7.9: Схожість SAS

Трикутники схожі, якщо дві пари сторін пропорційні, а включені кути є конгруентними.

Теорема подібності SAS

За визначенням два трикутника схожі, якщо всі відповідні їм кути конгруентні, а відповідні їм сторони пропорційні. Не обов'язково перевіряти всі кути і сторони, щоб визначити, чи схожі два трикутника. Насправді, якщо ви знаєте лише, що дві пари сторін пропорційні, а їхні включені кути є конгруентними, цього достатньо інформації, щоб знати, що трикутники схожі. Це називається теоремою подібності SAS.

Теорема подібності SAS: Якщо дві сторони в одному трикутнику пропорційні двом сторонам іншого трикутника, а включений кут в обох є конгруентними, то два трикутники схожі.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Якщо$\dfrac{AB}{XY}=\dfrac{AC}{XZ}$ і$\angle A\cong \angle X$, то$\Delta ABC\sim \Delta XYZ$.

Що робити, якщо вам дали пару трикутників, довжини двох їх сторін, і міра кута між цими двома сторонами? Як ви могли б використовувати цю інформацію, щоб визначити, чи два трикутники схожі?

Приклад$\PageIndex{1}$

Визначте, чи схожі наступні трикутники. Якщо так, напишіть теорему подібності і твердження.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Рішення

Ми бачимо, що$\angle B\cong \angle F$ і це обидва включені кути. Треба лише перевірити, щоб сторони навколо кутів були пропорційними.

$\begin{aligned} \dfrac{AB}{DF} &=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{BC}{FE}&=\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2} \end{aligned}$

Оскільки співвідношення однакові$\Delta ABC\sim \Delta DFE$ за теоремою подібності SAS.

Приклад$\PageIndex{2}$

Визначте, чи схожі наступні трикутники. Якщо так, напишіть теорему подібності і твердження.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Рішення

Трикутники не схожі, оскільки кут не є включеним кутом для обох трикутників.

Приклад$\PageIndex{3}$

Чи схожі два трикутника? Звідки ти знаєш?

Малюнок$\PageIndex{4}$

Рішення

Ми це знаємо,$\angle B\cong \angle Z$ тому що вони обидва прямі кути і$\dfrac{10}{15}=\dfrac{24}{36}$. Отже,$\dfrac{AB}{XZ}=\dfrac{BC}{ZY}$ і$\Delta ABC\sim \Delta XZY$ по САС.

Приклад$\PageIndex{4}$

Чи є на малюнку подібні трикутники? Звідки ти знаєш?

Малюнок$\PageIndex{5}$

Рішення

$\angle A$ділиться$\Delta EAB$ і$\Delta DAC$, так що це конгруентно собі. Давайте подивимося, якщо$\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AB}{AC}$.

$\begin{aligned} \dfrac{9}{9+3}&=\dfrac{12}{12+5} \\ \dfrac{9}{12}&=\dfrac{3}{4}\neq \dfrac{12}{17}\qquad \text{ The two triangles are not similar. }\end{aligned}$

Приклад$\PageIndex{5}$

З прикладу 4, що має$BC$ дорівнювати$\Delta EAB\sim \Delta DAC$?

Рішення

Пропорція, з якою ми закінчилися, була$\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\neq \dfrac{12}{17}$. AC потрібно дорівнювати 16, так що$\dfrac{12}{16}=dfrac{3}{4}$. $AC=AB+BC$і$16=12+BC$. $BC$повинен дорівнювати 4.

Рецензія

Заповніть заготовки.

1. Якщо дві сторони в одному трикутнику - _____________ до двох сторін в інший і ________________ кути _________________, то трикутники - ______________.

Визначте, чи схожі наступні трикутники. Якщо так, напишіть теорему подібності і твердження.

2. 

   Малюнок$\PageIndex{6}$

Знайдіть значення відсутньої змінної (s), яка робить два трикутника схожими.

3. 

   Малюнок$\PageIndex{7}$

4. 

   Малюнок$\PageIndex{8}$

5. 

   Малюнок$\PageIndex{9}$

Визначте, чи схожі трикутники. Якщо так, напишіть теорему подібності і твердження.

6. $\Delta ABC$являє собою прямокутний трикутник з ніжками, які вимірюють 3 і 4. $\Delta DEF$являє собою прямокутний трикутник з ніжками, які вимірюють 6 і 8.
7. $\Delta GHI$прямокутний трикутник з катетом, який вимірює 12 і гіпотенузою, яка вимірює 13. $\Delta JKL$являє собою прямокутний трикутник з ніжками, які вимірюють 1 і 2.

8. 

   Малюнок$\PageIndex{10}$

9. 

   Малюнок$\PageIndex{11}$

10. 

    Малюнок$\PageIndex{12}$

11. 

    Малюнок$\PageIndex{13}$

12. $\overline{AC}=3$

$\overline{DF}=6$

Малюнок$\PageIndex{14}$

13. 

    Малюнок$\PageIndex{15}$

14. 

    Малюнок$\PageIndex{16}$

15. 

    Малюнок\ (\ Індекс сторінки {17}\

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 7.7.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
Постулат подібності AA	Якщо два кути в одному трикутнику збігаються з двома кутами в іншому трикутнику, то два трикутника схожі.
Конгруентний	Конгруентні фігури ідентичні за розміром, формою і мірою.
Дилатація	Зменшити або збільшити цифру відповідно до масштабного коефіцієнта - це розширення.
SAS	SAS означає сторону, кут, сторону, і відноситься до того, що дві сторони і включений кут трикутника відомі.
Теорема подібності SAS	Теорема подібності SAS стверджує, що якщо дві сторони в одному трикутнику пропорційні двом сторонам в іншому трикутнику, а включений кут в обох є конгруентними, то два трикутники схожі.
Трансформація подібності	Перетворення подібності - це одне або кілька жорстких перетворень з подальшим розширенням.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Конгруентні та подібні трикутники

Діяльність: Питання обговорення подібності SAS

Навчальні посібники: Посібник з вивчення схожості полі

Практика: Схожість SAS

Реальний світ: схожість трикутника