7.11: Вписані подібні трикутники

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 7.10: Пропорційні трикутники
- 7.12: Паралельні лінії, поперечні та пропорційність

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Розподіл прямокутного трикутника на аналогічні трикутники за допомогою висоти.

Теорема про вписані подібні трикутники

Пам'ятайте, що якщо два об'єкти схожі, їх відповідні кути конгруентні, а сторони пропорційні по довжині. Висота прямокутного трикутника створює подібні трикутники.

Вписані подібні трикутники Теорема: Якщо висота малюється від прямого кута будь-якого прямокутного трикутника, то два сформованих трикутника схожі на початковий трикутник, і всі три трикутники схожі один на одного.

В $\Delta ADB$ , $m\angle A=90^{\circ}$ і $\overline{AC}\perp \overline{DB}$ :

Ф-д_8Ф94А81Ф6Д6Е18627А24 ББ14ЕД 0А48Е6А6А6АА6А6АА6АА506661ЕФА2Ф6А+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{1}$

Отже, $\Delta ADB\sim \Delta CDA\sim \Delta CAB$ :

F-д_59Б4Е955Д5ЕЕЕ8АБ 9073ФБ5Е137Б4 АБДА1 ЕЦ9Б702А2196Б47Е1018+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

Це означає, що всі відповідні сторони пропорційні. Ви можете використовувати цей факт, щоб знайти відсутні довжини в правильних трикутниках.

Що робити, якщо ви намалювали лінію від прямого кута прямокутного трикутника перпендикулярно стороні, яка протилежна цьому куту? Як ви могли визначити довжину цієї лінії?

Приклад $\PageIndex{1}$

Знайдіть значення $x$ .

F-д_д12ф 225661a2c00f86576c2273e012eb8561ФДК1Б393434047C757+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{3}$

Рішення

Налаштуйте пропорцію.

$\begin{aligned} \dfrac{\text{ shorter leg in }\Delta SVT}{\text{ shorter leg in }\Delta RST}&=\dfrac{\text{ hypotenuse in }\Delta SVT}{ \text{ hypotenuse in }\Delta RST} \\ \dfrac{4}{x}&=\dfrac{x}{20} \\ x^2&=80 \\ x&=\sqrt{80}=4\sqrt{5} \end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{2}$

Тепер знайдіть значення $y$ в $\Delta RST$ вище.

Рішення

Використовуйте теорему Піфагора.

$\begin{aligned} y^2+(4\sqrt{5})^2&=20^2 \\y^2+80&=400 \\ y^2&=320 \\ y&=\sqrt{320}=8\sqrt{5}\end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайдіть значення $x$ .

F-д_2АЧБ 70c56937418b687c8657C7106c5c6267Б8168КБФ7Е8Б9E7991F2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{4}$

Рішення

Відокремте трикутники, щоб знайти відповідні сторони.

Ф-д_54б7769 АФБ 1783С429453Д3716496C24Ф8610049Е8БФ7С7568ДФББ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{5}$

Налаштуйте пропорцію.

$\begin{aligned} \dfrac{\text{ shorter leg in } \Delta EDG}{\text{ shorter leg in } \Delta DFG}&=\dfrac{\text{ hypotenuse in }\Delta EDG}{\text{ hypotenuse in }\Delta DFG} \\ \dfrac{6}{x}&=\dfrac{10}{8} \\ 48&=10x \\ 4.8&=x \end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайдіть значення $x$ .

Ф-Д_239Д4338244Ф87Д20932Ф26 CF26285ЕЕ377C3D51765C396884F36EF5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{6}$

Рішення

Налаштуйте пропорцію.

$\begin{aligned}\dfrac{\text{ shorter leg of smallest }\Delta}{\text{ shorter leg of middle } \Delta}=\dfrac{ \text{ longer leg of smallest }\Delta }{\text{ longer leg of middle }\Delta} \\ \dfrac{9}{x}&=\dfrac{x}{27} \\ x^2&=243 \\ x&=\sqrt{243}=9\sqrt{3}\end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{5}$

Знайдіть значення $x$ і $y$ .

F-D_0cb387c3C521BAE9DC AC 7А60АА53 Дак 08Е59Д31Б735Б70АФ2Д1C5D9+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{7}$

Відокремте трикутники. Напишіть пропорцію для $x$ .

