройдіть через річку і поставте маркер,$N$ щоб він був колінеарним з$C$ і$E$. Потім пройдіться по нижньому березі річки і розмістіть маркер A\), щоб$\overline{CN}\perp \overline{NA}$. $OC=50 feet$,$CE=30\: feet$,$NA=80\: feet$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Є$\Delta OCE\sim \Delta ANE$? Звідки ти знаєш?

Рішення

Так. $\angle C\cong \angle N$тому що вони обидва прямі кути. $\angle OEC\cong \angle AEN$тому що вони є вертикальними кутами. Це означає$\Delta OCE\sim \Delta ANE$ Постулат подібності AA.

Приклад$\PageIndex{2}$

Є$\overline{OC}\parallel \overline{NA}$? Звідки ти знаєш?

Рішення

Оскільки два трикутника схожі, ми повинні мати$\angle EOC\cong \angle EAN$. Це чергові внутрішні кути. Коли альтернативні внутрішні кути конгруентні, то лінії паралельні, так$\overline{OC}\parallel \overline{NA}$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Яка ширина річки? Знайти$EN$.

Рішення

Налаштуйте пропорцію і вирішуйте шляхом перехресного множення.

$\dfrac{30\: ft}{EN}=\dfrac{50\: ft}{80\: ft}$

$50(EN)=2400$

$EN=48$

Річка шириною 48 футів.

Приклад$\PageIndex{4}$

Дерево за межами будівлі Еллі відкидає 125-футову тінь. У той же час доби Еллі кидає тінь на 5,5 футів. Якщо Еллі 4 фути 10 дюймів заввишки, наскільки високе дерево?

Малюнок$\PageIndex{2}$

Рішення

Щоб вирішити, почніть з малювання малюнка. Ми бачимо, що дерево і Еллі паралельні, тому два трикутника схожі.

$\dfrac{4\: ft,10\: in}{x}=\dfrac{5.5\: ft}{125\: ft}$

Вимірювання потрібно проводити в однакових одиницях. Змініть все на дюйми, і тоді ми можемо перехрестити множення.

$\dfrac{58\: in}{x}=\dfrac{66\: in}{1500\: in}$

$87000=66x$

$x\approx 1318.\overline{18} in or 109.85\: ft$

Приклад$\PageIndex{5}$

Камерон має висоту 5 футів і кидає тінь 12 футів. У той же час доби сусідня будівля відкидає тінь на 78 футів. Наскільки висотою є будівля?

Рішення

Для вирішення задайте пропорцію, яка порівнює висоту з довжиною тіні для Камерона та будівлі. Потім вирішіть рівняння, щоб знайти висоту будівлі. Нехай х представляє висоту будівлі.

\ dfrac {5ft} {12\: ft} =\ dfrac {x} {78\: фут}\)

12х=390\)

x = 32,5\: фут\)

Висота будівлі становить 32,5 футів.

Рецензія

Методика з секції керованої практики використовувалася для вимірювання відстані через Гранд-Каньйон. Скористайтеся зображенням нижче і$OC=72\: ft$$CE=65\: ft$, а$NA=14,400\: ft$ для завдань 1 - 3.

Малюнок$\PageIndex{3}$

1. Знайти$EN$ (відстань через Гранд-Каньйон).

2. Знайти$OE$.

3. Знайти$EA$.

4. Марк має висоту 6 футів і відкидає тінь 15 футів. У той же час доби сусідня будівля відкидає 30-футову тінь. Наскільки висотою є будівля?

5. Карен і Джефф стоять поруч один з одним. Карен кидає тінь 10 футів, а Джефф кидає 8-футову тінь. Хто вище? Звідки ти знаєш?

6. Біллі має висоту 5 футів 9 дюймів, а Боббі - 6 футів у висоту. Тінь Боббі довжиною 13 футів. Скільки триває тінь Біллі?

7. Саллі та її маленький брат йдуть до школи. Саллі має висоту 4 фути і має тінь довжиною 3 фути. Тінь її маленького брата довжиною 2 фути. Наскільки високий її маленький брат?

8. Райан на вулиці грає в баскетбол. Він має висоту 5 футів і в цей час доби кидає тінь 12 футів. Баскетбольне кільце має висоту 10 футів. Скільки триває тінь баскетбольного кільця?

9. Джек стоїть поруч з дуже високим деревом і дивується, наскільки воно високе. Він знає, що він має висоту 6 футів і в цей момент його тінь довжиною 8 футів. Він вимірює тінь дерева і знаходить, що вона становить 90 футів. Наскільки високе дерево?

10. Томас, який має висоту 4 футів 9 дюймів, кидає тінь 6 футів. Сусідня будівля відливає тінь 42 футів. Наскільки висотою є будівля?

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Постулат подібності AA	Якщо два кути в одному трикутнику збігаються з двома кутами в іншому трикутнику, то два трикутника схожі.
Пропорція	Пропорція - це рівняння, яке показує два еквівалентних співвідношення.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Масштабні та непрямі вимірювання

Діяльність: Питання обговорення непрямих вимірювань

Навчальні посібники: Посібник з вивчення схожості полі

Практика: Застосування непрямих вимірювань

Реальний світ: Могутні вимірювання