7.10: Пропорційні трикутники

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 7.9: Схожість SAS
- 7.11: Вписані подібні трикутники

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Сторони розділені лінією, паралельною третій стороні трикутника.

Теорема про пропорційність трикутника

Подумайте про середній сегмент трикутника. Середній сегмент паралельний одній стороні трикутника і ділить дві інші сторони на конгруентні половини. Середній сегмент розділяє ці дві сторони пропорційно. Але як щодо іншої лінії, яка паралельна, але не ділить дві інші сторони на конгруентні половини? Насправді така лінія все одно розділить сторони пропорційно. Це називається теоремою пропорційності трикутника.

Теорема про пропорційність трикутника: Якщо лінія, паралельна одній стороні трикутника, перетинає дві інші сторони, то вона розділяє ці сторони пропорційно.

F-д_527е8д 7229А4С872ДД81584е54Б7Б7Б 7Б74 А2Д35С5Е1705993Ф33Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{1}$

Якщо $\overline{DE}\parallel \overline{AC}$ , то $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{BE}{EC}$ . ( $\dfrac{DA}{BD}=\dfrac{EC}{BE}$ Це також справжня пропорція. )

Вірно і зворотне значення цієї теореми.

Теорема пропорційності трикутника Converse: Якщо лінія розділяє дві сторони трикутника пропорційно, то вона паралельна третій стороні.

Якщо $\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{BE}{EC}$ , то $\overline{DE}\parallel \overline{AC}$ .

Що робити, якщо вам дали трикутник з відрізком лінії, проведеним через нього з одного боку на інший? Як ви можете використовувати інформацію про довжину сторін трикутника, щоб визначити, чи цей відрізок лінії паралельний третій стороні?

Використовуйте діаграму для відповідей Приклади 1 і 2. $\overline{DB}\parallel \overline{FE}$ .

F-D_CF96C3C6F1D64E644976 AB7CCC8C70795 ФА98С347 ABFF59D021DE9B8+зображення_крихіткий+зображення_крихітковий_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{2}$

Приклад $\PageIndex{1}$

Назвіть подібні трикутники. Напишіть заяву подібності.

Рішення

$\Delta DBC\sim \Delta FEC$

Приклад $\PageIndex{2}$

$\dfrac{FC+?}{FC}=\dfrac{?}{FE}$

Рішення

$DF$ ; $DB$

Приклад $\PageIndex{3}$

Нижче малюється трикутник з його середнім відрізком. Яке співвідношення, на яке серединний сегмент ділить сторони?

F-д_6а 68693Д149БД1ДФ7051Ф07КС3Б27885Д785Д3Ф07Ф2Е7Е0Е1Ф6Б4Е1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{3}$

Рішення

Середній сегмент розщеплює сторони рівномірно. Співвідношення буде 8:8 або 10:10, які обидва зменшуються до 1:1.

Приклад $\PageIndex{4}$

На схемі нижче, $\overline{EB}\parallel \overline{CD}$ . Знайти $BC$ .

Ф-д_13Е4КББФ 6КФ4Д9С24ФД0 ЕС217к40649БА2С89С6Д1207427128Д93С0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{4}$

Рішення

Для вирішення задайте пропорцію.

$\begin{aligned} \dfrac{10}{15}=\dfrac{BC}{12} \rightarrow 15(BC)&=120 \\ BC&=8 \end{aligned}$

Приклад $\PageIndex{5}$

Є $\overline{DE}\parallel \overline{CB}$ ?

F-D_9A9 CAE 937C4A24316973E56BA77A0CF95E3A5AEDC18BBC7C3FDD076+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{5}$

Рішення

Якщо співвідношення рівні, то лінії паралельні.

$\dfrac{6}{18}=\dfrac{8}{24}=\dfrac{1}{3}$

Тому що співвідношення рівні, $\overline{DE}\parallel \overline{CB}$ .

Рецензія

Використовуйте діаграму, щоб відповісти на питання 1-7. $\overline{AB}\parallel \overline{DE}$ .

F-д_42 бе 0дд 70828A51e6167EF мертвий 147579ФБ8347А98Ф23552861 DC93F93F9+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок $\PageIndex{6}$

Знайти $BD$ .
Знайти $DC$ .
Знайти $DE$ .
Знайти $AC$ .
Що таке $BD:DC$ ?
Що таке $DC:BC$ ?
Чому $BD:DC\neq DC:BC$ ?

Використовуйте задані довжини, щоб визначити, якщо $\overline{AB}\parallel \overline{DE}$ .

Малюнок $\PageIndex{7}$
Малюнок $\PageIndex{8}$
Малюнок $\PageIndex{9}$
Малюнок $\PageIndex{10}$
Малюнок $\PageIndex{11}$
Малюнок $\PageIndex{12}$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 7.8.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Конгруентний	Конгруентні фігури ідентичні за розміром, формою і мірою.
середній сегмент	Середній сегмент з'єднує середні точки двох сторін трикутника або непаралельних сторін трапеції.
Паралельний	Дві або більше ліній паралельні, коли вони лежать в одній площині і ніколи не перетинаються. Ці лінії завжди будуть мати однаковий нахил.
Пропорція	Пропорція - це рівняння, яке показує два еквівалентних співвідношення.
Теорема про пропорційність трикутника	Теорема про пропорційність трикутника стверджує, що якщо лінія паралельна одній стороні трикутника і вона перетинає дві інші сторони, то вона розділяє ці сторони пропорційно.
Теорема пропорційності трикутника	Зворотна теорема пропорційності трикутника стверджує, що якщо пряма розділяє дві сторони трикутника пропорційно, то вона паралельна третій стороні.

Додаткові ресурси

Відео: Використання властивостей теореми пропорційності трикутника для розв'язання невідомих значень

Діяльність: Питання обговорення пропорційності трикутника

Навчальні посібники: Посібник з вивчення пропорційності відносин

Практика: Пропорційні трикутники

Реальний світ: пропорційність трикутника