Рішення

Ф-д_Б6Ф2Д6398038121А06С КАСБ 83Ф202БД42595А8Д774А6А949Ф515Б5Д+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{8}$

$\begin{aligned} \dfrac{20}{x}&=\dfrac{x}{35} \\ x^2&=20\cdot 35 \\ x&=\sqrt{20\cdot 35} \\ x&=10\sqrt{7}\end{aligned}$

Налаштуйте пропорцію для y. Або тепер, коли ви знаєте значення x\), ви можете використовувати теорему Піфагора для розв'язання $y$ . Використовуйте метод, з яким ви відчуваєте себе найбільш комфортно.

\ (\ почати {масив} {rlrl}
\ frac {15} {y} & =\ розрив {y} {y} {35} & (10\ sqrt {7}) ^ {2} & =35^ {2}\
y^ {2} & =15\ cdot 35 & 700+y^ {2} &=1225\\
y & =\ sqrt {15\ cdot 35} & y&=\ sqrt {525} =5\ sqrt {21}\\ &
y &=5\ sqrt {21}
\ end {масив}\)

Рецензія

Заповніть заготовки.

F-д_2А16Е1Е6Д98896E8F9D88A72551 ФК8С9С6Е6338Е19 ФЕБД 47251A3B98+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{9}$

$\Delta BAD\sim \Delta ______ \sim \Delta ______$
$\dfrac{BC}{?}=\dfrac{?}{CD}$
$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB}{?}$
$\dfrac{?}{AD}=\dfrac{AD}{BD}$

Напишіть заяву подібності для правильних трикутників на кожній діаграмі.

Малюнок $\PageIndex{10}$
Малюнок $\PageIndex{11}$

Використовуйте схему, щоб відповісти на питання 7-10.

Ф-Д_ФДД 82ФД 5Д49Де 19Б0БФ де 9Ф65050С1ФДД2С51Е86Э9С62КБ5517C0CB6+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{12}$

Напишіть заяву подібності для трьох трикутників на схемі.
Якщо $JM=12$ і $ML=9$ , знайдіть $KM$ .
Знайти $JK$ .
Знайти $KL$ .

Знайти довжину відсутньої змінної (s). Спрощення всіх радикалів.

Малюнок $\PageIndex{13}$
Малюнок $\PageIndex{14}$
Малюнок $\PageIndex{15}$
Малюнок $\PageIndex{16}$
Малюнок $\PageIndex{17}$
Малюнок $\PageIndex{18}$
Малюнок $\PageIndex{19}$
Малюнок $\PageIndex{20}$
Малюнок $\PageIndex{21}$
Малюнок $\PageIndex{22}$
Малюнок $\PageIndex{23}$
Малюнок $\PageIndex{24}$
Заповніть пробіли доказу для теореми про вписані подібні трикутники.

Малюнок $\PageIndex{25}$

Дано: $\Delta ABD$ з $\overline{AC}\perp \overline{DB}$ і $\angle DAB$ є прямим кутом.

Доведіть: $\Delta ABD\sim \Delta CBA\sim \Delta CAD$

*Заява*	*Причина*
1.	1. Враховується
2. $\angle DCA$ і $\angle ACB$ є прямими кутами	2.
3. $\angle DAB\cong \angle DCA\cong \angle ACB$	3.
4.	4. Рефлексивний PoC
5.	5. Постулат подібності AA
6. $B\cong \angle B$	6.
7. $\Delta CBA\cong \Delta ABD$	7.
8. $\Delta CAD\cong \Delta CBA$	8.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.4.

Лексика

Термін	Визначення
Теорема про вписані подібні трикутники	Теорема про вписані подібні трикутники стверджує, що якщо висота малюється від прямого кута будь-якого прямокутного трикутника, то два сформованих трикутника схожі на початковий трикутник, і всі три трикутники схожі один на одного.
Перпендикуляр	Перпендикулярні лінії - це лінії, які перетинаються під кутом 90. Твір ухилів двох перпендикулярних ліній дорівнює -1.
Пропорція	Пропорція - це рівняння, яке показує два еквівалентних співвідношення.
Теорема Піфагора	Теорема Піфагора - це математична залежність між сторонами прямокутного трикутника, задана $a^2+b^2=c^2$ , де a і b - катети трикутника, а c - гіпотенуза трикутника.

Додаткові ресурси

Відео: Вписані аналогічні принципи трикутників - Основні

Діяльність: Вписані подібні трикутники Обговорення Питання

Навчальні посібники: Посібник з вивчення подібності прямокут

Практика: Вписані подібні трикутники

Реальний світ: Вписані схожі трикутники